장음표시 사용
161쪽
dcxtras ipsius ac in At vigecuplum ipsius L sest decuplum ipsius El. quoniam h f. dimidium ipsius kil.4 Ergo superficies dodecahedri ad superficiem icosahedri, est sicut decuplum ipsus a c. ad riccuplum ipsius h l. dc ideo sicut a c. quod est latus cubi, ad k l. quod cst latusticosahedri: quod rursus demonstrandum proponebatur. 38 Si secetur linea secundum extremam & mediam rationem: porens
quod sub tota & quod sub maiori pollione ad potentem , quod sub tota & quod sub minori comprehenditur, erit sicut.cubi latus adicos ahedri latus in eadem spluetii loratorum. Secetur a b.in pancto C. secundum extremam & mediam rationem .stq; maior eius portio a c. sic super a. centro, ad sp
cium a b. describatur circulus des, in quo sit pcntagonudes scilicet basis dodreahedri. &df. latus icosahedri eiusde sphaerae per 3 i' huius. Eritq; e g. latus cubi, in eadem sphaera per Io' praemissi. Linea verb h. possit quadrata ipsarum a b.a c. linea vero h. possit quadrata ipsarum a b. b c. Et demonstrandum erit, quod sic est e g. ad ipsam d f. sciit h.ad ipsam k.sic. Per 11' praecedentis, linea a c. est latus decagoni in circulo des. Quare, per 13 eiusdem, d e. latus pentagoni potest ipsas ab.&a c.de ideo aequalis ipsi h. Peri r quoque praemissi,d spotentialiter tripla est ad ipsam a b. Et per eiusdem E. tripla est potentialiter ad ipsam a c. Ergo, per a Ir sexti, sicut d f. ad ipsam a b.sck.ad ipsam a c. Et permutatim es ad ipsam h. sitiat a b. ad ipsam a c. Et quia per i ci praecedentis, diuisa e g. secundonimediam extremamque rationem, maior eius portio est ed. Ideo, per ''' eiusdem e g. ad ipsam is e. sciit a b. ad ipsam a c. Igitur per Ii' quinti e g. ad ipsam de. scut d f. ad ipsam K. Et permutatim e g. ad
ipsam d fiscut de. ad ipsam k. Sed d e. ad ipsam h. scut h. ad Esquoniam d e. & h. aequales propterea e g. ad ipsam d s scut h. ad h.
Quod fuit demonstrandum. 39 DODEC AMEDR1 solidum ad icosahedri solidum, in eadem sphaera, est sicut dodecthedri superficies ad icosahedri superficiem. Nam excitatis a sphaerae centro ad singulos solidorii angulos scmidiametris,
distinguetur dode hedrum in in .icosa licdrum vero in 2C.Pyramides. Perpendiculares autem a centro ad bases tam illarum, quam harum
pyramidum, per 3 2 'huius sunt aequales. quae sunt ipsae pyramidquicelsitudines. Construantur itaque geminae sub praesita celsitudine pyramides , quarum una A. cuius basis sit omnibus dode hedribasibus aequalis . altera B. cuius i aps sit omnibus icosahedri bas bus qualis. Eritque per 6' . Undecimi, pyramis A .aequalis do locali dro.
162쪽
Ivramis vero B. aequalis icosahedro.& quoniam eiusdem sunt celsitu-inis: erit pyramis A. ad pyramidem B. sicut basis A. ad basim B. ire & dodeca hedrum ad icosa hedrum , sicut illius superficies ad huius superficiem. Quod fuit demon lirandum.
