장음표시 사용
281쪽
prima fistura in secundam,i puncto q.ad radiu aequinoctialem a s. sub eisdem si nata notis. Et continuatis a puncto q. per sen ta puncta lineis radios caeteros secantibus : atque ipsa q g. Cquidistante ipsit a s. videbo in qui b. punctis continuatae lineae secent, exempli gratia, radium a x. utpote linea meridiana secet eum in puncto l. & caeterae per ordinem in punctis Em nor x g. Et eadem haec spacia q l. q'.q m-q n q O. q r. q X. q g. transferam per circinum a secunda figura in primam per ordinem in meridiana q i. caetem que horarijs lineis, Iinnando totidem sub i)sdem notis puncta: Nani propter seruatam in triangulis angulorum de laterum aequalitatem,fit,ut radius a X.motu primo sub eodem semper declinationis an illo circumductus ac describens in prima figuratione hyperbolen, abscindat eadem spacia delineis horariis I puncto q. recepta, quae radius ax. de meridiana a l. caeterisque continuatis ab ipso q. puncto amputat. Quare tum erit descriptam hyperbolen per talem radium in plano horologij ferri per puncta I k m n o rg. in prima figura : de per e emo
282쪽
puncta talem periferiam delineari poste i Similiter & caeterorum ra- Q. Or uim flexae describentur singillatirn.Vnde sera quam describet radius a V. erit contrapolita ipsi iret. perrseri propter parem S diue lana declination zmi: Nec secus hyperbolae duae per radios a T. a ω. de sicliptae, contrapositae erunt an uicem. Nec minus, quae perat. au. tropicorum radios mari marum rodiaci declinationum depingentur. Sicut autem describimus periferiam i r g. citra meridianam ql. per puncta inacaeteris horari)s lineis signata'; ita Jc vltra eandem retia quum periseriae brachium continuabimus per caeteras horarum I
neas ad eadem spacia similemque penitus cli positionem : quando uidem meridiana ipsa, est axis seu principalis hyperbolarii diameter milia utrinque brachia periseriatum disterminans . Et idem sici mus in reliquorum radiorum periferi; s describendis . Nec arbitror
admonendum horologio hyemalem: radius vero a u.ad tropicum pertinet, caeterique ad signa media . In nostris itaque regionibus radius a r. ad initium Capricorni: a uautem ad initium Cancri: a x. ad initia Tauri ac Virginis: a y. ad initia Piscium ac Scor ij a z. ad initia Aquarii ac Sagittarij a M. ad initia Geminorum de Leonis spectabunt .as. autem aequinoctialis ad initia Rcietis ac Librae. bina una quaeq; hinoi initia locatur in uno parallelo.
283쪽
Quod si flexas ad talia signorum initia spectantes velim in plano
verticalis horologij protrahere, faciam in secunda figuratione angulum a q i. parem complemento latitudinis loci: & in ptima figura distinguam linearum spacia uti ad verticalem circulum spectat. per OR aemissi. Praeterea radiorum ossicia commutabuntur.Nam a topertinebit ad aestiuum : & au. ad brumalem tropicum, & sequentes radij ad sequentia, ut ordo postulat, ignorum initia.Sic itaque aequinoctialis linea i s. habebit hinc ternas & inde totidem flexas lineas, in quibus umbrarum desinentiae deferentur Sole in ipsis, quorum sunt flexae parallelis constituto. Stylus autem in horologio utroque semper erit perpendicularis a puncto a. ad lineam meridianam q i. . Pro horologio autem horizontis recti,& pro Omni horologio meri dianol, radius aequinoctialis h a i.perpendicularis ponetur ad lineam meridianam i i.& axis q a p.eidem aequi distans.& lineae horariae aequidistantes erunt, sicut in i i ' cap. praecedente factum est : & binae quaeque contrapositae ab aequinoctiali recta hinc inde aequaliter semotae. Et spacia in lineis horarijs sumuntur hinc inde ab aequinoctiali ad
P . . . l l Libri secundi Finu.
iobono sitiit et nunciatum classem Turcorum appulisse in Mamertinum fretum.
284쪽
Ad Ioannem Vegam, Siciliae Prorege I rL.
