장음표시 사용
351쪽
Omnis pentagonus centralis construitur ex pentagono primi generis collateruli, ex praecedenti quadrato. Exempli gratia, pentagonus quintus centralis 3 i .construitur ex duobus sormis primi generis,scilicet pentagono quinto 3 1. dc quadrato quarto I s. Quod sic constat. Per diffinition. pentagonus quintus primi generis construitur ex quadrato quinto & tria angulo quarto. Et per praecedentem,quadratus quintus cum quadrato quarto faciunt quadratum centrale quintu .Quare, pentagonus quintus cum quadrato ' primi generis valeb ut quadratum 3- centralem cu triangulo quarto primi generis. Verum per distinitionem,T quintus centralis cum triagula ' procreat pelagonum quintum centralem. Ergo pelagonus 'centralis aequalebit pelagonu quin tu & '' ' primigen eris: qd suit demonstradu. Q iae demostratio, sicut 3 cui libet Eposito loco accomodabitur adcofirmadu propositu.
Omnis hexagonas cetralis constatur ex formis primi generis, scilicet hexagono collateruli quadrato praecedenti. Haec pro politio eadem est cum 3 2' . Sed hic in ordine centraliu aliter demonstrabitur. Dico igitur,m hexagonus centralis quintus scilicet 6 i. cossatur ex quinto hexagono primi generis. s. I.&ta quarto i6. Quod quavis in 3 α' huius silerit demo strandum, in & hic ali ter costabit sic.Per diffinitionem,hex gonus 1 primi generis constat ex Δ'' ' de pentagono quinto primi:& per praecedontem, pelagonus 3' talis cum quadrato ' primi, componunt pentagonum centralem e . Quare, Hexagonus 1' primi cum T ' ' aequi ualebunt triangulum ' cum pentagono centrali quinto. Verum, per dis .pelagonus centralis 3 cum Δ'' ' constituit hexagonum centralem. Ergo hexagonus centralis 3 aequi ualebit hexagonum cum T ' ' p generis: quod erat demonstrandum .Et simili texuro aliis locis argumeratio procedat ad pcludedu propositu.
Omnis hepta onus conflatur ex tribus formis primi generis, scilicet horaetono tetragonico collateras, atque quadrato ct tr angulo,praece lcntibus. Exempli gratia,heptagonus cpi conflatur cx primi generis hexagono quinto As quadrato quart. 16.& triangulo ς . t o. Nam, ex dissinitione, ipsς sy nept sonus constat ex s' hexagono centrali di triangulo .: sed per praecedentem, ipse hexagonus aeqprualet Q intum
352쪽
hexagonum primi generis, & quadratum quartum . Igitur hexagonus quintus pruni generis cum quadraro & ttragulo quartis simul conflabunt neptagonum quintum : quod est propolitum.Similiter in aliis locis confirmatur propositum.
omnis octogon . est squalis Madrato imparis numeri sibi cotilateralis. Exepli gratia, s ' octogonus est s i et quidem est
imparis s , hoc est novenarij. Nam, per dissinitione, s 'oct gonus' struitur ex ς Δ''primi generis octu plicato,& ex unitate. Sed, per se huius, tale octu plu cu unitate est quadratus imparis 3 i. Igitur talis T 'est ipse octogonus 1'.quod est propositum. Non aliter pro caeteris in infinitum locis constat pro postum. PRO Post Tio 7 3' . Omnis forma centralis plana constat ex unitate O ex radice praecedenti in numerum laterum ducta, ex δε radicem straec dente in eundem numera ducto. Ex Epli gra,hexagonus cetralis 3 6 l .costat ex unitate,cxs cupio radicis Q. L .mesta &ex sexcuplo tertij 6. hoc est 36.m liquido costar per dissin. ipsitus hexagoni: sicut in ro' filii ostesum. Nam drina duo sex eupla sacrunt sex Δ'' qui cum unitate compaginat ipsum si hexagonu. Simili in Δ'cezirali, P sex ptis accipe tripla: in T''cetrali,quadrupla; in pelagono, quincupla: in heptagono
353쪽
Omnis pyramir ectralis constat ex radice collaterati tanquam axe, O ex tot pyramidibus triangulis primi generis praecedentinbus Ioci, quot sunt latera pyramidis centralis. Quod sp .huiust de pyramide centrali hexagona demonstrauit: haec presens de omni pura de centrali concludit. Et demonstratio vir bique est eadem. Itaque in omni pyramide sumenda est radix colla teratis: sed in pyramide M sumendum est triplum pyramidis triangulae primi generis praecedentis: in quadrata quadruplum, in pentapona quincuplum , in hexagona s: cii plum , sicut in 3 '.' factum est. In heptagona septuplum. In octagona octu plum. Atque ita ex dissin. constabit, scutin 3 s.' propostum. Exempli gratia, pyramis quadrata centralis quinti loci est 8s.qui numerus constat ex radice qui ta, scilicet s.& ex quadruplo pyramidis α' primi generis. scilicet ex So.& similiter in caeteris locis.