Manifestum est ergo, quod sicut cubi latus ad icosahedri latus, Gaodecthedri solidum ad icosahedri solidum . Ostensum est ergo, quod praedictorum quinque solidorum in una
sphaera constructorum maximum est dodecahedrum . Nam Per prae- cedens corollarium, hoc maius est icosahedro. Item icosa hedrum maius fuit cubo, per 18 huius. Cubus quoque per t8 corollarium excedebat octahedrum. Hoc quoque, si non mentitur undecima, pyramide corpulentius extiterat. Superficierum quoque ordo non alius erit. Nam per 3 1 . vel 37 . huius, lodecahedri superficies maior erat iccisahedri superficie . Haec autem per χ . superabat cubicam. Rursus haec per 17 maior erat oeta hedri spolio . Quod tandem ad totam pyramidis aream, per Io corollarium erat sesquialterum . t Nec minus manifestum est, per praecedens corollarium & vltimam praecedentis libelli, quod cuius ex his corpus est maximim & super scies maxima, eiusdem latus est minimum. Contra vero, cuius soliditas minima & superficies minima , eiusdem latus est maximum. Et in totum magnitudinis laterum ordo ii conuersus est ad ordinem superficierum, & soliditatum . a
163쪽
Quintus, & Corporum regularium tertius,
PROPOSITIONES. N DATO cubo pyramidem describere. Protrahe sex basium cubi diametros ad quatuor ex cubi angulis concurrentes . Tales enim diametri et unt sex latera intus locatae pyramidis. IN p7ramide octahedrum construere. Diuidesingula pyramidis latera per aequalia,&diuisionum luincta per ra. rectas coniunge. Nam tales coniunctae continebuntatera inscripti octahedri.
per duodecim rectas : quae quide inclusum octahedrum configurabui. 4 IN octahedro cubum fabricare. Octo triangulorum centra conistinua per duodecimam rectas. quippe quae & latera inclusi cubi erunt. 3 I M octahedro pyramidem collocare. Octahedro cubum per pra missam: & cubo puramidem include per primam. Eadem enim ab octahedro circumicribetur.
rum cubi contra per so . lineas. quae quidem dodecahedrum ita formabunt, ut eius anguli dictis centris singuli singulis incidant. IN dodecahedroico ahedrum effingere. Duodecim pentagono centra collige productis 3 o. chordis. Sic enim anguli clausi icolahedri tangent centra basium claudentis dodecahedri.
rectas, quae Pentagoni subtendunt, angulos, protrahe. Sic I 2. rectae constabunt sex quadrata cubum construentia inclusium . P IN dode hedro octahcdrum componere is Sex dodecahedrilatera, quarum bina sunt per diametrum opposita & aequidistantia seraequalia divide. & puncta diuisionum connecte per duodecim neas, quae inclusum octahedrum formabunt IO IM dode hedro pyramidem accommodare. Inscribe dodecin dro cubum per S . Et cubo pyramidem include per primam . Nam pyramis claudetur etiam a dodecahedro. It Is icosahedro cubum condere. Icosahedro dode hedru per es. Et dodecahedro cubu. 2 8 .iugere.qui& ab icostaedro circuscribetur.
164쪽
I 9 Icosahedro pyramidcm figurare. Icosahedro cubum ex prae- Iaeedenti, cuboque pyramidem ex prima ad commoda. Ipsa enim & inicosahedro statuetur.
Notandum, quod hae mutuae corporum regularium inscriptiones essent Melle possent viginti. Sed pyramidi solum Octahedrum couenit inscribi. Cubo autem pyramidc in & octa hedron solummodo . octa- hedro solum pyramidcm & cutiam. Icosalicdro quide tria,Pyramide, cubum & dode hedrum . Denique dodeca hedro caetera quatuor singula coaptari pessunt. Vnde non iniuria solidum hoc credo cuncta comprehendenti assimilauere. Quandoquidi in pyramidem, propter formam,igni; bum propter stabilitatem terrae;Icosahedrum propter mobilitatem, Aquae; Octahedrum, propter senos cardinalium locov. angulos, Aeri & huic magno elementorum inani vendicassent.
Is quolibet dictorum solidoriim sphaeram inscribere. A centro et 3 sphaerae soliduni circumscribentis duc ad unam basium s olida lineam perpendicularem Per I I' undecimi: ad cuius spacium super centro semicirculum, & semicirculo circumducto super diametrum, sphaera describe. quippe quae spropter aequalitatem perpendicularium tanget singulas solidi bases, cui inscribitur: tanget, inquam, in punctis illis, quae perpindicularium castis suscipiunt. Vnde manifestum est, quod sphaerae inscriptae intra octahedrum &cubum,asphaeris aequalibus comprehensos sunt aequales. Idemque deicosahedro & dodecahedro dicendum.Cum per 9 & 3 χ' . prςmissi,
perpendiculares a centris sphaerarum ad bases talium corporum sint aequales.qu e perpendicularcs sunt,per praemissam, sphaerarum corporibus inscriptarum semidiametri. FINI s.
