장음표시 사용
151쪽
cubus ad tetrahedrum triplus. Quod autem pyramis ipsa cubi quaIAM tetrahedro, natet.quoniam per χO'. huius, sesquitertia ratio dupla est eius, quam habet basis cubitae pyramidis ad basim retrahedri. Rursum sesquitertia ratio dupla est eius, quam habet fastigium tetr hedri ad fastigium cubicae pyramidis, per Σ' corollarium. 18 praemissi libelli. Ergo bases cubicae pyramidis , de tetrahedri reciprocae sunt celsitudinisus. Quire per 9 undecimi, cubica pyramis tetrahedro aequalis est. quod supererat demonstrandum. Idem sequitur, si pyramidis vel tetrahedri columnam triangulam erigas: quae cum sit tripla tetrahedro &aequalis cubo: rursus arguitur cubus ad tetrahedrum triplus .Quod autem praedicta columna triangula sit aequalis cubo: patet quoniam bases in ipsis lant altitudinibus reciprocae per corollarium dictum, & per ΣOmiuius. Idem aliter, & quarto modo demonstrabimus quae curiositas est in 'eniorum Sic. Diameter sphaerae potentialiter tripla est ad latus cubisibi inscripti, per is praecedentis. Ergo ad eius dimidium quanta est perpendicularis a centro sphaerae ad basim cubi per 8' . huius ) erit duodecupla . Item , per c . huius, sphaerae diameter est trigecupla sexcupla ad perpendicularem ii centro sphaerae ad basiim pyramidi . Igitur perpendicularis cubi, ad perpendicularem pyramidis potenti liter erit tripla. Quoniam vero ex ductu perpendicularis a centro sphaerae ad basim solidi regularis , in totam superficiem solidi producitur, triplum soliditatis : idcirco triplum soliditatis cubi ad triplum soliditatis pyramidis rationem liabet compositam ex rationibus duabus, scilicet ex ratione perpendicularium & ex ratione superncierum. Sed perpendicularis cubi ad perpendicularem pyramidis , dudum ostensa fuit potentialiter tripla. Cubica vero superncies ad pyramidis superficie, per 2 i' huius potentialiter quoq; tripla est. lar ratio tripli soliditatis cubicae ad triplu soliditatis pyramidis, potetialiter lumpta, coponetur ex duabus triplis rationibus.Quare potetialiter erit nonu-pla. Et ideo triplum cubi ad triplum pyramidis erit nonuplum Do te-tialiter.Vnde de cubus ad puramidem item potentialiter non ii plus:&perinde in magnitudine triplus. sicut tribus alijs procellibus dudum demonstratum fuit. Et hic est quartus demonstrationis modus.
ET OV o Ni AM, ingeniose Lector,harii diametrorum, Iaterum,
perpendicularium ratio & collatio constat per calcit . um : ideo repetemus hic omnia,quae circa sphaeram, pyramidem, octahedrum decubum tradita sunt, in lineamento & calculo , Ut repetita melius t neantur. Sic. Super diametrum a b.centrumque k.stet semicirculus
152쪽
a d b. sitq; a c.chipla ipsius c b.& excitatis perpe-dicu laribus cd. k e. Κ f. Connectantur a d. d b. b e.Vnde constabit ex i6 praemissi, quod posita a b.diametro sphaerae, erit a d. latus pyramidis in sphaera descripti. Per i e b.latus octahedii. IPer 18- b d. latus cubi Per e huius, a C.perpedicularis a vertice pyramidis ad basim. Per s huius, E c.perpendicularis a centro sphaerae ad basim pyramidis. Per 6' huius k f. perpendiacularis a cetro sphaerae ad basim octahedri. Nam per 8' est dimidium ipsius b d. Et per ρ' aequalis perpendicularis a cetro sphaerae ad basim cubi. 'Item ex i6' praemissi, constat c d esse semidiametrum circuli circuscribentis basim pyramidis. Per i 2 quoq; huius, patet triaguluoctahedra,&quadratum cubi ab eodem circulo circumscribi. Namq;b e.latus octahedri ad semidiametru dicti circuli triplum: & b d. latus cubi ad eandem semidiametrum est potentialiter duplum. Cum illud latus ad hoc sit potetialiter sesquialterum. Exponetur nunc in tabella numerarius calculus, per quem nihilominus omnia demonstrantur.