M sis ferὰ in assumpto negocio di cultas conssirit
inflexarum linearum noritia : qui locus tam neglectus est ab a s, qui de gnomonica ratione conscripserunt bactenus, quam conicorum doctrina fudi incognita. Absautem,quibuo decretum est ea,quae ab alκs omissa sunt, tractare,ct qua ad rei speculationem magis faciunt,id praecipud curauimus explicandum Quoniam igitur monerioribus libellis vix species ferarum, a pauca circa earum ora, ac delineaticnes tetiger.mus, lineis tantum bono s descri-hcndis intentis ; in hoc postrcmo libet o per urremin aliqua circa conicarum sectionum diametros, ac proprieta- res,o contactus,nccnon circa contrapositarum Non tangentes. ut si quid remansit obscurum , hic apertius note-ycat .a Perfringemus igitur aliqua ex ovoli nio nosti opartim dec repta, partim per nos demon rata: ut quam
fici irime fieri poterit, ferarum huiusti odi d. nitiones, acodentia O proprietates praecipua aperiantur: ab ipsis
Si itaque a puncto extra circuli planum fixo, recta linea et trouersus in infinitum producta per i uiua cirradi per feriam totam circumducathr : descripta per lineam risecumductam supiscies, conica superficies vociabitur m trinque a punicto sumpta in infinitum, habens oraqueunt m verticem, quod est punctum imum fixum. Co.ιus autem erit sub circulo, ct conica supersi te comprehemstim solidum. conico basis erit circulus: O vertex, qui ire conicae sepositari vertex.axis vero recta,quae per verticem basis scentiis traucitur. Re a conua ι Ii, mus axis ad basin stipta. cularis est... e R Scalenus
285쪽
Scalen in nerδ conus,cuius areis obliquo est ad basim, plano autem conum per uerticem secante, sectio facti triangulum eri, ita duobus lateribus cinnicis o basis diametro seu chorda contentu ,per tertiam primi Conico m. Flamo item basi quid ante comm secate,s in o circidus erit per quartam prsdicti. Si conus scatenus plano per με recto ad basim secetur,fectio erit,ut dictu ret, triugulum:
cui si superueniat planum orthogonaIter simile sed subcovtrarie positum triangulis abji inrim, facta in cono per . i. superueniens planum fetao, circulus erit,per Pinia primi μ/ conicorum Triangulum itaque per axem in cono rccto, simper rem re est ad basimela scaleno aut non semper. Pasis cutim talis tri uti semper It diameter circuli,quiba is est coni. On ergo planum dicto tri angulo ita superum nit, ut fcct. Onε in plano dicti circuli faciat perpendicula; εad dictam ipsius circuli diametrum, nec bcntrarium a ferat triangulum; tunc faciet in cono una ex tritas flexis, scilicet parabolen ,s communis sectio eius cum triangulo aequid et uni lateram trianguli: elli sim autem , si sectio dicta coincidat utrique laterum. Hyperbolen uerosi sectio
ipsa nec aequidistet, nec coincidat lateribus : Talis j, sectis erit diameter flexae ἱ cono facts ipsius .paraboles,ri psis,
net hyperbole secas per aequalia omne lineam, quae chor
da est flexae,squidistatem communi sectioni supervcniciis
plani cum circulo. Tales autem chorda sic a diametro per
medium diu fae dicium ordinatae uestructim acta.
