장음표시 사용
361쪽
ex b g h.& Κ. triplum erit ipsius m. nec non aggregatiim ei cg h. duploque ipsius k triplum ipsius n. itemq; aggregata in ex d g h. triploque ipsius h. triplum ipsius o. adhuc agetretatum ex eg h.& quadruplato h. triplum ad p.& tandem aggregatum ex fg h. & quincuplato E. triplu ad ipsum q. hoc
pacto. Sit coluna triangula primi generis praecedens, hoc est: collateralis ipsi h. triangulo signata per r. pyram si aut e centralis praecedens, hoc est, collateralis columnae r. ac triangu lo h. cito notata per s.cumque aggrinatum ex ag h. triplusit ipsius i. per; ς' prςmissam, Ostr a quod, aggregatu exb g h. & h. triplum est ipsiius m. Nam per corollarium 7 6 huius, ipsa b. addit super a. ipsa r. de ipsum h. Et ideo aggregatum b g h h. addit iurer aUregatum a g h. ipsam r.&duplum ipsius h. Item ipsa m. super t. per corollarium adait ipsam s. Triptum est autem additamentum additam e ti, hoc est. ipsum r. cum duplo ipsius E duplum est ipsius cper so huius. Igitur per primam quinti Euri. aggregarum ex b g h. & h. triplum erit ipsius m. quod fuit Ostedendum. Et quoniam c. addit luper b. ipsam r.& alium h. per coro larium 763 huius,de n. super m. addit rursus ipcam cperco rollarium 7 Similiter penitus & eodem procellu ostenda, quod aggregatularc g h. cum duplo ipsius h. triplum est ip- ius n. Nec non, quod aggregatum d g h. cum triplo ipsius h. triplum est ipsius o. Adhuc quod aggregatum e gh.cum quadruplo ipsus h. triplum est ipsius p.& demum,quod aggregatum fgh. cum quincuplo ipsius L triplum est ipsius q. ςcut demonstrandum proponitur.
Et eodem cremento procederemus, si vitreoc insulam columnam ac pyramidem confingeremus sermas sequet tes , scilicet enneagonam,& de gonam,& reliquas deinceps. Sed ne curio iras modum excedat, satis sit nobis hucusique progressi ;& protinus de regularibus selidis disserere inc piamus , ne quid in hac speculatione intactum re
362쪽
Pacis b o Is ...ticit collatetalem parte altera longiorem . . Exempli graria, par quinti loci, scilicet 8.coniunctus cum paribus praecedentibus is . . h. . confiat 1 c. parte altera loogiorem quintum. Nam peri huius quatuor o. .. x' dictorum parium aggregatum duplum est ad aggregatum totidem ra 1. 1. a' dicu in ab unitate continuatarum, hoc est, ad triangulum primi ge- η. c. s. neris quartum. Item ad eundem triangulum quartum duplus est 6. I 1. parte altera longior quintus, scilitet 2 o. per Octauam huius. Aequalis 8.1 o. i o. igitur est parte altera longior quintus dicto quatuor parium numero in aggrcgato. Quod fuit demonstrandum. Et demonstratio ad alium quem iiis locum transferetur ut constet propositum.
Si numerorum imparium ab et date per orginem continuatorum singulorum 'Iuli quadrupli poli Zistam diitorantur, ea eorum successiva V- , gregatione colu etur quadrati numeri a paribus collateralibus in Ie milia , ' . 'tiplicatis producti. Exempli gratia,quo tuis ab unitate im pares, ut pu- F. I x. 4. 3. quatuor i. 3. 1. .singuli quadruplicentur,& post Zistam dispona- 7- χη- .. 4.tur sic O. I 2.1o. 2 s. aio, quod horum quadruplorum omnium ag- megatum est numerus quadratus, qui fit a numero pari quinti loci in in ducto, hoc est,ab octonario. Nam, per i s huius ex aggregatione dictorum quatuor imparium fit quadratus quartet radicis. Quare quadrupli eorum de imparium conlacient quadruplum dicti quadrati, hoc est, quadratum, qui siri ex duplo dictae radicis in se ducto hoc est ex octonario in se multiplicato. Nam latera, quorum quadiata sunt in quadrupla ratione, scruant ad inuicem rationem duplam. Similiter per locis alus constat propositum. PRo post T i o t
363쪽
iactenus de numerariis formu primigeneriis , Nunc de centralibus agendum de quarum numero esi forma hexagona aequiangula laserpersiculis, quam subda, seu Dramis, sicu λ columna: de qua tamen in primo genere disseruimus,
