장음표시 사용
321쪽
da radicum locum fortitur. Et ὸ contrario, quotum in radicia bur locum obtinet quiluis numerus, tot quoque complectitur etω- aates. Nam radices ab unitate exordium rapientes per sin--gulos locos singulas acquiritiae unitates. Quapropter mill narius numerus , quoniam ex mille constat unitatibus , llesimus est in ordine radicum : Et vicissim numerus, qui millesimum in radicibus locum sortitur, mille comer hendet unitates, hoc est millenarius ipse numerus erit. Et nocin quod proponitur demonstrandum. Omnis datus numerus inuenitur in ordine radicum, . Esto datus numerus a. quicunque sit,aio quod a. numerus inuenitur in ordine radicum omnino. Habeat enim a. quotuisvnitates, utputa mille. iam enim per praecedentem a. numerus milleiimum obtinebit in radicibus locum. Quod est propositum.
dices singula duplicata constituunt pares singulos per ordinem . Nam talia dupla mensurantur 1 binarior uandoquidem per binarium multiplicantur :& ideo perissinitionem sunt ipsi pares numeri :quorum primus semel, secundus bis, tertius ter ;& sic deinceps a binario mensi
pares ab unitate per binarii appositionem successu efiunt, . Nam unitas binario apposita, per differen . finitim parem , scilicet ternarium : Sed per priem istam pares numeri propagantur a binario per binarii crementum :& per disteren . impares addunt paribus singuli singulis unitalcm : Igitur impares propagabuntur a ternario per idem binari j crementum ut singuli singillos impares unitate semper excedant.) Quod est propositum. in ordine radicum impares ei pares alternatim ct imiscem succedu- , . Nam, per praemillam, impares ab unitate per binarium crescunt; quo fit ut in radicibus, unitas, & Vno semper intermisse numero, sequetes sint impares: per antep-millam vcro, pares a binario per binarium crescunt; quare in radicibus binarius,& uno semper intermisso,sequentcs sunt pares. Sic ergo fi liut impares, in imparibus,pares semper in locis
322쪽
ilocis , paribus radicum inueniantur alternatim, sicutpr
r Omnis radix cum radice praecedenti , sicit sibi collateralem cimpare mecum sequenti vero sequentem. Nam binarius cum
unitate facit ternarium : cum ternario autem iunistus, facit binario maiorem:& ideo imparem sequentem scilicet 1 .per quartam praemissam. Rursus, cum ternarius coniunctus eum binario, furiat quinarium, imparem sibi collateralem : Iam iidem cum quaternario radice sequenti faciet binario mali rem, hoc est, imparem scquentem, per quartam praecederem, - . . I
qui septenarius est . Eodemque modo in infinitum, sicut lpropolitio concludit. Omnis radix multiplicata in radicem sequentem, producit d, 7 plum trianguli sibi collateralis. Exempli gratia, ducatur quaternarius in sequentem radicem, scilicet quinarium : & I- producuntur 1o.'Aio,quia ΣΟ.duplus est ad triangulum ipsi x
qua temario collateralem . Sumantur enim ab unitate ad 3' quaternarium radiccs: quibus applicentur totidem & ordine Α- . praepostero ab unitate radices, singulae singulis : sic enim fiet in ut crescentes cum decrescentibus singuli singulis coniuncti numeri faciant quatuor summas aequales : hoc est quatuor E-quinarios.quare earum aggrcgatum crit planus numerus,quint ex ductu quaternari; in quinarium : & idcirco 1 o. erit
- talis planus. Duplus autem est planus ipse ad triangulum - quaternatij : quandoquidcm, per dist. talis triangulus est aggregatum unius dictorum ordinum : quod est dimidium plani: Igitur 1o. duplus crit ad triangulum quaternaris. Et similiter in omni casu id quod proponitur demonstrabimus.
