장음표시 사용
141쪽
Vndemanifestum est, quod cubi latere, in sphaera .quapiam claus, extrema & media ratione diuiso; maius segesentum est dodeca dri in eadem sphaera constituti latus. PROPos i TR sphaerae diametro, quinque corporia 'a reguli riui' ab ipsa sphaera comprehensorum latera exponere, & inuicem. conscrre. Esto sphaerae datae diametros a b. quae secetur in puncto c.per aequalia: ac descripto super ea semicirculo: sit a d. dupla ipsus d b.& excitentur' lerpendiculares c e. l f SI connectanta f.b αsb. Et sic prps de . Quo-aaiam a b. sesquialtera est iplius ad .Ideo per s.& l .sexti quadratuna ipsius a b sesquialterum est ad quadratum ipsus a f. cram per. 6..huius, a f. latus est pyramidis in sphaera propnsita clausi. item v niam a b. tripla essi ipsius b d. ideo per s.& LI sexti, quadratum ipsius a b. triplum est ad quadratum ipsius b s Itaque, per i 8. huius, b f latus erit cubi, in proposita sphaera descripti. Adhuc, quoniam per penul-mnam primi, quadratum ipsius a b. duplum est ad qua traii, in ipsus b e. Ideo, per i7.huius,b e latus erit ὀctali eari in ipsa sphaera constituti. Item ponatur ipsi a b. perpendicularis & qualis a g. ct acta g c. secunctae periseriam in functo h. ducatur ii E. perpendicularis ad a b. t quoniam g a. ipsius a c. dupla esti ideo propter trianguloru similitudinem n h. dupla est ipsius ni , ik c. ergo quadratum ipsius h h. ad quXdratum k c. quadruplum
Quare, perpentil. primi, quadratum ipsius h c. vel c b. quincuplum ad quadratum ipsius Ec. Item tota a b. totius b c. dupla.&abicisa a d. an scita d b.dupla. Ergo relicta d b.dupla est relictae d c. peri'.quinti. Sic b c. tripla ipsius c d. a re quadratum ipsius c b.nonuptum est ad quadratum ipsius cd.&ideo ch. maior,quam cd. Sit ergo ipsi c Eaequalis C l.&excitata perpendiculari l m.connectatur m b.eritque ib.
aequalis ipsi a L.&kl. aequalis ipsi l m. quoniam scilicet utraque dupla est ipsius h c. Quoniam itaque quadratum ipsius b c.quincuplum est ad quadratum ipsius c h. Ideo & quadratum ipsius a b. quincurietum erit ad quadratum ipsius kl.quoniam scilicet, sciit simpluin ad implum, sic duplum ad duplum. Igitur per is huius, E l & ei aequalis i m. est latiis hexagoni, vel semidiameter circuli circumscribentis pqntagona basim anguli. solidi icosa hedri. & a El b. sunt latera deca-goni eiusdem circul, Quare per penultimam primi deis huius m lis 'crit latus pentagoni eiusdem circuli, quod de ipsum per i 9 huius, estutus icosahedri. Tandem secetur sb. latus cubi secundum e tremam.
142쪽
&anediam rationem in puncto n. Cuius maius segmetinim b n. perstra cedentis corollarium erit latus dode hedri in eadem sphaera, rati. Et quia quadratum ipsius a d. iiadruplum est ad quadratum ipsum d b. & quadratum ipsius b f. triplum ad quadratum ipsus db. per 3 & i . sexti. Ideo a d.maior,quam b f. & eo magis a l. quam b f. Sed a l.in puncto k.per ra. huius b s. vero in puncto m perli vpothesin,