Sequitur calculus laterum & perpendicularium figuplanarum & solidarum.
Latera flammmm aequilaterarum circulo inscriptarum, ius diameter supponiturpedum I a. secundum terminos numerarios. Trianguli r. ios, Quadrati r. 72Hexagoni s
Lineae pedum C secunddm extremam & mediam rationem diuisae
maior portio cstr AI .in. . Minor Vero portio.'.m.r.4 Frater a
165쪽
Latera quinque corporum regularium sphaera inscriptortim, cuius dita meter Inponitur pedum I a. secvniam terminos numerarios. Pyramidis, siue tetrahedri r. 'G
Perpendiculares a centro circuli, cuius diameter pedum It ad latera figurarum qu laterarum in j o circulo inscriptaru m -
Ad latus trianguli Ad latus quadrati Ad latus hexagoni Ad latus decagoni Ad latus pentagoni Ad laciis octogoni Ad latus dodetagonit Serpendiculares a centro sphaerae, euius diameter pedum I i. ad basis 'gulorum corporum regularium in ipsasthara inscriptorum . a
T. I kpo ἡ Ad basim pyramidis Ad basim octahedri & cubi Ad basim icosahedri & dodecihedri Semidiametri circulorum circumscribentium bases singulas quinque corporum regularium, in sphaera cuius diameter duodecim pedum,
inscriptorum a Circuli circumscribentis basim pyramidis r. IaCircumscribentis triangulum octahedri & quadratum inibi r.a Circumscribentis triangulum icosalterii, de pentagonum dode hedri. r v - 1 . m r. I
Hinc possunt elici tam areae,quὶm soliditates. & multa. quae curiosioribus relinquo.
166쪽
Vel Musica elementa Maurolyci studio congesta AD LECTOREM.
Ut quam paucissimu exponam usicae principia,
i rationem,ac theoriam s Gordium capiam a Soetii. ii In ctiri simi sententiis : qui ea, quae a Graecu hausit authoribus, optime literis mandauit, , de huiusmodi negotio abunde disseruit: se T rem omnem tu compen um redigam.
B OETIANAE MUSICAE EPIΤO ME. V SIC A M non modo speculationi, versim etiam moralitati conducere. unde modos canendi adcommodatos mille genetium, a quibus denomina tur, moribus : ut Phrygium Phrygijs, Lygdium :
- Thaletem Cretensem, Gortynium magno precio conductum Lacedaemone pueros musicam instruxisse. Contra,Timotheum Milesium com muscam, adinvento chrom tico genere multiplicasset, animosque puerorum ob id molliores reddidistet Spartiatas succensuisle. Taurominitanum adolescentem ebrium, sub phrygij modi sono i irritatum contra riualem a PIthagora, spondei succentu redditum
Terpandrum quoque & Arionem Methvmneum, Lesbios atque Iones grauissimis morbis cantus praesidio eripuisse. Similiter Ism niam Thebanum Boeo uos sciatico dolore cruciatos . Empedocles,cam quidam hospitem eius gladio suribundus impereret,quod eius ille patrem accusatione damnasset ; inflexisse modum dicitur canendi, &adolescentis iracundiam temperalle. In bello quoque pugnantium animos tubarum clangore, ac tympanorum pulsu accendi liquidb constat. Singulis crgo tonis suam inel se proprietatem, siue incitandi, siue sedandi. ut postea patebit. Triplicem ede Musicam, mundanam, humanam, instrumentalen
167쪽
u cilicet u ima ad maioris inludi. S unda ad minoris compagem, tertia sputa. t ad artem n Nai. Γ discipulam. . . Sonum ei lepercussionem aeris, ad auditum delatam. Percussionein
autem ex motu corporum fieri. : ICorpora vero maior tardius ac rarius min a. velocius ac crebrius
Dein ex tardiore ac rariore inritu grauiorein :.ex celeri ac spissio acutiorem reddi sonum. Hinc ergo crassiorem, longiorem, ac remissiorem nerirum in cithara
grauius sonarer graciliorciri vero, bremorem aut intentiorem acutius. fecundum quantitatum aut intcntionHm rationem. Sonum autem tunc fieri ex tremore tactae chordae crebris 'ictibus acrem percutientis.
