장음표시 사용
381쪽
LIBRI PRIMI, PAR s II. FInmitate ex quatuor simidiametris , scilicet ra. ex siexrriangulis, sicilicet 18.ex quatuor hyramidibus, filicet εο.
subuit pI . Octabe rus autem ex et itale semidiame-rris Filicet I δ. ex ra.triangulissicilicet 36. ex octonra--idibus triagulis Mao. constans, habebit Di. ω tantundet cubus na Unitas, octo semidiametrisiib cet a . duodecimariangulisiilicet 36.s vramides silicet i I . eundem
ae, ex Iasi diametris scilicet 3σ. ex δο.triangulis, stilicet sο. 6st ex aο. Dramidibus triangulis siilicet 3ο o. comprehendet a . stu tantundem DoLOhedrus. Nam Unitas miginti idiametri ilicet σο. triginta trianguli,siilicet so . duodecim Dramides pentagonae , scilicet a7σ. eundem numerum 27. contatuunt. D quinto loco semidiametri singuia habent. . trianguli singuli σ. pyramides triangulae singulae 3 . quadratae . pentagonae s . Unde aggregatis Unitate semidiametris , triangulis , , pyram
dibus praedicto sib numero sumptis, conniabunt selida
quinti loci: Dramis Iδρ. o Iahedrus ac cubus 3σρ. Jco- faberius in Doriciaedrus pop. pro siexto loco semidiameter habent s. triangulus Io. Dram,is triangula σs quadra ta 8s. pentagona Ibs. Unde aggregatio repetita sciet
midiameter habent σ. triangulus II. Dramis triangula III. quadrata I 6. pentagona IJ I. sic ex consieto cumulo
fiet Dram is sip. OEZahedrus des Cubus Mos. Jc be-Hus of Adecahedrus a ψs . 'Tro octavo Aco , smidiameter habent 7. triangulus ai. st 'ramis triangula reti Z a quadrata
382쪽
Iortitur δ. triangulus a8 lyramis triangula aco. quadrata 3. . pentagona 28. ω peracta more conssueto congerie, perueniet Dramis Ia I. Octaberius , cubus a σ1.Icosa-hedruso, doricaberius cis . Pro decimo demum loco mi diameter habet p. triangulus 3σlyramis triangula 3σρ. quadrata 36. pentagona σορ. ex quorum positione confise
but summae gyramidis quide Das Octahedriω cubia 39. Icfahedri stu doricaberii δsos. cra' deinceps, seruatostm- per prscepto,in infinitum inuenietur cubus octahedro, dodecahedrus is ahedro aequales. seuod esse,demonstratione postea roborabimus , praemissis necessari praeambulas.
Olsox i, alias quasdam admiratu dignas proprietates executuri , sicut pro undo, ita maioribus nostris nunquam hactenus animaduersas , quae quidem idcirco praelibatasknt a nobis ingeniose Lector, ut ea, quae demonstraturi
semus, magis tibi peruia sint, sed δ' solida es msique ad
Es etiam tιrtia cuborum species, quos mixtos appelgare lituit: eo quodsinguusiant ex mixtione cossisteraltis cubi priami gencris 6 cubi praecedenties,non aliter, quam quadrati
383쪽
yretrales ta mixtione quadriati coinuralis in praecedentis primi generis. Sed gis admiraberis ingeniose Lector , huiusmodi cubos mimos esse singulos squalissinguus colgateralibus tetraheriis centraliabus iamdudum expositis, sicut in fine demonstrabimus. His ergo praemissis, adi orum olidorum diffinitianes meniamus.