Manifestum est igitur, quod sicut pyramis centralis quadrata supra triangulum pyramidem collateralem: ita & pentagona supra quadratam e nec non hexagona supra pentagonam, de heptagona super hexagonam i de octogona super heptagonam semper addidit praecedentem pyrami dem triangulam primi generis. Sicut videlicet basis centralis supra basim collateralem laterum unitate pauciorum,
addit praecedentem primi generis triasulum.
P Ropos o 71 . 'lomnis item pyramis centralis constat ex tot pyramidibus priami generis; ex quot basibus primi generis eius basis constare ostesa est, ela eiusdem nominis atque loci. Exempli gratia: pyramis hexatona centralis quinta, scilicet i 23. constat ex quinta py-amiae hexagona primi generis, scilicet ' 1.oc ex 4' pyramide quadrata primi generis, scilicet 3o.quoniam scilicet basis hexagona cetralis quinta, scilicet fi .constat ex hexagono quinto, scilicet ε 3.&ex quadrato quarto primi generis, scilicetis. ut in o '.ostensum sitit: quod quidem demonstratum cst in o' huius, quoad hexagonam pyramidem : A: similiter hie generaliter de omni centrali pyramide ostendetur. Sed in horum exemplum exponemus in tabella pyramides utrasque, tam scilicet prii i generis, quam centralis, in quibus propositionum veritas arraret.
354쪽
Lt 'BRI PRIMI, P AR. II. 37.m umiris ρ' Generis. i Pyramides centrales.
PRO post Tici 67 . Omius columna centralis coagmentatur ex radice collaterali, tan- auam axe, ct ex congerie praecedentis triangula columna suis trian: eli in primo genere in numerum lateri multiplicata. u . Quod 6' huius, istendit de columna hexagona cetrali: haec piis de omni centrali columna proponit; de demonstratio Iuc& ibi eade est. itaq; in omni columna lium eda est radix colla teratis: sed in columna triangula, cogeries praecedetis triagulae columnae, suique α' in primo σ1genere,inutriplicanda est in ternatium.In coluna quadrata in quater- Io 1 innarium: pro colu sina peragona in quinarium, per hexagona in sena- c 1 rium , perlaeptagomi in septenarium , per custogona in octonarium. Atque ita ex dissin. constabit, sicut in 6. propositum. Umpli gratia: cola lina centrali quadrata quinti loci, est 2 2 s. in conflatur ex radice quinta, scilicet s & ex congerie praecedentis triangulae colum- t nae suique trianguli in primo genere , scilicet 1 o. quadru2licata hoc est, ex 2 .& si iliter in caeteris locis,& in μteris colu 9s.
Vnde manifestum est, quM sicut columna cςntralis qMdrata supra triangulam centralem columnam collateraIezita & peptagona supra quacuatam: Nec non & hexagona supra pentamnam,& heptago . na supra hexagonariae ,& octogona super heptagonam seinper addit praecedentem columnam triangulam cum tuo triangulo primi gen ris.Hoc idem de pyramidibus ante praemillae corrollarium inflarebat.