Quod in tibiis, tubis, atque cannis, aer flatu, aut sollibus ii' pulsus. ac per soramina illisus. reciproco ac tremebundo motu , angustias laterum reuerberans es licit. V Vnde vicisti in ad aeris aliunde tremesaein motum neruos intacta citharae tremere operientia nouimus. Consonantiam esse non aequalium, sed dissimilium vocum conco diam, ut ait Nicomachus: quamnis postulet natio, ut Unisonae voces 1 symphoniae diffinitione non excludantur. sicut nec Vnitas a num ri, inec aequalitas a proportionis distinitione. Motus itaque corporibus proportionales esse, & sonos motibus, secundum ictuum numerositatem . lo Et ideo sonorum proportionem ex numerorum proportione sumi. Opori tenim musica unxvo una proportionem elle rarionalem. quandoquidem ex incommcnsurabilibus sonis nulla potest conto
nantia exoriri. Superpatientem tam eri proporti onem harmoniae non conuenire,
ut Pythagoricis de quibus iam excepto Ptolema O, videtur. Praecipuas consi nantias a primis quatuor numeris, unitate scilicet, binario, triade, ac tetrade proportionem tu scipere. In his enim qua-tuor numeris contineri duplam, triplam, quadruplam, sesquialteram ac sesquitertiam proportioncs.
Ex dupla diapason. Ex quadrupla disdiapason. Ex tripla diapason
cum diapente. Ex sesquialtera diapentensolam. Ex sesquitertia di, tessaron. Ex his duabus diapason constare. Tonum autem seu phthongum este differentiam, qua diapente ac 'dia tellaron inter se disserunt: hoc est sesqui octauam proportionem. Diphthongum ver5, hoc est, di tonum superaria diatellaron semitonio minori: α eodem vinci tritonum 1 diapente. hoc est, fiesi. cuius se proportio
168쪽
proportio est sicut 2 1 6. ad 2 3.
Porrh dieseos ab intcgro tono digerentiam esse apotomen, quae semitonium maius dicitur. terminos habens. 2I87ι & 2o 8.1 Dieseos Sapo tomo disserentiam esse comma, qui excessus repra sentatur in his numeris 33 in i .& 32 288. Hinc autem propagari omnium Vocalium interuallorum propo
Sensus quandoque in iudicando falli. Ideoque magis rationi cro.
Pythagoram casu pCetereuntem fabrilem per o mcinam , ex ictibus malleorum sonitu audito, per eorum pondera explorasse consonantiarum proportiones. Easque sub his numeris contentas I 2.9. 8.6. In quibus patet dictarum proportionum & excessuum inter se conexio. Hinc quoque Pythagoram in vasibus canoris ac neruis temperasso mensuras ad reddendos talium Proportionum sonos: ut praxis speculationi,&experimentum arti respondeat. . Quod autem infinitatem vocum humana ratio terminauerit, necessarium est. Omnis enim artis, non tantlim musicae, subiectiam infinitum cam sit: opera tainen nostra finem sibi in speculan do, & opstando statuit. Solus enim Deus infinitus. Auditum fieri ex aere percusio atque commoto ad aurem fluctuan. te. fluctuare quidem aerem ex lini,quasi aquam ex iactii la ridis circolariter, quamuis non adeo Velociter aqua fluctitet:&remisso paulatim
motu, lentescere tandem ac cellare sonum . . Musicam vetustam ex quatuor neruis , asserit Nicomachus, constitisse ad exemplum musicae mundanae ex totidem elementis costructae. Mercurium autem tetrachordi huius inuentorem fuit se, testudinis in Nilo, arefactis iam neruis, repertae argumento.
