장음표시 사용
61쪽
Φ-- χε an,*.- ι- Εκ ha tenus explicatis cuique licebit aduertere modum extrahendi cubicam ea Gm dicem , cx propolita quantitate , quae e posita sit, & ex dictis exploratum itidem crit, qua arte cruenda sit radix cuiuscunque generis , eX proposita, quae composita
itru- si quantitates ex quibus extrahenda est radix huiusmodi fuerint, ut radire ni do praedicto inueniri non possit, dcsignabiIuet ipsa praefigendo propositis quantitatis res A . . bus lignum , seu charactercin i, adscribendo , illi notam potestatis iuxta naturam quaesitae radicis. Vt ad extrahendam quadratam radicem, ex a b, scribitur RQ ab , quo symbolo indicatur quadratam radicem CX a b, e tractam esse, vel extro damis adhuc ; Ita pariter R in a' i N , vel pt Q Ξ Φ b' , significabit radicem quadrata
Praeterea ad extrahendam radicem cubicam ex a' b, scribo P Q a b. Item n C.' ai - bi Φ a b , seii ' C a - b a bri significabit radicem cubicam, ex a -b
62쪽
. a I, . Ita etiam ut C a' a b F d' scit C a -a b q. d denotabit r dicc in cubicam ex a Φ a b -d . A ductae autem quotiescunque signo R, non apponitur character alter per illud significari radicem liniadratam , & quidem breuitatis causa ad de notandam huius-m Hi radicem solus hie adhibetur character neglecto Q.
REde tes autem a veriora illud superes adNotandum non dissimiai artisicio erat
a' t a b - a ca laab tb'-aac ab cic Et aniniaduersis signis l; & - , operando ut in seperioribus factum fuit; elicietur radix quadrata a t b - c. Caele rum si quispiam velit adhibere ut a nobis fieri solet pro utroque singulari latcre species a , & c ; consuevimus enim ad binomiam radicem connituendam Eduobus sin ullaribus lateribus siue radicibus , consaeuimus inquam , uti sommem ratis specietius itaque si propositum fuisset radicem eruere quadratam ex a' t a a et c', non secus est proccdendum ac seperitis secimus conantes radicem quadratam cruere ex a' ' a a b t b'; nihil enim refert utra sit species, cadem enim sunt obse uanda praecepta. Sed hae de re iterum redibit sermo in sequentibus ; ubi multa de radicis exti, iione dicemus. Praesertim cum quantitates sunt irrationales.
63쪽
ATIS i am ibit de Algorillimo integrarum, tam simplicium , qua . compositarum magnitudinum , nunc reliquum est , ut breuiter de fractionibu loquamur.
Fractarum magnitudinum Notatio, ac Valor.
MAgnitudi tres fractae dicuntur illς , quae unitate sunt minores . Ipsius aut fractionis notatio, est recta eius scriptio, ac pronunciatio. Fit autem intc polita virgula intcr numeratorcm, atque dcnominatorem. Numerator cst magnitu' do, supra virgulam existenr innominator autem infra. Numerator est illa superior magnitudo ita dicta, quod significci, seu numeret acceptas partes in quas totum esse diuisum intelligitur. Denominator cst magnitudo quidem interior denominans integrum diuisum inis totidem aequalcs parteS. Haec autem numeris absolutis facile possunt explicari. Supponamus igitur stactio nem - - ,' haec plane significat duas tertias partes unius integri; huius autem stactionis denominator est 3 , significans integrum in tres aequales partes suisse diuisum . Numerator autem est a , significans ex illis partibus tribus duas acceptas fuissi. Sit Dactio - - , numerator est a s, denominator est r. Sit seactio , cuius numerator est d r t b s, denominator autem r i s Caeterum animaduertendum cst in fractionibus applicationis legem seruari, ut altiores nimirum depressoribus applicentur; atq; adeo si sit a , longitudo , cique applicetur planum , scilicet b pl. ficttractio a . . Longitudo auteni longitudini nequit applicari. Sed hac de re nos iniurius agemus . Omnes autem clamonstrationcs , quae de stactioniblis confici solent, hic in medium adducere supc ruacaneum duximur, cum illae , quae sunt ni meris explicatae speciebus Ctiam accini odari possint. Fractionum istarum operationes persimiles sunt ijs , quae in numeris fieri solent. Ipsas autem hic breuiter ciuin suis de nonstrationitas afferemus, initium ducentes ab Additione.
