장음표시 사용
331쪽
E par erit. Esto igitur ipse dimidius a d. qui iam excedit ipsi
ab . numerum ipso bd. ducatur numerus a b. in i psum lac & fiat e. igitur quadratus numerus erit e. per primam nomel emetorum. Quandoquidem ex ductu quadri torum seu sisemilium planorum fit. Sit deinde ipsius bd. ipses numerus. Ac dhniqne ipsius a d. vel is c.quadratus ipse g. numerus. Sic enim , per quintam secundi elementorum ad numeros tedactam,con stabit quod ipsorum,es quadratorum'agresa tum est aequale ipsi g. quadrato.Cos latergo rursus propolit
Omnis pyramis triangula cum praecedenti pyramide triani hi coniuncta,construit pyramidem quadratam sibi collateralem . Nam facilitatis gratia, capiatur Pyramis quinta constans perdis .ex quinque triangulis. i. 3 6.i t F.& pyramis quarta stans est triangulis. l. s. 6. vo.Aio,qubd horu aggregatum
zo. 3I tax scilicet i6. Adhuc '&s' triaguli 'to. scilicet&ib. sectu quintum quadratum 13. igitur unitas, & aggregata tali uino quadratoriam consulanant quinque per ordinem ab unitate quadratos : de ideo, per diffin. construit ni ipsanata quin t x pγramideri, idemque similiter, in omni exemplo, cuiuslibet pyramidis ' &praecedenti demonstrabo, perii huius a guendo toties,quoties combinatur Δ'' .Quare pyramis quinta ΔΗ scilicet 3 s. cum praecedenti pyramide Δ scilicςt ao. constra ut 13. pyramidem T ' quinta. Quod est propositum. PRO Post Tio 3 1'.
. Omnis p ramis pentagona constituitur ex pyramide triangumla collateres ex duplo praecedintis. Cum per diis Pentag
3 - Ο laeti . Quatuor aut tales pentagoni, per distin. s. 1 λλ morie quatuor collateralium quadratorum,& quatuor pr lo . a s 3 1 redentium Δ QR singuli singulorum. Quadrati quoque tales 3 J 7s 4 per ii huius constate, coniunctione quatuor collateranum n 'M J totidem praecedentium SQ .igitur quinta pyramis pentagona constabit ex aggregatione unitatis quatuor sequentium triangulorum,duplici totidem p r cedentiu trian- i gulorum.
332쪽
gulorum sed per dissi. unitas,&quatuor sequentes Δ'' s.ci ut Pyramidem quintam:& quatuor prccedentes Δ iaciunt m p ramidem quartam. Ergo i quinta pyramis pentagona construetur exaggrmatione pyramidis Δ' i quintae, duploque e. : Quod est propo itum. Similis est coeterorum lo
- Omnis pyramis pentagona constatur ex p ramide quadrata inuerali, ex p7r-ide Δ prae edenti. Nam, cum exempli statia,pyramis penta na 3' per pricedentem qui ualet aν λgregato ex quinta Δμ puramide, & ex duplo pyramidis L quartae :& per ante praemissam, pyramidis Δ'' quintae, & pyramidis triangulae quartae cumulus conitruat pyramidem quadratam 3 equitur Vt cogeries puramidis quadrate,quin i Itς cum pyramide triangula quarta conficiat pyramidetin pen t g I itagonam 1μ .& simili argumento omnis pyramis pentagona . mane fiet ex pyramide ta' colla terati, de ex pyramide quadrangula
.al Omnis pyramis hexagona tetragonica constituitur ex pyramiae pentagona collaterali,'ex p*ramide triangula praecedenti. Exempli gratia, otandam v pyramidis hexagonae quinta aequalet aggregam duarum puramidum, scilicet pentagonae collateialis, dil triangulae quartae r se perdiffin pyramidis h α gona quinta coaliscit ex unitate & ex quatuor hexagonis superficialibus sequentibus 'ales autem hexagoni, per diis singia licx qua tuor periragonis collateralibus, &ex totidem praecedentibus triangulis. Cumque 'unitas . c quatuor penitarant sequep tes per dii m. facianc mi tam pTramidein pent bonani e i quatuorque trianguli praecedentes. conficiant quartam pyramidem tilangi Ilum': lam, yyramis hexagona quinta; scit et 0 conflabitii rex Pyramide pentagona quinta scilicis s. de et pyramide triangui, qdarta, itali cura Q. de simili tet per alitu locis accommodabitur demonstratio