propter tulis formae dignitutem, qua meretur Utrobique tracIari. Itaq; quo ad sexagonam aequiangulam*F formam, hic non repetemus ea, quae in premissis δε- o'ora isonurata sunt: sed praeuissis di vitionibus, catcra
. . . O . . . O o. . . O . . o o . - . O . O . . oo . DO . . o
. O .Qo O M N i s serma numeram cetralis plana Luperlacialis co-δος P. struitur ex centrali unitate & ex tot
centraIi unitate & ex tot triagulis pnece letibus priri generis, quot simi formae ipsius anguli: utpost triangulux centralis ex unitate & tribus triangulis . Quadratus centralis ex unitate de quatuor triangulis. Pentagonus centralis ex unis rate& quinque triagulis. Hexagonus ex unitate & sex ut antea diximus. Heptagonus ex unitate & scpte. Octogonus ex unit, re de octo triangulis primi genetis, latera semper aequalia & a gulos uni sermes constituen tibus compaginatur Itaq;, si lubet, deinceps Nnde omnis figura centralis superaddit praecedenti figurae triagulum. Veru, sicut in Hexagono geometrico latera sunt semidiametris aequalia; ita hic, in hexagono numerali unitares angulares tantum inter se distant,quantis ipsae ab unitate centrali remouentur:& tres unitates proximς semper triaguluae qui lateru faciunt: sicut in quadrato primo quatuor unitate zuadratum consis ant.In caeteris autem formis centralibus,. oc est in triangulo, quadrato & pentagono, unita res Iaretale magis ditant, litiam diametrales : minus uero in formis hexagonum icquentibus, ut in heptagono & octogono, ut postulacialis Geometricarum formarum,quas Arithmeticae imitaturo
364쪽
'n' porro pyramis eemralis ex aggregatione centra- Iium Brinarum sui, nominis ab unitate usq; ad basim suam λοῦ successiae aggregatarum. Utpote pyramis triangula, triangu- . 'larum: quadrata, quadratarum,& deinceps. Omnis demum lumna centralis procreabitur ex serma centrali collatera li quae sua basis elu toties . coaceruata , quota est in Ordine, siue in radicem lateralem inultiplicata. Harum proprietates colligantias nunc explicabimus.
Omnis triangulus centralis constat ex collaterali trian uti praecedenti quadrato primi generis. Exempli gratia: triangulus quintus centralis scilicet 3 l. constat ex triangulo collaterali primi generis, scilicetis.&ec quadrato quarto, scilicet i s. Quod sic ostenditur. Tres trianguli primo ex ordine, tertius. quartus, quintus, scilicet, 6.to. Mis. simul conium , conficiunt triplum medij & unitatem per 23 huius. Sed per iodistin. triplum medij, hoc ell, quarti trianguli, cum unitate, Ieeonficit quintum triangulu centralem.Igitur quintus triangulus centralis constat ex aggregato trium dictorum triangulorum tertij, quarti, de quinti.Cumque per ii huius, te tuis & quartus triangulus componat quartum quadratum: Icquitur, Vt quartiis quadratus cum quinto triangulo simulum plus perliciat quintum triangulum centralem. Quod
erat demonstrandum : & a quinto loco trans tur Dita ic inu ad quem vis alium in propositio conelusiit. --
omni ratus centralis conficitur ex duobus quadratis primi genrris, scilicere collateras σ pracedenti. Exempli stratia. ' rQuadrarus sint cetralis i. coficit quinto & quarto qua
ris Et p prie cedete, tri Solus entiis cia quadrato primi densas. 5iciunt in ulu qtitu cErrater Igitur quadrat ontus eu quadrato quarto simul aequival Et triagulos duos.cquatium arprimi generis,& qntu cetrale. Sed triagulus sintus centralis cum trianguri quarto pri generis Perdissica . procreat qua eratum bum tum centralem : ergo quadratus quintus centi alis aequivalet'duos quadratos primi generis, cilicet quintum di quartum : quod Qit demonstrandum .&a mi in ei, tuin a quanto ad quem uis propositam locum trans sertur, ut conclusio Propohit. Id idem demonstratur sct 3o hixur. Y PRO O.