Quaedam pri md aduertuntur circa quantitatum fractiones.
ΙN gratiam dicendorum illi ut oportet adiici rure, nimirum quod superescit imitti plicatio, illud idem a diuisione, applicationeque resolui . Dum in applicatione magnitudo, tam altior, qti. an deprcssor ducitur in candem magnitudinem, eo magniditudinis opere ex applicatione Ortiuae, generi, i ci valori nihil additur , vel detrahi
64쪽
tiir . quoniam quod stipe scit multiplicatio illud idem diuisio resoluit, quam orcii 'm', idem est quod a ;& , idcin cliaca pl. li omni b, ducatur in a, fici a b , at vero si a b , diuidatur per b fiet i idem cst autem , ac est Animadueriendum est autem per stactionern quamcunque desienari perpetuo diuisionem al:quam csse faciendam , nimirum qitantitatum illarum , quae numeratoris vice funguntur per quantitates vidclicet, quae tamiuam denominatores se habent dono nat mi aequalis, tunc per fractionem illam sit - - , per hanc fractioncm tas desionabitur. qu
Tunc agcnduna est, quam symbolum unitatis subscribere hunc in m 'C. Vcris non raro contingit, ut quantitas alse qua, puta a , in fractionis formam designari deboat, cuius denominator sit praestri pia quantitas , verbigratia b ; tunc oportet multiplicare a , per l, , ut producatur a b , cui subscribatur b in . Idem est enim , aί est a . Ita quoquo ii cleberet a designari in fractionis forinam, cuius denominator sit a o b ; multipliscetur a st b, per a. ut fiat a' ψε a b; cui subscribatur a biide in cnim erit ac cit a . Non dissimili modo integra quantitas cum fractione ad unius stactionis formam redigitur ; Vt si sit a q--; & oporteat huic aequi ualentem fractionem v nam exhi Te; multiplicetur a , per b , nempe integra quantitas per denaminat .rem fractionis, & producetur a b. addatur per symbolum additionis , ipsi nume-yatori ut fiat numerator integer a b Q a', unde fiat α' , seu quod idem tata naec iraetio aequabitur a t-
a. Haec ad unius sesectionis tarinam redacta sic se habebit nimirum Haeo autem nata A-
ad hanc reuoceitur nempe , . b
cabitur . Et haec a 'b εἰ M , ad hanc redigetur hoc est
Illud autem non est silentio praetercundum, quod si habcatur fractio , producit uni esse a , si nimirum , multiplicetur pcr b', de liis tanten inserius tractantes de multiplicatione. Ex dictis autem facilς coiistat quod Principali Ar crat liuentum.
Fractionum Reductio ad Sina pliciores.
Operatio hune in in ulum perficitur . Sit fractio M , quam ad simplici ι. rc in t O iam oporteat reuocare. Elidatur communis littera b , tam in num rator , quam in denominatore existetis, & fiet Hia . Ita cetiam si abbreuiari debeatllaec tractio clidantur litem a, b, hoc est de medio auferatur a b. diuidendo illi mirum a b , & a b d , per a b, & fici Non dissimili modo, ut abbreui us, procedendum cst εἰ diuidatur es b, per b d , & orietur ; ad hanc i Hirsupcrior cst reuocata quod plane constat opere multiplicationis; si enim ἄ- , n ult, PhςςmVβ pcr b'-d', producetur a b uid. Si sit stactio rizΗ ' - , reducetur ad hanc Si enim diuidatur a' b, peri, d, proi et . quo ducto in b d - d', orietur a b - a' d . Deinde si diu V
p . . . '.' , hoc enim si ducatur in b d - d , orietur b P, reuocanda ad simpliciorem , & ad hanc redi tur videlicet a ; scit quod idem est ad liane . Etenim a' b - a d si diuidatur per b d d', fit ' , & praeterea si diuidatur - a b d H, a d . per l, dcl , het - a , quod multiplicatione comprobabitur ; si enim b d - d , multipli-cctur per se, fiet a' b - a' d ; si vero multiplicetur - a , per b d - d', sici -- a
65쪽
quotiens*- d, quod opere multiplicat.onis plane confirmabitur. Si 'I' fit, hanc . Ouandoquidem si di datur a - b', per animirum cx diuisione supcrercrat, di hct quotiens X i ς qM N hil supereti Dividatur igitur a - b , de praeterca a b, pnil lup. c., . ., oro numeratore ; secundo net ii quidem illo dimis, uri Prim0 Z P ' u litae reuocata - - ; ii illituta porro multiplicatione per b , tractio ima ,
ducetima Φ b quod Ole constat nam pruno si , ducatur in I, fit producruma Vnd si hel idem ducatur , fiet m. Hoc cli a b , ex autem In Φ, fit demum multiplicetur in i, per o b fit b', quaamobrem productum crit hinde si multipli cruriS- - - , per idem b' fiet a Q b, pro denor atore.
