장음표시 사용
371쪽
Item que reliqua pars aggregata,scilicet orbii quartus enm quadrato & Δ' quariis, aequalis est, per . 3' huius, triplo pyramidis quadratae quartae, quae suit altera pars combinari' nu. Itaque,quoniam duae parte, aggregati duebi partibu combinationis,singulae sngulis triplae sunt: Idcirco per eri via quinti Elamentorum,& totum amr Fatum totius combinationis, triplum erit,quod fuit demonstrandum:& demostratio a quinto ad quem vis alium locum transferetur ad confirmandum propositum. P R O P o si Tio 8 Omnis columna quadrata centralis cam duplo quadrata colia ς ter alis primi generis comuncta triplum factissus pyramidis. Exe pii eratia: columna quadrata centralis quant .sa os .cu duplo quinti quadrati ex p' geneπ,hoc est, cum so. Acuxo. quod tripla est suae pyramidis, scilicet S s. qd sc cocluditur. Collina quadrata centralis quinta, per77 constat ex tribus' scirini scilicet cubo ς', cubo Q 'uae sunt co
r alterum quadratu quintu,qiii, per ii a qui ualet tuosi pulos, quintum,& quartu azq: ita Ostendendii erit, qd tale, a gregata ex cubo quinto, cWho quatio, quadrato
',quadrato quinto,& triangulis 3' ω ' pruni genctis imiliter triplum est pyramidis quadratς centralis quintae u que pycamis talis, per 33 huius, constat ex combinatione Hatu triplu sit ad praedictam cobinatione : uc occlusi tu . Una pars illius agregati. s.cubus,quadrat S trUngulus si Pti loci, per 63 , simul faciunt triplu pyramidis quadratae ente que suit una pars combinationis Itemq; reliQua pars ag- regati .scubus, quadratus,& triangulus qu*rxi loci, per eande 63 ,simul facit triplum pyramidis quadratΞ quar ,quae fuit reliqua pars combinationis. quam obiε lux tarn rartes aegregati triplae sunt ad duas partes cobinationis, singulae ad singulos. Et ideo, per quinti Elementorum pruna, totum aegregatum totius cobinationis triplu erit, qd demonstrata suit. Et similiter a quinto ad quemvis locu transferetur il monstratio propositi. PRO post Tio 81 . Omnis columna pentagona centralis cum duplo quadrati collateralis, cum triangulo praecedente pri Mi Ameris, triplu' facit suae pyramidis. Exempli gratia : columna pentagona centralis quinta. 2I J.cum duplo quadrati quinti. c O.dc cuo
372쪽
IOIpartes aggregati ast quas paries wmbinationis , singulae πιι . iingulas triplae sent: uleo per quinti elementorum primam, rq 7 totum aggregatum totius cobinationis triplum erit, S: similiter in quocunque. liq. loco Verificatur propositum.
o L 1 V M. Quo tutia paciqc iiiinna hesasona central is conficiat, sient caeterae columni surruiri singulae phamidistri triplum suae pyramidis sitis demonstratii ni est i h lexagesitna sexta. , χ: Iasio P Ropos L TIO SP .
