장음표시 사용
311쪽
312쪽
Supersiciales Secundi centralis.
313쪽
A D I C A s sormantur ab unitate,& per limitatis continuam additionem. Impares ab unitate, per binarij continuam additi lnem. Vel ex duabus radicibus.
Pares a binario, & per binarii semper additionem ,
uel duplicando radices. iTrianguli primi,per continuatam radicum accumu
lationem . Sive multiplicando aggregatum collateralis radicis de unitatis in dimidium multitudinis raaicum. Qqadrati primi ex ductu radicum in se , uel ex aggregatione succeΩsiua imparium ab unitate. Vel ex coniunctione trianguli collateralis cu praecedenti, uel multiplicando aggregatu collateralis imparis& unitatis in dimidium radicis. ι - t. lParte altera longiores ex ductu collateralis radicis in radicem inim diate praecedentem : siue ex aggregatione continuata patium: siue ex duplato triangulo prccedenti: siue ex praecedenti quadrato cum sua radice. Pentagoni primi ex coniunctione collateralis quadrati cum triangulo praecedenti. Hexagoni primi ex quadrato collateresi,duploq; praecedetis trianguli: VA ex pentagono coli. dictoq; triangulor Vel ex ductu radicum in lineares : Vel ex quadrato cum parte altera lungiori. Pyrami aes triangule primς ex successiva triangulorum aggregatione. Similiter pyramides quadratς ex quadratorum. Pyramides pentag nae ex pentagonorum , pyramides hexagonς ex hexagonorum aceruo
Item pyramides quadratae primae fiunt ex coniunctione collateralis ira ramidis triangulae cum praecedenti. Prramides pentagonae primae ex collaterali quadrata pyramide cum praecedenti triangula pyramide. Pyramides hexagonae primae ex quadrata pyramide collaterali cum daplo praecedentis triangulae pyramidis . Vel ex pentagona pyramide colla terati,& triangula pyramide praecedenti. Columae nprimae fiunt ex ductu suarum superficierum in radices: ut puta triangulae ex radice in triangulos:& sic de caeteris. Item columnae triangulae primae sunt aequales Pyramidibus pentago
314쪽
his primis, singulae singulis. mod notatu dignum est:
Columnae quadratae primae, siue cubi,fiunt e* ductu radicum in suo, quadratos. Sili x columna triangula collarerali & praecedenti cu suo triangulo. vel ex pyramide hexagona prima cum pyramide quadrata praecedeti. Vel ex aggregatione unius, deinde binorum, deinde trium, deinde qdatuor, & sic deinceps imparium. Item columnae pentagonae primae fient ex cubo collaterali cum colum . na triangula de triangulo praecedentibus .
precedenti triangula columna de suo triangulo. Trianguli secundi hunt ex triangulo primo praecedenti triplicato cuna Columnae hexagonae primae item ex columna pentagona collaterali carti trian uia cundi f
Pro quadratis autem secundis, quadruplicetur dictus triangulus. Pro pentagonis quintuplicetur .& sic deinceps pro sequentibus sorumis, adiecta unitate.
Item trianguli secandi fient ex triangulo primo collaterali & quadrato praecedenti. Qi14 rati secundi ex quadrato collaterali & prccedenti primis. Pentagoni secundi ex pentagono collaterali & quadrato praecedenti primis. Hexagoni secundi aequianguli ex collaterali hexagono primo cum quadrato prccedenti. Vel ex quadrato collaterali & praecedenti &parte altera longiore collaterali. vel ex parte altera longiore tripli
Heptagoni ex hexagono secundo collaterali cum triangulo primo praecedenti. Octogoni ex heptagono dicto collaterali cum triangulo praecedenti erimi ord. Sive quod notatu dignum ex ex collaterali impari in te multiplicato. Pyramides secundet fiunt ex accumulatione continuata suarum superficierum, scilicet triangulae triangulorum, quadratet quadratorum
secundi ordini de sic deinceps. Item pyramides secundae triangulς sient ex pyramide triangula prima.& praecedenti pyramide quadrata. Pyramides autem quadratae secundet ex pyramide quadrata collateralicum Praecedenti primi ordinis. Pyramides pentagonae secundae, ex pyr midae pentagona prima,& pyramide quadrata pr cedisti prima. Pyramides hexagonae secundet ex pyramide heragona prima & pyr mide
315쪽
m ide quadrata pr cedenti prima. Et sunt aequeses cubis collater libus, singulet singulis. quod mirum est. Pyramides heptagonae secundet, ex hexagona pyramide secunda colli. terati cum prς denti triangula pyramide prima. Pyramides octogonet secundς ex heptagona pyramide collaterali cum prςcedenti pyramide triangula prima. Item unaqueq; dictarum pyramidum fit ex pyramide triangula primi
ordinis multiplicata in numerum laterum, una cum radice cotilaterali. I Columnς secundet fient ex multiplicatione suarum superficierum in radices collaterales , triangulae scilicet triangulorum , quad taequadratorum. Et deinceps similiter. Item omnis columna secundi ordinis, fiet ex columna eiusdem nominis in primo ordine cum prςcedenti cubor & quadrato coniuncha. OMNIS COLvMNA TRIANGvLA I'rima cum duplo sui
trianguli, facit triplum suς pyramidis. a omni cubus cum suo quadrato & triangulo, facit triplum suς py
Omnis columna pentagona prima cum duplo quadrati collateralis, facit triplum suet pyramidis. Omnis columna hexagona prima cum suo hexagono coli Atriangulo, facit triplum suae pyramidis. Omnis columna triangula secunda cum coli.qnadrato de triangulo primis, sacit triplum sue pyramidis . . Omnis columna quadrata secunda cum duplo coli. quadrati primi, facit triplum suae pyramidis. omnis columna quadrata secunda cum duplo coli. quadrati primi, facit triplum suς pyramidis. Omnis columna pentagona secunda cum duplo quadrati colL primi,&cum triangulo pis cedente primo, facit triplum sus pyramidis. Omnis columna hexagona secunda cum hexamno secundo oc impari i
Item eadem columna cum quadrato & hexagono primis facit triplum. cpilateraIj, facit triplum suae pyramidis .ina cum quadra csuq pyramidis. Omnis columna septangula cum hexagono secundo & impari collat ratibus, & cum triangulo primo prccedenti facit triplum sus py
Omnis columna octangula cum hexagono secundo & impari collat ratibus, duploque trianguli prccedentis primi, facit triplum suetpyramidis .
