장음표시 사용
131쪽
me . de quoniam per hypothesim e f. ipsi a b. potentia communicat idi tota e f. toti a b. & per ptaecedentem, sicut fg. adipiam b c. siege: ad ipsam c a. ideo segmenta segmentis in potentia communicant per undecima decimi igitur in io . decimi, ta b c. quam c a. Apotome cael Item lineae a b.in puncto c. ut prius' - ρ-; sectae maius segmentum b c. sit rationale. Aio, quod a C aporome este q& a b. binomium. Socetur enim b c. in puncto d. pet aequalia . eriti per tertiam huius, quadratum ipsius a d. quintuplum ad quadratum ipsius c d. Sed c d. rationale. ETo a c. Apotomc quinta. Ais quam exb c. rationali comparata lati tudo, cum per decimand tam sexti essiciat ipsam a b. erit per iis . decimi,a b. binomium. 1 Rursus si a C minus segmentum sit longitudine rationale; Aio, quod a b. erit binomium primum. &b c. tunc binomium. Secetur enim ca. in puncto d. extrema 6c inedia ratione: sitq; c d maius segmotum : eruntq; a tah c. c a. c d . d a. continue proportionalcf. ec ideo per aequam proportionem a b. c a. d a. in proportione continua. igitur ab ipsa ca. ad irsam a d. Apotomen primam compδrata latitudo efficiet per i I s. d cinii a K. binomium primum. Esto igitur ipsus a b. maius nomen a e. .quod maius erit, quta a C. quippe quae minor est, qu nai dimidium a b. erit igitur a e. longitudine rationale. Cunq; sit a c. longitudin gationale, erit de c e. Iongitudi ne rationale . Sed e b. rationalis tali tum potentia. ergo b binomium- l Vt g. . . s II
Quod si b e. sit potentia tantum rationale: erit adhuc a c. Apotomὸ vi a b. binomium . & si sit a c. potentia tantum rationale, erii demua b. binomium . de b c. binomium, eo stilogismo, quo in principio
de tota usi sumus. Si Pentrigoni aeq iri lateri tres anguli continui, aut non continui 'aequales fuerint; aequiangulum erit pentagonum. Vt si pentagoniim a b c d e. aequilaterum habeat
tres angulos, ut a. α d. Vel b. c. d. aequales; aequiangulum erit. Miu ductis lineis be. &ec. bd. se in puncto f. secantibus, iam per quartam quintam & sextam primi facile demonstratur aequalitas angulorum : dc id quod proponitur. io SI Pentagoni aequilateri& aequianguli binos continuos angulos binae rectae subtendant; extrema & media ratione O inuicem secabunt. dc Raiora segmenta singula erunt pentagoni lat obus aequalia. Esto Pentagonum aequilateru&aequiangulu abcsse. circulo
132쪽
eirculo a b c. inscriptum. connexis a c. b e. in puncto L. se ituticem si eantibus ; Aio, quod tam a c. in puncto s. quam b e. in eodem puncto
secundum extremam & mediam rationem secatur. & ipsa maiora segmenta cf. ef singula sunt ipsis a b. a e. aequalia. Nam ipsa triangula a b c. b a e. a m. lunt similia : quoniam ad inuicem aequiangula. Et quoniam angulus a se. duplus est per trigesimam secundam primi ad angulum fb a. & per ultimam sexti angulus cae. duplus est ad angulum fb a. dictum. ideo anguli e a f. & e s a. inuicem aequales. & illis subtensae e f. e a. inuicem aequales. de similiter b c. c f. ostendentur aequales. Quare, propter triangulorum similitudinem , sicut b e. ad ipsam ea. de ideo ad e f. sic erit a b. & ideo es ad ipsam sb. idemq; concludes de ipsa e a. secta in puncto L. Quam ob rem tam b e. quam c a. linea
in puncto s. secundum extremam mediamq; rationem secatur. Constat ergo totum propositum . :
Si sexanguli & de goni in eodem circulo descriptorum latera co- II
ponantur, composita tota extrema de media ratione secatur: & maius
segmentum est ipsius sexanguli latus. Vt s in circulo ab c. descripti latus decagoni sit b ci cui adnectatur in rectum b e. latus he agoni in eo lcm circulo descripti, cuius diameter a d c. centrumq; d. Aio, quod
c e. in puncto b. extrema de media ratione secatur: & maius segmen-aum b e. latus hexagoni. Erit enim angulus
