장음표시 사용
71쪽
Additio Fractarum Magnitudinum.
HAEc fractariim magnitudinum additio non secus fit, ac in minutius vulgarium . numerorum. Oportet igitur distinguere , vel cnim sunt fractiones denomin tionis eiusdem, vel diuersae ; Quando stactiones eiusdem denominationis cxtiterint toportet Carum numeratores adclere , summaeque colicdiae continianem denominari rem subscribere . Oporteat HL, addere ad , summa tractionum istarii in crit' γ', & ita de consimilibus. Quamobrem si fuerit Z: , addenda ad τότ , et D ma' , seu ciuini idem est a', & ita in c visimilibus. Ut si , Oporteret addere ad α'o , seret summa , seu quod idem cst a'. Oporteat ri , adde re ad Dr', fiet sunmia: RE M. D L - Ἀλ. Si vero client stactiones huiusmodi d t rim i g in , neret summa g i, cui si deberet addi a fieret sumitia a t g t lx Si vero fractiones diuerse denominesionis suerint oportet primo illas ex praeceptis iam traditis ad candem denominationem reducere , quo facto procedendum crit, ut paulo antea dictum fuit. Si igitur ad aeta , addere deberemus herct summa Secundo si a d addere oporteret Λ , fieret sumi T . Praeterea si , addere oporteret ad Q - , fieret summa - . Insuper si add re dc remus ad H - ; ; ac demum , fici summa
Quae vet melius intelligant ut . Supponamus fractionem -- , addendum 'lici Q , fiet summa'. Et si sit - , & addi debeat ad - , fiet summa WV Si vero fuerit α - , addenda quidem huic ἀ- : , fici a a b t a a c, seu 2 a, & ita de consimilibps. Quod si istactiones fuerint denominationis diuersae procedendum ut supra dictum fuit. Quamobrem si forent fractiones addendae , & fr. Primo quaerenda ostquantitas diuisibilis per denominatores a' c, & c d , ea vero cisci a' c d , tamquam communis denominator; dcinde indagemur numeratores ut supra docuimus,&cua' dent illae fractiones addendae & harum autem stactionum suilum crit Ita quoque si forent si actioncs addcndae a ma-- a' d'. Item ad ad icndum fiM- , & l- , prouenia summa quidem a V. ' a 1 v. . Praeterca si addere oporteat . P., ad ἰλ. proueniet
Sunto mictiones A v, c D, ducatur at
tem n , quidem in c , ut fiat s . Deinde multiplicetur D, pcr A, ut fiat p, mox autem in unam summam collizantur c , &multiplicetur a , per D , ut fiat u ; ha ut
. eueniat summa G Η . Quoniam crgo η , multiplicans singulas quantitates c, D, s
Hurius quoniam D , multipIicans lingu- η---
72쪽
sicut A, ad a, ita ν, ad H, quare quantitas a re , aequalis erit quantitati e n , & ν u , aequalis erit ipsi A a. At vero ut x, ad v, sic est x u , ad positam quantitatem, dc ut , ad is , ita ν H, ad positam, erit igitur ut aggregatum ex E, & p , ad ii , hoc est O , ad v, ita aggregatum ex ipsis s v, a u, hoc cst cx a a, c Da ad positam ἐ ergo G is , tractionum A a, c D, aggregatum significabit; atque iam samma erit quaesita. Hoc idem aliter demonstrabimus insta.
Subtractio Fractaruin Magnitudinum.