extrema S media ratione secatur. Ergo, per 7. huius, El. S ideo i m. maior, quam b n.& eo magis b m. maior, quam b n. hoc est icosa hedrilatus maius, quam dodeca hedri latus . Inuenta sunt ergo latera oumque corporum regularium a data sohaera comprehensorum : Mumul ostensum,qubd maximum latus est a f. pyramidis.proximum in magnitudine latus h e. octa hedri. Tertio dein loco latus b fcubi. Post haec latus b m. Icosahedri ut patet per arcus astum pios. Sed bm. maius quam b n.esIc dudum ostendimus. Quare b n. latus dodecia hedri minimum. Scholium super calculo laterum figurarum aequilaternum. IxLvD autem non ignotum debet esse ingenioso lectori, quod scut jecies linea rimi δ magnitudinum tam rationalium , qu in illationalium per terminos numerarios proponuntur, calculantur & note-stvn cum omnibus his, quae ad symmetriam decinii elementorum pertinent : ita & latera erinlimriim isori cura in figurarum, tam scilicet planarum,quam solidorum, Dr memoratos numerorum terminos & congruum calculum 'dignoscuntur. Nam calculus demonstratiotrem comprobat,& pro dcmonstratione Usu uenire potest. Sicut nos in L. Aricii meticorum nostrorum libello tradidimus . Sedi ecce hic in ta bella planatum & solidarum figurarum litera per dictos terminos exarabimus. ubi calculus thedria respondebit. . ,s Latera figurarimi aequilaterarum circulo inscriptarum:cuius diameterponitur partium duodecim. Latus trianguli ratus quadrati V .il ι . Latus hexagoni, quod est semidiameter
cst n. linea minor.scilicet v- 3 6.ma. 6 8. minus. N W3 c 1 p. r. 6 8 Latus
143쪽
Latus dodreagoni ηι V 7 m. r.3 8 est enim apotomὶ scilicet M. F .m .r. 18 Lineae partium 6.extrema de media ratione diuisae maius segmentum
Latera quinque eorporum regularium intra IIberam inscriptorum rcuius diameter habet partes duodecinia. Latus tetrahedri sue pyramidis ystatus hexahedri, siue cubi φ. 48 Latus octahedri . N 7 Latiis icosahedri ' V-72..ranio 3 64. est enim linea minoriscilicet s. p. r. I o 3 6 minus. N V
3 6. Ih.r.lo ι6qLatiis dodecstedii Be 6O. m.LI LNam lineae. N 8. quod est latus cubi extrema& media ratione sine maius segmentum est.R. 6O.Q. r.I 1. Minus Verb. IM.Lo8.m.r. 6O Terpendiculares a centro circuli, cuius diameter en partium si decim ad latera figurarum aequilaterarum, intra ipsum descriptarum
Perpendicularis ad latus trianguli Ad latus quadrati Ad latus Hexagoni Ad latus de goni Ad latus pentagoni& est Binomium, scilicet Ad latus Octogoni Ad latus doderagoni.& est Binomium,scilicet
Perpendi laris ad basim pyramidis 1 Ad basim tam octahedri, qu- cubi P. 12 Ad basim tam icosahedri,quim dodeciliari. V- .p.r. i & est linea maior. Semidiametri circulorum earcumscribentium bases quinque corporirum regularium a sibaera, cuius diameter es partium duodecim
Semidiameter circuli circumscribentis basim Pyramidis 3 1
144쪽
Cireum scribentis triangulum octilitari & quadratum cubi R. 1 Circumscribentis triangulum icos Aedri&pentagonum dode hedri
Quae quidem praxis , quo ad latera figurarum , bene respondet iis, quae in hoc praemisse libro demonstrantur. Quo vero ad perpendiaculares & bases, & ex eodem libro per calculum & Mementarem doctrinam extrahi pollunt. Qui calculus denionstrationis vicem agere potest, sicut & calculus laterum L Sed & in sequenti libro tam perpendicularium &basium: quam superficierum & corpulentiarum collatio plenissime demonstrabitur: Et in postremo libro, mutua corporum inscriptio de circumscriptio breuissime tradetur ἀElementorum Euclidis tredecimi, solidorum terti, cir regularium.