Sit proposita 1 raetio H. t. . I nudatur b p . quidem si instituatur diuisio, fiet quoticias a; Sed quo, ni rum-a a' b - 2 a b , per quod diuidatur es Φ a a b Φ b ,& fiet quc
tienS- - , quod facile conii bit si nos multiplicemus - 2 a' b - 2 ab', per Pt ;rcperiemus enim produci a' q. et a b b' . Nihil autem . ex hac superest diuisione. Diuidatur numerator a3 - a b ; atque denominator a ta a b t b', per - a a b - ab ,& fiet q. , numerator ἔ Erit autenta. - - , denominator ; quod si utrunque multiplicemus per a a b , fiet inρ1 . seu . Caeterum si diuidatur . . O . cAM
id quod supra dicebamus es ψε a a b Φ b', per - a V b - a , a
t- - , quandoquidem hoc , nimirum a i , e niet xbr mi virunq; dividatur iuxta Artis praecepta: namq; dum diuidimus Q a , p b , fiet quotiens - -- ut insta . Ad aliam diuisionem quod attinet. Si nos di damus es, per - a a b , fit quotiens - si multip acetur enim - a a p, T- 2 fiet productum Φ a'. Deinde si diuidatur - a b , per - 2 a b , ut qu tiens --; Si enim multiplicem - - per-a a b , fiet- a b ,&ira de ali Iuuiissione silice ipsius a sex a b Φ b per-a es b - a b ; Si enim per - 2 a' b , fiet quotiens - , ex. horum enim multiplicatione , ni mautem A. b , si diuidatur per in a a b' si ' - L Oniaro. Ita etiam de superiori illo exemplo loquentes dum contenderemus, & dicebamus ad hanc reuocari , idque facile declarabitur , & com probabitur. Si enim a - b , diuidatur per Γ - b , remanebit ex lutone , nimirum a b' - b . Si hoc autem residuo, utamur tanquam diuisore ad diuidenouma' et b', fiet quotiens Hre Φ - - , & diuisio nihil relinquiet. Dividatur a re insuper
66쪽
plane constat ex opere multiplicationis ; si enim multiplicemus a b b',
b' ; id autem euidententer constabit - b ex adiuncto Paradigmate. Q a b Deinde quod attinet ad ea , quae secundo loco circa stactiones adnotauimus , significat i; ita si sit - , idem erit quod 1 ; & ita de reliquis intelliget dum est. Ad reductionem quod attinet, qua nimirum sta ones ad simpliciores reducuntur. Esto fractio , , fiet reducito elidendo b; ac proinde reuocabitur ad hanc ; si vero sit , reducetur ad hanc - . Si vero sit , clidendo a , reuocabitur ad , is , de rursus ad . Vel primo, & simul elidendo a b ; diuidendo scilicet a b , & a b d. per a b fiet - . Si proponatur is , reuoca bitur ad hanc Fit igitur diuidendo a' b, per b d; & ita de caeteris. Si nainq: Proponcrctur diuidatur a e, per c d , orietur H . Quod si multiplicetur per c d H, d', producetur a c q. a di quamobrem illa tactio , ad minores terminos reducta erit ἄ- . Prauerea si proponeretur 3. Diuidatur a c, per c d , dc proueniet ὀ- . Hoc autem si multiplicetur per c d - d', fiet a' c - a' d ; deinde diuidatur - b c , per c d , proueniet si hoc autem si multiplicetur per c d - d' , proueniri - b' c-b d ; ac proinde illa fractio erit ad hanc reuocata . Et si proponeretur , reducetur artificio non dissimili ad hanc a'- b'.' Insuper si foret proposita fractio , reduceretur ad hanc: - - - . Si vcro esset ' . Si procedatur iuxta Artis praecepta reduc tur ad hanc Si proponatur reuocaretur ad istam hoc est ad istud intcgrum a b . Quod si foret , reuocaretur ad istama b ; &si praeterea esset reducaretur ad istam , hoc est a
Si proponeretur , reduceretur ad hanc a seu quod idem est - a. Praeterea si mret , reduceretur ad hanc. Fig. idque patet ex dictis alibi . Insuper si seret Hr, reduceretur ad . Nec dissimili modo fractio ista reuocatur ad hanc , quod ex co euidenter colligitur , quod firm F a mones
67쪽
ue a C RENALD. . ALGEBRA NOVA .