333쪽
pyramidis quinta , per 3 1 constet ex pyramide triangula quinta,& ex duplo pyramidis tria lae quartae. Iam sequit vi pyramidis hexagona quinta constet ex pyramide triangula quinta,& ex triplo pyramidis triangulet Q . Et similiter,cum 93
ser ante praemillam pyramis pentagona 3' confletur ex py s s ramide TV quinta , &ex pyramide triangula quartae: &perio praemissam pyramis hexagona 1' superaddat pyramidi pen- . io lagonae 1 pyramidem triangulam quartam e non minuus quitur vi pyi' hexagona quinta aequivaleat aggregatum e pyr' quadrata quinta, duploq; triagulae pyramidas quartae sicut piaesens propositio concludit. l
ii Omnis pyramis hexagona aequiangula constat ex radice collai V irri terat tanquim axe, p ramidis triangula praecedentis sem. . ἐ-wuplo. Haec propositio secillime demonstratur ea ipsus' t. pyramidis hexagonae,& hexagoni sui dissinitionibus. Exeplis i. 6. I.7. sintia, pyis hexagona aequiangula F' loci, scilicet I a s. per' i g. i. i ,. diis. constat ex unitate& ex quatuor sequentibus hexagonis 6. 36. i. 37. aequiangulis valis avium hexagoni per diis. singuli constant io. 6o. i. 6i ex singulis unitatibus &ex praecedentibus ΔΗ singulis sexcu- cq '
plicatis . Verum singuli tales ta qui sunt quatuor ab unia - ine construunt, per diffpyramidem triangulam e . M pe inde sexcuplicati construunt sex plum pyramidis triangu-lm quartae. Igitur Hista pyramis hexagona 3'. constabit ex quanque Unitatibus, s scilicet radice, de ex pyramidis tria gulae quartae sexcupio , estqtie talis radix quasi axis ipsus plairamidis constans ex unitate vexti cali, ac quatuor unitatibus centralibus hexagonorum pyramidem ipsam integranti ur'. CEt ii militet per quotcunque pyramide,, sicut pro s' factuni est, ratiocinati pollamus ad demonstrationem Propositi. .
o homni pyramis hexagona aequiangula construitur ex aur gato pyram is sexagonae tetragonuae collateralis es m acedemtis p ramidis quadratae. Exempli graria: puram is hexagona aequiangula 1 loci fiet ex congerie pyramidis hexagone. t tragonicae ue , & puramidi quartae.Na per diff. pyramis s. a i-3 hexagooxaequiangula s' consat ex unitate α ex a V sequemio. s- Si tibus h agonis a riangulis. Tales autem hexagoni ii gulti persas huius pro postionem , constat ex tinguis hex gonis retraetonicis collateralibus , & ex singulis quatuor Praecedentis ara quadra xi , , Vcium unitas cum quatuor dietis
334쪽
hexagonis tetragonicis construun i, per dissi pyramidem hexagonam tetragoni cam quintam e & dici quatuor quadrati ab Vestate,constituunt pyramidem quadratam quartam. Igitur pyramis hexagona aequiangula quinta codabitur ex pyramidebexagona tetragonica quinta, & ex pyramide quadrata qua se . ta:quod erat demon strandum. Similiter per 3 1 & dissinitio
nes in caeteris locis, verilicatur propositum. PRO Pos ITIO AI'.
Omnis pyramis hexagona quiangula aequalis est aggregaronium pyra dum scilicet pentagona collateratis, ac triangula uadrata praccidentium . Exempli gratia,dico quod pyramis hexagona aequiangula quinti loci.s i a s. aequi ualci tres pyr mides.s pentagonam quintam 7 1 . una cum triangula quarta, scilicet a G.& quadrata quarta, scilicet 3 o. Nam per praecedentem, pyramis hexagona aequiangula quinta aequi ualet duas pyramides,scilicet hexagonam tetragonicam collateralem 9 s. ει quadratam quartam , scilicet so . Per 37 autem propositionem huius, hexagona tetragonica quinta aequivalet duas, scilicet pentagonam quintam & triangulam quartam pyra' mides, icilicet 7 s.& 2 o. Igitur hexagona aequiangula quinta aequivalebit tres, scilicet pentagonam quintam, triangulam quartam,&quadratam quartam , sicut suit demonstrandum:& eodem syllogismo in omni casu constabit sempeἱ propositum.
