장음표시 사용
71쪽
E MENTA ARITHMETICAE quod patet; nam quantitates illae ad potestates non respective vehuntur simul deprimuntur. Probe autem notandum est dissime inter quantitatiun multipsication a aliarumque potestatem. Ita si multiplicari de beatis per a , productum fit a - , aut mi quantitas a ad secundami testatem evehi debeat, habetur m. generatim quantitas a M ad potesta tem n evecta si amn Quare multiplicatio sit per induis Mitionem, potestas autemper multiplicationem Contraria ratione di visio fit per exponentis subtractionem, cra-- dicis extram per exponentis divivonem.
Ita At si ex asi extrahendast radix quadrata est gene ratim pro divisione a at
pro radicis, extractione habetur sinquantitates sint simplices, brevius per exponentes, quam per signum radicate , expri
V. Quantitates irrationales, sive incommenthrabile saepe in hoc capite nominavumus; revera autem tales dari quantitates, evidens est ex capite praecedenti, 0 quod monstravimus, fractionem sive puram, voniixtam in fractionem semper abire, etiamsi ad potestatem quamlibet eVehatur. Ergon merus anteger, cujus radix quadrata cubita&c non est numerus integer, nullam fra-
.ctionem nequidem latam pro adice habere Ictest, ac pro ade uous numeri ad est
72쪽
est incommensurabilis. Itaque numeri in Commensurabilis non sunt numeri proprie dictia Et re quidem ipsae, uino nima rum nihil alii intelligamn , quam rationem quantitatis cuiusvis . ad aliam e uidem generis quantitatem , in struit Milone , vel numero existere necessum est partem aliquotam, quae sit utrique quantitati communis; at quantitates inter se incomm suxini tali carent mensura ita Vri non et . numerus proprie dictus, quia talis quantitas prc prie non existit, eaque inveniri non potest. Irno fractiones proprie non dicuntur numeri, ni liquatenus ad numeros integro redo cantur.
Et quidem fractio , exprimit qua
tam partem totius alicujus ter uinnam . ipsa ad numeros integros refertur haec enim quarta pars velut alia unitas consideratur,it antea observavimus . Rem arithmetico exemplo illustrabimus. Si ex numero 7 extrahenda ponatur radix quadrata, haeci venitur minor quam cum 9, major quana et, cum q. Igitur radix quadrata numeri continetur
intra limites ain 3 ac proinde si posset
determinari, ea foret aequalis numero et, &alicui numero fracto, sed fieri non potest, ..ut ramo mixta per se ipsisu multiplicata producat numerum integrum, ut antea d nroni raVimus. Ergo numerus 7 pro radice habere non potest neque nunaerum integrum,
neque rinium. Idem patet alio quolibet
numero integro, cuius radix non est nume
Schol. Secund dumtaxat, in tertiae mtestatis compositionem , ac resolutionem in parienti Capite explicavimus, at rem ge-
73쪽
si ELEMENTA ARITHMETICAE neratim, breviter, to alia qualibet dignitate considerabimus. Ex hactenus explicatis manifestum est, eodem modo mari altiores cu)uslibet gradus p testates. Ita ad formandam quarti gradus potestatem multiplicari debet cubus per suam
radicem, sic deinceps. Jam in singulis
terminis exponentes,in coefficientes diligenter observemus. In potestatis cuJuslibet compositione primus terminus a binomii cujulibet b evehitur ad potestatem quaesio
tam V. G. a si potestas tecunda fuerit. In aliis sequentibus terminis Xponens quantutatis a per unitatem decrescit, Minultimo termino evanescit. Ita in secunda potestate habetur zis b . Contra autem potestas termini b in primo termino non reperitur, sed in au termino illius exponens est unitas, in ' terni in est a inita crescit pers Muis , donec in ultimo termino exponenti potestatis quaesitae aequalis fiat. Quare iisdem gradibus, quibus decrescunt exponentes ipsius crescunt exponentes quantitatis atque in utraque quantitate exponentium summa semper eadem est,in potestatis quaesitae ex
qua observare est, exponentes quantitatis oecrescere secundum seriem numerorum 6, 3 . 4, 3, , , o contrario autem ordine crinem exponentesquantitatis', nempe hoc modo , I, 2, R, 4, 3, 6 summaque ex-- Πentium in utroque termino est semper