Omnis coli na heptagona cum hexagono primi generis O quadrato collateralibus atqui triangulo pracedenti coniuncta,escit triptum suae p3ramidis. Exempli gratia : columna hedi scilicet i s .Qubri sic demonstro. Columna heptagona quin ta percorollarium 76. huius, constat ex tribus formis, exco- lamna hexagona quinta centrali, & ex columna quarta pri- mi generis,atque triangulo quarto. His adiungo hexagonum uin ruru primi generis,ac quadratum quin tu,&rriagulum quartum. Atq; i ni d oras radum erit, v totum Eo eas - gregariam ex columna an a centrali hexagona, columna tria K sula quavra primi generis, Iriagii lo quarto, Eexagono quinto, quadrato
373쪽
quadrato quinto, &alio triangulo quarto, smillae uiuales triplo pyramidis heptagonae quint e.Cunq; per corollarium - 7 huius talis, quinta pyramis constituatur ex combina
I CI L, hoc scilicet pacto .Vna pars illius aggregati, χ na hexagona centralis quinta cum hexagono primi generis T quinto, & quadrato quinto, simul per eorollarium prinium 66 triplum sicit pyramidis hexagon; centralis quinis:quiet pars est una combinationis.Item columna triangula,cu duolaus triangulis quatri loci, per ses huius,inplum iacit pΠ missis triangulae quartae,q, residuum est combinationis. Qua re cum duae partes aggregati, duarum partiunt combinatic nis, singulae singularum triplae sint: Ia per primam quinti Euclidis: totumq; aggregatum totius combinationis tripi si erit. In hoc quinto loco : & limi liter in omni alio, quod est
C: - Δ. Et pro hexagono primi generis er quadrato contera abin substituere potes hexagonis centralem ct imparem collateriae . Nam, per corollarium χμ 6 Q, hexagonus centralis& impars mul sumptis , valent hexagonii Primi genexis & quadratu. collateriles, hoc est,in quint0 loc' uius exempli. . bi t. i. 1 etiit ni: PRO eos T O d- . . . Omnis columna octogona , cum hexagona prim generis ac
CQt 7 1' quadrato collateralibus, duploliri uti .praecedentis conruina, Ss saeis triplum sua pyramidis. Exempli gratia, colypana Octan Colin pi sula quinta os. cum hexagono primi generis & cum qηa o. υ drato quinto, hoc est, cu I. & cum 2.1.duploque trianguli l quarti, icilicet cum 2 o. conficit 'si quod Mogriptiua et 6 P . pyramidis octangulae quintae. scilicet rc hi Qvqd sic oste V i τ . . Columna octangula quinta,per corollarium 7 6 Gi- ' P tuitur ex duabus columnis, septangula quint : triangulis
primi generis & triangulo quarto. His ergo asIocio h ag nu primi generis,ci quadratum quin tu: nec nonQuos triangulos quartos. quo iacto, demonstrandum erit, quod totum istud aggregatum, scilicet ex columna septangula quinta, lumna triangula quarta primi generis, triangulo quarto, hexagono quinto, quadrato quinto, furtoque trianguli quacti, limul triplum consummabit priamidis octangulae qui
374쪽
. Cumqὴ per corollarium 7 huius, talis pyramis quinta pyr. 8'' sc ficiatur ex pyramidis septingulae quintae ,& pyramidis triangulae quartae combinatione: Iam ostendendii erit, quod dictu aggregatu dictae combinationis tripi a erit. hoc videli- ,-,-.-- licet pacto.Vna pars illius aggregati, scilicet coluna septangula quinta cupa hexagono primi generis quinto, quadrato quinto, 5 quadrato ς simul esticit, per praecedente propoli Col. 80 1 tione, tripi u pyramidis septangulae qum lx, quae pars eii Vna oscobinationis. Ite residuu aggregati, scilicet columna tri ig la e primi generis,cii duplo trianguli quarti per so huius, triplu facit pyramidis triangulae quartae: qui est residuu cObinationis. Itaque, cum duae partes aggregati duarii partum combinationis singulae singularum itiplae sint,ia & per prima quinti Euclidis, totu atarmatu toti'cobinationis triplueriti In hoc quinto loco;& similiter alibi. Qd est propoli tu.