355쪽
Omnis item columna centralis connat ea tot columnis prinureneris,ex quot eiusdem generis basibus eius bases tonstare ostensa est, ct eiusdem nominis acque loci.Columnis tame praecedentis loci uia cu basibus propriis acceptis. Exempli gratia: colum centralis hexagona quinta, scilicet sos .constatur ex columiana hexagona primi generis quinta, scilicet aa s. & ex cubo quarto 6 . una cum suo quadrato I 6. quoniam, scilicet batis hexagona centralis quinta, scilicet 6 i .constabat ex hex gono quinto scilicet 3. & ex quadrato quarto primi gen ris,scilicet i 6.per 7, praemissam. Quod quidem in. ue' b ius ostensum est, quo ad columnam hexagonam:& demonstratio, simili processu,ad omnem centralem columnam extendi potest. Ad verificandum quod hic proponitur
in omnibus tribus siue planis, sue pyramidibus, siue columnis centralibus, collateralibus, sub continuato laterum numero, susceptis, aegregatum extremorum est duplum ad medium. Exempli gratia sumatur quintus triangulus 3 t. . quintus quadratus r. & quintus Pentagonus I i. centrales. Aioru id in his aggregatum extremorum, hoc est 3 I. & , I . estuplum ipsius 4i .medij. Nam, ut constat ex diffin. talium formarum, differentia manguli & quadrati est aequalis disserentiae quadrati & pentagoni: quandoquidem talis dis rentia est triangulus quartus primi genetis. Quamobrem, per 18 huius, congeries extremorum est duplu medij, quod est demonstrandum. Similiter, si sumantur pyramis triangula quinta 6 s. pyramis quadrata quinta, scilicet 8 1. 3c p3 mis pentagona quintaei ΟΙ. quoniam eodem excessu contunuatur per corollarium 7 praemiis , per dictam 28' constabit propositum. Item in columnis tribus centralibus, scialicet triangula quinta i 3 1 .quadrata quintZ aDI.Pcntasona quinta 233.quarum excelsus idem est, per 76' prymissae corollarium: nihilominus, per dictam r8 velificatur concluso. Nee secus si pro quinto, quotuscunque capiatur m ordine locus; per eadem Pr cedet humismus ad approbandum Propositum. In quorum exemplum, sicut dudum planos numeros & pyramides, ita nunc columnas tam primi gen tis,quam centrales in indice sequenti ex abimus.
356쪽
39 Ur B RI PRIMI, PARS II. columnae Generis. 6olumnae centra es.
His ad Lectoris meliorem intelligentiam ita descriptos, ad' reliqua properabimus. -
PRO Pos ITIo 79'. perra C Col. p . rus columna triantula centralis cum quadrato ct trietu- l diueto primi generis collateralibus coniuncta tripia facissus pyrami Col. Δ s 1 Cub. V χdis. Exepli gratia, luna tria gula centralis quinta. s. t 1 s.cu II s. 6 quadrato quinto 23. & triangulo quinto i s primi genesis coni sieta, facit ip1.qd triplu est pyramidiscentralis quintae ac χ6 1. Quod sic ostenditur.Columna triangula centralis quin- ijΔl' s p et . ta, per 77 constat ex tribus primi generis formis, scilicet co- r i, lumna triangula quinta, cuno quarto, & quadrato quarto. ' 1' r.es' ι' His appono eiusde generis quadratu quin tu, qui per I ' Va 11 is
net tria tu sq&M : appono item triangula aliu quintum. cΔl' 'Atq; ita ostedendu erit quod totum limoi aggregatu ex cin io lumna es e cubo ', quadrato quarto, duobus triangnlis
357쪽
Itemque reliqua pars aggrega ta, scilicet cubus quartus snna quac rato & quartis, aequalis est, per . 3 huius, triplo pyramidis quadratae quartae, quae fuit altera pars combinacio' ' nis. Itaque,quoniam duae partes aggregati duobus partibu combinationis, singulae singulis triplae sunt: Idcirco,per tri rna quinti .Elamentorum,& totumaggrinatum totius combinationis, triplum erit,quod fuit demonstrandum: δ: demostratio a quinto ad quem vis alium locum transferetur ad . confirmandum propositum. P R Ο r o s t T I o go' .' Omnis columna quadrata centralis cam duplo quadrati cora Z teratis primi generis coniuncta triplum facissus pyramissis. Exe pli cratia: columna quadrata centralis quantas 2o s.cu du plo quinti quadrati ex p' geners, hoc est, cum Fo. Rcu M s.