triangulsi per axim orthogonaliter instat bas comico,quo din cono ricto semper sit, qzq: verδ in Scaleno; tunc diameter flexae secat ordinatus ad rectos annulos, ct aer axis imc mira i sits fus stres. En vero tri ulu per axim im lixatur ad basim
conicum,quod in Scaleno cono acticis, di cter obliqu/fecat per medium ordinat m, nec dr aris. Extremum axis
seu diametri, dici solet et erreasse sera autem ito siue parabole, siue estist A siue sit hyperbole, dici solet conica
sectio:qnquidem fit a plano conum fecante . Quando itε planum iniquio per axiv dicto modo superue. ies,neutri laterum rei. guo aequissi laus,o alterum im secans hyperbolen facit in conosecabit dr contaeapositum conum Deiens simile aequalem dictae Θ- perbolen : qua quidem dicentur contrapositae communem diameteum habentex centium ι : Confugati axes, siue contingata diametri in elli si seu in contrapositis dicuntur,quarum utraque reliquam, missi parallelos o cratas intra pcris iam receptas singulas per aequa diuidit ue o cogo, militer
286쪽
nulter, si sint axes, siue oblique, si tantum diametri appellantur. Quod a tem diameter fectionis conicae ingulas suis ordinatas per medium partiatis , inenditur in septi a primi conJcorum, in 7 ere, speciatim uerois iis propositionetbu L. Haec est summa eorum, qua tractantur in conicis Nunc de diametris O descriptionibus singularum flexnum nonnulla eri
VT sectionem conicam, seu stcxam,quae Parabole dicitur,eiusq; diametros in tel ligamus; esto conus a b c. cuius batis a c. v texb. triangulum per axe a b c. Et a quoliber puncto diametri a c. utpote d. incrirr ipli a c. perpendicularia d f. & vni laterum α' utpote ipsi a b aequid istis, reliquo incides recta d e. de producatur planum,in quo fd e.lineae facies in cono sectionem seu flexam e g s quae per i ii primi conicorum parabole vocabitur. si reetias sit conus a b c. siue scalenus, de eius diameter transvetia erit d e. sectio commvn s planisecalix& Δ'' per axim, quae diameter secat per medium ipsam fd. usq; ad oppossitas coni partes continuata & omnem ei aequidistantem,quς ordinatae seu liructim actae dicuntur: secat,inquam,Orthogonaliter,&axis vocatur, si conus a b cirectus est,aut si Scalenus & Δ' a b c.rectis super a fαphinitiem listitur: secat vero oblique. ii dichia Δ β inclinatu dictae circuli planitiei:& tuc no dicitur axis, sed limplex diameter. Iit solet dici tras uersa diameter ad differetia recti; diametri, q sic inuenis. R. Ea Sit per doctrinam 1 Regulae sexti cap.priemissi libri, iiςuted - de. sic d a - egh. Dico iam,quhde .eri trechi diametros parabolae e g s. Ois enim ordinata poterit et uris transversa recta comprehesurn. Na f d.ordinata est, ct potest per 3 sexti ad d c. Ergo per i s sexti de tri. de.: h. hoc est,sub transuersa & recta contentum. Assumatur &contingens puchium g.in periseria parabolat,&Ordinata ducatur g m. hoc est, ipsi s d. aequidistans. & pcrpunctum in. ipsi
287쪽
COROLL. Hinc sequitur ex prima sexti, quod ordinat rum potentiae sunt receptis ad verticem diametris kr portionales : hoc est, sicut T. s d-g m. sic e d- d h. quod in a O primi ostendit Apollonius. Haec autem rectae diametro paraboles inuencio est multo socilior & breuior demonstratu , quam ea quae ponitur inii primi conicorum. R E O U L A 2'. Proponatur & in plano parabola fg e. circa transversam diametrum e d. & ordinatam s d. Est autem ordinata, quam diameter utrinque periseriae applicatam per medium partitur. Volo eius rectam diametrum inuenire: faciam per Regulam sexti cap. in praemii lci lib. ipsis e d. df tertiam pio portionalem e h. e t Sic enim s d. ordinata poterit m. de e n. dc perinde e h. omnino recta diameter cst, quae quaeritur ..RεcvLA 3 . Quod si data sit parabolae fge. seu circuli, seu cuiuilibet alterius conicae sectionis periseria nuda sine centro ac diametris r & velim aliquam in ea diametrum inurnire; ducam in tali lectionc duas m quid istantes rectas utrinque periseriae applicatas so. g n. quas singulas per aequalia secabo in punctis, d m. Et agam per ea puncta rectam d mie. ipsa namque erit transversa diameter lectionis : & ad eam ordinatae sunt ipsae s n. so de omnes aliae illis aequidistantes. &haec est
R E G v L A M . Detur & parobole fg e. Volo eius. A axem describere. Inueniam per praecedentem Regulam aliquam eius diametrum , quae sit e d. d. videns per m diu in Ordinatam filo. Si itaque diameter ed. ad rectos angulos secet ordinatam s d o. iam per distinitionem . axis est e d. Secus vero per punctum d. agam ipsi e d. perpendicularem g d n. utrinque periseriae applicatam, eamque per aequa diuidam in puncto m. ipsique per pendicularem excitabo m p. quae per differentiam erit axis Parabolae . & haec est propositio quadragesimas in
secundi conicorum lis C o R o L L A Riv M. Vnde paret,quM axis & omnes diametri
parabolae sunt aequi distantes , sicut ostenditur in quadragesimas inprimi coni iram. Et Perinde sola Parabola inter nexarum species inrct centria. .