OPERATIO SECUNDA.FRactiones sunt in duplici differentia , quemadmodum de earum additione tractantes dicebamus ; Vel enim sunt denominationis eiusdem , vel diuersae.)Si
Print O modia se habeant numeratorum instituatur sui biramo . atque reliquo coinmunis denominator subscribatur. Vt sit iniunctum a b ,- , subtrahere - , fieti siduum . Ita quoque si ab , oporteat subtrahere t Fb , reliquum V ta', seu quod idem est a'. Nee dissimili modo si abs , subtrahere deber mus t , reliquum fieret Quod si esset ex d t subtrahendum LM, rem neret pr. Si enim multiplicemus d , per l, t d, fiet b d t d'; ob id euadet sta uio
' , a qua si subtraxeris το , remanebit . Ita etiam si ex Het, OUrteat subtrahere , fiet residuum ; Si ver5 esset ex , subtrahenda stactio, fiet residuum a a. Ita eariter si subducere debeamus GP , ex b t - , fiet residuum . Et si foret c t ex hac subtrahere oporteat se a remanebit 't le, oportet enim Dactionem illam integro adiuncto , nem
- , reuocare ad hanc , & illam ad hanc , su
tractoque numeratore cd - ac - ad , ex nunieratore e' t c d t d', & reman bit c' t d'ta e t a d, cui subscripto denoininatore c t d, fiet stactio, ut supra. Si vero fuerint denominationis diuersae. Oportet illas ad eandem denominati nem reuocare , ut superius agentes de fractionum additione dicebamus . Si fuerint stadii os propolitae ἰ- , & , & hanc ex illa sit iniunctum subducere , fiet resi, duum ; Praeterea si ex oporteat subtrali ere Z, remanebit Sit su trahcndum ex a, reuocetur a , ad eandem denominationem, ut fiat γγ:, dccx hac subtraliatur , & remanebit nihil. Si vero illa fractio, quae subtrahi deberet vae a fuisset M. . - , herum reuocato a , ad illam denominationem, ita ut denomis nator sit a γε b, subtractione instituta fiet residua fractio . Quod si foret π a, qaam Oporteat subtrahere ex .vit, reuocabimus illas ad eandem denominationem iuxta pr*cepta superius tradita , ex quibus constat denominatorem esse a c d - a'd' ἔ adeo ut fiactiones illae ad istas redactae sint A:, instituatur u ro subtractio, & fiet residuum &c. Deinde si propositae essent seactiones ut: - , & residuum. id autem hunc in modum perficitur . Reperiatur communis deno minator, puta minima quantitas, quae per es pro a Fas,&a3 - asa, diuidi possit; ea vero est a'-s a - 11s a, quae si diuidatur per a' - as a, fit quotiensa I , at si diuidatur per a' q. ro a a s , fiet quotiens a' - s a , ductis his in numer tores , nempe a 4 s , in ias , fit ias a cas ,&a - as,ina' a, fiet a' - 3 o a' q. iis a , unde stactiones huiusmodi prouenient α
atque hunc in modum stactiones illae redactae fiant ad eandem de-n minationem : praedictarum autem stactionum differentia est i QR ndo eκ integro subtrahi debet fractio, vel contra integrum reuocetur ad Dastionem eiusdem denominationis, & absoluitur operatio, ut supra; quare CX a su uiato remanet Q , ut infra quoque dicetur. G Demonstra-
73쪽
Demonstratio subtractionis stactionum cliuersae denoniinationis, cum fiat per mula. - tiplicationem in crucem sic se habet. Sumo fractiones A a, c o, hac quidem - tio . subtrahenda , & illa sit a qua fieri debet
subtractio . Ducatur A , in D , ut fiat a , deinde multiplicetur z , per c , ut fiat p, subtrahatiir p, ex x , ut remaneat G, multiplicetur deinde a , per n, ut fiat is .co G u , fractionem esse reliquam subtra
Quoniam a , multiplicans singulas c, D, facit singulas p,u, crit ut C , ad D, ita F , ad ii i Insuper quoniam n , multiplicans singulas A,s, facit singulas E, H, erit ut A,
nominatorem ii , proinde erunt inter se , ut numeratorcs E, F . Quoniam igitur x H ,s ii eundem habent denotiunatorean is , crit ut E , ad r , Ita v is , ad F u crgo diuidendo e s, minus F, ad s. ita v ii, minus F is, ad F u , di quia fractiones r', sunt eiusdem denominationis, crit ut F , ad G , ita ν is, ad c ii , quare cX aequo Crat V minus ν, ad c , ita a i , minus p u , ad G ἰ At vero Ε , minus p. ad G, habet proportionem aequalitatis, subtracto cnim F , CX ε , r anet G , c O n u , minus v H , ad O n, aequalit s proportionem habebit; cst autem E H , minus v is, differentia inter v si , & p M , proinde o R, erit differentia supradiciarum iraetionum x es sunt ostensae Liuales A a,c o , ergo oti, erit discrentia princinarum liactionum A a,c o. Quod oportcbat ostendere.
