장음표시 사용
341쪽
plu radicis ipsius roo. Igε quadruplum totius 3 o. est aggregatum ipsus Ioo.duploq; suae radicis: qd cu unitate, sicit per Ie ,insequente. s. r i .radicis, qui est impar sexti loci .Quod est demonstradum. Simili te pro sexto loco syllogizamiis, ubi vis accommodabis. scut proponitur. P Ix o et os. y '. Omnis triangulus omplicatus cum et nitare,conficis sequentis imparis quadratum. Exempli gratia, i s. 1' Δ ' octu plicatus secit i ro.qui cum unitate sicit I 2 sexti imparis. s. o. t Nam per 8 huius, 1' triangulus duplicatus secit 3 o .sextum Iarte altera longiorem. Sed,per praecedentem,6' parte altera ongior quadruplicatus cum unitate, conficit O 6 imparisIi .Igitur & triangulus 1' I 1.oetii plicatus cum unitate faciet eundem T A sexti imparis II. quod erat demon strandum. Quae demonstratio & alijs locis inseruiensicut proponitur. PRO Pos I Tio 11'. Quod fit ex radice in parte altera longiore collaterus eum quadrato collaterali coniunctum, constat cubum collateralem , . Exempli glar quinta radix s. ducta in 1 parte altera longio
2c-Ioo 121.quintum cubum. Nam perdisiims .in se duetiis, facit 1 te suum quadratum a J. quinti loci: & idem s. cu quinto parte altera longiori 1 o. per decimam huius, facit a s. quadratum cubM qμi h. p i primam secudi ElementoRad nsios relatam, qa fit ex s.in se,qdq; ex quinq; in ao.est ςquale simules, quod ni ex s.in aggregatum ex I.& ao. qui quadratus est ipsius s. Igitur G ipsius quinq; cum producto ex s. in a o. parte altera longiori quinto, simul sunt aequalia ei, quod sit ex s.in suum 1 1.hoc est cubo ipsus quinarij: qd fuit demon strandum. utq; in loco quinto, similiter de alibi constabit propositum.
Quod fit ex radice in triangulum praecedentem duplicatum, o cum quadrato radicis coniunctum, constat cubum radicis. Exempli gratia, quod fit ex s. radice quinta in Io. triangulu si . s. so. duplicatum est Ioo.hoc cum 23.quadrato radicis, conflat i 21. cubum radicis. Nam, per 8 huius Io.triangulus 'duplicatus facit io. parte altera logiorem 1μ : quare productu ex s. in Io.s Io.in dimidium producti ex J. in Σc.& ideo so .duplicatum sicit productum ex s.in ro. Sed per praecedentem, productum cx 3. in ro. cum T ipsus s. sicit cubum ipsius 1. Igitur & so. duplicatum, hoc est, ico.cum T ipsi' s.facit cubu cude radicis.s. i a1.quod est spost
342쪽
Omnis cubus cum trianguli praecedentis quadrato colanctus,esscit quadratum trianguli collaterasis. Exempli gratia, cubus radix . 1
quintus ris .cum quadrato trianguli quarti Io. hoc est cum s Ioo. coniunctus, essicit 21 3. quadrati scilicet trianguli quinti γ i s Δ' sis.Quod sic ostenditur. Radix quinta s.cu triangulo quarto Icia estis.Ti o. per dissinitionem,conficit triangulum quin tu i s. quare, Δ' Α' est Lasper quartam secundi Elementorum ad numeros redactam,
duo quadrata scilicet dictae radicis,& dicti triaguli quae sunt
2 s. de ioci. una cum duplo eius, quod ex radice fit in triangulum,hoc est duplo ipsius 1 o. conficiunt quadratum trianguli quinti, scilicet 21 s.Sed, per praecedentem, tale duplum una cum quadrato talis radicis, hoc est ioci cum 23. facit cubum ipsius radicis. Igitur cubus ipse quintus cu quadrato trianguli quarti hoc est iis . cum so o. simul esscient quadratum trianguli quinti, scilicet a 2 s. Quod suit ostendendu. Quae argumentatio a quinto ad alios locos transferetur, adprobandum propositum. Pnopos I Tio 3 8'. nu trianguli quadratus,squalis est aggregato cuborum ab etrusitate usque ad cubum triangulo collateralem inclusiud sum. a piorum . Sit, exempli gratia, triangulus numerus quintus, b qui, per diffinitionem ex unitate a.& sequentibus per ordine e radicibus b c d e. simul luistis coaceruatur: cuius quadratus d sit f. Aio,quod L aequalis est aggregato cuborum ab ipsis e .