. st pro hexagono primi generis quadrato collateralibus substituere potes hexagonum centralem ct imparem collaterales. Nam, per corollarium hexagonus centralis & impar simul iumpti, valent hexagonum primi generis & quadratucollat ales, hoc est, in quinto loco, per aithmpto exemplo P Ropos I Tio 8 ' Sicut columna triangula centralis cum quadrati ct trianguli collatera liu primi generis aggregato coniuncta, triplum conficit ' ιιae pyramidis. Ita etiam sequentium columnarii centralium 'in quadrata cu dicto aggregato & uno triangulo praecedenti: a. si pentagona cum te aggregato & duplo triaguli pr cedetis et b a Lexagona cum tali aggregato & triplo triaguli praecedetis, quam septagula cu ipsona et aggregato de quadruplo triaguli d. praecedetis:quaque octangula cu eo ipso aggesato & quincu ς-plo triaguli praecedetis colueti, triplu essicit tuae pyramidis. fSuto cosumnae cereales collaterales a. quide triagula, ipse b.
qquadrata, ipsa C pentagona, ipsa d.hexagona,ipsa e. sep tangu Exemplum prolom 3'la, &ipa L octangula. Item y quadratus & triangulus Gl- Fo- - - . o. .pyri seiusdem loci, hoc eli, collaterales ipsarum columnarii & ex ipso g nere. Ite per triagulus eiusde generis praecedetis loci:& ex alia parte sunto pyramides centrales columnis dictis collaterales : Ipsa quidem i. triangula, ipsa m. quadrata, ipsan. pelagona, ipsa e. hexagona, i pia p. septangula. ipsaque q. ochangilla: quibus dispositis,ostededu est, quod sicut, per 79 huius ata Tatu ex a g h. triplum est ipsius Lita & aggregatu
375쪽
Omnis par cum paribus omnium praecedentium locorum eoalanctu', est sicit collatetalem parte altera longiorem. Exempli gratia, par quinti loci, scilicet 8. coniunctus cum paribus praecedentIbus 6. . . . con sat 2 c. parte altera longiorem quintum. Nam peri huius quatuor odictorum pariam aggregatum duplum est ad aggregatum totidem ra 1. - . dicum ab unitate continuatarum, hoc est, ad triangulum primi ge- η. c. 3 neris quartum. Item ad eundem triangulum quartum duplus est 6. II. parte altera longior quintus, scilitet ac .per Octauam huius. Acqualis 8. io. igitur est parte altera longior quintus dicto quatuor parium numero m aggrcgato. Quod fuit dc monstrandum. Et demonstratio ad alium quemitis locum transferetur ut constet propositum. PRO post Tio to. Si numerorum imparium ab et date per ordinem confimator singu
lorum singuli quadrupli post Zistam di γηantur, ex eorum successiua ag-
yregatione co*ructur quadrati numeri a paribus collaterulibus infe mul- : tiplicatis producti. Exempli gratia,quotuis ab unitate impares, ut pu- s. in quatuor l. 3. I. . singuli quadruplicentur,&post Zistam dispono latur sicci. I 2. xo. 23. aio,quod horum quadruplorum omnium ag- Ur parum est numerus quadra tus, qui fit a numero pari quinti loci in se ducto, hoc est,ab octonario. Nam, per i 1 huius ex aggregatione di storum quatuor imparium fit quadratus quartet raὸicis. Quare quadrupli eorum de imparium conlacient quadruplum dicti quadrati, hoc est, quadratum, qui sit ex duplo dii hae radicis in se ducto hoc est ex octonario in se multiplicato. Nam latera, quorum quadrata sunt in quadrupla ratione, scruant ad inuicem rationem duplam. Similiter per locis alus constat Propositum.