316쪽
εnRVM. seu Pyramis construitur ex unitatricum mintuor milicibus praecedentibus,cum sexcupio trianguli primi, unr retro Ctibus, construitur ex unitate cum octo radicibus praecedentibus , cadi odecuplo trianguli primi, uno retrorsum intermisib, sumpti qsexcupic pyramidis quadratae secundae praecedentis 'Octahedrum construitur ex unitate, secuplo ralcis praecedensis ex duodecuplo trianguli primi, uno intermisi recepti, &ex octu plouolahedrum construitur ex unitate . ex duodecuplo radicis praecederet
ex uallecuplo pyramidis triangulae secundae praecedentis. yDodeca hedrum construitur ex unitate, ex uigccuplo radicis praeceden
'U' 'la' 'plo pyramidis pentagonae secundae praece dentis. Quod semper inuenitur aequale Icoiaedro dudum memoItem cubus,aut octahedrum praediistum sunt enim aequesest notest
Instrui Nam dispositus tinparibus ab unitateζer ordinenti di auis, P'N 'N ς pyxii a mi tres sequentes imparealacundum quinque sequentes impares tertium ; dein ire sol'tariri succedentes quartum ; nouem quintum. Et sic deinceps Ua: Num imp res seb multitudine impari successivo coacer- Adhuc idem cubus, seu octahedrum producetur ex ductu imparis colateralis in quadratum secundi seneris collateralem. Et notandum qu bd talis cubus siue octahedrus semper est pyramistri ngula secund1 generis in locis imparibu, aee., ,r ' Ρ' Praeterea non omittendum est, quia ex successiva cbaceruatione taliu
Demq; cum his , neq; illud subtacebo, quod Tetrahedrum superius memoratum,est & cubus mixtus quidam tertii generis, qui conss tur ex binis semper proximis cubis primi ordinis, scilicet collater
317쪽
lε& prccedenti. Quemadmodum quadrati secundi ex duobus qua-diatis primis, collaterali & prccedente coalescunt. Quod non minus erat admirandum.. Hsc omnia in tabella prςmissa per exempla singula notescunt;&in primo horum Arithmeticorum libello demonstrantur.
PERFECTVs Numerus producitur ex multiplicatione ultimi in serie pariter parium ab unitate dispositorum, in totum aggregatum idisserum,dum tamen tale aggregatum sit numerus primus, hoc est a millo, pr terquam unitate numeratus. Tales numeri semper inu niuntur in ordine triangulo & hexagonoru primorum. In hoc nume. ro persecto partes integrant totum , ut ostendit Euclides in ultima Noni. Secunda conditio seciens numerum perfectum est imparitas . unde impar numerus persectior, quam par: quoniam assinitate habet cum Monade genitrice numerorum,quq reprςsentat Deum ,
Mundum, Naturam, Solem,& quidquid unicum est. Tertia Conditio,est potestas. Vnde impares numeri, quorum potestas & ossicium est λrmare numeros quadratos, persectiores sunt paribus, Jui formant parte altera longiores. R ursum hexagoni quianguliunt perfectiores, quam impares communes: quoniam formant cubos. Quarta conditio, est forma. Vnde numeri ςquilateri pers eliores , quis non ςqui lateri. Sic quadratus persectior, quam altera Di te longior. Et cubus perfectior, quam solidus non squilat rus. Item Hexagonus quiangulus persectior quam hexagonus primus. Unde prima conditio stiuola est: quoniam nuda & expers est cςterarum fructuosiorum qualitatum. Verum hic discussio po
318쪽
V M Euclides agat de planiis, solidis,
quadratu, cubiis, numeris: te caeteris 3
alteriusemodi formis, ut trianguis pentagonis , hexagonis sequentibus tam superficialibus, quam solidis 3 neque apud nostros, neq; apud
Graecos quem sitam satas seripsit quis piam nec ipse
Pythagora siue Iamblicus,aut Nicomachin,ὰ quibus Boetius noster, quicquid de Arithmeticia tradidit, mutuatus est: Iordanuae autem, meo quidem
iudicio, melim tique egisset,si ab aliis omissa plenius tractasset,poti quam in repetendis θs, quae ab Euclide satis fuerunt demonstrata uni ira insudasset:
is igitur conabimur ea, quae super hisie numerar 's firmis, nolis occurrunt , exponere e multa inter faciliori mia demonstrantes, ces ab alijs aut rubin aut nezlecta,aut non animaduersa supplentes. Sed iam a iussinitionibus inchoantes, restiuat ommodius exequemur ..