Α b.diameter sphaerae supponitur 12b h. semidiameter eius si a d .latus p3ramidis r. 96b dilatus octahedri r. 71 l bd. latus cubi r. 8a c.perpendicularis i vertice pyramidis ad basim ac b.excessus diameter super cictam perpendicularem h ci perpendicularis a centro sphaerae ad basim pyramidis 1 hs. perpendicularis a centro sphaerae ad basim octahedri & etiam ad
basim cubi. DIae d. semidiameter circuli circumscribentis basim pyramidis r. 3 1 Semidiameter circuli circumscribetis quadratum cubi & triangulum octahedri r. 2
Ad quam videlicet latus octahedri quod & trianguid triplum : latus vero cubi quod & quadrati duplum est.
ET N e quid interarum relinquatur,
subiungemus nunc duorum , quae restant, solidoru lineamentum & calculu. Ponatui a b.semidiameter sphaerae:super quam describatur semicirculus hca. Et in diametro, sit a laquadrupla residui b h. Et excitata h c. perpendiculari, coniungatur ti c. ca. dc proclucanti utrinque. Sitq; ipsi a b.aequalis b d.atque conectatur a aequae, per 2I
153쪽
pnae missi ext latus i sthedo descripti in sphaera, cuius semidiametera b. Et quoniam a h. quadrupla est ipsius h b. Ideo quadratum ipsius
a c.quadruplum eritqii ad rati b c &ac. dupla ipsius G c.& b d.aequalis ipsi a b. Iain, per ii . secundi, quod fit ex a c. in ipsam c b. uum est quadrato ipsius c. . atque idco per i ; . sexti. si a c. secetur secundani extremam & mediam rationem; maior eius portio erit c d . Vel quoniam a b. ad ipsini b c. potentialiter quincupla est: ideo a c. quae dupla est ipsius b c.ὶ diuisa secunddm extremam & mediam rationem, maior eius portio erit c l. per i prannissi libri. Producatur ea αponatur cf. latus cubi in dicta sphaera locati. Quod quidem ad semia diametrum potentialiter sesquitertium est. ad ipsam vero a c. sicut sis ad 3.& agantur e s. fg ipsis d a. a b. aequi lictantes.Vnde ex similitudine triangulorum sequetur proportio linearum. Atque per γ' praemissi, sicut ipsius a c. secundiam extremam & mediam rationem diuis; maior portio est c d. ita & ipsius c f. similiter secte maior pars erit. c e. Cumque,c f. sit latus cubi: iam per praemissi , c αfiet latus dodecahedii in eadem sphaera
clausi. Si autem ponatur a c. semidiameter circuli vel latus hexagoni: Tunc, quoniam. a c. per mediam Sc extremam ration insectae maior portio est c d. Ideo per lx '
circulo circumscripti.& per i 3 ad. Iat pentagoni
Et quoniam a c. a I ipsam a b. semidiametrum spliaerae potentialiter est sicut 4 ad s. Et ipsius a c. dicto: modo diuise maior portio est c d. Ideo sequitur hoc corollarium, quod ipsum a d. latus ic ahedri potest ipsas a c. c . . , Item, quoniam a b. semidiameter sphaerae potentialiter quincuplae est ad ipsam b c. quod est dimidium ipsius a c. ideo diameter sphaerae potentialiter etiam quincupla est ad totam aci quae est semidiameter circuli circumscribentis pentagonum, cuius latus est ipsum a d. latusicosahedri in tali sphaera locati. Quod autem linea a d. su latus pentagoni in dicto circulo positi, patet per i 3'. praemissi: quoniam potest; pla a cic d. latera hexagoni & decagoni i tali circulo clausulorum. Et habes secunddin hoc corollarium. Constat etiam quod sphaerae semidiameter aequalis est dimidio latoris hexagoni & lateri de goni in circulo praedicto descriptoru pariter acce2tis. Namque a b. sphaerae semidiameter aequalis suit ipsi b d. l . . quae
154쪽
piae conponitur ex b c. dicto dimidio, S m e d latere de goni. Et
Notandum etiam quM haec eadem corollaria sequebantur iud scriptione & lineamento I9. pia tendentis libri. ' Si sphaera cireum tibat do loca hedrum de cubum: tunc latus cubi est linea, quae subtendit angulum in pentagono dode hedri. Et hoc etiam corollarim constat in iesi praemissi. h Nunc veniamus ad praxim calculi theoriam comprobantes : de sph. erae semidiametrum pamum 6. sicut antea, ponentes. Α b.semidiametet sphaerς 6 cf. Litus cum r. .g
a e r. 28 miae singula respondent b c r.7 iis, quae supcrius de a d. latus icosahedri. scilicet rivia i monstrantur.