Omnis columna quadrata, siue cubus, componitur ex duabus columnis triangulis, scilicet collaterest O praecedenti,stex praecedenti triangulo. Exempli causa, dico, quod cubus quintus scilicet i a s. componitur ex duabus columnis triangulis, scilicet quinta 7 s.& quarta, alicet Q. & ex triangulo quarto, scilicet i o. Nam, per diis cubus talis conficitur ex quinque quadratis quintis : tales autem quadrati, per undecimam hu-i , constant ex quinque triangulis quintis & ex totidem quartis. Veram quinque trianguli quinti, per diis faciunt co- sumnam triangulam quintam et quinque autem trianguli quarti, faciunt columnam triangulam quartam & unum tri-
ubim quartum. Igitur cubus alia mptus quinti loci aequi-:bit aggregatum duarum pyramidum triangularum quin D: & quartet, & trianguli quarti: sicut demonstrandum fuit Et simili argumento, quod pro quinto loco, pro quocunquacio procedam ad confirmandum propositum. X PRO '
335쪽
o 23 3I aio, qu id conficitur ex duabus columnis , scilicet quadrata P τ 3 33 quinta iis. & triangula quarta, scilicet U. & ex trianguloio. O ii 3-i73 quarto,scilicet io. Nam perdiff. columna pentagona quinta coaceruatur ex quinque pentagonis quintis . Talesque pentagoni , per dissin. ex quinque quadratis quintis, totidemque triangulis quartis. Cumque quinque quadrati quinti conmciant per diis n. columnam quadratam,t: ue cubum quintum: atque, cἰim quinque trianguli quarti aequi ualeant columnam trianstulam quartam , ct triangulum quartum ; iam plane seqiratur, ut columna pentagona quinta aequivaleat cubum quintum , columnam triangulam quartam, & triangulum quartum . Neque aliud fuit demonstrandum . Sed C73 argumentatio pro quinto loco facta, similiter ad aliud quem-C I 23 κ εο uis accommodabitur, sicut propositio concludit.Potes autem I 73 AO cI Q hic, pro cubo, substituere ea, quibus per praecedentem aequΘ O ualet cubus. Sic enim columna pentagona aequivalebit triangulam columnam collateralcm, duplum columnae triangulae quaciae, luplumque trianguli quarti.
PRO Post Tio ψε. Omnis columna hexagona retragonica eonstituitur ex collate
rati columna pent ona, eri praecedenti corumna triangula una cum praecedenti trianeulo. Exempli gratia,columna hexagonaio 3 1 AJ tetragonica quinta, scilicet χχ s.conficitur ex quinta columna 0 3 1 6 F pentagona scilicet i s. & ex quarta columna triangula, scili- 0 3 F F cet o. una cum quarto triangulo, scilicet i o. Nam, per 30 3 1 η dissin. columna hexagona tetragonica quinti loci, coalescit cx 0 3 1 AF quinque hexagonis tetragonicis. Tales autem hexagoni conio. o 17I-aa I stant per dissin . ex quinque pentagonis eiusdem loci, de ex. totidem triangulis loci quarti . Porro quinque pentagoni quinti conficiunt per diff. columnam pentagonam quintam. Et quinque trianguli quarti aequi ualent columnae triangulae. M. quartae & triangulo. Igitur columna hexagona tetragonica quinta perficitur ex columna pentagona quinta,& ex columna triangula quarta. & ex triangulo quarto : quod erat ostendendum , utque pro quinto factum sic pro caeteris locis prioribus, vel posterioribus argumentare, ad demonstrandum propostum. Et pro pentagona columna substituere potes ea,
336쪽
quae per praemissam pentagonae aequivalent. Sici concludes, columnam hexagonam tetragonicam a qui ualere aggregatum columnae quadrata: colla teratis , dupli columnae triangulα quarta , dupli que trianguli quarti .PRo post TIO 4s. Omnis columna b agona quiangula aequivalet aggregato excolumna hexagona tetragoni ca collateras,'ex cubo,quadrami, pr cedentibM. Exempli gratia, columna hexagona aequi angula quinti loci scilicet so s. aequi ualet aggregato ex columna hexagona tetragonica quinta, scilicet a 2 s. dc cubo quarto, scilicet 6 . quadratoque quarto, scilicet i s. Nam, per dissi. Columna hexagona aequiangula quinta constat ex quinque hexagonis aequiangulis. les autem hexagoni componuntur, per 3 1'. huius, singuli ex coniunctione tingulorum hexagonorum tetragonicorum eiusdem quinti loci,& totidemque quadratorum quarti loci. Sed quinque quadrati in quarto loco valent cubum quartum, Sc quadratum eiusdem locismul. Et quinque hexagoni tetragonici ex quinto loco faciunt, per dii En. columnam tetragonicam quintam . Igitur columna hexagona aequiangula quinta, valet aggregatum columna: hexagonae tetragonicae quintae, cubi quarti, & eiusdem euadrati: quod ostendendum fuit. Que demonstratio, sicut quinto loco, ita & alijs accommodatur, ad confirmandam propoliti Veritatem .