376쪽
s ARITII METICORIUM PROLO G OMENA. OC a principis decrevimus, ingeniosi Lector ut bisie nostris numerurbs s eculationibuου, in noni solum ob re ab alijs trudita scilius demonstraremus,sed etiam omissa pleremin Ne quid igitur,
quod ad formas numerorum,pertinet,des deraretur,sicut pyramidibus oe columnis numerarias figuras non nius generis,sicut ην planis retalineis, hactenus adsignauimus; ita gy quinque ilia geometrica selida, quae mulo regularia nuncupantur, adaptatis singula numeriis imitabimur: structurum quidem primo definientes , η, inde proprietatem singulorum, atque costigantias, per demon Zrationes e- xemplo exponente . Sed, cum quinque sint apud egregios
Geometras regularia iiD,mirum in modum a Platone cel bruta corpora, oramu uel Netrahedrum, Octahedrum, Cu-bus, Icos hedrum, atque Dorica drum; e quibus sicuturam idem tetraberiumsita ω cubum hexaberium quos a basium numero securi nemo probobet. Ex his duae iam innumeris noLiris tractata sentjormae,nramis Hlicet in o dine primam Dramidum: ω cubus inter ei dem ordinis columna .Sequitur nunc octabedrvo,quod per ex du bus proximis quadratiis Dramidibus non aliter , quam quadratis ex duobuae proximis triangulis coalescit. Supersent duo reliqua, quae per numeros non nisi centralia inte
ibi g, construi poterunt: quemadmodum in planu forma secundi ordinis aftruebantur. Et sicut in planis sipi angulid, octanguli numeri non,nisi per centrum sist ambitum,conflari commode possentsitu fit in huiusmodi duobus postremiis fibris. Item,sicut triangulos,qua natos pentagonos, γῆ h
377쪽
LIBER - , ARS II. 47xagonos non iam primi generis,sed etiam cetraliter esser- mauimis ad implendum secundum firmarum ordinem,ita hic licebit reliqua tria priora selida,Dra demo be-drum, , culum centraliter,sicut ponrema duo per numeros configurare. Cum itaq; tam Dramides triangulae, quam
cubi primae Jecisistis iam superius con tructi stu expositi
numeri eiusdem bieci sic quidem faciliter construentur,si
ab initate exordium cupientes, fit diximus dura qu*fproximas primi generis quadratas Dramides conti Iammet sicut tin is continuogeomotricoq; ociaberi obdo. um illiue nrami ex quadratae primae huiusmodi si inordine habeant, superitu desimbebatur,ta in octaberii numeri
primas civi singuli g, coitaterati s r praecedenti Drumide
coluctis haud aei filivssub is em exarabui. Hoc pacto.
Et eadem aggregatione in infinitum fiet processu 2 si non
actu, potentia tamem quae nunquam theorico Intelis ι ne i
gatur. ε endum nunc de Ardis regularibus centratibus in quibus semper mnit, in centro ponitur sicut in plantis numeris centralibus. Sed o repretium eH intedigerri rim is quo pacto diaponendae sint caeterae initates , quibus in loces ad efformisda, it decet, tuba fili a nume- nulla. Nec dubium, quin in singulis,positu nitate cetri tam' singulos selidos angulos, quam per singula basium centra singulae sint mnitates disponendae. Jtaque cum Drumiis
habeat quatuor angulos totidem basis, habebιt cum c trab ιt te nouem initates. 6um autem octabedrum ho
378쪽
tates quindecim. O' totidem nitates cubus: quandoquiadem habent angulos octo lases nouem centr-.Uude sicut secundus ab initate octaberius fecundo adequatur cubo ; ita ζ, tertius tertio : quartus quarto: ω sequentes sequentitus, si ub priuiu in infinitum semperiae quales ex sunt: it potitia demon Lirabimuae. Deinde cutio abedrum habeat Ia.angulos solidos,bases autem aο.,
centrum; constituetur ex initatibus II. t, ex totiueminitatibus dodecatibus, it pote qui babet angulos a o.