. Hactenus quae circa latera ct bases ac perpendiculares pyramidis,
ectahedra, atque cubi creorisv collationes. nec non circa lateraico hedri atque doticabedri conf3deranda sunt, tradidimus. i Deinceps ad perpendiculares, bases, superficies ac solid i tutes horum dubitam, c lationem demonstram dam vente tis . o hi ne hcundum hoc libellum terminabimus.
latis maior est,quam perpendicularis ab eodem cetro ad basim cubi in ea lcm sphaera constituti. Patet. Nam circulus circumscribes quadratum cubi, maior est circulo circumscribente triangulum icosa-hedri. Nam ille circulus , per in huius, circumscribit triangulum octahedri. quod triangulum maius est triangulo icosahedri, quod circumscribit hic. Ergo si quadrata horum semidiametrorum singula subtrahantur a quadrato semidiametri spbaerae; supererunt per penultimam primi, quadrata perpendicularium a centro sphaerae ad ipsas solidorum bas .Per subtractionem igitur minoris quadrati, supererit maius quadratum, dc ideo maior perpendicularis. Quoniam igitur minor est circulus circumscribens batim icosahedri, & ideo minus quadratum eius semidiameter; idco maior erit perpendicularis a cetro sphaerae ad basim ico sine iri, quani ab eodem centro perpendicularis ad basim cubi. Quod est propositum. Poterat & prius ostendi,quod Ι 3 perpen-23
155쪽
perpendicularis i saliedri maior est,sirim perpendicularis octahediisquoniam illius triangulum minus est & ic o maioriquana perpendNicularis cubi, scut demonstrandum proponitur. ii se M A i v s est ico salitari datus sphaerae , inti 'quam describitur isemidiametro. Iulnere descriptione mi ultimae praeci; dentis libelli in qua a h.& m b.sunt qquales : & haram viralibet maior , quam m l. α ideo maior,quam El.&ideo Haior, quam h m. Igitur m b.assumit cle, semicirculo plusqu&m tertiam partem: ergo maius est m b.quam latus hexagoni in ipso circulo descripto . Quare latus icosahedri maiis semidiametro sphaerae.quod est propositum.Idem constat in lineameto praedictae repetitionis. ubi a d. longum quam a b. quonia c d. longior, qesim b c.de similiter constat propositum . D vo quadrata,quae ex sphaeri; diametro simul sumpta aequalia, sunt superficiei cubi in sphaera constructi. Per. 18 enim praemissi libelli, quadratum , quod est sphaerae diametro triplum, est quadrato cubiti lateris : cumque set quadrata cubi perficiant cubicam stiperficiem. , quod octo quadrata, quae sphaerica semidiametro, adaequant cubicam superficiem . V i a i NTi triangula aequilatera maius sunt, quὶm octo quadrata super eisdem descripta lateribus. Ut si stit super lineas a b.aequales, quadratum C& triangulum d. aequi laterum: Aio, quod 1 o. triangula aequalia singula triangulo d. maius sunt quam s. quadrata sngula aequalia quadrato c. Sit enim e soctupla ad lineam a. & ss. aequalis ipsi a. eritque rectangulum e g. o plum ad c.quadratu, Sit quoqtie h h. vigecupla ad ipsam b.& h l.quanta est perpendicularis in triangulo d. patet propositum . Hinc manifestum est Et erit triangulum E h l. vige plum ad triangulum d. Secta quoq; per aequalia h h. in puncto mincit rectangulum i m. ςquum rectanguloli k l. per i . primi. Eritque fg.ad ipsam h l. potentialiter sesquitertia, per primam huius. Sed ii m.at ipsam e sper hypothesim, sicut s .ad dc ideo potentiali ter sicii t is .ad i6. Maior ergo est ratio h m.ad ipsam e squam ratio ipsus fg.ad ipsam h l. Sit itaque scuth m. ad ipsam
ergo rectangulum in n. quod, per i 3' sexti, erit aequum rcctanguloe g. propter reciprocam laterum rationem. Quare rcctangulum I m. maius