ctiones tunc aequales tam , cum si fuerint per crucem multiplicatae , hoc est numerator unius in aenominatorem alterius, & contra, aequalia producunt.
Vtiumque multiplicetur per i a a, & fiet - , commutatisque signis fiet
r mi PReterea si proponeretur tactio ad simpliciorem reuocanda Pr , eodem. o. . artificio ad hanc reduceretur Haec eadem operatio optime etiam perficitur, inuentis diuiseribus tam numerat ris, quam denonumtoris, quemadmodum fieri selet in minutiis vulgarium numer
rum , quamobrem si proponeretur fractio , ad hanc facile reduci poterit, siquidem a a b , numerator scilicet stactionis diuidi potest per a t b , &quidem itistituta diuisione prosilit in quotiente a' - a b: Si autem denominator a' ta a b t b , diuidatur quemadmodum diuidi potest per a l b , fiet quotiens a t b ;quamobrem istactio illa ad hanc reuocata crit . inodo proposita haec stactio etiα - , reuocabitur ad hanc , scilicet 1 quandoquidem si tam a' b - a' d, numerator, quam b d - d , denominator diuidatur per communem diuisbrem b - d , ex diuisione nunieratoris orietur quo trem a', ex diuisione vero denominatoris proueniet d, quo fit, ut stactio illa ad hanc
68쪽
Proposita sit fractio , ad lianc reducetur, nempe quandoquidem si a -b , dicit deretur per a tb, fieret quotiens a' - b eritque numerator fractionis quae' 'sitae. Si vero diuidatur denominator a - b', per eundem dii iussiron a t b , proue nici quotiens a t b , atque adeo stactio illa proposita reuocabitur ad hanc , etiam si eadem superiori methodo ad hanc reuocata fuerit, sunt autem haeduae stactiones inter se aequales.
Voniam superios dictum sit fractionem minimos terminos reuocatam, Dret eri hanc GD , non erit vi re si id demonstratione explicemus ; quam bremia
SI fuerit si acta magnitudo I elidantur b, & d, tam ex numcratore, quis ex denominatore, ut remaneat fractio . Dico fractionem ipsam , si periori fractioni , esse aequalem 'niam enim elidendo b, & d, ex numeratore nos diuidimus illud per b f d. Idem est enim a' b f a' d, ac est productum ex b t d, in a'. Dum itaque elidui tur b, & d, seu quod idem est b t d , diuidimus a' b f a' d , per b t d . Item etiadendo b, & d , ex denominatore , nos diuidimus illud per b f d , idem est enim D t d , ac est productum ex b t d, in d; Si itaque elidatur b t d , diuiditur i, di a , per o ty. At vem in quacumque fractione diuisis numeratore , & denomisenatore per communem diuisorem, fractio proueniens est priori aequalis ; per communem enim illam diuisionem non immutatur proportio numeratoris ad denomin torem, & fractiones aequales sunt, in quibus eadem est proportio numeratoris ad denominatorem. inare si fuerit fracta magnitudo &c. Quod oportebat ostendere. Praeterea illud etiam oportet aduertere . Quando fuerit data fractio , at προ hanc reducitur . Si enim diuidatur a b , per a - b', fiet quot ens a , quo ducto in a' - ου', fiet a - a b , quo subtracto ex a - b , remanet i a b - b , quo tanquam diuisore oportet druidere a' - b', & fiet quotiens - F ἰ- . Si enim sit r. . Diuiso primo membro per a , fiet Hr i at vero si - , diuidatur per - , fit ii deinde diuiso secundo membro, scilicet Q - , per b', fit t -- ; qu mobrem proueniet quantitas q. --, ut dicebamus. Praeterea dictum si aperius fuit. Si diuidatur a - b , per a b' - b , fieri quotientem i et i - t et , nec inunerito. In huius Veritatis pratiam esto.