Vel sic , & primo stactiones eiusde .
. sint denominationis, Sint fractiones A s, c a, & ex A e , su
tres enda sit ea. Detracto prius c, nume--. ἀν-- ratore minoris fractionis , cx A , numcr ' tore maioris, fiat reliquum o , cui idem denominator a , supponatur. Dico facta subtractione iam dicta residuum esse c o . Quoniam erum C , subtracto ex A , romanet v, componetur A, ex c, & D. Fractio igitur A s , culus numerator A , num ratoribus e D, coiectus cst summa quidem cit duarum fractionum C a , D η , ut cor
stat ex elementis. Detracta igitur ii δή i' p
Quod si fuerint denotrimationis diuer s
et '' minatores h o , sint diuers,& minor stactio e D, subtrahenda sit ex maiori A v, Ex mnumeratore minoris in a , denominatorem maloiis proueniat E , & cX A , denoman tore nuioris in D , denominatorem minoris proueniat r ; subta actO E , ex ν, reni: net o, cui supponatur denominator M , fictus ex mutua multiplicatione denominato rum x, D. Dico fractionem c u , esse residuum proueniens ficta subtractione fracti nis c o, ex mictione A s . Quandoquidem D , multiplicans A , 2 , facit p M , crit ut A , ad ita p, ad ii, ut autem Α, ad x, ita est stactio A ad integrum, ut constat. Erit igitur etiam vi p , ad ii, ita fractio A B , ad integrum . Deinde quoniam s. multiplicans c D, facit a M. erit ut c, ad D, ita a ad H, ut autem c , ad DHra cst fractio c D. ad integrum ergo erit quoque, ut x, ad H, ita fractio C D, ad integrum .
t Oniam igitur est ut a, prima quantitas ad v, secundum, ita stactio latearum quartem.&vio, quinta ad eandem ii, secundam, ita stactio G ii, sexta ad idem integrum quartam, propterea ut a, o, prima, & quinta simul ad ii, secundam , ita stactiones c o, o R. tertia, & sexta , simul ad integrum quartam.
74쪽
Vt auteni v o, limul ad u; ita cst p. ipsis v c, aequalis cremanet enim G, fi s, sub trahatur ex FI, ad eandem quantitatem v , proinde crit Ctiam , vi r , ad M , ita stactiones C D, G ii, simul ad integrum. Cum igitur demonstratum fuerit, ut est r, ad u , ita esse stactionem A s , ad int grum crit pariter , ut stactio A st, ad integrum , ita fractiones c O , o u , simul ad c 'erusio. idem integrum, quamobrem fractiones c D, G ii, simul aequales erunt stabioni , a , subtracta igitur iractione c D , ex stactionc A v, remana fractio o H, quod erat opo rae pretium Ostcsdvrc.
Multiplicatio Fraetarum Magnitud: mim op ERATIO TERTIAE AD hanc operationem perficiendam procedendum est , quemadmodum in sta
ctionibus vulgaribust. Ducantur igitur inter se magnitudines superiores nimirum, de inseriores, hoc est numerator in numeratorem, & denominator in deitominatorem.