Quintam chordam adiectam a Clio rebo , Attidis filio, Lydorum Rege. Sextam ab Hyagne Phrygio. Septimam a Terpandro Lesbio. Octauam a Lycaone Samio. Nona a Prophrasto. Decimam ab Estra Colophonio. Undecimam a simotheo Milesio. Verum exposito Oe chordo, succedunt eodem ordine atque proportione,& interuallorum distributione chord in infinitum. Nam in primis a grauissima chorda, per binos tonos ac diesimascendentes, terminamus diatellaron. Rursum per totidem tonos ac diesim, & inde tonum repetentes complemus diapenten, & diapason ex Vtraque constantem. Et quoniam hic in tonum desinimus: & idem ordo repetitus possit duos tonos; ecce iam fit tritonus. Velum tertius illorum in diesim & apotomen in chromatico genere dispensatur, ad temperandam tritoni duriciem . Quae diuisio per singulos etiam K 1 tonos
169쪽
tonos seri potest : sicut in cithara , caeterisque in striamentis serieon sueuit. Hic est ordo, haec series, haec proportio, δc processus naturalis. Nemorum Graeca vocabula, aut characteres nihil ad specu lationbm conferre. Exponatur nunc cum suis interuallis & proportio nibus octochordum:quod theoriae satis esse potest.
Harum chordarum grauissimam stellato coelo. sequetem Saturno. Tertiam Ioui. Quartam Marti. Quintam Soli,mediam non immcrito vocatam,sicut Sol est planetarum medius. Sextam Veneri. Septimam Mercurio. postreniam Lunae. Namque grauiori chordae,quae classior. iconuenit maior orbis. Quamuis M.Cicero hunc ordinem inuerterit. Sed neque in distantiis orbium dictas vocum proportiones scrua ncque ex corum motu sonum fieri, aut audiri, philosophicis ratio nibus constat. . . . ' . Quare non dubium est eam collationem elle simplicem numeri ,
aut ordinis : nec quispiam aliter esse sibi persuadeat. Tonum non polle diuidi per aequalia : quandoquidem toni ratio sesquioctaua non est, quae quadrati ad quadratum numerum': per itide medium proportionalem numerum , qui proportioncm per aequ1lia I cet, non suscipit, a Sic non datarr locus Alistoxeno tonum per aequalia secari debere asserenti. ' Nee minus errasse Philolaum: qui tonum in numeris 27. & 1 .sta.
tuens, I .tribuit Diesi. M.Apolomae. unitate commati relicta. Semitonium minus, hoc est diesim maius esse tribus commatibus, minus vero quatuor. Apotomen maiorem esse,quam quatuor commata: minorem Vcro,
Propterca tonum maiorem esse octo, minorem isto nouem com malibus.ut constat rationes componenti, aut subtrahenti.
170쪽
timque diezeugmenas,id est,disiunctis: aut hyperboleas, scilicet excellentes vocari :Cantilenarum genera esse tria, ut ait Archytas: scilicet diatomicum, quod per binos ronos, singulis diesibus interiectis,procedit. Chromaticum mollius,cum tertio tono in diesim & apotome, ut iam dictum est, diuiso) continuantur tria hemitonia . Enarmonicum, quod per armonica systemata vagatur. Commensurabilitatem percussionum essicere consonantiam : &diapason elle principium consonantiarum, ait Nicomachus. Ve iam postularet ratio , ut sicut punctiam continuorum, Unitas numerorum, aequalitas proportionum est basis & principium ; ita de uni sonus sit consonantiarum exordium. Musicas voces semper esse in ratione numerorum, &commerisura biles. Nam in commensurabilitas non recipit consonantiam, nec vocis scitum terminum , cana sit ignota. Optimas cons mantias in multiplicibus & simplicioribus proportionibus consistare. Neruum non aliter tremere, quam secunddm tenorem proprium, Iolle: unde aer per neruum tremefactius, Vicissim non alio, quam uni-
ono neruo communicat tremorem .
Tropos, vel modos octo, este totidem interuallorum diapason species , secundum diuersa exordia sumptas. Eos autem elle Dorium , Hypodorium. Phrygium, Hypophrygium. Lydium, Hypolydium. Mixolydium, HypomixolIdium. Vocales differentias, secunddm graue& acutum Aristoxenus in qualitate, Pythagoras dc Ptolemaeus in quantitate ponebant. Et viriq; verum d icere, meo iudicio, poste videntur. Quia enim Obstat, qualiatatem per quantitatis gradus intendi ac remitti ὶ Nonne Physici rerum frigiditatem aut calorem quantitatiuis ut sic dicam terminis
Licebit ergo & musicis , has vocum qualitates s quando a corpo bus , quorum ex motu generantur, ortum habent) proportionalibus determinarenumelia.