a s ed e.radicibus singulis sustorum. Quod sic demostratur. Sit g. cubus ipsius radicis e. sitque h. quadratus totius a b c d. hoc est trianguli quarti. Eritque, per praecedentem , ipse frequalis ipsis g h. simul sumptis. Rui sum, sit h. cubus ipsius d. stque l.quadratus totius a b c. hoc est triaguli tertij: eritq; per praemisiam, h.aequalis ipsis h l. simul. Item, sit m. cubus
ipsius b.stq; n.quadratus totius a b.hoc est trianguli iecudi eritque similiter i. qualis ipsis m n. pariter suinptis. Demumst p. cubus ipsius b. sitque q. hoc est unitas, quadratus ipsius
a. unitatis: eritque non secus n.aequalis ipsis p q. conuinctis.
Quamobrem , ipses aequalis erit ipsis gh m p q. pariter a ceptis: qui scilicet sunt ipsorum a bcd e. radicum singularum cubi. quod fuit demonstrandum. Idemque de quodlibet in
infinitum cubis ostendetur. Quoium scilicet radices per ordinem ab unitate coaceruant quem uis propositum triangu- flum, sicut propositio concludit. 22s
343쪽
PRO Posi TIO 19' . Omnis parte altera longior excedit praecedentem parte altera longiorem in duplo praecedentis radicis, ct ideo in imo pari-mero collaterati. Exempli gratia,quintus parte altera longiorao. excedit quartum parte altera longiorem scilicet i a. in duplo quartae radicis,lcilicet 8. Quod liquido constat.Nam 2o. fit ex A. in s. at la. ex . in 3. quae producta disserunt in duplo multiplicantis:quonia multiplicati disserunt binario. Et ideo a o. maior est, qu in i 2. in ipso pari numero quinio, scilicet 8.quippe qui per tertiam huius,est duetum praedicta radicis. Sic & pro alijs locis constat propositum.
Omnis quadratus imparis excedit praecedentis imparis quadratum in quadruplo collateralis paris. Exempli gratia .qu drati quarti imparis , s. . excedit quadratum terti, im- 1 s Paris, scilicet 23 in quadruplo quarti paris 6. hoc est in 1 . 9 in Nam per 3 33 praecedentem p. constat ex parte altera lo
I-giori quarto quadruplicato, S unitate. Et per eandem a 3. constat ex parte altera longiori tertio quadruplicato & vniatate. Igitur Ap. excedit ipsum is .in quadruplo disserentiae, qua parte altera longior quartus excedit parte altera longiorem tertium : Sed per priemissam talis disterentia est petnumerus quartus , scilicet 6. ergo 0. excediripsum 23. in quadruplo quarti paris, ε. hoc est, in a . Quod crat demon strandum . Quare sicut pro quarto, ita pro alio quocunqualoco propositum concludemus.