156쪽
maius erit rectangillo e g. suit autem rectangulum I m. aequum triangulo fi h. l. & ideo vigecuplum ad triangulum d. Et recitangulum e Poctu plum ad c.quadratum. Igitur dictum vigecuplum maius dicto octu plo: Quod erat demonstrandum. Imo iv. triangula huiusmodi excedunt dicti quadrati octu plum ut docet ipsa rationum compositio. Icos AH Eoni superficies maior est,quam cubi in eadem sphaera 17 positi sit perficies.Nam, per praecedentem, viginti triangula aequata tera super semidiametro sphaerae costituta maius sunt,et octo quadrata suprade semidiametro descripta.Sed p 2 huius, latus icolahedri maius 3 est sphaerae, in qua locatur, semidiametro. A' sortiori ergo Io. triangula super latus icosa hedri constituta,maiora sunt, quam octo quadrata supsemidiametro sphaerae descripta.Sed et O. triangula huiusmodi copon ut totam icosahedri superficie. Et octo quadrata semidiametri sphaeralis, per 2 1' conflant totam cubi superficie. Ergo de icosahedri superficies maior erit, quam cubi superficies. scut demonstrandum proponitur. IC os AHEDRvM maius est cubo secum in una spli aera descripto. Patet. Nam perpendicularis a centro sphaerae ad basim icosahedri maior est, pel 1 ι huius, quam perpendicularis ab eodem centro ad basim cubi. Et, per praecedentem , inperficies icosahedri maior est,
qtiam cubi superficies. Quam ob rem, si eductis a centro sphaerae rectis ad angulos solidorum distinguantur ipsa solida in pyramides : deinde fiat pyramis, cuius basis si omnibus icosahedri simul sumptis basibus aequalis, celsitudo vero aequalis perpendiculari a centro sphaerae ad basim solidi: quae pyramis sit, A. Mox fiat alia pyramis, cuius basis sit aequalis toti cubi superficies: celsitudo vero aequalis perpendiculari ad basim cubi: quae pyramis sit B. Iam per 6 duodecimi, pyramis Micosahedro, pyramis vero b. cubo aequalis erit. Et quoniam pyramis A. & basi & fastigio superat B. piramidem : erit proculdubio maior eadem. Quare & icosahedrum cubo maius erit. quod est propositum. 2s
Qv Αε ὶ circuli centro in pentagoni latus in i plo circulo descripti 1
perpendicularis ducitur, dimidia est simul utriusque de eius, quae excentro de lateris Mogoni in eodem circulo descripti. In circulo a b se ius centrum c. sit e c. perpendicularis ad a b. latus pentagoni: quae roducatur ad perist iam in punctum d. eritque b d. latus de goni: unc aio,quCd c e. aequalis est dimidio ipsius e d.& dimidio ipsius bd. in rectum comuctis.Sumatur enim ipsi e d.aequalis es. & connectatur
157쪽
bs & quoniam angulus gcb. duplus. est ad angulud.Vel b.P 3 2' primi:& quadruplus ad angulum b c d per Vltimam sexti .ideo angulus d.vel b. duplus est ad angulum b c'd . Quare angulus b f d. ipsi d. angulo aequalis duplas esti ad angulum b c d.& per 3 2' primi, ad ipsum angulum s bc: ipsi igitur b c s. fbc. anguli
inuicem aequales . Quare lineae e f. fh. b d. inuicem aequales. Cumque ipsae fc. cd.itinctae faciant duplum ipsius ce. iam&ipsae bd. cd. sit nul sumptae facient duplum eius lem c e. Ergo & dimidia ipi Hum bd. cd. coniuncta facient ipsam cc. sicut proponitur demonstrandum. i l3o ADRATA , quod a latere pentagoni, quodque ex eius anguliam subtende te simul sumpta,quincuplum sunt quadrati, quod es circuli pentagonum circumscribentis semidiametro. Sit a b. latus poni ocilae. latusdeca ni: bc. subtendens angulum pent goni cde. diameter circuli a b cicentrum autem d. Aio quod quadrata linearum a b. b c.