η Lod tripla est suae pyramidis, scilicet S s: qd sc cocluditur.
Coluna quadrata centralis quinta, per 77 , Constat ex tribus
triangulos, quintum. quartu: atq; ita Ostendendia erat, qdtotu tale, aggregatu cubo quinto, c o quarto, quadrato ', quadrato quinto,& triangulis 3' cx ' primi gen ris, imi liter triplum est pyramidis quadratς centrali I quintae/-un-nue pyramis talis , per e huius, constat ex combinatione
Una pari illius agregati .scubus,quadrat δε trian tu .e'-ti loci, per 63 , simul Aciunt triplu pyramidis quadrataeqnte,quq suit una pars conabinationis Iremq; reliqua pars ag- Rrceati.scubus,quadratus δε triangulus qu rxi loci, per eande 63 ,simul secit triplum pyramidis quadratet quartae,quae fuit reliqua pars combinationis: quain Obi E dux iam rartes aggregati triplae sunt ad duas partes c5binationis,sogulae ἰaci lingulos. Et ideo, per quinti ElementCrum prima, totum aegregatum totius cobinationis triplu erit, qd demonstradustiit. Et similiter a quinto ad quemvis locu transferetur d monstratio propositi. PRO post Tio 81 . Omnis columna pentagona centralis cum duplo quadrati cola
lateralis, cum triangulo praecedente primi Icnero, triplu' facit suae pyramidis. Exempli gratia: columna pentagψna centralis quintae a I s.cum duplo quadrati quinti. s. IOA cuo
358쪽
tralis quintae. rum pyramis binoi per Ic huius, costat e ccobinatione duorum py amidum primi g neri Cret Iagrimae quintae,& t Aarguta Α , &proptere idcna ostiani erit, quod memoratum aggreg tym pri fatae cόbinationis triplu in Hoc p Q: n 3 parsi ii ira aggregati.Ccq lumna peragona cum dii plo quadrati ex 1' loco, per οὐ simit squat triplum pyramidis pelagonae 3 , quae .s est una pars combinatio'is. Itei ςsdua pars aggregari.s cubus, quaaratus,c tri insulus Pyr, o I 'p'
totum aggregatum totius cobinationis triplum erit,& simi
liter in quoc quc.ali'. loco veruicatur propositum. .
S C H o L 1 V M. Quo autem pacto columna hexagona ceri tralis conficiat, sent telae columni suarum singulae pnanii iuri it9plum suae pyramidis setis 'demonstratum'in sexagesinia sexta. ii, lico rimo
Psio . Hi Noe rastra uriri, an Omnis columna heptagona cum hexagono primi generis O quadrato collateralibus atqui triangulo praecedenti coniuncta,escit triptumsiae p)ramidis. Exempli gratia. : columna hep
ta per corollarium 7 6. huius, conflat ex Pribus formia, excollimna hexagona quinta centrali, & cx columna quarta pria iiii generis, atque triangulo quarto. His adiungo hexagonum 'inrum priuii generis,ac quadratum quin Tu,&rriagulum quartum. Atq; ira demonstradum erit, v metum hocce asse gregatum ex colum n. anta centrali hexagona, columna tria in gula Maura prini' generis, Iriagulo quarto, Eexagono. qui ruo, τ3 quadrato
359쪽
quadrato quinto, & alio triangulo quarto, sinulae uiuales triplo pyramidis heptagonae quint e.Cunq; per corollarium
GuGUm ὲ-ia aggregatu ad dicta mox combinitionε triplu
Pyr.Δ' ' p' erit, hoc scilicet pacto .Vna pars illius aggregati, scilicet coissa - χ na hexagona centralis quinta cum hexagono primi generis
quinto & quadrato quinto, simul per eorollarium pri in m. 66 triplum facit pyramidis hexagonς centralis quintς:qui pars est una combinationis.Item columna triangula,cu duobus triangulis quarti loci, per ses huius,inplum ficit pyr missis triangulae quartae,q, residuum est combinationis. a re cum duae partes aggregati, duarum partium combinatic nis, singulae singularum triplae lint et Ia per primam quinti Euclidis: totumq; aggregatum totius combinationis triplu erit. In hoc quinto loco: di simillier inomni alio, quod in propositum. Co Rox L AR IV M. Et pro hexagono primi generis ct quadrato collute restibis, substituere potes hexagona centralem ct imparem collaterale . Nam, per corollarium 1μ 6c , hexagonus centralis & impar simul sumptis , valent hexagonu primi genexis & quadratucollaterales, hoc est,in quinto. loco, huius exempli.