a d b. duplus ad angulum d b c. per trigesima- secundam primi. de angulus db c. duplus ad angulum e. ergo angulus a d b. quadruplus ad angulum e. Sed idem angulus ad b. quadruplus ad angulum d b c. per ultimam sexti. igitur anguli e. & b d c. aequales. 5 idcirco triangula ed c. c b d. inuiceni quiangula & similia. Quare sicut est e c. ad ipsura e d. hoc est ad ipsam e b. sic erit c d. vel e b. ad ipsam b c. Atque ideo ec. in puncta b. extrema de medio ratione secatur. quod crat demonstra iactum
Quod si lineae extrema dc media ratione diuisis maius. segmentumst latus hexagoni in aliquo circulo descripti; tunc minus segmen tum erit latus .secagoni in tali circulo clausi Item si minus segmen rum ponatur latus de goni; tunc maius erit latus hexagoni eius leni circuli. hae sunt quasi conuersis huius undecimae . S per ipsam und cimam & septimam hulps d monstratur . . . Si latus sexanguli extrema &mcilia ratione secetur, maius sco
133쪽
metsi erit meagoni latus circunscripti in citculo friagulum cireusti
bente. Latus sexanguli cuiuspiam a b. secudum mediam extremamq; rationem secetur in puncto c. sitq; maius segmen tum b c. Aio, v b c. est latus de goni in circulo,qui hexagonu circu scribit,descripti. Sicili. latus de goni b d. eritq; per I cedente a d- a li in puncto b. per extremam & mediam rati
nem diuisa : imaiusq; segmentum a b. Ergo per septimam huius: sicut d a. ad ipsam a b. sca b. ad ipsam b c. Sed sic etiam a b. ad ipsam b d. igitur b c. & b d. aequales. Sed b d. latus decagoni: quare & b c. idem latus est, in circulo, scilicet, cuius semidiameter a b. inscripti. quod est propositum . Vel sic. sit ipsi b c. aequalis b d. eritq; per quintam
huius a d. in s unisto b. extrema de media ratione secta. Sed a b. latus hexagoni. ergo per primam conuersarum praecedentis b d. latus dec goni. Quare & b c. idem latus. Quod si linea quaepiam extrema de media ratione secetur : & maius segmentum sit latus decagoni in circulo descripti: tunc tota linea erit latus hexagoni, siue simidiameter talis circuli. Haec est conuersa huius duodecimae. & per ipsam duo decimam & septimam huius ostenditur. Hinc mani restum est, quod si circuli decagonum circunscribentis diametros, suerit rationalis longitudine vel tantum potentia ; ipsum decagoni latus erit Apomine. Hoc enim sequitur ex hac dilodecima & octaua huius. Item si de lato. re hexagoni abscindatur latus de goni: erit maius segmentum ho gonici lateris extrema de media ratione diuisi. PENTAGONi latus potest hexagoni & decagoni latus in eo ci culo , in quo pentagoniim clauditur, dcscriptorum . Sit enim a b. latus pelagoni:a h. latus de goni in circulo a b c. cuius diameter a d cicentrumq; d. inscriptorum : Aio, qubd quadratum ipsius a b. aequum e it quadratis ipsarum a d. & a h. simul sumptis ducatur d th. per qua
secans latus & arcum de goni. ilcm chordar
a h l. similia .quoniam aequiangula.& ideo tres lineae a b. ha. al. continue proportionales . Quare quadratum lia. aequum et , quod fit ex
a b. in ipsam a l. Ite duo triangula a D d. d b l. smilia, quandoquidem aequiangula : &idci eo tres lineae a b. bd. bl si int in proportione continua. de propterea quadratum b d. quale
134쪽
si in circulo rationalem habente diametrum Quinquangulum aequi laterum inscribatur: quinquanguli latus irrationale est, appel l tui q; minor. Sit circuli semidiameter a b. longitudine primum rationalis . latus autem pentagoni circulo inscripti l g. Aio, quod fg. i rationalis est, quae minor. Secetur cnim a b. in puncto c. media, extre ma i uc ratione.eritq; b c.maius segmentum latus de goni eidem ci culo inscripti per ante prsmillam.Sit quoque bd ipsius a b .dimidium re ideo rationalis. Et ae.ipsi a b.aequalis, &ideo rationalis. eritq; totae d. long rationalis. & hoc utere sylloguino. Quid tum ipsius c α uincuplum est ad qua- s v