EAdem est proportio a - b , ad a b - b3, positam. quae est -- q. - i , ad
Praestat autem Ilaec ad numeros transferre.
69쪽
Datis ducissius , pluribusue quantitatibus, siue simplicibus ,
siue compositis ; minimam quantitatem , quae
per ipsas sine reliquo diuidi possit ,
ETiam si ii actionum reductio ad eandem denominationem optinad perficiatur permultiplicationem in crucem; nihilominus cum plerumque producta quidem e purgatione indigeant ; proinde expedit breuiorem viam calcare, qualis est illa, quam in praesentiarum aggredimur. Datae isitur sint duae quantitates a' b, b d , & opo teat minimam quantitatem reperire , quae diuisibilis sit per praedictas sine reliquo , constituantur a b , & b d , in formam stactionis hoc modo , haec autem fractio ad simplidiorem redigatur , nimirum ad - . His autem ita dispositis N . , nunc instituatur multiplicatio pcr crucem, & cadem quantitas proueniet cxmultiplicatione a' b , per d , atque ex b d , pcda', ex utraque enim multiplicatione consurgit a' b d , & haec erit nuntina quantitas quaesita , quae nimirum sine reliquo diuidi potest per a' b, & b d . Datae sint duae quantitates a' b - a' d , & b d - d'; oporteat autem minimam quantitatem reperire, qnae tar quantitates praedictas sine reliquo diuisibilis sit. Diali Mnantur illae duae quantitates datae, ut se habeant per modum fractionis hoc pacto Y iE2- , quae quidem reuocari debet ad simpliciorem , cuiusmodi est ;His aurem iuxta se positis hoc modo multiplicatis igitur decussintim, fiet quantitas quaesita a' b d - c d , mininia sciliceti, quae diuidi Possit per a b - a 'd, & b d - d . Datae quoque sint duae quantitates α' - b , 4: a' t a b ; oporteat autem minimam quantitatem reperire per quantitates praedictas sine reliquo diuitibilem. Disponati tur, ut fractionem constituant , quae ad simpliciorem reducetur talem facta multiplicatione per crucem proueniet a - a b', eritq; a'-ab', quantitas quaesita. Sic etiam variata aliqua litera procedetur; nihil enim restri, num una, vel ali adhibeatur litora, dummodo gradus scalare, ijdem retineantur . Si igitur foret a' c a' d, quantitas una , & alia c d - d & indaganda esset quantit s minima diuisibilis procedatur non dissimili livido , sorent enim quantitates illae disponcndae admodum fractionis hoc pacto , quae ad simpliciorem reuocata erit -; inniti itaque nullii plicatione per crucem proueniet minima quantitas quaesita a' c d ta'd'. Ita si proponeretur inuestiganda minima quantitas diuisibilis per Γ - c , illa si i iidem esset a - a c'. Si vor i quaeratur ininima quantitas diuisibilix per a - 36 a , & a' t ia a t 36 , di Minantur a i modum fractionis, ut vides , quae quidcm fractio reuocari debet ad primititiain iuxta praecepta stiperius tradita,& proueniet Deinde ii
stituta mu tiplicatione per crucem fiet quantitas quinsita a t 6 a - 36 a - aio a. a - 36 a .lta quoque propositis duabus qtiantitatibus a - 2 ---a,&a'lio ala I, quantivis r citetur Pisa - a'tia at 36 a s a' - a S a . Quandoq; vcro postulit esse plures duabus exempligratia tres; tunc oportet reperire
minimam quantitatem diuisibilein per duas ex illis: deinde si haec inuenta tuerit dixit sibilis sine reliquo per tertiam, factum erit quod oportet. Si autem rei criatur mi nima diuisibi is sine reliquo per hanc inuentam, & illam tertiam . Quia vero non rdro accid:t quantitates datas ad simpliciores reduci non posse. Tunc odorici Vn m
70쪽
in aliam ducere; productum enim quantitas erit quaesita. Ut si soret a -ab,&alia Disponantur in modum fractionis , haec primitiva est , neque reducibilis, ad simpliciorent; multiplicentur inter se, & fiet a' - a b', quantitas quaesita.