Quod sit ex qua det radice in parte altera longiorem collat ratem si coniungatur cum quadrato collaterali; constabitur D mo , qui comunctus cum quadrato trianguli praecedentis, conficit quadratum trianguli collateratis. Exempli gratia: Ex radice 3.in quintum parte altera longiorem scilicet 1 o. fitioo.qui iunctus quadrato quinto scilicet 21. conflat i 2 3. Aio, quod I 21. posmis cuta'' Io. ccum ioo.coficiet vini ue is .s 21s. Nam, per 3 1 praecedentem,quod fit ex radice 1' in 1' parte altera logiorem, si iugatur cu T 1', costituit cubu, Sed, P s 1 praecedeton, 3'ctibus cuta Δ co iunctus coficit Δ 1': IgLqd fit ex radice 1' in 1' parte altera logior . luctum cum F' : hoc est, ipse nuus ias. si apponatura Σ3 Δ' ' .scio o. conficiet ta*Δ'' 1'.s 22 1.qiiod fuit ostendedum, in s ' loco & similiter in ali s locis constabit propositum. PR
344쪽
Vxutas primum cubum : duo sequentes impares iuncti sequem tem cubum: tres sequentes tertium cubum. Quatuor succ edentes quartum. Quinque post eos quintum. Sex sextum. Septem septimum . Semper' et plures sequentem deinceps in infinitum cubum aggregati conditabunt. Disponantur ab unitate a. per ordinem impares in indefinitum bc defghklmnop q. Aio, quod b c. si init secundum ab unitate,cubum faciunt. quodque d es simul tertium cubum . quodque gli h l. limul sumpti quartum cubum: quodq; ipsi in n o Pq.simul quintum cubum iuncti conficiunt: Itaque deinceps. Sit enim ipso M b zataxegatum x. & ipsorum de scumulus f& ip
rum g h k l. congeries t. de ipsorum m n o p q. aceruus u. eritque demonitrandum, quod a. erit primus cubus, scilicet unitas. & r. secundus cubus. & s. tertius. & t. quartus. & v. quin tus. hoc modo. Quonia ipsi a b c d elatililuinop q. a sunt impares numeri ab unitate per ordinem dispositi: pro 'pterea, per i huius , ipsorum a r s t v. aggregatum erit hquadratus ab unitate in ordine quindecimus : quoniam po- ς stremus impar, scilicet q. quindecimus est in ordine impariu dab unitate. Itaque tale aggregatum erit quadratus, qui fit a b quinto triangulo, hoc est 1 numero quindenario. Talis erg0 squadrasus, ex priem illa I 8. erit aequalis quinque cuboram ab unitate dispositor uiri cumulo . Et ideo totus.ae r S t v. g numeruS erit quinque talium cuborum congeries . Et per Leadem ac surriliter ostendemus, quod ipsorum ars t. aggre- kgatum erit quadratus ab unitate decimus: quandoquidem lis decimus est impar : ὶ hoc est quadratus quarti trianguli :quicit numerins denarius: qui quadratus per 18 pr ceden-mtem crit congeries quatuor cuborum ab unitate ordinato- Πrum. Quamobrem, cum ipsorum a rs tu cum alas si quin- Qque cuborum ab unitate continuatorum congeries : atque Pipsorum ars t. cumulus sit quatuor ab unitate cuborum ag- qgregatio : necelle est ut v. sit s' cubus ab unitate. Et similiter postquam per eadem ostenderimus, pa r s. sit cumulusti tum cuborum ab unitate: relinquetur l.quartus ab ynitate ' cubus. Demum ostenso,quod a r.sit duorum cubo hi camulus, supererit esse tertius ab unitate cubus . Cumq; a. sit unitas ; ρ erit,& r.alter ab unitate cubus : quod erat demon strandum.
Et sim diter deinceps, pro sexto, septimo. caeteris'; in infini rum cubis procedi potest, sicut Propositio concluti t. .
345쪽
Omnis cubus cum quadrato ct triangulo collateralibus com iunctus,triplum licit sua quadratae pyramidis. Exempli gra- s.col.Δ 1'. ' tiar quintus cubus est ii s. quintus quadratus a s. quintus Aia . triangulus I s. Aio,qubd horum aggregatum triplum est ad' puram idem quadratam quintam, scilicet s s.quod sic pater.