Omnis triangulus duplicatus, essicit numerum parte altera rlongiorem sequentem. Exempli gratia, triangulus quarti . loci, est denarius. Aio,quod io. duplicatus essicit parte altera longiorem quinti loci. Nam per diff. talis parte altera longior producitur ex radice colla terati in praecedentem : sscilicet ex s. in . Sed per praemillam ex ductu . in s. fit - - 1 o duplum trianguli quarti: Ergo tale duplum aequale est, . parte altera longiori quinti loci. quod est propolitum . Omnis quadratus csem radice sua coniunctus,conmissi cn- 'tem parte altera longiorem. Exempli gratia, quadratus I 6 quarti loci est i 6. eiusque radix . Aio,quod sexdecim cum Q quatuor conficit parte altera longiorem quinti loci. c s-io
323쪽
Nam per distinitionem ς. multiplicatus in producit quadratum suum scilicet 16. Et idem A. ductus in D sequens
rem radice, producit Darte altera logiorem quintum, scilicetio. Sed talia duo proaucta disterunt quaternatio: quoniam multiplicantes differunt unitate. Igitur 16.cum .cilicit Lo. hoc est, quadratus cum radice parte altera longiorem quintum. quod fuit demonstrandum. i o Omnis parte altera longior cum radice collaterali conuinctiis, constat collateralem quadratum . Exempli gratia: Parte altera longior quinti loci est io. A io, quod 1 c. cum s. facit quadratum quantum. Nam, pcr disti. talis parte altera longior fit x . in s. lictus Vero quadratus fit ex s.in stati Sed talia producti disterunt quinario multiplicante: quoniam multiplicati di fierunt unitate. Igitur 1 o. cum quinario conficit reliquum productum, scilicet quadratum quinaim: quod suit
II ' Omnis triangulus cum praecedenti triangulo conmnctus per scit quadratum sibi collateralem . Exempli gratia: Triangulusio i quintus scilicet 13. cum triangulo prae denti scilicet Io. 23 perficit quadratum quintum . Nam, i s. per diff. trigiaPiliis 2 constat ex prς denti Δ''dc radice s.Igitur aggregatum taliuduorum triangulorum costat ex tali radice,& duplo Δ'' pricedentis, hoc est,ex s. & duplo ipsus i c. Sed duplum ipsius
trianguli i o. per an repraemissam est parte altera logior quintus: Ergo dictum triangulorum aggregatum, aequale erit aggregato ex parte altera longiore quinto, & ex radice quinta. Per praecedentem autem, parte altera longior quintus cum radice 1' contiat quintum quadratum: Igitur dictum triangulorum I s. & i o. aggregatum, perficit Quadratum quin- . tum: quod est propolitum . a1' Omnis quadnarus cum radice fua, cum radice sequenti coniunctus con seram quad. atum sequentem . Exempli gratia: , Quadratus quarti loci scilicet I 6. cum radice sua scilicet .&cum radice sequenti s.compositus, consummat quadratu sequentis loci scilicet 11. Nam per nonam praecedentem, quadratus quartus cum radice sua conluctus, esticit quintum parte altera longiorem: per decimam verb praemittam, uintus parte altera longior conli et iunctus cum quinta ra-ice, quintum quadratum. Igatur quartus quadratus cum ' & 3' radicibus acceptus conficit quintum : sicut Proponitur.
324쪽
vn nu quadratis cum impari sequente coniunctas, constituit - quadratum sequentino. Exempli gratia: Quartus quadra, tus talicet i 3. n impare quinti loci, scilicet cui u. coniunet ictus, essicici quintum quadratum . . Nam per sextam prae- e mularum, radix quarta cum quinta componunt imparem . quintumes: cumque per praecedentem, quadratus quartus, cum quarta & quinta radicibus , pariter sumptus, essiciat - quadratum quintum, sequitur; ut idem quadratus quartus 2 cum impare quinto, hoc est i s.cum s.constita hi quadratumi quintum scilicet 2 s. sicut concludit propositio itu omnis quadratus cum duplo suae radicis nitate coniun-- ctus conseruit quadratum sicquentem . Exempli gratia: a tus quadrarus inlicet i6. cum duplo suae radicis, hoc est, cum 8. S unitate coniunctus esticit quadratum sequentem.