. Et pro columna hexagona tetragonica, substituere potes quicquid in praemissis, tali columnar ostensum est aeqvsualere. Sic concludere positim, quod columna hexagona aequiangula aequi ualet columnam pentagonam collateralem , columnam triangulam cumario triangulo, de cubum cum suo quadrato praecedentes . caeteras aequi pollentias omitto , ne pluribus, quam decet, negocium agam. PRO post Tio 46. Omnis eolumna hexagona aequiangula coagmentatur ex radice collateras tanquam axe, ct ex congerie praecedentis trian-xulae columnas: I trianguli j cuplicata. Nam, per res columna costruitur ex hexHonis aequiangulis; hexagoni aute excetralibus unitatibus, & sexcupio triaguli praecedetis. Exepligra, colum hexagona aequi agula quita 3os. P diis costruitur exquiq; hexagonis aequi gulis, hoc quicupio ipsi'6i.quiti locu. X a Tales io
337쪽
Tales au tem hexagoni quinque per dissi.coagmetatur ex inti talib. singulis. s. s qui est quinta radix:& ex triaguli quarti io. sexcupio. singuli. Sed quinque talia sexcupla trian lorum,faciunt, per diis sex columnas triangulas quartas , sexque suostri annulos. Igitur columna hexagona aequiagula quinta surgit ex coagmetatione F radicis, tana axis: & ex columnis quarti loci, sex, cum totidem earu triagulis, sicut fuit demonstradum. Et assiimpii loci argumentum accommodabitur ad quemvis locum a sit gnatum et sicut concludit propositio. PRO Post T O 7 . Omnis columna triangula aequalis est ag regato duarum pyr muum , scilicet quadrata costareralis, o triangula praecedentu. .
' eulos quinti loci, singulos sedistinctos, ut formationis disti. postulat. I. 1 3 - 1.qui tam perdiff.constitia ut 1 collam nam' triangulam. ex horum sectido excipio virataic .ex Iertio I. 2.' ex Quarto t. 2.3.ex postremo m. qui sunt quatuor trian-Τ ouli ab unitate dispositi, & per dissi. integrantes quartam py- ' ramidem triangulam. sic relinquitur unitas, duo binarii, tres p O' F ternarii, luatuor quaternatij δε quinque quinarii, hoc mi 'Mi-3 cunque quadrati seriatim ab unitate dispositi, & per distin. u J is a construentes quintam pyramidim quadratam. Itaque totum zz p r. aeprcstatum ex quinque totalibus triangialis, hoc ex 1 F. quin quies iampto, ipsa videlicet quinti loci triangula columna uita alet cumulo pyramidis quadratae quintae, ac pyramidis triangulae quartae : quod fuit ostendendum. Similis est cuiuslibet alterius loci argumentatio ad veritatem propos .