Cubus quintus per *2' huius, aequi ualet columnas duas triangulas. s. quintam, dc quartam dc triangulum quartum. Item per undecimam huius , quadratus quintus aequivalet duos triangulos, scilicet quintum de quartam. Quamobrem aggregatum praedimim aequi ualebit duas columnas tristi gulas, scilicet quintam & quartam , & quatuor simul tria gulos scilicet duos quintos & duos quartos. Igitur demonitrandum erit, qui d congeries talium duarum columnarum& talium quatuor triangulorum, est tripla ad pyramidem quadratam quintam.'Sed cum per se huius, pyramis ou py.T.1' -3 s. pyr. ' drata quinta constet ex combinatione duarum pyramidum Iso triangularum quintae de quartae . iam ostendedum erit, quod 1 o. Dr.e - congeries praedicta duarum columnarum & quatuor triati ' ----gulorum, est tripla ad combinationem dictam duarum pyr midum. Et constat sic. Quod per so huius columna tria gula quinta cum duobus triangulis quintis simul conficiunt triplum pyramidis triangulae quintae : & per eandem sescolumna triangula quarta cum duobus triangulis quartissmul accepta, triplum facit pyramidis triangulae qua Ergo, per primam quinti Elementorum Euclidis, tota comgeries duarum columnarum de quatuor triangulorum, tripla erit ad totam combinationem duarum pyramidum : quam doquidem partes singulae partibus singulis triplae sunt. de hoc erat demonstrandum. Et similiter pro cubis caeterorum locorum constabit propositum . t
Omnis columna pentagona cum duplo quadrati collateratari 2 s.cub'. 1'.' simul sumpta, triplum valet suae pyramidis pentagona. Exempli
per ii I 2 scis . V semul jumpta,triptum valet sua pyrammis pentagona. Exempliti , O gratia, columna pentagona quinta i73 cum duplo quadrati 'I I ψς ' ' ' quinii a s .hoe est eum uec. fecit 11 1. quod triplum est ipsius io. V. '-m pyramidis pentagonae quintς7 3. quod ostenditur sic. Collina pentagona quinta aequalis est cubo quinto per 3 columnet triangulae quartae ct triangulo quarto simul acceptis: quibus appono Vnum quadratum quintum: de pro altera quadrato quinto, appono duos triangulos quintum de quartum, qui
346쪽
strandum erit quod natriangula quam,triangulo quinto, duobus triangulis aquartis, simul triplum est pyramidis pentagonae quintae. Sed j iij pyramis pentagona quinta, per 3 6 , constat ex combina tio ne duarum pyramidum, scilicet quadratae quintς α triangu- l . v lς quartς. Ergo est demonstrandum, quod dictum aggregatum , est triplum huic combinationi quoci sic patet,Vna pars illius -- aggregati, scilicet cubus quintus, cum quadrato quinto de triangulo quinto sinul per pretcedentem, squalis est triplo quintῆ quadratet pyramidis,
dum est, quM supra dictum aggregatum est triplum huius rio. . x binationis: quod constabit lita ira pars illius aggregati, . i o.
347쪽
scilicet columna pentagona quinta cum duobus quadratis quintis , per praecedentem , aequi uallax triplum puramidis pentagonae quintae, quae fuit Una pars combinat nisumilito reliqua pars aggregati, scilicet columna triangula x quarta cum diuobias triangulis quartis simul, per so: huius,' resplum valet pyramidis triangulae qua ita ,quod est residuum combinationis Quamobrem,quoniam duae partes aggregati, 'duabus partibus combinationis, singulae si paulis triplae sunt: ἰ
or rirre ' myr rarimam ciuinti Elementoriam. Jc totum a 're. 11.quadratus quintus
propterea, per primam quinti Elamientoriim, & totum aggre.' gatum totius combinationis triplum valebit quod fuit de- mon strandum. & eodem syllogismo pro quo uis alio assigna tistoeo utemur ad roborationem propositi. ' la .