Qtia Arte traitiones ad eandem denominationem
reuocentili .Hita operatio utilii a est , eaqtie facile ex dictis hactenus constare poterit Propositς sint fractiones , & -gr. Primi, quaerenda est minima quantitas, quae diuidi possit per denominatores a' f, & d f; haec autem erit a d f, quae tam- Tquam coiruium is dcnominator inseruieti ad inueniendos autem numeratores diuida tur inuentus denominator a d f. per a' f, & per d f, singulos nimirum denomina vores datos, & quotientes videlicet d , & a', multiplicentur per numeratores b' d ,& a', propositarum tractionum ut quaesiti numeratores consuraant b d',& a , erunt igitur fractiones a nobis quaesitae Q H, dc Sint fractiones datae Imo,&. Gad. Oporteat has reactiones ad eandem denominationem reuocare; inueniatur minima
quantitas diuisibilis per a' f- a' d, & d f - d', quae quidem quantitas erit a' d f- a' d', deinde diuidatur Γ d f - a' d', per a f - a' d. & d f - d' ; quotientes autem d, & a'. multiplicentur per numerati res b', & a)-b', fient autem fracti a re,& a . Quae utinctius percipiantur adhibitis iisdem praeceptis aliqua
mutata specie idem persequemur. Proponatur fractiones vet, & m- , quas oporteat ad candem denomitiationcin reuocare. Inuenta quantitate minima diuisibili quidem per a' c d , & haec eadem erit communis denominator. Deinde diuidatur hic den minator a c d , per a' c, & c d , quotientes autem d, de a , ducantur in numerat res illarum stactionum, nempe b d, & a', ut habeantur numeratores b= d', & a ;cruntque s actiones quaesitae et is, & . Praeterea oporteat reducere 1-τ, dc: ἴσρο , ad eandem denominationem . Reperiatur communis denominator iuxta re gulas praescriptas, erit a' c d a' d'; quandoquidem si duae quantitates a' c - a'd, ct c d - d , disponantur in modum fractionis, fiet in , quae quidem fractio ad simpliciorem hanc - redigetur , tum vero multiplicatione instituta per crucem . comparabitur ae c d - a' d', tamquam minima quantitas diuisibilis per a' e M a' d,& c d - d', sine reliquo eritque communis denominator. Haec igitur quantitas a' cd - a' d , diuidatur per a c - a' d,&c d - d . Ex priori diuisione oritur quantitas d, ex posteriori vcro a'; modo multiplicetur b , numcrator fractionis . per d, & a , multiplicetur per a t b', numinatorem fractionis illius - , &his multiplicationibus peraitis codem dcnominatore retento habebimus fractiones, eius dein delaominationis, ad quas fractiones, illas redigere
Quod si fractiones fuerint plures duabus non dissimili modo Procedetur. -
, propositae forent fractiones qu.as ad eandem denominati mo inem redigere velimus . Disponantur a - 36 a, & a F i a a 36 , ad modum stactionis ; ut nimirum fractio ista , reuocetur ad simpliciorem ac primitiuuam suam , institutaque multiplicatione per crucein, computemus minimam quantitatem diuisibilem per illas sine reliquo esse M-6 a - 36 a' - 2t 6 a ; atque communis denominator, qui diuidatur per a' - 36a,&a' l. ta a F36, de quotientes ex diuisone orti, nempe a - ε,& ' - 6a, multiplicentur per numeratores propositarum stactionum, & fient aio a ra96, & a - 36 a'-ri 6 a,
eruntque numeratores, eodemque denominatore retento; nempe a' 'F 6 a - 35 a - 216 a, erunt stactiones Istae a.