Omnis columna triangula aequalis est aggregato trium pyram dum triangularum,scilicet unius collateratis, O duaru praece mi, trum .Exempli gratia, lico,quod columna triagula quinta. s.7 s. 3 3 o 1 aequi ualet aggregato trium pyramidu triangularum. l.quintae,& duplo quartae. Nam, per praecedentem, columna triangula
uuinta aequinalet pyramidem quadrata quinta & pyramidem Au '. ' iii,gulam . . Sed per 3 huius, pyramidis quadrata aequi- ' ' ualet p ramidem triangula quinta,& pyramidem trianguli 4. Isti columna Δμ 1' valebit pyramide triangula quinta,& duas Dyr- es 4 . quod fuit demostradu.Qui syllogismus sicut his quinto loco, ita & ubiuis inseruiet. sicut propositio cocludit.
338쪽
Omnis columna triangula aequalis est pyramidi pentagoni collaterali Exempli gratia, columna triangula quinta est 7 1. quem numerum dico elle pyramidem pelagonam quintam. Nam per antepraemii lam , columna triangula quinta valet pyramidem quadratam 3 ,& pyramide Δ'' quartam. & per 3 63 tales duς pyramides conficiunt pyramidem pentagonam 5'.quamobrem pyramis pelagona quinta valebit columnam G 13. quod sitit demonstrandum. Eodemque argumento utar pro alio quouis loco, sicut propolitio sentit.
Omnis columna triangulo, cum duplo fui trianguli, aequivalet' triplo p umidis triagulae collateralis. Exepli gratia, columnam quinta s. una cum duplo sui trianguli. s.cum 3 o. dico P aequivalet triplum Δ pyramidis quintaeae. 3 3.Nam, per ante praemii Iam , columna Δ'' quinta valet tres pyramides triangulas T. 13 .& duas quartas.'Apponantur utrobique duo trianguli quinti '& fient columna 1' , cum duobus trianguliss' simul accepta aequalis tribus pyramidibus triangulis. s. ' ,duabus quartis, uni cum duobus triangulis quintis: sed duae pyramides cum duobus Δ'' quin is,faciunt per diis duas pyramides 1'. Igitur columna triangula 3' cum duolus triangulis 1' valebit tres pyramides triangulas quintas. quod suit demonstrandum . Quae argumentatio ad omnem alium locum acta modari potest, sicut propolitio concludit. P RoposiΤIo 3 I'. ' Omnis cuius aequalis est p3ramidi hexagona quiangula co lateras. Exempli gratia, cubus quintus scilicet i a s. qui &idem numerus est pyramis hexagona aequiangula quinta. Quod si collendam. Cubus f per Σ3 aequalis est aggregato columnarum Δ quintae de V , necnon & trianguli quarii. At per i pyramis hexagona aequiangula quinta aequalis est aggregato pyramidis pentagonae quintae r py ' T quartae, de pyramidis triangulae . Demonstrandum est ise nobis, quod haec duo praedicta aggregaera sunt inter se aequalia : sic' enim per communem animi conceptum sequetur, ut cubus& put' hexagona aequiangula ue loci, sint inuicem aequales. Auferatur ab illo quidem aggregato columna triangula 3' et ab hoc vero aggregato pyr pentagona 1' iampride per ante praemillam aequales: Et demonstrandii erit,qubd duo residua indei aggregatum columnae triangulae quartae & Δ' quarti;
339쪽
hinc autem aggregatum pyramidis T 4 ,& pyramidis i mangulae quartae, sunt inuicem aequalia r quod sic patet. Per antepraemissam rursus, columna triangula quarta , aequalis est pyramidi pentagonae quartae: pyramis autem pentagon quarta, per 36' , aequalis est pyramidi quadratae quartae , depyr 'triangulae tertiae. Quin obrem, columna triangula 'una cum Δ''quarto, aequalis erit cum illo trium, scilicet pyramidis quartae. puramidis triangulae tertiae de trianguli '.O tendendum est igitur, quod dictus cumulus aequalis estnr. Q aggregato pyramidis quadratae dc pyramidis triangulaeto . Auseratur utrinque, scilicet tam ab illo cumulo,quam ab hoc aggregato pyramis quadrata ' . 5 demon: trandum supererit, quod pyramis triangula tertia una cum Δ''quarto aequalis est pyramidi triangulae qubdian. lern constat perdis sit. ipsius pyr triangulae: quippe quae asium Pto sempersequenti triangulo procreat sequentem pyra i dem . Qua argumentatione. licut in quinto,ita de in quoliber lio praecedenti vel sequenti loco, sena per constabit propositum .