Et pro duplo quadratι collateralis ac praecedenti rei ruta substituere potes hexagonum ein triangulum collaterales et quoniam sunt tantundem. Nam, per undecimam huius, quadratus quintus valet duos triangulos, quintum dc quartum . Quire duo quadrati quinti cum triangulo quarto, simul valent cumulum quadrati quinti, trianguli quinti, Ic duorum trianqu-lorum quarti loci. Sed , per . 9. quadratus quintus, & duo trianguli quarti conficiunt hexagonum quintum : ergo hexagonus quintus, cum triangulo quinto valebunt duos quadratos quintos,& triangulum quartum: de ideo pro illis substitui pollunt in praeimissa propositione
nico collaterali, cumi, duobus triangulis, collaterali scilicet e . . praecedenti, ariter fumpta, tripla facit sua pyramidis hexagonae. Clin. Exempli gratia, dico, qubd columna hexagona aequiangula
J s. quinta, scilicet 3 o s. uni cum hexagono tetragonico quinto q*x QI eub . . s. cumque triangulo quinto 1 F. dc triangulo quarto io. ει coniuncti, facit triplum sue pyramidis quintae, scilicet Iis. - ε' ad quod ostendendum lic procedo.Column1 hexagona aequiangula quinta, per 3. huius libri, aequilis ea columnae tetra- - gonicae quin , cubo quarto, & quadrato quarto pariter aeceptis. His ego appono hexagonum tetragonicum quintum, triangatum quintum, de triangulum quartum ; atque ita demanitandam erit, quod totain huiusmosi ag regatum excolumna hexagon 1 tetragonici quinta, cabo quirto , qua drato qairto, hexigono quinto, triangulo quinto,& triangulo iquarto amat, triplum e t pyram .dis Ezsagoae aequiangulae quintae.
348쪽
quintae. Cumque talis pyramis constet, per ηο.ex combinatione duarum pyramidum , scilicet hexagonae tectamnicae i Wintae, & quadratae quartael; iam ostendendum erit, quod P lupei ius dictum aggregatum, triplum est ipsus dictae combi- , lnationis a quod haud obscurEconstat. Nam vna par, illius ς ' Pl sc pydi hexae
aggres ii, scilicet columna hexagona tetragonica quinta, cum hexagono suo quinto, & triangulo quinto, per praecedentis corollarium,aequivalet triplu pyramidis tetragonicae quin tetrquar una partium combinationis est. Nec secus, reliqua pars aggregati, sci licet cubus quartus cum quadrato quarto,& triangulo quarto, simul silmptus, per 63. huius, valet similiter triplum pyramidis quadratae quartae, quae iam de combin liqne residua pars est. Itaque quoniam duς partes aggregati duabus combinationis partibus singulς singulis sunt triplei iccirco, per primam quinti Elementorum, dc locum aggregatum totius combinationis triplum erit: quod erat demonstrandum. Et argumentatio a quinto loco ad alia ququis loca transseretur ad conclusionem proposti.
COROLLAR lv M. Et pro duobus triangulis collaterali prscedenti, substituere
potes quadratum collatenulem. Nam , per undecimam,quadratus qualis est duobus simul triangulis, collaterati,de pret- cedenti.
ursam pro hexagono tetragonico, o quadrato collateralibus, substituere potes hexagonum aequi angulum O numerum imparem collat ales. Nam, per 32.exempli gratia, hexagonus aequian per 3a Chς g tetr sulus quintus, valet hexagonum tetragonicum quintum cum squadrato quarto. Apponatur utrobique numerus impar hς δῆ- quin rus,at tunc hexagonus aequiangulus quintus cum impari I di quinto valebit hexagonum tetragonicum quintum cum quadrato quarto & impari quinto. Sed, per i 3. quadratus 'S impar quintus simul valent quadratum quintum . Istitue inpar I. imp*r hexagonus aequiangulus quintus cum impari quinto valent 9, 9 hcxagonum tetragonicum quintum & quadratum quintum simul sumptos:&perinde iisdem subrogari pollunt.
