Institutiones philosophicae ad studia theologica potissimum accomodatae. Auctore Francisco Jacquier ... Tomus primus sextus Quo elementa arithmeticæ, algebræ, & geometriæ continentur

51쪽

m ELEMEFπA ARITHMETICAE divisionis omnino patet. At si divisione instituta, ad unitatem tandem, ultimum residuum, perveniatur, iam nulla est mensura Eademiane est operatio in quantitatibus litteralibus, in quibus tamen nonnulla ad verti debent ordinatis, ut fieri solet, divisoris, dividendi terminis observandum est, an singuli termini diviseris,in dividendi possint dividi per monomium aliquod

commune tunc enim facta divisione,

ni debet divisor ille, per quem deinde, laeta operatione, multiplicabitur divis r communis iraeterea dividi debet, si fieri possit

polymmium utrumque per quantitates, quae primum terminum accurate dividunt negligitur autem diviso ille, nisi idem sit induq-bus polynomiis. Tandem si coefficiens pri-im termini in divisere non possit accurate dividere primum terminum in dividendo ita multiplicari debet dividendus per quantitatem Uinc , ut accurata succedat divisio: aut etiam, quod idem est, ut messiciens sim, plicior fiat, quaeritur maximus communis divisor utriusque messicientis, per quem divisor ipse dividitur, dividendus autem perqu tum divisionis multiplicatur. Tola operationis ratio patet. Si enim multiplicetur, aut dividatur polynomium alterutrum per sua titatem aliquam , quae accurate non dividatyolynomium alterum 'idens est, 'n m tari ci munem polynianiorum divisorem .

Sed res exemplo fiet magis manifesta . Sint lynomia duo

52쪽

Quia vero singuli termini sunt divisibilo pera, fit divisio habetumue

--- - - - aba da dPer hanc quantitatem dividitur primus divisor, quotus ita ut ante negligitur:

residuum est M' Ma - da quod divisum per b, fit a --ba bd da; per quod residum dividatur ultimus divisbr, quotus est residuum aba bi ad . abd quod dividitur per ab ad , Quotus est a se , qui est ultimus divisor sine ullo residuo ac proinde a -- est

rumus divis, conmunis. Tota operationis series facile demonstratur paucis observatis Mensura quaelibet comminiis, quantitatim duarinia, hisex tur quoque illarum summam , vel disserentiam 2 b. Nam sit, quotus emergens ex divisioneis per x , -- tu ex 'divisione per x nempe m z,&n I; erit α; mx, nx. Quare m m n x. . . . et L Si di mensera quantitatis alicujus, evidens est, eam fore mensuram eiusdem quantitatis, cunque multiplae ..... contineatur in a quoties unitas cominetvit in m , sitque praeterea residuum aliquod quantitas quin libet, quae exietur a. Wb merietur quo

53쪽

ELEMENTA ARITHMETICAE metitur quoque m ejus multiplum ac proinde metitur quoque a - , ideoque lmb. Si residuum c contineatur in b, quo etie n continet unitatem ; sitque praeterea aliud residuum diit ut d, b d x metietur etiam d. Nam l ex hyp. x metituris, atque etiam c ex sdem. . Ergo metitur etiam c no d. Quare cum subtrahendo beXa, quantum fieri potest, residuum c metiatur Aitemque subtrahendo ex , quantum fieri potest, residuum metiatur x ita dein ceps de quolibet residuo quantitas X comis munis mensura ipsarum metietur residuum quodlibet residuum vero ultimum,

quod praecedens residuum metitur accurate, erit communis mensura piarum .a, b.

Nam ponamus, residuum illud est d, quod

contineatur in , quoties unitas contineturinis ergo d. Praeterea H-c,

ne -- sedra metitur c quare me tietur etiam nc; - - b. Quia vero metituri c, metietur etiam m-c a ideoque erit mensura communis inter a , b. Tandem erit maxima communiscinensu rari nam mensura quaelibet communis inter

metitur aha d ex dem. sed maxima mensura ipsius d est ipsa quantitas d ergo erit maxima communis mensura inter , ' Demonstrata ergo est vulgata maximi communis divisoris regula. VI. De fractionum communi divisorein numeris primis pauca addenda supersunt , quae deinde utilitatis maximae futura sunt.1 duo muneri a 4 fuerint primi inter

se, tertius autem numerus c metiatur primum a hic erit primus respectu b. Nam si a

54쪽

suram communem contra' pothesim . . . . . .