LIBER QUATUORDECIMUS, soLIDORUM
Quartus , & Corporum regularium secundus ἀ
R i A N a v x t aequi lateri latus. ad perpendicularem, quae ab angulo ad basim, potentiae sesqui tertium est. In triangulo aequilatero aeb c. ab angulo a. dat a Lb c.perpendicataris.a d. Aio quod a b. latus ad perpe dicularem a d. tentia sesquitertium est Nam quadratum ipsius a b. ad quadratum ipsius b d. quadruplum est. quand quidem dupla est a b ipsius b d. per penes primi. Vnde sequitur ut quadratum ipsius a b sit sesquitertium ad quadratum ipsius a d. Et hoc triplum: quadratum ipsius b aecum quadratum ipsius a b. aeqvi aggregato b d. a d. quadratorum. Si trianguli aequilateri latus suerit rationale, superficies eius est mediatis. Quod enim fit ex a d.in ipsam bd aequum est ipsius triaguli a b c. superficies. Sed Quadratum ipsius a d adqiodratum ipsius S d. triplum est per praecedentem: . Igitur per s decimi a d. b d. potentia tantum sunt commensurabiles et Quare per ai' decimi, productum ex a d. in ipsam b d. quae est area trianguli, mediale est. Quod est
145쪽
s Tor A s perficiis Pyraetrudis, vel octa licdri, incia spheson e tritis diametet rationalis crudescii pii mediatis est. Nam 1 i sphaerae d is reus tsit rationalis: irrit ipsum solidi latus,per ii,' 'cl .libri praecedo s, ruionale - Quare, per Prie dentem, una basilini solidi mediatis est,
id tur kgninium battium congeries, hoc est tota superficias Ibadi, mediatis est, sicut proponitur. '
P x re A tacita latus ad perpendicularem , quae a vertice ad basim 'delabitur, potentia sesquial terum est. In since descriptionem 16':
praemissi libri. in qua sicut est El. ad ipsam h f ii est k f. ad ipsam si e Sea El. ipsius L s potentia sesquialterum est. Ergo Es latiis solidi ad ipsam k e. perpendicularem potentia sesquialterum est. Quod est
A s p H AE R AE centro ad basim circui ascriptae pyramidis recta
perpedicularis insertia pars s phaericae di amet A. N in descriptione 1 c. praesenti libri, k I dianacter ad k e perpendico ' .irem est sicut 6. ad 4 Ergo scivi liameter ari ipsam k e. sicut ι. ad 4. sed cxccitus ipsius L e. suoer semidiamurram in Ilpti a ccntr ad basi in Perpendiculam. J leto ipsa perpendicularis Lit scmidiametri pars tertia a Quireditar
S p' u AE R AE semidiameter ad perpendicularem a centro ad' fatim octahedricticii riise , pi potentia triplum est Unde latus sius solidi ad eandem perpe dicularum potenua sext huna erit. Nam per i . praetcriti semidiameter sph. aerae ad latus cichahedri potentia est: sicut 3. ad 6. Latus autem octahedri adsenDdtarn trum circuli qui basiim octa dri cir inscribet. peo s.praemissi,. est sicut 6. id 1. in potentia. Ergo, per .aequam proportionem , semidiameter sphaerae ad semidiametrum dicti creculi, est sicut 3. ,d 1. Sed, per venultiinam primi, quadratum semidiari retri dicti circuli cum qu drato perpendicultaris aequum est quadrato semidiametri si inuae iIgitur quadratum semidiametri sphaerae ad quadratum perpendiciis laris triplum. Quare laias oecihedri soci plum potentialiter ad eamdem, sicut proponitur. l rP E R s E M o i c U GA R I s 2 centro sphaerae ad basim octahedri .lotentiali ex tripla est ad petrpendicularem)ab eodem centro ad ba- m pyramidis in eadem sph era locat V. Nam . per praemittam perpendicii laris sedi hedri,ad seni diametrum sobaere potentia vilicur s. ad 9. pre ante praemii sim autem, semidiameter spi tu Ad per ridicularem priamidis, potentialiter est , sicut via ad i. . Per aequain crido proportiornem, perpendicularis ostilitari ad perie reticidarem erramidis, Potentia. sicut tertium assi unum licui
146쪽
Pan prNticvLAR is centro sphaerae ad basim cubi ab ipsa sphae- g ra comprehensi, est dimidium lateris cubi. Patet hoc cx i S. i p. & o. undecimi. Dube perpendiculares, una a centro sphaerae ad basim octa hedri: saltera ab eodem centro ad basim cubi in cadem sphaera comprchensorum sunt aequales. Nam cx praemisia 13. praecedentis, sphaerae semidiameter potentialiter tripla est ad perpendicula rem cubi. Et pero huius, eadem semidiameter potentialiter tripla cst ad perpendicularem octahedri. Quare perpendicularcs ipsae sunt inuicem aequales.