349쪽
iactenus de numerariis formis primigeneras , vunc de centralibus agendum ri de quarum numero Vmorma hexagona aequiangula tu se persicialis, quam selida, seu D ramis,seu
Τ columna: de qua taMen in primo genere disseruimus, propter talas formae dignitutem, qua meretur trobLque tractari. Itaqs quo ad Lxagonam aequiangulamo. 'b F firmam, hic non repetemus ea, quae in premissis δε- ' monmuta fiunt: sed praeuissa di nitionibus, cate
ro ovo xo0. O .Qo . o M N i s sorma numeraria cetralis plana superficialis co- . O . . struitur ex centrali unitate & ex tot triagulis praecedetibus nil mi generis, quot sunt serinae ipsius anguli: utpost triangulus centralis ex unitate & tribus triangulis . Quadratus centralis
ex unitate de quatuor triangulis. Pentagonus centralis ex vn rate& quinque triagulis. Hexagonus ex unitate & sex ut antea diximus. Heptagonus ex unitate & septe. Octogonus ex unit, re Ac octo triangulis primi generis, latera semper aequalia & a gulos uni sermes constituentibus compaginaturataq;, si lubet, deinceps Unde omnis figura centralis superaddit praecedentisigura: triagalum. Veru, sicut in Hexagono geometrico latera sunt semidiametris aequalia; ita hic, in hexagono numerali unitato angulares tantlim inter se distant,quantu ipsae ab unitate centrali remouenturi& tres unitates proximς semper triagulu. aequi laterii faciunt: sicut in quadrato primo quatuor unitates quadratum consormant.In caeteris autem formis centralibus,. hoc est in triangulo, quadrato & pentagono, unita res Iarerales magis ditant, qu1m diametrales : minus uero in formis hexagonum tequentibus, ut in heptagono dc octogono, ut postulae Lus Geometricarum formarum,quas Arithmeticae imitatur.
350쪽
omnis polrb pyramis eentralis fit ex aggregatione centra- o . situm serinarum sui, nominis ab unitate usq; ad basim suam o o*o . P o osuccessive aggregatarum. Vtpote pyramis triangula, triangu- . . . . . . . . larum: quadrata, quadratarum,& deinceps. Omnis demum Ob*o QbQeolumna centralis procreabitur ex forma centrali collaterali 0. o L Q quae sui basis eli) toties . coaceruata , quota est in Ordine, o*oφo . siue in radicem lateralem multiplicata. Harum proprietates de colligantias nunc explicabimus.
Omess triangulus centralis constat ex collaterali triangulo Opraecedenti quadrato primi generis. Exempli gr.itia: triangu his quintus centralis scilicet 3 l. constat ex triangulo colla terati primi generis, scilicet i s. &ex quadrato quarto, scilicet is. Quod sic ostenditur. Tres trianguli primo ex ordine, tertius. quartus, quintus, scilicet, s. io.& I 1. simul coniuncti, confi-eiunt triplum 'medij, & unitatem per a 'huius. Sed perdiffin. triplum inedij, hoc ell, quarti trianguli, cum unitate, eonficit quintum triangulu ceturalem.Igitur quintus tria sylus centralis constat ex aggregato trium dictorum triangulorum terti j, quarti, &quinti.Cumque per i huius, territis & quartus triangulus componat quartum quadratum: sequitur, ut quartus quadratus cum quinto triangulo simul sumptus perficiat quintum triangulum centralem. Quod erat demonstrandum : &1 quinto loco transfertur syllo Lmus ad quem vis alium : ut propositio conclusit.
. Omnis quadratus centralis conficitur ex duobus quadratis primi generis, scilicet collaterali σ pracedenti. Exempli gratia. Quadratos snt' cetralis M. cosiciso quinto & quarto qua- - ι .dratis primi generis i. 2 Qd sic patri. Per i i huius, I γquadrat' unt' constat ex quarto & qnto triagulis primi gene I 6 Pis Et r praecedete, tri Solus entus eu quadrato mi getieris, licita tinguiu qntu cetrale: Igitur quadra mus cit 3 1 quadrato quarto simul aequi ualet tria gulos duos.cquartum t primi generis, do in tu cetrale Sed tria lusqntus centralis iocium triana ita quarto primi generis, per distin. Procoeat qua
dratum quintum centralem : ergo quadratus quintuS cen
ti alis aequi ualet duos quadratos primi generis,scilicet quintum di quartum : quod fuit demonstrandum .&argum ei, tum a quinto ad quem uis propositum locum transfertur,viconctu ito proponit. Id idem demonstratur per 3o' ' Einax.- I ii Y P