288쪽
. R g o v x A 1'. Ex datis denique paraboles diametris duntaxat possum delineare periseriam : ut exempli gratia, sit recta diametros parabolae a b. Axis vero, seu diametros a c. volo circa diametrum a clineare parabolen, cuius iecta diametros sit a b. Ponam in rectam vitain utranque c a.a b. S secta a. c. per sextum cap. praemiis libri, in aliquot aequas portiones , utpura quatuor in puncti d es describam
cto a. excitabo ad rectos ipsi b c. lineam a m. secans periserias in punctis m no p. In me autem seu diametro parabolae a c. ut dictum est diuisa in punctis
de fiducam ordinatas lαipsi a m. aequalem dk.ipsi an . aequalem: eh. ipsi a o. aequalem. & Q. ipsi a p. aequalem ; singulas ad aliam partem ultra diametrum a c. tantundem productas. Nam delineanda peris ita parabolae ibit per a g lik l. puncta& eorum correlativa vltima di metrum. Quae puncta quo plura fuerint,eo certius delineabo per ea ductam periseriam leni nexu de angulosae fracturae expertem . Cuius operationis demonstratio est,qudd in semicirculis, rectar a m. a n .a o. a p. singulae pollinit singula rectanῖu la,quae polliint singulta ordinataec l .d h. eh.la in parabola,qnibus iunt aequales singulat singulis. Cono . Vnde manifestum est,.quod in delineatione parabolae semicirculi, ex quibus ordinatae eliciuntur, sese contingunt apud e tremum rectae diametri. Habes itaque & hunc modum lineandi parabolen in horologijs.
Vo autem pacto conica sectio, quae Vocatur Ellipsis, fiat in .cono, sic accirc. Esto, scut in praecedenti, conus a b c. cuius. basis a c. vertex b Δ' ' per axem a b c. Ducatur linea utrique laterum Δ'' coinciden scd. sitque rectacq.ipsi c a. perpendicularis : Moxl l num, in quo c d q. secet conum : eritque per i 3 secundi conicorum,
289쪽
sacta in cono sectio es ipsis, cuius diameter c d. qua per mediimi secta in puncto h .erit h.centru ipsius: & secunda diametros mih n. utrinq; lad conicam superficiem incidens. Intelligatur auum c d. non abscindere de Δ'' anc. sub contrarium Δ μ, quando conus est scatenus de perinde Amnonis sceles : Nam tunc secta in cono s.ctio per planum d c q. esset circulus per νη primi conicorum. Quando itaque conos: a b crectus est.aut scatenus & Δ μ , a b c. rectum ad basini' coni: in c d. diameter orthogonaliter secat secundam diametrum m h n. M omnem ei aequi distantem per ςqualia secans ici dicitur axis primus, edm n .axis secudus .Quando ver5 conus a b c. scalenus est& m a b c.inclinatur ad planitie basis Conic. ae , tunc ci diameter oblique secat a' diam .m n.&omnes aesidisti
tes,quae ordinatae dicundur per aequa; nec vocatur axis.