Iniunctum sit multiplicare , per b, producetur quidem , hoc est a pl. Ita issi opus sit multiplicare per Σ , producetur . Praeterea sit iniunctum multiplicare v, per , producetur , eodem modo si H , oporteat ducere inb , producetur , hoc est a'. Insuper si - , ducatur in --, producetur Deinde multiplicandum sit --, per - , multiplicetur a b, per d k, &producetur a b d k; deinde multiplicetur g , per f, dc fiet f g ; quamobrem productum erit Debeat insumo multiplicari per & producetur , Praeterea oporteat muli licare . per de producetur Cum autem propositae essent tractiones .&AHid , ita ut illa per hanc duci debeat. Quoniam α' c - a' d - b' c-b' d, & e d - d , reduci possunt ad simpliciores a' - b', & d , quemadmodum , & a - a b 'x q. a a b Q b ad a - a b, & a b; propterea loco multiplicandi a' c - a' d - b' c-b d , per a - a b , multiplicare oporteat a' - b', per Σ' - a b,& Ioco multiplicandi Γ Φ a ab ,εε b , per c d - d', multiplicare oporteat a b , Per d, fiet enim producti L. Hie autem aduerte huiusnodi aniticium.
Ad has igitur illae fractiones
reuocatae sunt, ad has inqua . , & 'U: , quae, ut melius percipiantur aduertendum est pragmatum in eo consistcre, quod si fuerint duae stactiones verbigrotia diuidatur 36, numerator , & 9 , denominator per communcin diuisorein , isque sit 3 ; proueniet autem I a , & 3 . Deinde diuidatur 6o, numerator, & 8 denominator per communem diuiserenia, isque sit 4 , & fient a. & is , unde erunt stactiones - , &-, quae inter is ductae hoc est multiplicatis numeratoribus, & denominatoribus tantum producetur, quantum fit ex multiplicationet seactionum initio propositarum , qua de re alibi fusius . Quod si stactio multiplicari debet tar intearum; disponatur integrum ad modum fractionis subscripta unitate pro denominatore quamobrem si multiplicare de Minus a - b', per , ipsi a' - , . subscribi debet unitas, ut fiat', numerator autem a - b', & denominator a Q b, reduci debent ad a - b, & i; multiplic
75쪽
seu quod idem est a - a a b q. a b . Ita pariter si multiplicare deberemus b Pur'. F, intelligatur integro b, subscripta unitas , ut fiat - , instituta multiplicario ne inter numcratores ad invicem, ut de inter denominatores iter productum At ucro si multiplicare oporteat a 'F : et, a - a b- - . Integrum illud a reuocetur ad fractionis iraturam , & proueniet , multiplicandum pcr, ad hanc enim stactionem reuocatur illud a - a b , quoniam igitur a' - a b-b , di a - b , reduci postiant ad a - b, & i ; Propterea multi plicatis a' - ab ,εε b , per a - b , & a per i , prouehi et stactio sequens, nem , seu quod idem est a' - a a b q. a b L ; Si enim diuidamusa - a a' b H et a b , per a , fiet quotiens a - a ab Φ a b , solaque particula, - b , diuisionem non patitur, quam proinde m symbolo significamus. Insuper iniunctum sit multiplicare a per a - b, quoniam igitur a per a 'b, facit a' - a bi & per a - b, facit Γ', proinde quaesitum productum erit δ' a b ψε b'. Nee dissimiliter si multiplicare oporteat ite, per a' - b'. Quoniam igitur a - b fit ex a H b , in a - b , &-, ductum in a H. b , producit a' - a b , oportebit multiplicare a ab pςr a - b, ita enim proueniet a - a a' b ih a b ; haec aut ccrnere licet a latere. Hoc igitur modo euitari potest ascenses ad altiores gradus parodicos , ad quos deueniendum seret vulgari in thodo . Denique sit iniunctum multiplicare rufi El, per c d . Diuisis c d - d . per c d, proueniet et a Cum enima ab Γ b
