장음표시 사용
301쪽
2 e Non eangentibus contraposita rata. o. s.
Vo Ni AM Apollonius omnia sere conicoru demonstrata conatus est in planum redigere,antiquioribus ingeniosior, neglecta conorum descriptione, & aliunde quaerens argumenta cogitur persaepa obscurius & indirecte demonstrare id, quod contemplando solicae figurae sectionem, apertius & breuius demonstratur. Id nos secimus in ' postremis praecedentis capiti conclusionibus : Idem nunc de Non tangentibus prositarum locuturi faciemus. Sunt enim Non tangetes, duae rectae lineae se inuicem in centro ppositarum livperbola e secates de utrinque semper magis ac magis in infinitum periserijs approximantes, nunquam Vero coincidentes .Et ob id Non tangentes, siue No
incidentes appellatae: de quibus Apollonius in Σ' conicoriim locutus eli. Nos igitur huiusmodi linearu proprietates demonstratim hoc praefabimur, luas hyperbolas in duobus rectis conis factas ac simili-Dus triangulis per vertices conorum ductis aequidistantes similes esse. ut in 6' conicorum lib.ostensum est de omni propositae hyperbole similis ae etia similis de qualis collocari potest in aliquo recto cono, ut ibidem traditur. Ollendemus igitur hic lineas Non tangentes inc dere per cetrum positarum, & complecti angulum aequalem angulo verticali trianguli, cui planum hyperboles aequid titit. Esto lsr conus basis circulus a b c. vertex fIn quo hyperbole r i s. propositae similis &aequalis : cuius diameter transuersa Elmno. Ita ut in . sit diameter communis ipsius r i s. & suae conti apostae inter earum vertices t n. Quarum plano aequi distet triangulum csb. cuius basis b i. ad rectos secat a c.diametrum basis conicae basim i, a sc. per axim, in puctoe.Vnde rectae d i r. l b s. tangetes circulum apud b i. puncta concurret
ad idem punctum cum c a producta,quod punctum sit d. & perinde tam planu ipsum, in quo sunt d b s. b f. lineae, quam planum, in quo sunt ii i r.istinet tanget
conum.& tales contactus sient super latera conica b si f& communis sectio lagentium planorum,qu. x linea recta est, ibit per verticem s. conicu eat, fitq, d fm.Occurrens diametro in.ppositarum apud m. punctum. Cui diametro aequi distas agatur a li g. conicς superficiei, postae occurrens in puncto g.& ipsam d f. secans in puncto h. Eruntq; lincae d i r. d b s. tangetobatim conicam apud ib. puncta coes sectiones planorum tangontium cum ipso balis plano. Sit demum tangcntium corundem plano δι
302쪽
cum plano hyperbolarum communes sectiones per m. puctum euies& utrinq; continuatae lineae r m .m s. Quo fiet, ut puncta r s.in quibus dictae linta coincidunt lineis basim conicum tangetibus:& pilai pq in qui b. hyperboles periseria occiirrit periseriae basiis conici: necnon punctum k. in quo basis hyperboles siue ordinatap q. secat diametrum a c.hqc inquam quinque puncta sint in una recta r p k q s. quae communis sectio est plani ficientis hyperbolas cum bali conico. hoc idem intellige per reliqua hyperbola contraposita . Ostendendu igitur est quod linead scolinuata secat per aequalia diametrii l n. contrapositaruin puncto m. quodque m r. in s. lineae sunt Non tangentes contrapositarum: ipsumque m. centrum est Sectionum. Lelmna. Sed prius hoc lemma ostendendum est. Duae lineae sint ab uno puncto c.delapsae cd.c g. & ab earum terminis aliae ad ipsas mutuo reflectanturd fg a. se inuicein in puncto h. secantes.Dico, i ratio cd- d a.componitur ex rationibus c g.&g h -- h a. Ducatur enim ipsi d faequidistans a t. Eritq;, sicut c d-d a.
coclutionem 13 anteprς missi cap. sicut c d d a. sic ce e a. & propter aequidistantiam linearum a g. e f.sic est & c f-s g. Igr ratio ce- ea. coponetur ex rationibus c --e a.& g h h a. Quare necesse est, ut g h. h a. sint aequales: Cumque a g.aequi distet ipsi l n. Erit & lin. aequalis ipsi in n. arena. punctum erit centrum sectionum contrapolitarum. Superest nunc ostendere, quod
tes dictaru sectionum: coplexae scilicci angulu aequale anguloi s b. Na, per i 6- ii . Eucl. Inneaei f. b. sunt aequid istatvi lineis r m. in s. Pp aeqdistitia planoM: Et ideo paequalis est angulo r in s.& singuli p lineas k m.e f. per mediu seca tur.
Ducit ergo ipsi r s. aequid istantem &. ipsi b i. lineam l u. quae per piConclusionem ante praemissi car. tanget sectionem p i q. in puncto l. Eritq; Δ βm l u.aequi an seb. Igr, sicut se-e b sic in i l u. Sit ergo ipsi' l u.duplat x. Eritq; n l-l x.sicut m l-l u.& sicut fe e b.