Iam superest ut singulorum terminorum messicientes oblervem . Dividatur coem
74쪽
ipsius brin termino dato, quorum inviati,i exponentes ipsius a in emetenniti aurium unestate. Ita in praecedenti exemplo, ubi termini sunt , a b, 3b , albi se ab , ' , messiciens primi ter . miti est unitas messicien secundi est f
I3 remunt quarti est G ao. Et simili modo invenientur coeciicientes alii 4, 6 I. Ex hac constanti exponentium in eoessicientium serie generatim exhiberi potest ianomium a b ad potestatem quamlibet meVectum. Ita terminorum series se habebit, non consideratis coeffcientibus, 'b, amst by am- b , quae series coni nuari debet, donec exponens quantitatis bvadat, Coessicientes autem ex praeceden si regula hoc ordine progredientur , ,
do invenitur formul; pro binomio a -- όν, - hoc
75쪽
quartus termini sunt negativi inratio autem est evidens, cum negativa existente quantiatate multiplicationum numerus impar re ductum emcere debeat negativum. Formula eadem omnino ratione componi post ed
quolibet. Praecedens formula , quae potestatum compositionen i exhibet, earum quoque resolutionem repraelam ire p6 sest. Ita radix quadrata binomii a --b nihil est aliud, quam potestas binomii a se , cujus exponensu, Quare ponatur in sermula praecedenti m et Q habebitur Mieci' G -- α'&c. Si ouantitas ex pluribus, quam duo hus, constet terminis F. G. si extrahenda sit
hibita sermula factisque debitis redum ibus
per vulgare Algebrae regulas, invenitur radix ut oportet . Si autem quantitas prC- polita nullani habeat ' radicem curatam, nu)us formulae ope ad radicem proxime Veram licet accedere Exempla duo breviter Proponemus . . it a b quadratum impe
uestum, ex quo extranenda sit radix quadra
76쪽
mili modo si ex cubo imperfecto, extrahenda sit radix cubica erit OasH-l,
dicem proxime veram accedere possumus per series infinitas, dummodo series illae sint convergentes, hoc est, si termini perpetuo decreruscant. Sitis ordo, quem terminus aliquis in Praecedenti serie occupat, terminus ille invenietur esse ad terminum proxime sequentem, ut ad -- - -n-hi ac proinde ut
series sit convergens, oportet im i esse semper minorem, quam na. Ita in exemplo proposito, ad habendam radicem quadratam proxime accuratam, terminus b positive hmptus minor esse debet, quam naa, existente numero integro . Simili modo ad habendam radicem c bicam quam proxime in exemplo praecede ati, oportet terminum Io positive sumptum semper minorem esse , quam quod quidem diligenter*bservandum est in praecedentis formulae usu.
De Proportioni/us L Tm memoriam revocanda est explicata I cap. o. rationis, proportionis demniiij. Ratio dicitur eas duarum quantitatum habitudo qua ad se invi cem referantur 1lurima dicitur, si in ea relationec Iadere ,
77쪽
ELEMENTA ARITHMET1CKeila producto ex summa primi, ultimi in dimidium terminorum num*rum . Ita si numerus terminorum dicatur n , . erit omni summa III Cum differentia comminiis. mmm irum in progressione arithmetica pri in una terminum non afficiat patet, hujus distem uiae messicientem inrita ilibet ago -- lem esse numero terminorum, qui terminum d/tua praece myt . mire in ultimo termi nox habebitur, o b, nempe an N. Igitur cum omnium terminorum summa sit afri ea quoque invenitur Zan nab' n,- a 'nb- κ n. Eo
G. Series arithmetica s sinc ad Io terminos produn -- ICO I Io -5o3o At si progres.sonj primus terminus fuerit o erit propres.sonis summa aequalis dimidio producto ex ultimo term itio in numerum terminorum Nam in De casu eum sit a i , summa ter minorum, quae generatim exprimitur per
summam numeri cu)uslibet terminorum inir gressione arithmetica, cujus primus terminus est , aequalem esse dimidio producto ex te . minorum numero in terminum maximum. E. G. ProgresJo Arithinetica
78쪽