a' - a a' b se a b multiplicatio restituat, quod diuisione deperditur , proptereaquod diuidatur a - a b , per c d - d' ,'si minuatur diuisor, siue denominator quantum importat illud, in quod ductio tacienda est, prinueniet quaesitum, atq; illud erit , tantum isitur ex hac proueniet multiplicatione. Deinde si multiplicari debeat , per fiet productum . Item si multiplicetur a' ἀ- b' per ξροῦ , fi productum Praeterea sit iniunctum multitiplicare , per - ἱ fiet productum insuper, multiplicandum per a a a D, fiet productum . Quando vero datae frictiones ad simpliciores reuocari possunt, expedit id quidemessicere, quandoquidem hoc pacto ipsae fractiones elegantius tractantur, ut unicuit perspicuum esse potest. Si proponeretur multiplicandum a qε - , per a - a b ' , ducatur 'F a , in b , fiet productum a ab , cui subscripto eodem denominatore fiet stactio mox autem a - a b, repertum silicet in illa fractione a - a b t Q , ducatur in a , fiet productum hoc silicet D 't ', multiplicentur autem numerato res, atque denominatores inter se, fiet productum , seu quod idem est, ut siperius dicebamus, fiet a' - a a b ψε a b -- Rursus si fiterit miltiplicandum , per a', fiet productum - Deinde si multiplicandum foret 1, per a b, fieret productum In super si sit opus multiplicare : ri asta, per 3 a' - 3, fiet . Quod si deinde nos ducere deberemus - ἰ - , i praestabit ad simpliciores, propositas i actiones reuocare; & quidem τατ ιa - 3 a' b q. a b
76쪽
ct hanc , & aliam puta , ad hanc ,- , si itaque instituatur mulitiplic tio tam inter numeratores , quam inter dcnominatores, fiet productum . At si neglecta reuocatione ad simpliciores, pr dii tum extitisset huiusmodi - .
Propositum sit multiplicare d Sio , . Cum it que si multiplicetura, per d - b , producatur d' - b d , &ω- o , per d b, faciat b', proinde quaesitum productum erit d - b d ' b In hoc exemplo supponimus magnitudinem d , maior esse quam b, quod si b. ssiret maior quam d , non diffiniti modo procederetur . Sit igitur multiplicandum dῆ . , per b - d, fiet productum b d - d' i b'. Quod si deberemus multiplicare
etioncs A a , c D , ducantur numeratores
intcr se, sicut, I denominatores , ut fiat fraelio E p. Quoniam igitur ractio si et ionis K ν, ad C D, componitur ex ratio tionibus ipsius η , ad c, & n, ad ν ἐν ratio vero quantitatis A a , ad positam componitur ex ratione ipsius A , ad unitatem, &vnitatis ad a , ut autem est A , ad init hicini sic est κ, ad c, & ut unitas ad a, sic o, ad F. ergo per aequalem proportionem Crit quantitas E P, ad quantitatem c D , ut ouantitas A a , multiplicans Il sit anxia ;crgo, & x p, erit proueniens quantitas ex ductu A a , multiplic is in e o multiplia CZtam; Quod erat operae praetium ostendere. r' ' Aliter clim sic
Sit stactio A a , per stactionem c o, multiplicanda. Ducantur numeratores A , C, inter se , ut proueniat s , cui subscribatur p, genitus ex multiplicatione denominatorum v , D. Dico stactionem v ν , procreari, ex multiplicatione stactionum A s , C D , inter se. Ex ε, in D, fiat o,& ex C, in F, fiat ii ; erit propterea , ut sta-
ctio a s , ad stactionem c D, ita G , ad H. Si numerator enim unius stactionis inta denominatorem alterius, de contra insuper ducatur, prior stactio , ad posteriore: est, ut primum productum, ad secundum quod facile potest ollandi . Quoniam
autem c , multiplicans A, F, facit ε, is, crit ut A, ad F, ita a , ad v, & permutando, ut A, ad Ε, ita F, ad u.
P cui se quandoquidem o , multielicans a , & a, facit o, & ν , erit ut a . ad a imo, ad ν, ex aequalitate igitur perturbata erit, ut a, ad e,ita G, ad it; sed ut o. ad n ostensum est si actionem a r , esse ad fractionem c D , & ut A , ad a , ita est stactio mi A n, ad integrum numerator enim cuiuilibet stactionis ad denominatorem eiusdem candem habet rationem, quam fiastio ad int grum, quod facilE etiam constat 3ersto erit quoque, ut fractio a s , ad stactionem c u , ita stactio A a , ad integrum PSpterea, in constat. ex definitione multiplicationis, semio x ν, producetur ex multi, plicatione stactionis A a, in stactionem c o. Quod erat operae pretium ostendere.