303쪽
Subiungatui ipsis ri la x. tertia in proportione conti trita l '. sue longior, liue breuior aeritque sicut T. L Cue b. scri l l y. Quare peri primi conicorum ly. eri trecta diameter hyperboles ris. Et lx. poterit .n i y.speciem scilicet sectionis. Et ideo l n L ipsius t x. poterit quadrantem ipsius speciei. Vnde per primam secudi conicorum, mus. cst Non tangens sectionis, & ii militer ostendetur m r. ex alia parte elle reliqua Non tangens. Quando autem recta b i. liaineter est circuli a b c. tunc lineae tangentes circulam in punctis. b i. sunt aequi--i distantes ad inuicenti&ipsi h sm. communi sectioni planorum cono, tangentium pcr i 9 II. Eucl. & tunc ipsae se. n h.ga. lincae sunt peti endiculares ad a c.de utrunque g sa n sh isosceles. Et coriani asses n l .g a. per mediu & orthogonaliter secabuntur in punctis in h. Constabit ergo; ut prius, quidquid suerat proprium . Et in hoc casu demon stratio faciet ad id , quod de horologio meridiano in 3' capite praecedentis libri suit ostentum: In quo lineae horariae duc,scilicet norizontalis,& horae i 2 sunt Non tangetes contrapositarum sectionu, quas in horologii plano tangunt reliquae a Q horariae lineae. Demonstratio autem casus anterioris, ubi lines tangentes circulii concurrunt
in puncto d. facit ad illud, quod de horologio circuli verticalis in regione, cuius latitudo excedit dimidium anguli rectis fuerat in ' praecedentis libri cap. ostensum in quo interdum duae lineς horariae sunt Non tangentes hyperbolarum, quas in tali horologio lagunt reliquae lineae 22.verum in his duobus locis praecedentis. libri, usi suimus indirecta demon straxione, allium piis praeambulis 3' & ' primi capitis eiusdem libr,, ut quae promptior erat, atque lineamentis dudum hic Demon- pei actis non indigens. Sedipsam i n directam demonstrationem hic
stratio a- repetam,quo apertior fiat. Dico enim rursus ipsam r m. nas. lineas essella indi- No tagentes sectionis ipsius & ppositae. ipsumq; m. punctu cetru caly. recta. Nam si r m. m s. non sunt scebonum p i q. & ppolitae Non tangentes. Tunc Non tangentcs aut ibunt per punctu m .aut per aliud: si per m.
punctum, tunc aut facient cv diametro i n. maiores an ',aut minores, quam cum eade diametro faciunt lineae r m. ms.Si maiores;tunc ipsaer m. in s. secabunt angulos Non tangintium & nusquam coincident
sectioni: quod est impossibile per ΣΑ Σ' conico M. Si minores; tuc Non tangentes coincident sectioni: qm omnis linea per punctum m. secans .angulum r in s coincidit sectioni, quandoquide aequis istans ipsi r in .. vel nis. hoc est ipli i fucisb. lateri tactus, coincidit conicae superficiei, perinde sectioni, per 3' praeambulum primi cap. prcced iis libri: quod est absurdum . Si autem non tangentes ibunt per aliud quam
304쪽
Si maiores, tunc ipsis r m .m s. aequid istantes &aliae in finitae secantes angulum Non tangentium non coinci tant sectionibus p i q. & contrapolitae: quod est impossibile per secundam secundi conicorum. Si non maiores; tunc ipsae Non tangentes protractae secabunt ipsas .an s. atque coincident sectionibus , quandoquidem aequi distans uni dictarum coincidit per dictum praeambulum , sectionum alicri :quod est absurdum. Non igitur aliae, quam ipse r m. m s.crunt Non tangentes positarum p l q n o. Et perinde neq; aliud,quam ipsum m. punctum erit dictarum sectionum centrii. quod crat demo strandum. Quod enim ipsae r m. m s. semper magis atque magis approximant
superficiei conicae, Fc perinde periseriae lectionis, de nusquam etiam in infinitum cotinuatae coincidunt, patet per c praeam bulla primi cap. in praeniisse libro. Rursum ergo via indirecta idem demonstrauimus. Notandum, quod si conus a se. supp0 natur scalentis: de linea b L diameter circuli a b c. tunc lineae tangentes in punctis b i. sunt aequi- distantes inuicem de ipsi h sm. communi sectioni planora tangenti u.
Verum tunc lineae fe.n h. g a. non sunt perpendicularcs,ad ipsam a c. At quoniam tunc a C. per aequalia secatur in puncto e.& ipsa es aequidi itit ipsi a g. atque limi liter si fipsi a c. Iam ideo per primum lemma quarti cap. praemissi, de ipsa a g. per aequalia secabitur in puncto h.&J n. in puncto m. sicut prius in cono recto. Sed pro horologiis consi
2uod panasiel numma inter Non m ens s spersi iam locum unt inuicem aequabarq o smm Gngentissectionem a mctu, qua ecantis, , eandem a perI feria ad Non m entcs,recem
Amenm sunt aequalia . Caput T.