ma huius. & per sex tam . Quadratu ipuus e c. quin gcuptu est ad quadratum iptius c b.Quare P 1 .sexti, sicut e c. ad ipsam c baic c d.ad ipsam d b. Et permutatim, sicut e c. ad ipsam cd. siccb. ad ipsam d b. Et coniunia elim, sicut ed.ad ipsam d c.sicc Lad ipsam d b. Sed quadratu ipsius c d .quincuplum ad quadratum ipsius d b. ergo & quadratum ipsius e d.quincuplum ad quadratum ipsius d c.Cumque e d. sit longitudinerationalis: erit e c. apotome. Et quoniam quadratum ipsius e d. luincuplum est ad quadratum ipsius d c. ideo quadratum ipsius ed. ad quadratum, quo ipsa ed. potentior est, quam d est sicut quinque ad quatuor. Qui re per nonam decimi,e d potentior est,quam d c. In quadrato lineae ipsi e d. longitudine incommensurabilis. Igitur e ci est
apotome quarta. ' - - Cumq; ut a b. ac
Idcirco quadratum ipsius fg. aequum est et,quod fit ex ipsa e c.ap tome quarta in ipsam a b. logitudine rationale.Qxore per sv. decimi, ipsa fg.est irrationalis illa, quae minor dicitur. Quod si ponatura b.potentia tantum rationalis: tunc *.latus pentagoni circulo, cuius semidiameter a b .inscripti adhuc erit minor. Nam tunc g.communicabit in potentia lateri pentagoni descripti in alio circulo, cuius semidiameter longitudine rationalis ponitur pro-Iter semidiametrorum & laterum proportionem. Sed illud latus eritnea minor: sicut dudum ostensum est Ergo per i o s. decimi fg. adhuc
S i in circulo trianguIum aequilaterum descriptum fuerit: ipsius trianguli latus,potentia triplum est ad circuli sumidiametrum. Cu-
135쪽
culo a b c. trianguliam aequi laterum a b c. sit inscriptum cuius circuli centrum d. & diameter sit a de: Aio quod quadratum ipsius a b.la, teris triplum est ad quadratum ipsius a d .vel d e semidiameter. Connectatur enim be. quod est latus hexagoni: de ideo aequalis ipsi a d. Et hoc utere argumento. Nam quatuor quadrata ipsius a d. siue b e. simul
accepta, sunt aequalia quadrato ipsus a e. diam
tri. Sed quadratum a mper penultimam primi, aequum est quadratis ipsarum a b.b e. simul stan-stis. Igitur quadrata haec simul sumpta, aequa unt quatuor quadratis ipsius b e. Quare dempto utrinque quadrato uno ipsos b e. supersunt tria quadrata b e.aequalia ipsi quadrato ipsius a b. Triptum est ergo quadratum ipsius a b. ad quadratum ipsius b e.siue ipsius a d. quoci fuit demonstrandum. Vnde manifestum est quod circuli diameter potest trianguli aequia lateri & hexagoni aequilateri sibi inscriptorum latera .. Item iratet,quod a b latus trianguli ad perpendicularem a L pote tialiter sesquitertium est. Et quM d e.semidiameter per aequalia secatur in puncto f. UVo retiquarum figurarum lateribus additio. stram pro
Quadrati quoque latus in circulo descripti potentialiter duplum
esse ad semidiametrum circuli constat per sextam quarti Descriptio autem Pentagoni intra datum circulum fit per deciamam & undecimam eiusdem. Hexagoni vero latus aequiun esse semidiameter circuli, conclusum est in quindecima eiusdem. Ex ius diuiso per aequalia arcu lateris quadrati,notescit latus Oct goni . Arcu quoque hexagonici lateris similiter secto, cognoscitur Dodecagoni latus Namque chorda dimidiati arcus est media proportionalis inter diametruin circuli, & eius portionem, quae a chorda totalis arcus abscinditur . Porro, si ponatur circuli diameter long ' Vel saltem potentia rationalis , latus Octogoni intra circulum descripti, eriticiationalis linea quae minor dicitur. La lux vero dodecagoni linea irrationalis, quae apotome vocatur.Quod quidem ex ipso calcitio constare potest: sicut& de lateribus Pentagoni & Decagoni in circulo rationalem diam
trum habente descriptorum : de derateribus Icosilied i de doticali
Item pro calculo chordarum illud notandum,quod duae chordet s
micirculum complentes, continent angulum rectu: unde una earum
data, dabitur de reliqua per penultimam primi.