77쪽
Applicatio, seu Diuisio fractarum Magnitudinum.
OPERATIO QUARTA.FRactiones, aut sunt appellationis eiusdem, vel diuersae. Si sierint eiusdem arpellationis Applicatio, seu Diuisio hunc in modum instituetur . Sit iniuncte' diuidere , per ,- . Diuidatur a b . per b', neglecto denominatore d , fiet quotiens a b . Praeterea si sit opus diuidere , per hanc stactionem het quotiens , vel quod idem est Γ ἱ- . Cum enim negligendus sit d nominator , quia communis est utrique stactioni ; ob id perinde erit diuidere quotientes, hoc cst numeratores, diuises per denominatorem, ac cit diuidere numer ratorem unum per alium. Vt si - , diuidi debeat per - , perinde est diuisedere 8, arquipossentem ipsi u , per a , aequipollentem ipsi , ac est diuideresso, numeratorem per io, itidem numeratorem ; ex utraque enim diuisione prou nil . Caeterum fractionem illam , id est , reduci ad hanc , secti Econstat ; nam si diuidatur a - a b , per a ) b , fit quotiens a' - a b . Si per idema t b , diuidatur hoc trinomium a' t a a b b', fiet quotiebs a t b ; quamobrem illa fractio . reuocatur ad hanc . At vero si diuersae appellationis , siue denominationis extiterint, ad eundcm d nominatorem per multiplicationem in crucem reduci debent , quemadmodum ficri solet in fractionibus numerorum vulgarium . Sit igitur iniunctum diuidere , per De pa D, instituta multiplicatione per crucem fiet quotiens verb diuidi deberet γῆς, per , non dissit
modo procedentes, comperiemus quotientem esse. Praeterea sit iniunctum diuidere H - , perd, fiet quotiens . Rursus Oporteat applicare b d , a d , ducta utraque ma- ,
gnitudinum in f, & facta applicatione ud a , numeratorem, fiet quotiens V. Quod si proponatur q'- , & diuidi debeat per - , orietur'. Ita si applic tur b c ad eadem multiplicatione per crucem, proueniet quantitas Denique oporteat applicare ad erit magnitudo ortiva s . Si Vero proponatur Damotaes , quarum una per aliam diuidi debeat, & una vetalicra, aut etiam utraque ad simpliciores reduci possit. Tunc debet prius reductio fieri, postea procedendum, ut prius; redactis enim fractionum numeratoribus, atq; dcia ominatoribus ad simpliciores terminos, operatio ipsa facilius exercetur, ac longe elegantius perficitur. Quaimbrem si darentur stactiones . H. ταοῦ , & , adeo ut illa per hanc di uidi debeat. Reducantur numeratores, qua reductione secta , erunt numeratoresa - a' b t a h' - b , & a ; denominatores vero erunt a - b, & i , adeo uu stacti nes illae redactae sint ad has ':J. 'in' , de - . Constabit autem ex in ppo sto paradigmate, ducto a - a' b t a b - , , in a t b, fieri a' - b ; ac proinde di-
78쪽
diuidens a' t a b , reddat a, diuidens autem a' - b , reddat a - a' b a b b , erunt numeratores, ut diximus , at veroa - b , diuidens se ipsum reddit i , diutidens autem denominatorem alterius i Metionis , nempe a' - a 'a b Φ b' , reddua - biproinde erunt denominatores , ut dicium fuit; at vero si fractiones illae r uocatae fuerint ad has, nempe& - - , erit illa per hanc diuidenda , quod perficiemus multiplicando a - a' bl a b' - b', per i , ex quo nulla sequitur immutatio; deinde multiplicando a - b, per a , Se producetur a' - a b, ille erit numerator hic autem denorauator, adeo nfiat quotiens Demonstratio sic se habet. Quoniam
ratio quantitatis A a, ad quantitatem ε ν, componitur ex ratione ipsius A , ad a, &ratione ipsius p , ad a ; & ut A, ad x, itata B Dunitas ad D , & sicuti s , ad E , ita c, adubitatem,& ratio quantitatis c D, ad po- Esitam componitur ex ratione ipsius c, ad unitatem, & ex ratione unitatis ad D, er- Fgo per aequam proportionem ratio quantitatis A E, diuisae ad quantitatem a p, prouenientem, erit ut quantitas c D, diuidens ad positam; ergo ex diuisione quantitatis A a, per quantitatem C D, prouenit ν p .