bases Ia. , centrum, boc en secundus Icostaedrus secundo Doricuhedro aequalis est. Et similiter deinde tertius tertio: sses quartus quarto: ω sequentessequentibus singusi singuω Icosebedri iodecaberiis in infinitumsemper adaequabuntur propter eandem, quae in Octahedro in cubo eciprocam angulorum des basium numerorum aequalitatem: mi insao loco in propositionibus ostendemus. Sed quo pacto sequentes solidi numeri,hoc estsequentium locorum Ormentur,audi. Nec te e =icacissime lector,taedeat ea perperi-.re, quae ad huiusinodi numerarias formas, ab alijs omissi, a peculationu Earithmeticae persemone maxime L ectat. Coenses enim proprietates earum uotatu digni maw,nec
nisi curiosis ingeni,s patulas. Imaginor ita' in hμ qui quem ulu regularibus sudis , a centro a angulos educi singulas semidiametros: quae quidem in pyramide erunt
379쪽
LIBRI PRIMI, P s Ii. so rubeto ra. In cubo totidem. In icosabedro 3ο. D LLca-hedro totidem . arae quidem, cum semidiametris Litera singula binis totidem triangulos continent qu)ι sunt latera . His suppositis , iam nugi obseurum erit inter triana quidem quaelibet huiu οδ triangula pyramides in
tercipi , que rot Fuut quot ipsius fibri basis , in tetra-
bedro sin nudes quatuor triangulas, in o Iubedro octo triangulas ι in icosa dro miginti smiliter triantulas .eat in cubs inter quaterna triangula , Dramides quadratas. D doricabedro inter quina triangula, styramides ra. pentagonas. αuibus consideratiis , io constabit , inumquodque horum selidorum construi debere ex minitate centran , ex initatibus per semidiametros dissositas , ex numeris triangulis , exque nume-m1 ρyramidibus . Hoc modo. oramidem , siue tetra- hedrum , ex centro , ex quatuor semidiametris , ex mnis triangulis , ex quatuor pyramidibus triangulis. Octa drun x centro , ex sinis semidiametris, ex duo' decim triangulis , stu ex δ. Dramidibus triangulis: cubum ex centro , ex δ. semidiametris , ex Ia. triangulis,
, ex sinis pyramidibus quadratis. Jc berium ex crutro , ex duodecim semidiametris , ex triginta tria ulis, ω ex aο. hyramidibus triangultis . to ecabedrum excentro, ex a o. idiametris , ex triginta triangulis , ω ex Ia. Dramidibus pentagonis. Fostquam itaque e-ι-tas praebet singulis Ioliris huiusmodi, nomen: quippe quae nudam non numeri Petiem si piis iam in secundo loco
cit diximus98yramis habebit p. initates s O Iube us1s. cubus totidem. Bosabedrus D.iodecabedrus totidem.
380쪽
fusicipiunt. αuo quidem in loco semidiametri sunt ipsi au
gultorum initates e trianguli nudi: gyramides merosia initates , quae sunt basium centra. α uare hic tam semidiametri, quam Uramides exordium sumunt. Intediage autem per es' primassecteti Dramides mero sicuu-dae : quoniam oportet eas esse centrales. In tertio mox Ioco cresiunt singula semidiametri per initatem e trianguli autem exordium capiunt, seuntque amitates Uyramides mero sunt, quae multatem sequuntur: triangulae qui 'riumsingulae s quadratae senarium e ac pentagonae septena rium habentes : In quo quidem loco Dramis confiat ex I.
ex quatuor simidiametris , filicet δ. ex sex triangusiilicet 1., ex quatuor pyramidibus silicet ao. quae con
ciunt 31. Octahedrau constat ex I. ex siex semidiametris , scilicet ra. ex duodecim triangulas cilicet I a. , ex δ.D- ramidibus triangulis, Fincet o. quae constant sis. ω tan tundemsciunt et nitas: octosimidiametris, scilicet I 6 . ac Ia. trianguli cilicet Ia . cum sex hyramidibus quadratisue 36.pro cubo construendo: nam octahedrus ω cubussi er seunt aequales. Jc bedrus sit ex I. ex Ia. sim:diametris scilicet a . ex 3ο. triangulis , scilicet Io. ex zo.8yramIH-bus trianeulis, filicet Io o. et de completatur Iss. Et
tasao. simidiametri, sicilicet ψο. trianguli 3o Filicet 3ο- pentagoni Dramidis 1a Acilicet δή simul constant dictu numerum cilicet Iss. In quarto loco semidiametri singulae babent 3. trianguli singuli 3 Dramides, triangulaesingulae I f. quadrati Ip. pentagoni a3. bi Dramis cum conniet ex