Narii per huius , duplus radicis quartiri est par quinti loci: cui si addatur unitas, fit per diffimpar quintus. Igitur
talis duplus cum unitate,est impar quintus. rum, per p . cedentem, quartus quadratus cum quinto impare constituit T sequentem.Igitur & quartus quadratus cum dicto duplo& unitate coniunctus : hoc est, i 6. cum s.& I .construit quadratum quintum scilicet 2 s. quod est propositum. Ex aggregatione imparium numerorum ab unitate per ordia I rnem successiud sim torum, conitru tur quadrati numeri comtinuati ab unitate, ipsisi imparibus collaterales. Nam per -- lepraemisi ira, unitas imprimis cum impari sequente sa- icit quadratum sequentem scilicet, Et ipse . quadratus 3 secundus, cum impari tertio scilicet F. facit quadratum stertium, scilicet s. Itemqqe p. quadratus tertius cum impari quarto scilicet.7. sicit quadratum quartum, scilice; I6. & 9uic deinceps in infinitum , semper I 3' repetita propositum
Omnis Tentagonus confiituit mr ex triangulo oel arte altera longiore collateralibus coniunctis. Nam per diffinitionem ipse, exempli gratia, pentagonus quartus, 2 I. fit ex T ' 'SA' tertio coniunctis, hoc est ex t6.&6. Sed perlo' huius, parte altera longior quartus, scilicet Iz. cum radice quarta, scilicet .conficit T quartum. Et per dissi trianguli, triangulus quartus constat ex Δ'' 3'&ex radice quarta . Igitur de Pentagonus quartus constituetur ex parte altera longiore quarto, scilicet Ita& ex Δ'' quarto scilicet io. sicut proponitur demonstrandum. P ci
325쪽
I Omnis item pentagonus conflauitur ex triplo praecedentis tria anguli, ex collateruli radice, coniunctis. Exempli gratia : peri-ragonus quartus. scilicet 21. fit ex triplo terti j Δ ,scilicet ex 6. IS.& ex radice ς .s . Nam per diffinitionem,pentagonus6x quartus scilicet 1 a .fit ex α' pr cedenti tertio & ex quadrato I ψ quarto. Quadratus autem quartus scilicet I 6.peri I huius,
constat ex Δ'' tertio G. & ex Δ' 'quarto io. coniunctis: de Δ' quartus ex diff. Δ' , conitat ex Δ'' tertio , & ex radice ς coniunctis. Igitur & Pentagonus constabit ex tribus triangulis terti js,& ex radice quarta: quod est propositum. Vel sic: qmlier praecedentem, Pentagonus constabat ex parte altera ongiore quarti loci, de ex Δ''quarto : &per g huius, parte altera longior aequi ualet duobus triangulis terti js : & Δ' quartus a qui ualet M s' de radici quartae: iam & pentagonus
'aequi ualebit tribus Δ'' tertiis & radici quod est propositum .is Omnis hexagonus prima eo tit ex praecedenti triangulo, insuper ex iis omnibus, ex quibus collateralis pentagonus constare ossensus est. Nam, cum per dissinitionem pentagonus, una cum prircedenti triangulo constituat collateralem hexagonum , sequitur ut hexagonus ipse constet ex dicto iam tri- , i angulo, & cx iis simul,ex quibus per duas praecedentes, constare ostensus est Pentagonus. Sicut proportio ptaesens concludit.
is omnis hexagonus sit ex quadrato collatendit, duplos prac dentis trianguli. Exepli gratia, hexagonus primus quarti loci
scilicet 18. fit ex quaarato quarto,scilicet i6. & duplo praec is dentis trianguli, scilicet 6. Nam per dissini. hexagonus constat ex pentagono collaterali, dc ex praecedenti Δ''. Pentag nus autem ex quadrato, & ex praecedenti triangulo. Igitur hexagonus constabit ex quadrato,& ex duobus praecedentib. triangulis: quod est propositum.1o Omnis radix ducta in imparem collateralem producit hexag num primum collateralem. Exempli gratia: radix quarta sci-6 licet . multiplicans quartum imparem, scilicet 7.facit colla-6 teralem hexagonum primum, scilicet 18 . Nam radix . inci seducta, iacit quadratum ' scilicet i6. Et eadem radix . in praecedentem radicem scilicet 3.ducta iacit per 7 huius, duplum trianguli tertij, scilicet 6. Sed per praecedentem, taletata' cum duplo radis trianguli perficiunt siniὶu hexagonum ptimum ' loci. Ergo radix ducta in se.&ducta in s. hoc est