136쪽
Et si quadrilaterum circulo inscriptum sit: tunc duo, quae producuntur ex binis oppositis lateribus, pariter accepta rectangula sunt ae qualia et,quod sub diametris eius comprehenditur, rectangulo, ut Pi lemaeus ostendit. Vnde,si duorum arcuum datae sint chordae, dabitur tam eorum aggregati, quam diuerentiae chorda. Hinc arcuum per totum semicirculum chordae & sinus recti notescent. Et omnis Chordimetria, quae tam ad planorum , quam ad sphaeralium triangulorum scientiam necessaria est. Nunc redeamus ad solida. PT RAMIDEM constituere, & data sphaera comprehenderer & 1 cdemonstrare, quod ipsius sphaerae dimetiens potentia sesquialter est ad latus ipsus Pyramidis. Sit da ne sphaem diametera b.& ipsa a c. duela ad ipsam c b. tum ducta e d. perpendiculari, erit per i γ' sex ri,quadratu ipsius acidupla ad quadratum ipsius cd.&per penulti primi, quadratu ipsius a d. tripi u ad qliadratum , ipsus cd. Ponatur ipsi a b.aequalis kl.& ipsi a c. aequalis E e. & erecta perpendiculari e f in semia circillo h s l. per centro e.fiat circulus fg h.& in eo triangulum a qui laterum fg h. & ducantur recte sk.gk.h h. Sic pyramis fgh h. constabit intra sphaeram, quam describet semicirculus in l.
aequit itera. Nam Vnumquodque trium laterum
ks h g. k h. quadratu triplum erit ad quadratum ipsus es sicut quadratum triplum est ad quadratum ipsius cd. dc per praecedentem unumquodquC trium laterum Q. g h. h L quadratum triplum est ad quadratum ipsius e f. Igils r cuncta halera pyramidis kfgh. inuicem aequalia. It quoniam ba. sesquialtera est ad ipsama c.propterea per 8 & 17'scaeri, quadratu ipsius a b. sesquialterum est
ad quadratum ipsius a d.sgitur &quadratum ipsius k l.quς est sphaerediameter, sesquialterum est ad quadratum ipsius h f quod est latus pyramidis, quod est propositum.
Octahedrum construere, & data sphaera comprehendere : dc osten- irdere, quod ipsus sphaetae dimetiens potentia lateris ipsius octahedriduplus est. Sit a b. latae spha
rete diameter . quae in puncto per aequalia secctur,&excitetur c d.perpedicularis.Mox
describatur quadratu e fgh. cuius latus sit ipsi a d. quale. Et productis diametris e g. s h. se in puncto h.
secantibus, educatur. l k in plano quadrati perpe- H a dicularis.
137쪽
dicularis .utrinque ad aequalitatem ipsus h p. prominens. Confierisq; tam l. quam m. punino cum ς' angulis e fg h . completum est Oct hedron quaesitum. &in sphaera , cuius diametri l m. eg. f h. Ecquam describit semicirculus t e m. comprehensum. Ad cuius diametrum g Lipse sphaerae dimetiens i m .potentialiter duplus est. Cubum construere, & data sphaera comprehendere, & ostendere quod ipsius sphaerae dimetiens potentia triplus est ad latus ipsius cubi. Sit datae sphaerae diametros a b. ponaturque a c.
dupla ipsius e b. sicut in pyramide. & ipsi b d. quum sit e flatus cubi e fg h k i m n.super basim
quadratam e fgh .erecti lateribus ad serpendicula excitatis constructi. Ipse enim in sphaera, cuius diametera b. clauditur. Cum enim a b. ipsius bc.