. Si duo numerici, sint primi respe-Et c productum ab erit quoque numerus primus respectu c. Nam productum ex duobus numeris a &h nullos potest habere divisores, nisi vel numeros ipsos a &4, vel partes illorum aliquotas, vel alterutrius numeri multiplos Sed numeri a non possunt esse divisores numeri , cum respectu sint numeri

primi ac proinde partes illorum aliquotae divisores esse non pos unt. Tandem sici di-yidi posset per numerum aliquem multiplum ipsus , dividi etiam posset per ipsum numerum contra hyp. . Quare sici, sint numeri primi respectu, productum ab

ratione Ii sint numeri prirni inter se, erit etiam a numerus primus respectu,; nam ponatur erit ab a 4 de que a erit numerus primus respectu Similiter c, erit numerus primus respectu a. . . .

L. Si duo numeri a sint primi respectu numerorum , is producta ab & cderunt quoque numeri primi inter se. Nam ab est primus respectu , ta ergo cd erit primus reipectu ab Quare etiam si sint numeri primi erit a numerus primus respectu Et generatim productum ex numeris primis quibuscumque divisum per productum ex aliis quibuscumque numeris itidem primis ad simpliciores terminos reduci non

potest Quare si, si friatici ad minimos. numerus primus respecturi pari

55쪽

ELEMENTA ARITHMETICAE terminos reducta erunt quoqRes Ἐνους fractiones ad simplicissimos terminos reductae ac proinde factio quaelibet sive pura ,sive mixta ad potentiam quamlibet .ve

semper manet fractio. Schol. Praeter fractiones in hoc Capite explicatas considerari etiam debent fractiones, quae idecimales appellantur. Illi italicet iramones pro denominatore habent unitatem cum tot requentibus cyphris, quot sunt numeri in numeratore' adque eam ob causam non scri---. bitur denominator , sed numerator dumtaxat, cujus numeris praefixa est virgula, alii punctum praefigunt, quod fit, ut numeratora numeris integris distinguatur . Ita ad e perimendam fractionem I scribi soleti :4. Ad exprimendam fractionem a I scribitur isti in cypho numero' praefixa in is de auratorem esse Fractio i E. ita exprimitur 9 Ex fractim ainm-decii lium significatione patet , priumum numerum post virgulam designare d cadas, secundum centenarios, ita deinceps

Me alium utilitas maxima est ad obtine diuri piorum proxime verum, si divisio accurate fieri non possit. E. G. Si dividendus WNonatur numerus 14 473 π G, qu tus in nitur o cum resiam 4I, cui ad datur, dividaturque I I per 36a, quotus erit

56쪽

o in nova tandem divisione quotus me

lix quod utem remanet 182 , iterum ividi posset , sed operationis ordinem exhibuisse satis sit. Quare quotus est O ,3 , quem quidem accuratiorem esse, vi dens est. Eadem methodo fractio vulgaris in se ctionem decimalem reducitur . Si fractio F in fractionem decimalem reducenda proponatur, numeratori addatur, dividatu que per , quotus est cupa residuo a cui addatur, rursusque a per idividatur,

quotus est ue sine ullo residuo quare πλ73. Et requidem ipsa, cum sit et quarta pars

numerici , numerus 3 erit ejusdem numeri I . Hinc generatim patet, quo artimcio fractio vulgaris ad decimalem reduci pes

sit multiplicetur nempe numerator fracti ni datet per Ioo, vel Io inc, productum illud divisum per denominationem erit numerator fractionis decimalis , cujus denominator est Io , vel I o c. Saepe tamen contingit, fractiones ad decimales accurate

reduci non posse, etiamsi divisionum residuis lures utcunque cyphrae addantur. Id autem acile dignoscitur, si nempe ad idem residuum semper perveniamus, vel si iidem numeri e dem ordine redeant. Ita si fractionem Caddecim lem rediicere volueris , invenies 7i42837r42837i a M. nec unquam per

venies ad divitionem accuratam Vari modo

ad reducendam fractionem in decimalem ipvenies o . 16666 c. In his autem au bua

57쪽

M . LEMEN ARITHMETICAEhus suas, vel tres primas decimales adiabe- et sat sit, reliquae autem negligiantur. Itasioni possunt i Q, 37, a m qin. Haec quidem pauca satis esse possent iis , ut demonstritionis leveritatem non quaerunt; sed rem utilissimam generatim, Womnino Paccurate ostendemus. Si in fractio vulgaris

r. educenda ad fraestionem decimalem in qualis exprimit cyphaearumnninerum, Pona' turque a numerus integer, --.