RhcvLA 1' . Volo igitur ex ic Q. prima diametro: elicere secundam : Ducam ipsi b c. aequi distantini de occurrentemq; basi apud e.& inter i psas a C. c e. per x Regulam sexti ca. in praemisso lib. ponam mediam pro portionalem c f. Dico, quod e s. erit secunda diametres ellipsis d in c. videlicet ipsi in n.aequalis. Quod sic ostendam. Agam per punctum hi rectam h h Lipsi a c.aequi distantem.Nam lic planum, in quo sunt rectae E l. in merita qui distans circulo a c. quandoquidem h Liplia α& in n. ipsi c h. quia ordinata,aequi distant: S seciet rere primi conicorum, circulum in cono k in l. Cumque angulus Elim. sit rectius, aequalis scilicet ipsi a cq. angulo iam ter 8- scyti Eucl. in h. urit media proportio- x inalis inter k h. E l. Quare & in n.dupla ipsius m h media propor trionalis erit inter duplus ipsa ruiti h h. h l. Dupla autem ipsus k his ipsa a c. quando ii sedem'c d. dupla est iplius d h. Dupla vero ipsitus o h. hoc est ipl: us h l. sunt enim'aequales o h. h l propter
Δh d o. h cl. Inuicem aequi latera est ipsa e c. Igitur m n. eris inedia proportionalis inter a Q. . Sed inter a c. c s nudia proportionalis suit cis Ergo cf. . aequalis ipli in n. Quod fuit demoni tandum. His peractis, sicut est d -cf. si est, per Α' Regula dicti sexti cap. cf-- g. quae erit recta d ameter ad transversam c d. Cum Σφ possit speciem. primae, per Coroll. I 3 primi conicori. Species cnim est i sub trantia versa, rectaq: diametris contentum. Poruillem & inier ipsas o h. l. h.
sumere mediam proportionalcm h p. quae iam aequalis eiscripti m h. quippe quae media proportionalis est inter ipsas l. h. hi hoc estin ter ipsas h h. ho. cum h o. h l. sint aequalina: &lic habitissem semidiametrum secundam h p. cum faciliori demonstratione. RicvLA
290쪽
REavLA 2 . Proponatur nunc & in plano ellipsis c r d. circa transversam diametrum c d. & Ordinatam quandam rs. Volo talis Ellipseos secundam diametrum & recta in comperare. Subiugam per a Regulam sexti capias in praemisso lib. ipsis .ls.s r. tertiam in proportione continua S t.atque ira r s. poterit .d s.s t. Ducam ergo crilineam,quae apud U. Punctum occurrat ipsi d u. perpendicularis supere d. Dico itaque, quod d u. erit recta diametros ad transversam cd. Ducatur enim ipsi d s. aequi distans t x. Eritq; species lx u. similis speciei c d u. quae vocatur species sectionis. Igiturr s.ordinata potest . S a. applicato in ad s d. receptam ex diametro ad verticem deficicns a m. s d u. in specie t x u. simili speciei cd u. Quar per i s ' primi conicorum d u. Recta diameter est, ac quam possun t Ordinatae. Deinde, per 1 Regulam sexti cap. praedicti, ponam inter c d. d u.
mediam proportionalem m n. igitur m n. poterit .c d u.
speciem scilicet primae diametri, .perinde per coroll. i 3 piaedictis erit secunda diametros Ellipss propositaer d. quod fuit faciendum. RεcvLA 3'. offeratur & Ellipsis cd.absque diam
tris de centro: volo ipsus centrum reperire: Pro traham in ea, per ιμ praecedentis cap.duas diametros c d. m n. se
inuicem super h.puncto secates: Eritq, h.punctu cetrum quaesitum.& haec est propositio s' secundi conicorum. REGULA '. Item exponatur Ellipss c. . Volci eius Geminuenireprimum ac secudum Prim binueniam eius centrum, quois sit h.& super h. centro describam circulu, qui secet ellipticam periseriam in punctis r t. Et post haec ducam chordam r t. quam per aequalia secabo in punctos.&per punctati f. continuabo lineam utrinque periseriae coincidentem c li s d.quae axis erit quaestius: quandoquidem diameter existens chordam r t. per aequalia & ad ro. ctos partitur. de haec est propositio 47' secundi coni N. Quae Regula etiam per hyperbola serviet. Secta demum c d .per aequalia.in puncto h. ipsum erit sectionis centrum r per quod incedet secundus axis in n. ad primum orthogonalis .REavLA 1' . Proponantur etiam mihi transversa diametros etilipsis a b. recta vero a f. Volo delineare Ellipsin, cuius dantur a Ma f. diametri. Esto centrum ellipseos e.in quo secant se inuicem axes siue diametti a b.cd. Extendanturque in rectum e a. a f. Sitque s x. dimidiu ipsius a f. Et a e. secetur in quotlibet partes, Vlputa quatuor aequales in punctis g h h.& in totidem secetur sx. in punctis s t v. His