AD haec demonstranda repeto descriptionein praecedentis cap. D. ita ut linea b e i. sit diameter conicae baiis:& ipsae t r. bs. tagetes aequi distet,& perinde ipsi sua . coi planoM conum tangetium sectioni aequi distates.Item tam planum r in s. faciens hyperbolen 2 l q. quam Δ f b i. inuicem aequid istantia perpediculariter instet bali conicae.vnco' a s c. b fi . per axem conicu fc.ducta erut inuicem aequi latera Ponatur aute angulus. a sc.aequalis angulo, que Non tangetes propositς
hyperbolae coprebedunt: Sic em hyperbole piq. similis erit,ppositς,S etia similis & aequalis, si 1 n l. huius semid ' illius semid 'aeqtialis fuit. Tum inter No tigentes de periseria duo parali ' coem an 'apud m. hntia intelligitur, unu ad pii cc sectionis squalium latev mnlu. almuvero in g q n. ostedam Q hqc duo parati' uini inuicem ςqualia, ite
305쪽
Ducatur in parallelogrammo verticali diameter n u. secans axim hyperboles apud O.eritq; o. centrum parallelogrami. Ducatur & l x spequid itans diametro a c.& per medium secta in puncto cin Δ 'b si.& eidem aequid istans in basi conico, linea q t.incidens ipsi b e. apud ripunctum. Iam enim, quia conus est rectus, erunt Δ Π y.m n v. similia. Sed illius latera dupla sunt laterum huius rquandoquidem sx. perpedicularis, hoc est mi.dupla
lis ipsi xl. dimidiae bas. Sed per S si xii element
rum , b t. t q. t i .sunt cotinue proportionales. Igitur& s q.n u.q r. singulae videlicet illis lingulis aequales sunt etiam continue proportionales, Dases quidem - ' s q h.n v m.q r g. limilium. quare & tria co relativa eorundem latera eodem ordine continue propos ' erunt, scilicet q h.u m.qg Itaque parali m g q h m n l u.inuicem aequi angulorum reciproca sunt latera : hoc est, sicut q h-u m. sic iam in n-q g. Nam in n. v m.aequalis. Et ideo, per i 3 sexti elementorum, parati' m q. m l. inuicem aequalia erunt. Similiter ostendam,quod omne parali μ inter Non tangentes &periseriam coaptatum,aequale erit verticali parallelograino aequi latero.Vnde sequitur, ut omnia duo parallelogramma inter Non tangentes & sectionem sic locata sint inter se aequalia. quod fuit primum ex propositis. Coroll. Quare necesse est, ut quod sub unius huiusmodi parallelogramorum lateribus, aequum sit ei, quod sub reliquilateribus continetur, rechan β. quoa Apollonius ini Σ 13 demonstrauit. I I.Exponantur nunc in plano Non tangentes s m. m r.earumque hyperbole p i q. Et recta linea s q l r.secet Non tangetes quide apud r s. sectione verb apud q l. lim,quod s q.l r.aequales erunt.Compleantur enim parallelogramma nan tu. g. q h. quae, sicut dudum ostensum est, aequalia inuicem erunt.Commune auferatur parallelogram-mum m n o g. & supererunt parallelogramma n oq h. g o i u .inuicem aequalia. Quare per i 33 sexti.erit sicut no - o g. sic ol - o q. Igitur in m n scut
306쪽
Igitur ΔΔΔ'' m g n. h qs. ur l. inuicem sunt aequi latera: et ideos q. t r.eorum bases ςquales : quod fuit ultimum ex propositis. et est 8' secundi. Denique tangat h Σ u. hypcrbolen q l p. apud t. punctum coincidciis pei feriae apud puncta liv. Dico demum, quodli z.Z u. aequales erunt. Ducatur enim per m. centrum et T. punctum contactus recta in E
co incidens Non tangentibus apud rs. periseriae vero apud q l. puncta. Eritque per primam Concl. quarti cap. huius lib. tam h et u .quam et ipsa s k r. ordinata ad diametrum in a s. diameter enim est na E h. cdm eat per m. centrum scelionis . Itaque aequales erunt ' h. kl. quandoquidem diameter omnem ordinatam per aequalia secat: aequales item sunt f q. t r. v dudum ostensum est : igitur et totae s h. k r. inuicem aequales erunt. Sed sicut s k-k r.sc h Σ- et u .propter aequidistantiam ipsarum h u. s r. ergo et ipsae hE. Z u. quales. quod demonstrandum supererat. et est tertia secundi .Quet quidem alio ordine, modoque in secundo
310쪽
NvNC PRIMUM IN LvCEM EDITI.6ιm rerum omnium notabilium P .