aequalis sit alicui potestati ipsitus a , vel 3 Vel a 1 vel tandem producto ex aliqua po--state imas et in aliquam potes bire ipsius 3, quae tamen potestates sunt minores, quamn Ionitur enim, framonem e esse ad muqnimos terminos reductam, hoc est, p,', nullum habere divisorem communem In alio quolibet casu fractio -- numqquam fieri poterit numerus integer, AN tamen quo major eritis, hoc est, quo plures erunt cyphra in denominatore, eo ma-

gis fractio laccedet ad fractionem . . Si

enim

58쪽

tus qui minor erit, justo ma)or fiet, si

Quatuor Arithmenticae operatibnes in fractionibus: dec libus eadem omnino ratione, qua in numeris int is trinantur; sed habenda est maxime ratio virgulae, qua fractiones ab integris dirimuntur. Haec virgula in eaden linea verticali jacere debet, si plures quantitates vel in unam summam collia sena sunt , vel ab invicem subtrahendae. vero multiplicatio instituitur, eum locum in producto occupare debet virgula, ut toti dem post se notas relinquat, Quot erant in utraque fractione Tandem si divisio peragitur, dividendi numeri decimales notae probe observanda sunt; nam in quoto, divis re simul totidem esse debent post virgulam,otae, quot erant in dividendo. Quatuor iu

59쪽

a 7 a 3M . 93273, 7 73Unum autem in divisione nota uni est. Si nempe in divisore plures occurrant notas decimales, quam individendo, tunc decima- sibin viridendi adiui s quot volueris P phras ita ut tamen notae decimales in dividendo plures sint, quam in divisore, ut nempe in quoto aliqua decimales notae' possint. Tota operatiomam illarum ratio statim manifesta et, si fractiones deci- males vulgari modo exprimantur . Ita ine emplo divisionis praecedentis , 43 -

ctio prior persecundam evidens autem est, cyphram unam dumtaxat in quoto adesse , hine facile intelligitur, cyphrarum, a rum in quoto esse temper aequalem cyphrarum in divisores, dividendo differentiae. Generatim, quin multiplicationem spectat, si M'

60쪽

si σε sit denominator tractionis unius decia mali , io alterius; d. ominator produm eriti omi Quare, misi denominatore productum habere debet tot partes dec:male 'seu numeros post virgulam, quot sunt unitates in min. Contraria ratione in divisione de

nominator non erit Io i 1e 1 m- . ideoque - exprimet numerum cyphrarum'

quae post virgulam in quoto cribi debent.'

De radicum extractions.

L, Explicavimus a in Capite as quid

Ita sit potestatum sormatio . Ouantitatis alicu)us potesas prima, ves primi gradus est quantitas pia litari spectat . ita prima potestas ipsius a est a Produitum ex quan titato aliqua in seipiam dicitur potesas j cunda, vel etiam quadratum ita a est uua dratum. Ipsa autem quantitas dicitur, radix . quae vocatur quadrata, si potestas sit secun' da, vel quadratum. Si quadratum in ipsam quantitatem ducatur, productum dicitur sto tesos tertia, vel rebus, ita a est cubus plius a quantitas autem dicitur raus e taca . Et generatim si quantitas evehatur ad potestatem, cu)us index est , habebitur potestas gradusis. In hoc autem Capue prisiirrtim considerabimus radicum quadratae cubici extractionem quod ut clare sat psam suadratio cubi formationem primum inyestigabimus, atque deinde ad parationes arithmeticas recto ordine progrediemur. Sit quantitas litter iis a sera ad quadratum 'vehenda, proditisa 'i' a ab H G. Iam v Iach T. III. C in