326쪽
ducta in 7. e imparem, per 6 huius procreabit hexagonum primum loci; quod est pr o positum . Si ex radicibus ab imitate dispositis fumantur tres,vel quinq; a Ivel septem , vel sub quavis impari multitudine ab unitate contiamati numerit tunc illorum aggregatum aequale erit ei, qui fit ex ductu medii in postremum. Exempli gratia: capian tur septem
radices sic I. a. 3. . I. 6. 7.quorum medius est ' scilicet 4. Aio igitur,l horum I. numerorum aggregatum aequale erit ei quod fit ex multiplicatione medii scilicet ε. in postremum scilicet T. sic ostenditur. Astocientur propositis radicibus totidem singuli singulis aequales, sed ordine praepostero, arplicati numeri r sic fiet, ut crementa decremetis compensata faciant combinationes singulas aequales: utque bini medii ab extremis aequidistantes scilicet . & . sint inuicem aequales. Quare congeries totalis amborum ordinum erit planus numerus, qui fit ex ducta octonarij in septenarium e quae sunt latera plani. Igitur & summa unius ordinis, quae dimidi si elito talis cumuli producetur ex in 7. hoc est ex medio num rorum in postremum. Quod fuit demonstrandum. Omnis radix media inter unitatem ct imparem in ordine ra- 1 Aduum,multiplicata in talem imparem, producit triangHum imparis eiusdem collateralem. Exempli gratia, capiantur, sicut in praecedenti, quo tuis imparis mult' ' radices ab unitate corinuate I. 2.3. 3. 6. 7. septem scilicet. Aio, quod in his radix aequaliter remota ab unitate & impari : ut a. qui aequidistat ab uno,&a 3. multiplicata in s. producit collateralem ipsius 3. triangulum . Nam, per praecedentem, 2. qui medius est ipsorum I. 2. . trium scilicet ab unitate radicum, ductus in postremum, scilicet 3. producit aggregatum ipsorum l. 2. 3. Sed tale aggregatum, per diffinitionem, est triangulus collat ratis postremae radicis s. Igitur a.duetiis in s .producit disicollateralem ipsius imparis scilicet 6.quod est propositum. Item 3.radix aeque remota ab unitate,&a quinario ducta i quinq; , producit is . triangulum. s.collateralem quinaris : quia. scper praecedentem procreat aggregatum ex ipsis i. a. s. q. s. quod est ipse triangulus, sicut proponitur. Adhuc . radix aeque distans ab unitate p. in .ipstim multiplicata generat 28. Δμ .s.collaterale ipsius septenarh: quandoquidem per praece dentem, producit aggravatum ex ipsis I. a. s. 4. 1.6.7. ipsum videlicet triangulum. Et sic deinceps,arguendo per prqceden'tem, & per dist.trianguli confirmatur propositum.
327쪽
trianguli numeri locorum imparium . Nam per χο- huius, i a radices singulae in lingulos impares multiplicatae, producunt per ordinem hexagonos ipsos. At per praecedentem, radices ungulae in singulos item impares ductς, pro creant triangulos impatium collaterales per ordinem . Igitur S trianguli imparium locorum sunt & hexagoni per ordinem continuati: iicut demonstrandum proponitur.
Vndem nisesbim est, quod omnis hexagonus tetragoniacus est A: triangulus numerus. Omnis numerus prefectus est betagono tetraginicus siuea ' primus. Hoc nosse demonstrabimus. Exponantur ab Vnititate continuati numeri pariter pares, hoc est,in proportione continua dupla a. b. c. d. e. quorum aggregatum sit numerus primus,qui sit f. de ex e. postremo in L produca tur g. qui per ultimam noni elementorum Euclidis, erit numerus persectus. Ottendendum igitur est, quod Ihexagonus est, non aequiangulus, hoc pacto. Sit ipsius αι t duplus ipse h. Et tunc si ab ipso b. secundo, & ab ipso h.