Omnis columna octogona, cum hexagona prι gmeris . quadrato collateralibus, duplostriaguli praecedentis conruina, facit triplum sua Dramidis. Exempli gratia, col9pana octan- ula quinta o s. cum hexagono primi generis & cum qηarato quinto, hoc est, cu F. ει cum 2.1. duploque trianguli quarti, scilicet mim 2 conficit μ' quod aio: 'ripta ego pyramidum hingulae quintae, scilicet L s. Q Dd sic oste . . Columna octangula quinta,per corollarium 7 Q constituitur ex duabus columnis, septangula quinta: triangui primi generis & triangulo quarto. His ergo associo h ag nu primi generis,& quadratum quintu: nec non-duos triangulos quartos. quo facto, demonstrandum erit, quod totum istud aggregatum,scilicet ex columna septangula qointa, lumna triangula quarta primigeneris, triangulo qOrto, et xagono quinto, quadrato quinto, lupioque trianguli quacti, limul triplum consummabit Prramidis octangula qui
360쪽
rae. Cumq; per .corollarium 7 huius, talis pyramis quintacqnsciatur ex pyramidis teptangulae quintae , & pyramidis triangulae quartae combinatione: tam ollandendii erit, quod dicta aggregatu dictae combinationis tripluerit .hoc videli- licet pacto. Vna pars illius aggrcgati, scilicet collina septangula quinta cum hexagono primi generis quinto, quadrato quinto, quadrato ς simul efiicit, per praecedente propositione, triplu pyramidis septangulae quintae, quae pars est una cobinationis. Ite residuu aggregati, scilicet columna tri igula Q. primi generis,cu duplo trianguli quarti per so huius, triplu facit pyramidis triangulae quartae: qui est residuu co-binationis. Itaque, cum duae partes aggregati duaru partum combinationis singulae singularum triplae sint,ia & per prima quinti Euclidis, totu aggregatu toti'cobinationis tripluerit. In hoc quinto loco;& similiter alibi. Qd est propolitii.
COROLLA IOV M. . N pro hexagono primi generis quadrato collateralibus sub
stituere potes hexagonum centradem oe imparem collaterales. Nam, Per corollarium x' 66 hexagonus centralis & impar stimul thmpti, valent hexagonum primigeneris &quadrata collaterales, hoc e' in quinto loco, per assiumpto exemplo. PROPO si Tio 8 ' Sicut columna triangula centralis cum quadrati ct trianguli collateraltu primi generis aggregato coniuncta, triplum conlisit Da pyramidis. Ita etiam sequentium columnarii centralium in quadratacu dicto aggregato & uno triangulo praecedenti: π pentagona cu eode aggregato & duplo triaguli pr cedetis pyr.ΔΡ 1
ci αpyri u Lexagona cum tali aggregato & triplo triaguli praecedetis, c. g h K Κquam septagula cu ipsoni et aggregato de quadruplo triaguli praecedetis : quaque octangula cu eo ipso aggesato & quincuploetri agillipraecedetis colucta, triplu essicit tuae pyramidis. Suto columnae cetrales collaterales a. quide triagula, ipse b. quadrata, ipsa c.pentagona, ipsa d. hexagona, ipsa e.septangula, de ipsa s. octangula. Item g. quadratus & triangulus eiusdem loci, hoc eis, ctillaterales ipsarum columnarii dc ex ipso genere. Ite per triagulus eiusde generis praecedetis loci:& ex alia parte sunto pyramides centrales columnis dictis collaterales : Ipsa quidem i. triangula, ipsa m. quadrata, ipsan. pelagona, ipsa e. hexagona, i pia p. septangula. ipsaque q. octangula : quibus dispositis,ostededu est, quod sicut, per res huius agraria tu ex a g h. triplum est ipsius Lita de aggregatu