vo si Axi igitur singuli cubi ab unitate ordinati sunt singulis pyramidibus hexagonis aequilateris ab unitate dispolitis, collateralibus aequales; propterea manifestum est, ruod cuborum differenti e sunt pyramidum praedictarumifferentiis singulae singulis Mquales, hoc eit,ipiis hexagonis
aequiangulis. Ac, sicut cx talium hCxagonorum ad unitatem successaua coaceruatione pyramidcs praedictae per ordinem construuntur,ita Sc cubi procreantur. Suntque ipsi helagoni
cuborum gnomones ab unitate continuati. PROPO si TIO 32'.
Omnis cubus cum sequenti hexagono aequiangulo coniunctueon lituit cubum sequentem Haec propositio costat ex pr*cedenti corollario. Sed & aliter hic ipsam demonstrabo. Disponantur numeri sic: unitas .& s.Item horum quadrati 16. & 2 s. dc pat te altera longior ex . in 3. factus scilicet io. Item eo riun cubi 6 .dc Ix s. deinde eo 4. iii 2 o. fiat So. de eas .in io. fiatioo. Quibus dispositis cum 6 .sit cubus quate natat,atq; 1 2 s.cubus quinari j,oste edum est, ψ 6 . ' cubus cum s' hexagono aequiangulo coniunctas constat cubum 1 121.quod sic patet: Qm, pero' huius, .est dTilerentia ipso M16.de io. perio huius s .est differetia ipsorum ιο .dcas atq; Pse mu tiplicans ipsos io. α ιο. iacit Uios 6 . & 8o
340쪽
Itemque ipse s. multiplicans ipsos io. & 1 . facit ipsos loO.& II s.propterea ncccile est ut differentia ipsorum 6 & So. sit ipse io. utque differentia ipsorum So. de ioo. sit ipse io. vique differentia ipsorum ioo. & i i s. sit ipse 13. quoniam differentia productorium producitur ex multiplicate in das
serentiam multiplica torum.Igitur disserentia ipsorum cub rum 6 .5c ias. constabit ex congerie trium numerorum I 6.ao & a s.qui quidem sunt in hoc exeplo quadrarus quintus, parte altera longior quintus S quadratus ' : qui cum , pasa' huius, faciant simul acceptae hexagonum aequi angulum quintum : sequitur, ut talis hexa onus sit differentia dicto a cuborum: hoc est, ut cubus quartus 6 .cum dicto hexagonoqvinto scilicet is I. conii inetiis constituat cubum quintum I is. quod demonstrandum in hoc exemplo assumpsimus :sinii lirer in omni alio casu id idem demonstraturi: sicut
HI N C ergo rursus manifestum est, quod sicut hexagoni aequi latcri ab unitate continuati, pyramides hexagonas aequi angulas, ita α cubos ordinatim coaceruant. Pno post Tio '. Omnis parte altera sentior, adruplicatus cum is atrico
ficit qua iratum colateralis imparis . Nam parte altera longior, per nonam huius, costat ex praecedenti quadrato, suaq; radice. Igitur quadruplicatus facit quadi uptu talis quadrati quod quadruplum est numerus quadratusὶ & quadruplum praedictat radicis, hoc est, duplum radicis huic quadrato de- II-IIoitς.Itaque parte altera longior quadruplicatus cum unitate, efficit congeriem ex quadrato quodam, duplo a suae radicis atque unitate consectam. Sed, per i 3 huius, talis congeries est quadratus sequens: Igitur parte altera longior quadrupliacatus cum Vestate facit quadratum : qui cum impar sit, pr pter unitatis additionem , erit omnino & radix eius impar. Qui scilicet constat ex precedcnti radice duplicata cum vniatate,& per inde est impar ipsius parte altera longioris coli, teratis. Exempli gratia et numerus 3 o. parte altera longior sexti loci quadruplicatus cum unitate facit i 2 l. quadrarum undenarij sexti imparis. Nam 3 o. per nonam constat ex praecedenti quadrato 11. scilicet quinto , & ex quinta radice . quadruplum autem ipsius 2 s. est icio. quadratus paris ins to loco. Quadruplum vero, eius radicis scilicet I . est di