dematur primus, scilicet unitas, erit per penultimam noni praediisti, sicut residuum ipsius b. ad unitatem, sic residuum ipsius h.ad aggregatum ipsorum a b c d e.Sed --. residuum ipsius b.est unitas, & perinde aequalis unitati rs Igitur & residuum ipsius h. aequale erit aggregato ipsorum a b c d e. hoc est, ipsi f. Verum si ab ipso h. duplo
ipsius e. M perinde numero pari sub traha tur unitas , iam superest numerus impar collateralis ipsius e. in radicibus :, Ergo talis impar est ipse f. Quare per 2O' huius, e. radix mul-- tiplicans ip sum f. collateralem imparem, generat hexagonum r . . t sibi collateralem. Fuit autem tale productum ipse numerus g.omnino igitur & g. numerus hexagonus est . quod demont strandum fuit a s Omnis numeris perfectus est triangula . Nam per praec
a dentem, omnis numerus perfectus est hexagonus primus. Per corollarium autem antcpraemisian, omnis hexagonus ta- lis est, de irrangulus : Igitur de omnis numerus persectus est.2t triangulus, sicut propositio concludital δέ Omnis radix j xcriplicata cir crim et nitate, cum i sexcuplo praecedentis trianguli coniuncta,consummat hexagonum ciuiam' sulum sequentem . Exempli gratia: Sumatur Φ.qui quarta 1. radix
328쪽
indix est ; & tertius triangulus, scilicet b. Aio,quM .sexcu- : iplicatus scilicet 24. cum unitate, & cum sex plo ipsius 6. C. 1 iscilicet ι 6. comunctus, conficit hexagonum aequiangulum si I, 6 . 6 QIsequentem, scilicet 6 i. Nam radix quarta cum tertio tri- angulo, per dic es , conficit quartum triangolum. Igitur se cupium quartae radicis cum sex cupio tertii . simul c&ciunt sexcuplum quarti trianguli. Quare unitas cum sex plo radicis,& lexcupio terti 1 trianguli simul, sunt aequalia aggregato ex unitate de sex cupio quarti trianguli. verum tale grauatum, per dissinitionem ipsius hexagoni, constituit ipsum hex gonum quintum. Ergo heragonus quintus construitur ex unitate, sex cupio radicis quartς sexcupio terti j
Omnis parte altera longror triplicatus O cum unitate con- 17 infictus, conficit hexagonum quiangulum collateralem Exempli gratia: Quintus parte altera longior est 1 c.huius triplum scilicet 6 o. cum unitate essicit quintum, de quo loquimur, ii xagonum scilicet or. Nam per dissi. Hexagonus quintus constat ex unitate & sex plo trianguli, scilicet io. Quintus autem parte altera longior, per S' huius, constat ex duobus quartis triangulis. Sequitur ergo, Vt sex quarti trianguli aequaleant tribus parte altera longioribus quinti loci: utq; hexagonus quintus confletur ex tribus parte altera longioribus & ex unitate: sicut proponitur.
Vnde manifestum est, quod omnis quadratus cum radice sua coniunctus & inde triplicatus, ac mox cum unitate po- 'stus conficit hexagonum aequi laterum sequentem. Nam per nonam huius , quadratus cum radice sua aequalet parte altera longiori sequenti. Vnde corollarium constat ex praemilla. in tribus numeris aequali excessι crescentibus, conger es extremorum aequalis est duplo medii. Exempli gratia, tres immeria. . . binario crescentes lint. Aio quod extremi scilicet 3. cum 7. faciunt duplum ipsius 3. Nam, quanto 3. minor est quam 3. tanto I. maior, quae F. per hypothesim . Excelliis itaque binari j resarcit ei iisdem descistum ; & perinde excedens cum deficiente, hoc est tertius cum primo faciunt duplum
329쪽
as In trib us tria ulis continuatis in ordine triangulorum, conia geries extremorum unitate excedit duplum meis. Exempli gratia, tres capiantur continui trianguli, Viputa tertius,qua eus,& quintus scilicet 6.io. is. Aio, quod extremorum 6. dei s. nitate superat duplum medii scilicet ipsius io. Nam in his quartus Δ sua radice excedit tertium, hoc est, quater nario: Quintus autem quartum quinario, sicut ratio dimiationis postillat. Minuatur unitas de quinto: S superest i .