Quod erat ostendendum. Aliter etiam haec eadem operatio demonstrari potest haec tamen attulisse sufficiat. Subijciam autem hic nonnulla, quae valde prosunt Analystae.
DVorum laterum aggregato, differentiam eorundem addere Latus unum esto a , aliud vero b , horum ainegatum est a Φ b, differentia' vero a b, qua addita ad aggregatum praedictum m a a. Hinc .
AGgregatum duorum laterum additam differentiae eotiandem aequale est duplo
DVorum laterum aggregato eorundem differentiam subducere. hsdem positis lateribus aggregatum erit a t b, differentia vero a - b, quia Minda. eubtracta ex aggregato iam dicto, fit residuum a b. Hinc .
79쪽
egatum duorum laterum multarum differentia eorundem , a quale est d, o lateris minoris.
Vin idem latus contrahitur inaequali decremento, alterum ex altero subd Εκ upponamus esse subtractum b,&ex eodem subtractum esse e ,& oporteat ex a - b, subducere a -- e; subtractione facta remanet e - b. Hinc .
SI latus inaequali minuatur decremento , differentia contraditonum , aequalis est
CVm idem latus protrahitur inaequali cremento, alterum ex altero subducere. Sit lateri a , additum b, ut fiat a t b, itentque eidem a , additum sit d, ut fiata i d. Oporteat vero ex a t b, subducere a t d, residunm fiet b - d. Hinc .
SI idem latus inaequali augeatnr cremento, differentia protractionum aequalis est differentiae protractorum.
CVm idem latus protrahitur , & contrahitur inaequali cremento, & decreme
io, alterum ex altero subducere.
Sit latus unum a , cui additum sit b , ut fiat a t b , & ex eodem a , subtractum sit d, ut remaneat a d, quod subtrahendum sit ex a t b , fiet residuum b Η, d.
SI idem latus potrahatur, & contrahatur inaequali cremento, & detremento differentia potractae, & contractae aequali. est aggregato protractionis, & con tractionis. Dae
80쪽
ENESIs iniustui usque potestatis opere multiplicationis eo aratur. Quoniam vero duplex est potςstas , alia nimirum pura , & alia affectia ι propterea dictante naturae ordine primum de senesi purae potestatu sem nem instituemus, de quidem a binomia radicς. - --..
Potestatem puram a binomia radice componere. Sit binomia radix a t e , constans ex duobus nominibus a , ερ e , oponeat verbpuram potestate componere. Sit autem primo componendum. a te quadratum . intoniam igitur latus a t eductuin in se facit quadratum; duca --tur proinde a te, in a te, dc collia a e t e gantur essecta singularia plana , eata x t a eque sunt a', a a e, e . Quaequidem
propterea sinuat iuncta aequabuntur a tracte quadrato ex a t e. Erit auxera. s.
SI fuerint duo laterat Quadratum lateris primi, plus duplo plano a latere primo in latus secundum, plus quadrato lateris secundi aequatur quadrato aggregata
Latus unum esto a , alterum autem e. Dico es, plus 2 a e, plus e , aequari quadrato ex a i c. Huius Theoremati veritas ex opere multiplicationis innotescit.
Quoniam igitur latus ductum in sui quadratum producit cubum. Ducatur a t e, in expolitum quadratum ex a 1 e ; & colligantur eaccta singularia solida . Ea vero sunt ', 3 x e , 3 a e , e ι quae propterea simul iuncta aequabuntur cubo ex a t e. Erit aulcm.