BAxis pyramidis ad basim octa hedri in eadem sphaera compre- rohens est sesquitcrtia. Nam quadratum latcris pyramidis ad quadratum diametri sphaerae, cst sicut a .ad 3. per i 6.praecedentis. &ideo scut . ad 6. sphaericae autem diametri quadratum ad quadratum lateris octahedri, sicut 6.ad 3.per i 7. praecedentis.Quare per aequam propo tionem, quadratum lateris pyramidis ad quadratum lateris octa hedrimit sicut 4.ad 3 .Qua re sic triangulum ad triangulum per i 8. sexti. Hinc ergo manifestim est,quod tota puramidis superficies ad totam irinaliedri stiperficiem est sicut 16 ad 14. videlicet subsesquialtera. R Axio sex pla superpartiens tres quartas, dupla est ad ratio- ranem, quam habet octahedri solidum ad pyramidis solidum in eadem sphaera exi tantium . E ductis a centro sphaene ad ansulos solidorum rectis , secetur octahedrum in S. pyramides r Tetrahedrum vero seupyramis in quatuor. eruntque 3. pyramidum celsitudines ipse perpendiculares a centro sphaerae ad bases octa hedri. Quatuor vero pyramidum celsitudines ipsae perpendiculares ab eodem centro ad bases tetrahedri. Sit itaque pyramis a.cuius basis sit superficies octahedri aequalis: celsitudo vero aequalis perpendicii lari octahedri. Sit item b. pyramis, cuius basis superficiei tetrahedri, cclsitudo vero perpendiculari tetrahedri si aequalis. Eritque per 6 . undecimi, pyramis a. Octa hedro: pyramis vero b. tetrahedro aequalis.Quibus suppositis, erit per huius , celsitudo pyramidis a . ad castudinem pyramidis b. potentialiter tripla. & ideo sicut 1 . ad 9. basis vero pyr midis a.ad basim pyramidis b. per corollarium praecedentis: erit sesquialtera: &ideo potentialiter, sicut '. ad A. Ergo per aequam proportionem, ratio pyr midis a.ad pyramidem b. quae ex rationibus celsitudinum & basium componiturjduplicata erit, sicut 1 .ad . sicut enim simplae simplam, sic duplae duplam rationem componunt. Igitur & eadem ratio octa hedri ad tetrahedrum, sicut proponitur demonstrandum.
147쪽
C v n i quadratum & octahedri triangulum ab una sphaera comprehensorum,ab eodem circulo circumscribuntur.Per ς'. enim huius, perpendiculares a centro sphaerae ad bases huiusmodi solidorum sunt inuicem aequales. Quae autem a centro sphaerae ad angulos basium, sunt semidiametri haerae. Ergo per penultimam primi, si quadrata perpendicularium lubtrahatura quadratis semidiametrorum sphaere; relinquentur quadrata semidiametrorum circulorum qui bases ipsas circumscribunt,per communem conceptum, aequalia. Quare & ipsae circulorum semidiametri aeqtrales erunt. quod est propositum. Idem aliter ostendetur, sic. Quadratum lateris octahedri ad quadratum i diametri sphaerae, per I praemissi, est sicut 3 .ad 6. Quadratum verbdiameter sphaerae ad quadratum lateris cubi, per i 8'. eiusdem, est sicut 6. ad a. Per aequam ergo proportionem, latus octahedria.d latus cubi, potentialiter eli, sicut 3.ad a. Capiatur ergo circulus,cuius semidiametri quadratum sit dimidium quadrati cubici. eritque idem tertia pars quadrati lateris octahedri. Hic ergo circulus, per penultimam
primi, circumscribet quadratam basim cubi: & per is praecedentis, libri, triangulam basim octahedri,quod est propositiun. Vnde rursus perpendiculares a centro spliaerae ad bases octahedriatq; cubi circumspectorum arguentur aequales, adducta penul. primi i 3 Qv o o sub perpendiculari a centro basis cubi ad latus,& sub ipsis latere comprehenditur, rectangulum est totius cubicae superficiei pars duodecima. A centro bass cubi a. ad latus b c. exeat perpendicularis a d. Aio, quod id, quod sub a d. b c comprehenditur, rectangulu est totius cubicae superficiei pars
I 2'. Patet : nam tota cubi superlicies
diuiditur in 1. triangula singula aequalia, &smilia im triangulo a b c. Et ex a d. in b c. producitur duplum trianguli a b c. per i . primi. 4 Qv o D sub perpendiculari a centro basis octahedri ad latus , de