fietque ut 6.Io. l .a quali crem nto procedant: scilicet quaternario crescentes. Quare,per premillam G. cum I . duplum faci ut ipsius Io.Igitur 6. cum I 1.unitate duplum praedictum excedet.& similiter hoc ipsum in omnibus tribus continu tis Mostendam : sicut demonstrandum proponitur. PRO Posi TIO'3o'. Omnu trianzulus quadruplicatus oecum vnsitate coniunctu
efficit auregatum collateralis O sequentis quadratorum. Exempli gratia : triangulus V, scilicet io. quadruplicatus cum unitate facit i. aggregatum scilicet quadratoν quarti ει quinti. Applico enim Δ'' proposito praecedentem Δ-&sequentem, scilicet tertium de quintum sic o. io. i3.:atque ita per ii propositionem huius, constabit, v quartus quadratus fiet ex congerie ipsorum io.& 6. quarti & tertij triangulora et Et similiter,qubii quintus quadratus fiet ex cumulo ipsorum 13.& io.quinti Jc quarti Δ 'μ Quo fit, ut aggregatum talium quarti & quinti quadrato IV, quod est i .constet ex congerie Δ''vextremorum.& ex duplo medij: Sed per praecesentem, congeries extremorum aequi ualet duplum medio de unitate. Igitur aggregatum ex quarto & quinto quadratis constabit ex quadruplo medi) de ex unitate. Hoc est, ipse Δ''medius, quartus in hoc casu, scilicet io. quadruplici ter cum unitate conficiet aggregatum ex quarto, & quinto quadratis 23. scilicet & 16. sicut demonstrandum proponitur.
Omnis quadratus cum praecedenti quadrato , O cum sibi collaterali parte altera longiori coniunctus,consummat hexagona quiangulum sibi collateralem. Exempli gratia : Quadratus
quintus est a I. quartus praecedens Io. parte altera longior quintus 2C. Aio, qubd horum aggregatum consummathexagonum aequiangulum quintum . Nam , per praemisicam, aggregatum ex quinto de quarto quadratis, aequi ualet quadruplo trianguli quarti cum vnitare iuncto. Per octa
330쪽
uam autem huius, parte altera longior quintus aequiua let duplo trianguli quarti . Ergo aggregatum ex quinto αquarto quadratis , & ex parte altera longiori quinto, a quitia leti sex plum trianguli quarti de unitatem. verum tale sex plum cum unitate costituit hexagonum aequi angulum' quintum , scut eius dissinitio supponit: Igitur hexagonus aequi laterus quin tus consumm/bitur ex aggregato quwti dc quarti quadratorum , dc quinti parte altera longioris : quod fuit ostendendum . Similiter in omni casu procedam prP
Omnis heraeonus tetragonicus cum praecedenti quadrata remunctus complet hexagonum aqAiangulum sibi collateralem O. Nam, nisi dissinitiones oblitus es, Hexagonus tetragonicus sue primi generis vocetur, constituitur ex quadrato cotilaterali , & cx duplo es praecedentis : Exempli gratia hexagonus talis quinti loci, scilicet s.fit ex quinto quadrato as.& ex duplo trianguli quarti Io.Sed tale duplum, per octaua huius,est parie altera longior quintus scilicet 1 o. ergo hexa I Rogonus ictragonicus quintus aequi ualet aggregatu ex quinto c uadrato, sic quinto parte altera longiore. Vcrum per prae- 16 missam quintus quadratus, cum quarto quadrato de cum quinto parte alsita longiore consummat hexagpnum aequia laterum quintum . Igitur hexagonust tetragonicus quintus cum quadrato quarto conflabit hexagonum aequiangulunt quintum : quod fuit deitioniti andum. Et similiter in omni
Sunt plerique numeri qνadrati, qui coniunm quadratum numerum faciunt. Sumatur enim qui labet in ordine imparium quadratus: namque his cum pr. xccdcnti quadrato in ordine quadratorum sumpto colunctus, per i 3 huius, quadratum conficit. Exempli gratia.9. quadratus, quintus in ordine imparium, cum quadrato quarto io conficit L s. qu*dratum quintum. Item 1 s. quadratus, tredecm. ias impar cum duodecimo quadrato scilicet I . coniunctii i ccnscit. β 9. quadratum videlicet tredecimuiri. Idemque semper lit in oiquadiato impari. nihil ergo saer I Vcritas piopoliti. Et aliter sic : sumamur duo iii qualus quadrati numeri .aut ambo pares,aut ambo impares, liue duo plani similrs a b. α .b c.qui cu parem numerum faciant, iam totius a c. d midius par erit.