tripla sit.Ideo per 8'.& 1 - sexti.quadratum ipsius a b. triplum est ad quadratum ipsius b d. & smiliter in Do fh.diameter, connectens oppositos solidos angules, qui demetiens est sphaerae cubum circumscribetis Itotelialiter triplum ipsius e flateris cubiti cui aequalis inea b d. Igitur sv. aequalis ipsi a b. propositae sphaerae diametro. Et perinde cubus ab ipsa proposita Spnaera circumscribitur. quod faciendum & demonstrandum proponitu r. ipsius fla ter continet poteria cu biti lateris.
Manisestum est igitur, quod quadrata laterum pyramidis & cubi
pariter sumpta, lut aequalia qua- Idrato diametrisphaerae, in qua describunt . Hoc enim quadratuvni illorum sesquialterii per ante praemillam, reliquo triplum est per praesentem. Item patet quod a c. altitudo pyramidis ad b d. latus vel altitudinecubi potentialiter, est si squitertia. Icos AHEDRVM construere & data sphaera comprehendere, dc ostendere, quod ipsus icosahedri latus irrationale cst,appellaturq: minor. Sit datae sphaerae diametros a b. dca c. quadrupla sit ipsus b ci&excitata cd. perpendiculari: ductisq; ad db.tiat primu ex semidiametro b d. circulus e Q. intra que claudatur
138쪽
Pentagon in e fg E L. dc xl agoniura i in no p. A quibus . putreli excitentur perpessicitares ad circulum t r. m iri t. o u p q. ait linguim sint aequales ipli b. d. A punctis autona qritu. singulis citducati tun hypothemis e bin ae ad angulosit en ragoni quae ii n t qλ. q h.Vli. v uersa
ipsi circulo p r pedicularis x x.quq sit ipsi bd qualis, sicut aliae praedictae quinque Perpendiculares . Cui apponatur in rectum y z. aequalis ipsi s n- lateri scilicet deca. goni: & cidem aequalis X ω. Tanaq; Z. quam ev - nnc latur cum quinque l. Punc is potagoniduli resti. Ia licer z.cum punctis q r s t v. At veruvi, cuna puntas e fg h h. Vnde silant,quina utrinque, hoc est decem alia triangula pricuibus aequilatera. Qintiqvς ildum concurrenici ad E. punctum; & totidem as O. punctum . Vnaquaeque enim linearui poterit hexagoni & decanoni latus. & ideo singulae crunt aequales ipsi e f. ipta enim in x. s y. sunt semidiamciti circulorum e i g. dcqrs. aequalium de latera hem; inica eo tundera : sic cQmpleta sunt vigintalia angula Molinae m. totum claudentia.
res Et quoniam recta a b. luinciis a est ad ipsam b c. ideo per X .ci '. secti, qindratum ipsius a b. quincuplum cit ad quadratum ipsius b d. per ta 6hhums. quadratum ε. z. quincuplum est ad quadratum iplius x y. quae fuit aequalis ipsi b d. igitur ω a. aequalis est ipsi a b. de
quoniam xc y- media promitionalis cit inter Zy. & Ex. S ideo isteriplas Z v.& y ω. Ideo tam v SHu.lm X in .lpli A yiaequalis media pi oportionalis erit inter portiones diametri et Quore semicirculus deici praviii per ΣωMaamztro,ibit pur ips a Sin lucta. & semicirculus i. ixur super axe re stante sumet reuolutus describet sphaeram contingetem
139쪽
sphaera comprehendetur. Et quoniam rationalis est b d quandoquidem in potentia commensurabilis est ipsi a b per hypothesim rationali: ideo & mxalli aequalis rationalix est : semidiametcr scilicet circuli , cui pcntagonum c fg. inscriptum est. Ergo per i huius, &ipsum e f. pentagoni latus, quod est & icosahedri latus, irrationalis est, quae minor factum est g. quod faciendum, & ostensum quod osten