Ε ALGEBRAE. 60 IV. Si quotus ex duabus primis quantitatibus arquualis sit quoto ex duabus ulti nais ;quatuor illa quantitates lunt geometrice pro portionales, ut patet ex praecedenti definitione. Tales sunt numeria, 6, 4, I 2,&quantitates a ar, b, br. Ex ipsa proportionis eometricae natura evidens es , pro tu stum exterminis extremis aequale sic producto ex iraedii ; sic a ut patet. Quare datis tribus terminis facile invenitur quartu geometrice proportionalis multiplicando scilicet duos medios terminos, productumque dividendo per primum, quotus erit quartus terminus quaesitus ita datis tribus quantitatibus a, invenitur quarta
ita ut secunda quantitas sit primae rationis consequens, simul secundae rationis antecedens, simili ratiocinatione patet, sumendum esse hujus quantitatis quadratum, illudque per primo quantitatem si dividendum. M autem quantitas, quaerantecedentis, consequentis vi oes gerit, Ocatur media proponionalis , talisque proportio ita X-
primi et a b . , nempeio scribendi modo significatur,4 est mediam proportiona- At media proportionalis arithmetica ita. designatur b. c. Patet autem , in hac
pr portione summam extremorum aequalem
es e termino medio bis sumpto. Ex demonstratis de proportione geometrica pendet vulgatistima Arithmeticae operatio quae re quia trium , vel etiam regula aurea propter eximiam utilitatem appellari solet hanc regulam datis tribus terminis i Veni ur quartus proportionalis. In hac autem
79쪽
o ELEMENTA ARITHMETICAE operatione probe observari debet terminorum ordo. Et primo quidem consideranda est quantitas, quae it juidem generis cum quantitate quaesita. Ex quaestionis natura intelligitur, in quantitas data sat major, vel minor
quantitate quaesita si major sit, jam maxima ex aliis duabus quantitatibus in terminorum
ordine ad sinistram scribi debet; at si minor
sit, tunc duarum aliarum quantitatum minima ad sinistram , alia autem ad dexteram collocari debet. Constituto autem con Uenienti terminorum ordine iam ecpnaescripto gulae produsium ex ecundo termino in te tium per primum terminum dividi debet Tota res exemplo perspicua et Haec proponatur quaesito. Si triginta operarii dierum a spatio opus aliquod absolvant quaeritur
necessarius operariorum numerus, ut idem Opus 1 diebus absolvatur. Quoniam quaeritur operariorum numerus, primum considerandus ei numerus in itatim autem Vides, numerum illum datum ma)orem esse numero quaesit i quare numerus I ad sinistram collocari debet, numerus autem 2 ad dexteram, atque ita operatio peragitur hoc
. V. Pro varia terminorum ordinatione in Proportione geometrica diveri ab Arithm cis inventa fuerunt nomina . At ex prima terminorum ordinatione aliae omnes facile inferuntur. Si rimus terminus dicatu esse ad tertium, ut secundus ad quartum , argumen'iari dicimur alternando . Si dicatur secundus ad primum, ut quartus ad tertium, tunc
80쪽
tum, inferre dicimur compo=reλido contra autem dividendo, si terminorum primi, cundi differentia ad secundum referatur , ut differentia tertii, quarti refertur ad quam
tum . In his autem omnibus argumentandi modis proportionem manere patet, cum productum extremorum aequale emper inveniatur producto mediorum. Ex eadem productorum aequalitate facile colligitur, rationum compositione proportionem non mutari Ratio composita ex pluribus geometricis rationibus illa dicitur, quam habet productum ex
earum antecedeatibus ad quadratum ex consequentibus.Sint duae proportiones a b c d ', erit af b c : s. Etenim produltum extremorum afd aequale est producto mediorum gcm, Et quidem d, ac proinde ad c. Praeterea m:
que eadem valet demonstratio pro alio quolibet proportionum numero . Ratio ex duabus aequalibus composita dicitur duplicata ex tribus triplica ta c. Hinc ratio geometrica, quam habet quadratum unius quantitatis ad quadratum alterius , est duplicata ejus, quam habent pia quantitates ad invicem ratio cuborum triplicata c. Et contra ratio, quam habent inter se radices quadratae, cubicae&c dicitur obduplicata, ub- triplicata c. rationis potentiarum re edit varum . At ratio, quae intercedit inter radi