365쪽
Omnis pentaeonus centralis construitur ex pentagona pentagonus quintus centralis 3 i .construitur ex duobI o quadrato quarto siciunt quadratum centrale Pentassonus quintus cum quadrato ' pnim generis valebuto uadratuni 3' centralem cu triangulo quarto primi generis. Verum per dissim tionem, o quintus centralis ' procreat pelagonum quintum centrale ro p on ζ'centralis aequalebit pelagonu quintu eris: qd suit demonstradu. Quae demostratio, sitat Ira cui libet sposito loco accomodabitur ad cofirmadu p 'pPRopos TIO 7o'. omnis hexagonus cetralis conflatur ex fornus me scilicet hexagono collaterulι quadrato praecedentL Haec propositio eade ra est cum 32' . Sed hic in ordine centrali u a t monstrabitur. Dico igitur,m hexagonus centralis quin scilicet oi . costatur ex quinto hexagono primigeneris. LAI.C Al a duarto 16. Quod qua uis in 3 α' huius fuerit d
inii& per praecedentent,pεragonus talis
' Primi, componunt pentagonum centralem, P. Quare,
Hexagonus 1' primi cum G 'ς aequi ualebunt mangula cum pentagono centrali quinto. Verum, per distin pς2 2s centralis pcum Δ'' ' constituit heragonum centrale' Ereto hexagonus centralis 3 qui ualebit hexagonuum . Gim IV V p generis: quod erat demonstrandum .Et similiter p procedat ad pcludedu propositu Omnis hepta; onus conflatur ex tribus formis praeneris, scilicet hexagono tetragonico collateras, atque quadrata mi angulo,praecedent.bus. Exempli gratia, heptagonus 3 7ια Σflatur ex primi generis he agono qum to A s Myad x URII 6.& triangulo ς . i o. Nam, ex dissinitione, ipse s heptar
366쪽
hexagonum primi generis, de quadratum quartum . Igitur hexagonus quintus primi generis cum quadrato & triastulo quartis simul conflabunt heptagonum quintum : quod est propositum.Similiter in alijs locis confirmatur propositum.
Iateratis. Exepli gratia, s ' octogonus est si q quidem T 'est imparis P, hoc est novenarij. Nam, per dissinitione, t 'o ct gonus struitur ex ς Δ''primi generis o plicato,&ex unitate. Sed, per s4 huius, tale octuplii cu unitate est quadratus miraris 3 i. Igitur talis P est ipse octogonus 1'.quod est propolitum. Non aliter pro caeteris in infinitum locis constat propositum. PROPOSi Tlo 73'. Omnis forma centralis plana constat ex .utate coe ex radice praecedenti in numerum laterum ducta,ct ex es radicem straec dente in eundem numera ducto. Exepli gra,hexagonus retralis 3 6 l .costato unitate, sex cupio radicis .s .v est 'a &ex sexcuplo Δ' tertii 6. hoc est 36.m liquido costat per distin iis agoni: sicut in 16' fuit ostesiim. Nam dicta duo sei impla faciunt sex Δ qui cum unitate compaginat ipsum ci S
367쪽
Omnis pyramis cetralis constat ex radice collaterali tam' maxe, O ex tot pyramidibus triangulis primi generis praecedentiabus loci, quot sunt latera pyramidis centralis. Quod 39' .huiust de pyramide centrali hexagona demonstrauit: haec pr sens de omni puramide centrali concludit.Et demonstratio vir bique est eadem.Itaque in omni pyramide sumenda est radix colla teratis: sed in pyramide Δ sumendum est triplum pyramidis triangulae primi generis praecedentis: in quadrata quadruplum, in pentagona quincuplum , in hexagona se cupium , sicut in 3 '.' saetiam est. In heptagona septuplum. In octagona octu plu m. Atque ita ex distin. constabit, sicut in 3 9.' propositum. Dempli gratia, pyramis quadrata centralis quinti loci est 8 s.qui numerus constat ex radice qui ra, scilicet s.& ex quadruplo pyramidis α' primi generinscitieet ex So.& similiter in caeteris locis.
Manifestum est igitur, quod sicut pyramis centralis qua- Arata supra triangulum pyramidem collateralem: ita de pentagona supra quadratam et nec non hexagona supra pentagonam, & heptagona super hexagonam i & octogona super heptagonam semper addidit praecedentem pyrami dena triangulam primi generis . Sicut videlicet basis centralis supra basim collateralem laterum Unitate paucIOrum, addit praecedentem primi generis triagulum. Pnopos ITI 7I'. Omnis item Dramis centralis constat ex tot Dramidibus priami generis; ex quot basibus primi generis eius basis eo stare o i sa est, ecdi' eiusdem neminis atque loci. Exempli gratia : pyramis hexatona centralis quinta, scilicet i 23. constat ex quinta pyemide hexagona primi generis,scilicet ' s. ex pyramide quadrata primi generis, scilicet 3 o. quoniam scilicet basis hexagona cetralis quinta, scilicet 6 i. constat ex hexagono quinto, scilicet s.de ex quadrato quarto primi generis, scilicetis. ut in o '.ostensum fuit: quod quidem demonstratum est in o' huius, quoad hexagonam pyramidem : & s militer Elegeneraliter de omni centrali pyramide Ostendetur. Sed in horum exemplum exponemus in tabella pyramides utrasque, tam scilicet priSi generis, quam centralis, in quibus propositionum Veritas arraret.