dendum proponitur. Doci EC Ait E D RVM construere , de data sphaerae comprehendere e de ostendere q, dodecaliedri latux irrationale est, δc appellatur apotomessi rationalis suerit sphaerae diametros . Duarum basium cani conti guarum ae b.a cilatera duo.a dola d b. Cum opposito secentur singula per aequalia in punctis ii se litistisq; e fg h. h si. per centra basium ph Secentur ipsae g h. Ice. k L singulae secundum mediam extremamque rationem, ita punctis ql in suntque maiora segmenta g q. k l. km. quibus singulis aequales sint singulae perpendiculares q r. quidem ad Planum a c.ipsae autem l n. m p.ad planum a b Connexisque puncti αn p d r. set pentagonum aequilaterum & aequiangulum Quod enim sit aequilaterum, sic patcti
Ergo a I.dupla ipsius k l. quare aequalis ipsi l m.& ideo ipsi n p.. Et similiter Ostendemus,quodd p .ipsi n p. quodque a r. r d. singulae sunt ipsis. an. d p singulis aequalesia
Quod autem totum. pentagonum ard pn
si in unoplano, Sic patet. Exeat k s. ipsis i mk p. parallelus : & ideo Esdem aequalis & plano a b. perpendicii laris . Eritque sicut rq. acripsam q h: sic li h ad ipsam h s. Nam in linea secta extrema & media
rationedic est tota ad maius, scut maius ad minus inmentum. Ergo triangula r qh.h k s.sunt simi liar & quia sunt in uno plano, &lateraxq.hh.Item ipsaqh. ks sunt aequi litantia : ideo per 3o sexti, linea xlis.est una recta. Quare per se undecimi r h s. Se a h d. rectae sunt in no plano : & pentagonum ipsum in uno plano .. Qiuul vero sit aequiangulum, sic constat. Cum e h. sit secta in punisto. l. secundum mediam dc extremam rationem : & km.sit aequalis k l. maiori si mento et ideo per 1.huius, ψ quoque e m. in puncto L. similiter secta est: dc maius sigmentum eta Vnde sic argue
140쪽
quadratum a p. quadruplum ad quadratum ae.& ideo a p. dupla est ipsus ae . Et perinde aequalis lateri cubi a d. Similiter ostendemus) quod d n. aequalis est ridem a d . Quare per g . primi. tam angulus a n p.qii in angulus n p d. aequalis est angulo a r d. Estquerentagonum aequilaterum: sicut dudum fuit demonstratum. Igiturpe sit rutus,pentagonum a n p d r aequiangulum est.Non aliter super unumquodq: reliquorum Vnc ecim laterum Cubi comparetur pent gonum.Itaque duodecim pentagona component dodecahedrum. Et circumscribitur ab eadem sphaera , a qua &Obus. Quod sc demon liratur. Duo plana per rectas h h. e s. secent eu bum: quorum planorum communis sectiost ipsa recta o E quae secabi rur a diametroeubi. & secabat vicissim eam puraequalia
in centro cubi, per . U.Vndecimi. Sit itaque o.centrum cubi. & sic argumentare. In
primis lineae o a. d.aequales et quoniam semidiametri sunt tam tubLquIm haerae. Per Q. Vndecimi & 18' . huius.& qm o k.ipsi ek.&k s. ipsi h m. sunt aequales :Ideo os. in puncto k. secatur extrema&media ratione. Vnde sic procede. r G.p s. vel f h. U. o p. α γ' - - α T γ o h. ves a dicta. os O CIPErgo quadratum ipsius o p. triplum est ad quadratum ipsius a di Sed a e. dimidium est lateris cubi. Igitur per i 8. potestatem o d. senilia diameter est sphaerae. Et similiter ostendemus, quod a puncto .recte uniueris ad reliquos angulos dodecahedri sunt semidiametri sphaeraeeubum circumscribentis. Cumque 8.ex angulis hdodecahedri sint simul cu annitis cubi, sicut qui ad ipsa a d. punctar patet quod sphaera ipsa, quaecubum, circu scribet doderati ru. Quod tandelatus ipsum dode hedri sit apotome, it patet. Agatur r p. quae fccabit ipsam a d. secundum extremam & mediam ratione per I ' . huius. δ . maius segmentum erit ips a r. aequale: cumque adsit potentia rationalis squoniam sphaerae diameter rationalisὶ ideo H a talatus