Hinc manifestum est, quM quadra tabo latere dod hedri de ex latere cubi in eadem sphaera locatorum simul sumpta, quincuplum faciunt quadrati, quod ex semidiametro circuli penta- 1. konum dodecahedri circumscribentis. fit. Nam si sphaera circuri scribit dodecalliarum &cubum, latus dode hedii cum sira b. erit cubi larus a b et sicut in ro praemissi, vel per postremum corollarium repetitionis constitit. I DE M circulus comprehendit dodeeahedri miinquangulum Micosahedri triangulum in eadem sphaera descriptorum. Esto in sphaera, cuius diameter a b. clausi dode hedri basis c. de in eadem sphaerad seripsi icol hedri balis d. Sintque lix a . . bduae bases intra circulos es g. & h h. -- quorum semidiameter c fd Ecentra c.lt Aio, quod aequales sunt cf. d h. Si. enim a b. potentialiter quincupla adipitari l in . quae in puncto n. secetur
lacudum mediam de extremam ratione. di maior
158쪽
& maior portio sit i n . Sitque circulus p q. cuius semidiameter sitit in quod erit latus hexagoni: & l n. latus de goni, in circulo F q. descriptorum per i 1 praemissi. Quare quadratum ureris p q. pentagoni scilicet in ipso circulo p q. descripti, critaequum quadratis ipsarum i m. t n. perii 3'
praecedentis. Per corollarium autem secundum
repetitionis, It h. latus icosahedri est a qitale ipsi pq. & ideo quadratum ipsius h h. erit aequale quadratum ipsarum i m. in . Sed a b. potentialiter tripla est a d. e g. latus cubi, per i 8' premissi . qui. s.cubus dicte sphaerae inscribitur, per u Limum coroll.repetitionis. Et si e g. secetur secundum extremam de mediam rationem : maior portio erit e s perro praemissi. Ergo per7 . eiusdem . sicut e g. ad ipsam i m. sic e f. ad ipsam in. Quare per sexti, quadratum ipsius e g. ad quadratum ipsius i m. sicut quadratum ipsius e fad quadratum ipsius i n. Et ideo, per i 3 quinti, sicut aggregatum quadratorum e g. e f. ad aggregatum quadratorum I m. t n. sic quadratum ipsius e g. ad quadratum ipsiust m. Et per i 3 quinti,& permutatam proportionem, triplum quadrai torum e g. ef ad aggregatum quadratorum lin. in . sicut triplum
quadrati ipsius e g.aa triplum quadrati ipsius i m. Triplum autem quadrati ipsius e g. est quadratum ipsius a b. per 18' pr.rmissi. Sed quadratum ipsius a b. quincuplum ad quadratum ipsius lin. Ergo triplum quadrati ipsius e g. quincuplum ad uadratum ipsius lin. Quare triplum aggregati quadratorum e g. ef quincuplum est ad aggregatum quadratorum i m. t n. & ideo ad quadratum ipsius h EPer is' autem praemissi, quincuplum quadrati ipsius h h. quind cupium est ad quadratum ipsius d h. de peris c' huius , triplum aggregati quadratorum e g. es quindecuplum cst ad quadratum ipsiusci. Itaque quindecuplum quadrati ipsius c f. aequale cst quindecuplo quadrati ipsius d h. Igitur quadrata ipsarum c f. d h. sunt inuicem aqualia. Et perinde ipse cf.d k.aequales. Quod silerat demonstradum.
P RPENDICvLAR Es a centro sphaerae ad bases dode hedri de , icos hedri ab ipsa sphaera circumscriptorum sunt aequales. Namque huius in odi perpelliculares cum semidiametris circulorum bases ipsas circumscribentium & semidiametris sphaerae ad angulos balium excrutaris ficiunt triangula ructangula . In quibus cum duo latera,scilicci sphaericae semidiametro,& duo latera ,scilicet semidiametri circulorum bases circumscribentium, per praecedentem sint aequa ia, erunc pete penultimam primi: duo reliqua latera, lcilicet perpendiculares, invia cum quoque aequalia,sicut ollandendam proponitur. Quo o
159쪽
QV oo sub perpendiculari 1 centro basis dode hedri ad latus , disti, ipso latere comprehenditur, rectangulum est totius superficiei dodecahedricς pars triccsima. A centro basis dodera-hedria. ad latus cius b c. exeat perpendicularis a d.
Aio, quod id, quod sub a d. b c. comprehenditur, est totius do Mohedri superficiei pars 3o'.MPatet. Nam tota dodecihedri sit perficies dissecatur in 6o. trianguluaequalia singula & similia ipsi a b c. triangulo. Et exad.' in b c. producitur duplum trianguli ab c. per' i primi. hoc in duo
triangula, quae sunt pars io'. sexagena ij.