. . . ac o a. . . . a vi m. π . . . vi ia . . . . .
319쪽
aut est uni is, ae se*ORdς tun is qpam i yiinctu hoi habet p rhe, iii continuis . sicut upita, . iu discretis .iAut est linearis,qui respondet lineae. Aut superficialis,qui respondet 3- . i. sup rfitiei. Amsilidiis qui solidum in geometrici linitatur 1 . s λPost vilitatem itaque pestilus linea iuro merorum est Bina . in.:, rius: sicut litidi hi ita Aio extrema solii fur. Primus superfi- π:χcialium ternami υ; sic 'tTriangulum figurarum prona tri- caro in pri na est. Primus solidorum quaternarius quoniam pyramis triangula in numeris, sicut eadem in continuis solidis prima est. Sicut igitur monas pucto: ita dias lineae: Trias sit perficiei, ac tetras s lido assimilatur. Lineati J m numer rum, Par est que .ninarius metitur. Impar vero, qui pariuntialtatem addit, vel nit puit.&a perficialium autem primi generis
numerorum, alij lii 'nguli uint; Alii quadrati, Ali; pentagoni, Alij Hriagoni & Hexagonorum , alij Tetragonici. alii '
Aequianguli a forma scilicet, in qu i disponilntur, numeroq; angulorum aut laterum Vocati Radices numerorum sunt lab unitate, & secundum unitatis crontium successive acci scunt. hingulus numerus est, in priini, genere, a ex an atione radicum ab unitate acceptarum constitutus trianguli . formam acquirit. Quadratus autem, qui ex radice in te ducta procreatur. Pentagonus vero, qui ex quadrato , 5 triangulo 'praecedenti coniunctis quinque lateram acqnirit figuram. Heixagonus tandcm, qui pentagono adhuc triangulu adi ungens isextum lucrifacit latus Hae itaque figurae ex triangulis,&quadratis compaginantur. Nam Hexagonus .mulari ulus ex unitate& sex multiplicato triangulo construitur. Ex liis superfici libus formis totidem Pyramides, totidemque colunς conficiuntur, qui solidi numeri inerito vocantur. Nam Pyramistri agula cx aggregatione triangulorum ab unitate per ordine' siunpturi im sabricatur. Similiter de Pyramis quadrata, in cu-.φ mulo quadratoru ra : Pent.igona, Pentagonorum:& Exagona, . . . . . ex onorum ab unitate continuatim suniptorum erigetur.
. . . . . ' Vnde, de . duplex erit hexagona Pyramis, .scilicet a suis stagnia.. . . . . hexagonis conacuctae. Columni veris tria 'ita ex ductu . . . . . . . . . . radicis in sua in triangulum. Quadrata quae cubus vocatac, o o o CX ductis radicis in suum quadratum. Pentagona, ex ductu radicis in Pen agonum. Et hcxagona utriusque spcciei ex radic bo*o
320쪽
la hexassonum multiplicata Procreabitur. Si ni iv numeri parte alte longiores, quorunt quilibedint eae fluctu colla te-ralis radicis in pr cedent . . Hi 33M se habetibus, dicendum est decorum proprietatibus & colliganti s.
Ab his propagantur quincuplices Pyramides,& toltiplices columnae, qvibus omnibus positio unitatum, aut triangularem, aut tetrargo in iuruat sermam. Sed hexagonus aequilaterus hic reponi dia Enus est visus,propter colligantiam, quam cum prtino hoc gene e forma rum seruat i Reponetur 3c in secundo mox genere, qirand - . quidem construitur ex centrali unitate. & ex triangulo in lateri m- numerum ducto, hoc est sexcup icato:& ipsius eam pyramis, qu&iis columna semper habet pro axe linearem numerum siue radicem collateralem ex cent libus sicilicet unitatibus saperficierum eomi positam . Quae omnia hic in tabella per numerarios characteres, tam ad dissinitionum, quam ad demoni trandorum exempla exarabimus, ab unitate usque ad denarium procedere contenti. t a 'Grai .Glistri . morti
FORMAE NUMERARIAE PRIMI GENERIS.
. . . . . o oo oo. o. o o . . . . O . . OG . OO . . o. . . . G o . C. Oo o.