sub ipso latere comprehenditur, rectangulum est totius solidi areae pars i 1'. Acentro bass octahedri e.ad latus fg. cadat perpendicularis e h. Aio,q, id,quod sube h. fg. comprehenditur, rectangulum est totius o hedri superficiei pars i Σ'. Patet
haec, sicut praecedes. habet enim tota Oct
hedri superficies 1 . triangula aequalia sngula ipsi Δ''e Q.adducta I'. primi. Manifestum
148쪽
Manifestum est ergo, quod cubica superficies ad octahedri superficiem,est sicut rectangulum , quod sub latere cubi & ei perpendicularia centro comprehenditum, ad rectangulum quod sub latere octahe ct ei perpendiculari a centro circuli continetur. A CENTRO circuli ad latus trianguli aequi lateri in circulo descripti et sperpendicularis dimidium est semidiametri eiusdem circuli. In circulo a b c. sit triangulum aequilaterum a b c. A cuius centro d. exeat perpendicularis de. Aio, quod d e. est dimidium semidiameter d b. Producatur enim d e. ad periseriam in punctum f. & connechatur b L. quod erit latus hexagoni: Sc ideo aequale semidiameter per is . quarti . Quare, si a quadratis isserum d b. b s. aequalibus auferatur quadratum ipsius b e. per penultimam primi, supererunt quadrata ipsarum d e.e faequalia.Quared e.e faequales. α ideo d αperpendicularis
dimidium est ipsius il f semidiameter. quod est propositum . Idem
consistit in s ' corollatio Is praemissi.. SESQUt TERT i A ratio dupla est eius, quam habet tota cubi super- I cscies ad totam octahedri superficiem . Inspice fisurationes I 3 .dcI . praecedentium. stque a.basis cubi: e. vero basis octahedri intra duos circulos Inuicem aequales descriptae per i 2 huius quonia solida in eadem sphaera locata supponuntur. Quoniam igitur quadratum a..& triangulum e. in circula sunt aequalibus : ideo ratio dupla eius,
quam habet b Cad ipsam Q.erit scut .ad 6.per I s . praemissi. Dupla Vero ratio eius,quam habet a d id ipsam e h.est scut 6.ad 3. Nam, perptaecedentem e h. est dimidium ipsius a cuid quod dimidium ipsa a d. potentialiter dupla est. Sed ex his duabus duplis, per a '. sexti, componitur ratio dupla eius, quam habet rectangulum sub ipsis b c. ad. contentum ad rechingulum sub ipsis Q. e L. comprehensum. Igitur, per aequam proportionem, ratio - ad 3. dupla est eius, quam habet rectangulum ipsarum b c. a d. ad restingulum ipsarum fg. e h. Sed haec ratio, per corollarium antepraemillae, est sicut cubica superficies ad octahedricam superficiem . Ergo & ratio 4. ad 3. dupla est rariovis , quam habet cubica superficies ad octahedricam superficiem. hoc est sesquitertia: sicut proponitur demonstrandum.
Cunic A superficies ad octahedri superficiem est sicut pyramidis irlatus ad octahedri latus in eadem sphaera. Nam pyramidis latus ad
Ghaerae diametrum , per io . praemissi, potentialiter est sicut . ad 6. sphaerae autem diameter ad octahedri latus, per i ' eiusdem, est sicuto ad s. potentialiter. ξrgo per aequam proportionem, pyramidis latus
ad octanedri latus, potentia ter erit, sicut ε.ad s. hoc est sesquitertiav
149쪽
sed per precedentem, cubica superficies ad octa hedri superficiem sesquitertia est potentialiter. Sequitur ergo ut cubita superficies ad octahedri superficiem, si sicut pyramidis latus ad octahedri latus. quod est propositum. is S i c vet est cubi superficies ad ostilledri superficiem, sc cubi soliadum ad octahedri tosidum in eadem sphaera. Exeant enim a centris sphaerae ad singulos solidorum angulos semidiametri. Sic enim cubus secabitin in sex pyramidcs quadratas : octahedrum verum in octo pyramides triangulas. Eruntque perpendiculares a centro ad bases tam illarum,quam harum pyramidum, per 9' huius, vel per corolla' riuini 1 huius, iniucem aequales. Intelligantur itaque geminae pyrmides sub fastigio dicta perpendicularis ambae. Quartim una a. cuius basis sit omnibus cubi balibus aequalis. altera b. cuius basis sit omniabus octahedri basibus aequalis. Eritque per sex tam viticimi pyramis a. aequalis cribo. pyramis Vero b- aqualis octahedro. Et quoniam