3 inoo sub perpendiculari a centro basis icosa hedri ad latus & sub
ipso latere continetur, rectangulum est totius ico thedricae superficiei pars tricesima . A centro basis icosahedri e. ad latuς
g. dat perpendiculari e h. Aio,quod id,quod sub e h. s pest totius icosa hedri superficisti pars 3 o . Pater.Nam tota icosa hedri superficies dispensatur in 6o. triatigula 'aequalia singula de similia e fg. triangulo.& ex e h.in in. o producitur ipsius e fg. trianguli duplum. quod de sex ginta suscipit partem trices mam. Manifestum est ergo , quod do lecahedri se perficies ad icosahedri superficiem est, sicut rectangulum quod sub latere dodecthedri & ei perpendiculari a centro continetur, ad rectanguIum , quod sub Iatere icosahedri & ei perpendiculari a centro basis comprehenditur. Patet ex praemissis &o i 1' quinti. 3 1 Doo ac Au Eoni stiperficies ad ico hedri superficiem,est sicut cubilatus ad icosa hedri latus,in sol lis scilicet ab eadem sphaera contentis. Esto a b. quidem laciis pentagonae basis dodecihedri ta c. vero latus trianguli icosahedrici in eode circulo a b c ut praemissa 31'. ostendit descriptorum: quoniam solida ipsa in eadem sphaera contineri supponuntur. Sintque a centro d. ad ipsa latera perpendiculares d g.& d e. quae ad periseriam producta distinguat ipsum pentagoni Iatus A. 1adem h. linea sit Iatus cubi eiusdem sphaerae. Demonstradum est,quod dodecahedri super scies ad ico thedri superficiem est, sicut h.
Iinea ad a c. lineam. Hoc modo. Nam d sa. in rectum posita, per i i p cedenti secti dommediam & extremam rationem secta est. dc
maior eius portio d f. Sed per . huius, dimidio ipsius d G.aequalis est d e. At d g. per i 1' huius, est dimidium ipsius d s. Ergo, per nuersam, septimae praemisit, ipsius d e. ditiise secundum mediam
160쪽
extremamque rationem, maior portio est dg.Ex m. autem praemissi,
patet, quod ipsus h lateris cubici media & extrema ratione mulsi maior portio est a b. latus dode hedricum .iIgitur, per γε praecedentis, 'seuth.ad ipsam a b. sic e d. ad ipsam d g. Quare, per I 1'. sexti, quod fit ex h. in d g quale est et,quod ea a b.in ipsam ed . Sed per primam oti, sicut quod fit ex h. in ipsam d g.ad id,quod fit ex a c. in ipsam d g. se est h.ad ipsam a c. Ergo erit sicut had ipsam aci sic quod fit ex a b. in e d.ad id, quod ex a c. In d g. Verum ea est ter corollarium praeco dentis, sicut dode hedri superficies ad icosa hedri superficiem. Quam ob rem & illa superficies ad hanc, sicut h.cubicum latus ad ipsum a cilcosahiaticum latus. sicut proponitur. E x dodrante diametri in dextantem lineae angulum pentagoni sosubtendentis fit aequale pentagono, quod a circulo circumscribitur, rectangulum. Esto in circulo a b c. pentagonum aequilaterum ab c. ubi centrum sit d.diameter b d e.quam a c. linea subtendens angulum pentagoni a b c.secet in punisto g. Dico itaquequbdex ali. quae sit dextans, hoc est ipsius a c.
citur rectangulum aequum arcς pentagoni totius
abc. Hoc modo. Per U. primi, quod fit exb d.in a g. duplum est ad triangulum a b d.ergo, quod fit ex b f. in a g. triplum trianguli a b d. quodque obsing h. duplum ad triangulum abd. Quare quod hi ex bf. in ah. quincuplum triangilli a b d. & ideo aequale toti pentagono et scut demonstram 'R v sisv M ostendere, quδd sicut cubi latus ad icosahedri latus, sic 3 est dodeeahedri superficies ad icosahedri superficiem, in eadem sphaera conscriptorum. Descriptioni procedentis addatur triangulum aequia lateriim b h l. Eritque pentagonum a b c. basis ipsius dodecihedri. Et trianstulum b h l. basis ipsius icosa hedri in eadem sphaera locatorum.
per sim huius. Item a c. latus cubi, adhuc in eadem sphaera descripti per ro praecedcntis. Per praemissam itaque,ex b f. quae terminatur in
latere trianguli h l. per i 1' huius vel praemissi .m ipsam a h.producitur area pentagoni a b c. & ex b f. in f h. producitur triangulum ti k L per
i primi. Quare, per primam sexti, pentagonum a b c.ad triangulumi, k r sicut a h. ad ipsam h f. Igitur per a '' quinti & aequam proportionem duodecuplum pentagoni a b c. tota videlicet superficies dod Ohedri , ad vigecuplum trianguli b k l. totam scilicet superficiemico salitari: scut duodecuplum. lineae a h. ad vigecuplum lineae k f. Sed duodecuplum ipsius a h.est decuplum ipsius a c. quoniam a h.est