368쪽
primo generei Quoa 6' hilius, o stetulit de columna hexagona cetrali: haec psis de omni centrali columna pmponit; & demonstratio hic& ibi eade est. Itaq; in omni columna uim eda est radix colla teratis: sed in columna triangula, cogeries praecedetis triagulae columnae, suique Δ'' in primo senere,inultiplicanda est in ternatium.In coluna quadrata in quaternarium: pro colu lina peragona in quinariam, per hexagona in senarium , perheptagona in septenarium , per octogona in octonarium. Atque ita ex clissin. constabit, sicut ita 46. propolitum. Exempli gratia: colassina centrali quadrata quinti loci, est 2 2s. in conssatur ex radice quinta, scilicet s & ex congerie pnxcedentis triangusae columnae suique trianguli in primo genere , scilicet 1 o. quadri licata; hoc est, ex 2 .& sunt liter in caeteris locis,& in Ateris columnas.
unde manifestium est, quM sicut columna centralis madrata supra trianstulam centralem columnam collaterale:ita &p tagona supra quadratam: Nec non & hexagona supra pentamnam e heptagona supra hexagonam , & octogona super heptago nam semper addit praecedentem columnam triangulam cum ino triangulo primi gen ris.Hoc idem de pyramidibus ante praemillae corrollarium inserebat. V 3 PROR LOI
369쪽
acque locLColumnis tame praecedentis
ritan in e , Quo ad columnam hexagonam:& demo n- iri simili oro cessu ad omnem centralem columnam ex
L Ραον os 1 T1 Q TQ is omnibus tribus siue planis, siue pyramidibus, siue columnis centraliuus, collateralibus, sub continuato laterum numero, suscItis, aegregatum extremorum est duplum ad medium .
' .ara n his aggregatum extremorum,hoc est 3 I. cc , G elo
uolum ipsiue i medij. Nam, ut constat ex
sermarum, ditarentia trianguli & quadrati est aequalis dis. serentiae quadrati & pentagoni: quandoquidem talis dis rentia est triangulus quartus primi generis. Quamobrem hu tangeries extremotum est duplu me tu, quod est demonstrandum. Similiter, si sumantur pyramis triangu
stabit propositum. Item in columnis tribus centralibus, sciis licet triangula quinta I 13. quadrata quintλ 2O3.Pςntagona uinta 13s.quarum excelsus idem est, per 76' r illae o
so Nee secus si pro quinto, quotuscunque Praetur in Orci
propositum . In quorum exemplum, sicut dudum plannumeros & pura des, ita nunc columnas tam primi sen tis,quam centrales in indice sequenti exanabimus. columnae
370쪽
quadrato quinto 23.&triangulo quinto i s primi genetis coni cta, facit I91.qd triplu est pyramidiscentralis quintae ia6 1. Quod sic ostenditur. Columna triangula centralis quin- ι ΔΙ' ue's, et . ta, ' constat ex tribus primi generis formis, scilicet co- r i ilumna triangula quinta, cubo quarto, & quadrato quarto. I' 1' ' Δl' ,' His appono eiusde generis quadratu quin tu,qui per It ' Va 1s Q istet triagulu' ' : appono item triangula aliu quintum. c Δl'
Atq; ita ostedendu erit quod totum limo i aggregatu ex columna D s' cubo V, quadrato quarto, duobus trian gniis quinti, & Δ'' ' primi generis simul triplum pst pyr mi di p h.Au . i1 3 centralis. Sed cum pyramis Δ 1' cetratis,per 7 1 hu 'ius, struatur excobinatione duaru pyr mi V pyimig Π thVh Go .. Hii,, scilicet es lue & quadratae : Ia demostra tu erit, q) su' V iis .rradictu aggregatu triplu estpdictor cobinationis. Quod iac -- patet.Vna pars illius aggregati .s.coluna triagula quinta, cuduobus triangulis quintis, per so' huius, aequalis est triplo p ramidis trii ut et quintae, quae sitit una pars cooinationis. . - . .. Y Itemquς pyr. s p