sub eodem sunt fastigio , crit pyramis a . ad pyramidem b. sicut basis a. ad basim b. Quare & cubi solidum ad octahedri solidum: erit, sicut cubi superficies ab cubi superficiem . Quod fuit demonstrandum is
Manifestum est ergo, qudd cubi solidum ad octahedri solidum est,
se pyramidis latus ad octa hedri latus in una sphaera contentorum, hoc est potentialiter sesquitertium-
simas septimas superparties ratio est . se ut ratio cubicae
duplicata, solidorum in eadesphaera locatorum. Esto a b c. quadratum oebi. d e s triangulum octis hedri eiusdem sphaerae. Aio, ψ ratio 6 .ad 2 .dupla est eius,qua habet quadratum a b c ad triangulum d e s. Cadat enim d g. ad basin e sperpendicularis. Et quoniam quadratum a b c.de triangulum d e s pera i huius Lin eodem circulo inscribuntur : ideo latus a b id ipsum d e. potentialiter erit subsesquialterum, hoc est, sicut 8- ad Ιχ. per quindecimam praemissi Micque a corollariae. Sed de ad ipsam a '. per primam huius, sicut i a .ad P. Per aequam ergo proportionem a b. v vel b C ad ipsam d g. potentialiter a erit, sicut 8.ad 9.Item .s e. d ipsam an potentialiter est, sicut ια. ad Rursus ergo per ςqua proportione. a b ad isam e g. potent a Iiter crit,
sicut S. id 1. valitu ratio quadrati
150쪽
. .ad triangulum d e f componitur ex ratione a b.ad ipsam e g. δ ex ratione b c. ad ipsam a g. Ergo ratio dupla quadrati a b c. ad trian stulum d e scomponetur ex duplis rationibus earundem. & quoniam dupla eius,quam habet a b .ad ipsam cntat, sicut 8.ad 3. hoc est, sicut 6 .ad 1 . pla aut m eius,quam habet b c.ad ipsam d g. suit sicut 8. ad 9. hoc crisicut 2 .ad a7- Ideo, per aequam proportiorum, dupla eius,quam habet quadratum a b c.ad triangulum d e sciit sicut 6 .adi . quod fuerat dc monstrandisin. t SYscivi TERTi A ratio dupla est cius, quam habet cubica bass ad Dramidis basim in eadem sphaera . Patet. Nam per praeniisIam , ratio G ad 27. dupla est eius, quam habet cubica basis ad octahe dritam basim. Item per iti' huius, ratio s.adi 6. hoc est radio a . ad s. dupla est eius, quam habet oelahedrica basis ad pyramidis basim. Per aequam ergo proportionem, ratio dupla eius, quam habet cubi basi, ad pyramidis basim,est sicut 6 . ad ψ'. &ideo sicli t . ad s. hoc est, sesquitertiae scut proponitur. Hoc idcm posses concludere laterum rationes componendo, sicut in praecedenti. Hinc manifestum est, quod cubica basis ad pyramidis basim est ficut tota cubi superscio ad totam octahedri superficiem. Et sicut solidum ad solidum.& sicut pyramidis latus ad octahedri latus. constit enim hoc ex praesenti ici'. i V& Is'. pnemissis TR ip x A ratio dupla est eius, quam habet cubica superficies ad pyramidis superficiem in eadem sphqra. Nam, per io' huius, sesquitertia ratio, scilicet i 2. ad 9. dupla est eius, quam habet cubica superficies ad octahedricam superfici .Item per corollarium. Io . ratio s. ad 4. dupla est eius, quam habet octiethedri superficies ad pyramidis supersiciem . Per ςquam ergo proportionem , ratio I r. ad hoc est tripla, dupla cst eius, quam habet cubica superscius ad pyramidis superficiem. Quod est propositum. Cv n vs triplus est ad pyramidem in eadem sph in descriptam. Nam, per is ' huius, ratio sesquitertia, hoccst 3 6 ad 27.dupla est eius, quam nabet cubus ad octahedrum. Item, per undecimam nutus, ratior . ad 4 dupla est eius quam habet octahedrum ad pyramidem. Ergo, per quam proportionem , ratio 3 6 ad . dupla est citis, quam haset cubus ad pyramidem . Sed hqc eadem ratio 3 6. ad . per H Octaui, dupla est ei ut, quam habct 6. ad a. Ergo cubus ad pyramidcm , sicut 6.ad 1 hoc est sicut 3.ad i.videlicet triplus. sicut proponitui demonstrandum.
Id idem potest aliter ostendi. Erecta enim pyramide super basim cubi ad altitudinem cubi: haec pyramis quadrata erit aequalis tetr hedro. Sed cubus ad hanc pyramidem triplus per s. ii. Ergo idem I cubus