E Pyramis triangula siue tetrahedrus primi generis, quae figura, propter basium conformita terii, inter numerarias r gulares solidas reponi meretur, constitit in dis linitionibus primis. octahedrus primi generis com vaginatur ex duabus ouadratis pyramidibus pri tria generis. 1 colla terati,&praecedenti: queadmodum quadratus primus co flabatur ex duo- has primi generis triangulis,colla terati scilicet & precedenai. Cubus mixtus componitur ex duobus cubis primi gen ei scilicet colla terati &i praecedenti, non aliter si antea qua-Hratus centralis constabatur ex duobus primi generis quadratis.seollaterali & praecedenti. Nunc autem dissinienda sunt solidorum regularium centralium, siue secundi generis structurae sic. Omnis radix propositi loci cum unitate, tri sulo praecedente primi generis, pyramideque centrali colla terati, constituere eotest numerum solidum, regularem so-quentis loci: ita sci licet ut radix in numerum solidorum angulorum multiplicetur et triangulus in numerum lat mm linearum, ramis in numerum basium,Tetrahedrum igitur, siue pyramidem construet, unitast centralis, radix quadpuplicata, triangulus sex plicatus, S pyramis tri- 4ngula quadruplicata. Octa hedrum autem constituet unuitas centralis, radicis secuplum , trianguli duodecuplum, de Pyramidis triangular o plum. Hesilitarum sue cu-hum conficiet unitas centralis , radicis octuplum, timanguli duodecuplum , & pyramidis quadratae sexcu plum. lcosahedrum conflabit . unatas centralis , radicis inuodectipium , triangulistri cupium , & pyramidis -triangulae vigemplum.. Dodecahedrum tandem con flabit , unitas radicis vigecuplum , trianguli Trigecu. plum, & pyramidis pentagonae duodecuplum. Pyramides
384쪽
Proca teris triangulae capiendae lunt, quo scilicet lin cot
χ i kli P R D r . Ei 'L RS ROmnis octahedrus primi generis Visalis ' p ramissi tu drais centrali, sibi , collaterali. Exempli gratia : uetit He rus quintus, primi generis est. Aio, quoa is idem nti merus est. dc pyram s quadrata centrali qui Pςr huius, puramis quadrant qui fita tanta cath rex duabus pyt mi libus quadratis primi generis , scilicet Φέfita & quam & per dissiuiti eni ipsi his, desqdo Ibqitimur, octahedri, talis ceti hedrus quintus componitur ex iisdemi dictis iustus quadratis pyramidibus. Igitur octa hedrus quintus f pyra midi quaci ratς quintae equalis: dcismilite ii quo vis alio
cx is cubus primi generis Q lis est auremato ex octat . 1 ' dro primi generis cellam si, duplos triangulae pyran iis pris' CPI 'Oi l L . cedentis. Exempli gratia cubus quintus scilico. ΙΣΤ.aequa 71. pyy ' lis esto hedro primi generis quinto.f. Ss. na cum duplo
δ'' pyramidis quartae primi generis , scilicet cum e. Quod sic bs iditur, per 3 1 huius, cubus quintus qualis est pyram, di hexagonae aequiangulae quiritae: per 18ante pyramis hebaagona quinta ςqimi nil a vallaraggregatura ex pyramidarentagona quinta, & ex deturbos. p.3 rami ibus quartii loci. squadrata & triangula primigeneris. Sed, per 3lo huius, pyramis pentagona 3 aequivalet aggregato Pyramidum quadram quintae,& triangulae quar . Igitur pyramis hexagona qnra,laue cubus ipsi aequalis valebit aggregariun in duabus pyramidibiis quadratis quinta & quarta.&io duplu pyi amidis triangulae quartaecumq; per diffinitionem dine praediaetae pyramides quatimae coficiant octahedrur primi gen iis quinturiam & talis C cla hedrus quintus clim duplo puramidis triangulae quatie sumptus, adaequabit cubum qui tum: quc d erat demonstiandum.& perinde sicut in quinto, ita in quo uis alio loco constabit propositum histit, ili tria P novo si Tio 89 th id lo l . st ut qν Omnis impar in Padratum Iecundae fieriti, hoc est, centre
semidi collateralcm n. in plicatas, procacit gno mcnem collat ratem ea ordine gnomonum ab unit. te i innmtorum, sitq; quadratos ex quadratis primis in se e ma renates no a ditioncm
385쪽
Decessuram nonstitueremm . Praemilla Vni tate, quae omnemn ineri speciem repraesentat secundus impar est 3.secundus autem quadratus cenitalis est 1.ex horum ducto fit 3 s.gii mo secundus quippe qui cum mitate facit v6.quadratu scilicet quaremarij.Quod sic ostendo: post unitatem notabo primum duos in tres, in quatuor, in quinque numeros ab unitate per duplam proportionem notatos. Hoc pacto duo primi numeri, scilicet i. i. per sextam huius simul conficiunt imparere, secundi loci, scilicet 3. Extremi autem sequentis ordinis scilicet C. a. int r. & . proximi scilicet quadrati, quorum congeries,per 683 huius,est quadratus centralis se- cundi loci, scilicet s. Itaque demonstrandum est, quod aggregatum ex uno,& a. multiplicatum in congeriem ex I. , . producit gnomonem secundi loci, hoc est differetiam ipsiarum t.& I6. qui sunt quadrati quadratorum, primus unitatis,& alter quaternariJ.Talis enim gnomo, scilicet I s .appo fistus unitati, constituit Is. quadratum quadrati secundit Nam in hisce quatuor numerorum indinibus, duo primi, scilicet I. i. sunt disserentiae trium sequentiu , scilicet r. 2. .& rursus hi tres sunt differentiae quatuor sequentium,sciliacet r . 2. .& s.& adhuc hi quatuor sunt differentiae quinque postremotum, scilicet I. 2. . 8. I 6. quandoquidem in nomeris continue proportionalibus differentiae sunt continue proportionales, & primae differentiae sint iam unitates, sicut irimi ordinum singulorum numeri. Hi c est autem proce L liis demonstrationis: aggregatum ex uno& 2. primi ordinis ductum in unitatem, sacit c eriem l .& 2.in tertio ordine. Item aggregatum ex s.& a. primi ordinis ductura in . pro duci t & 8.in. tertio ordine, hoc est, I2. Igitur tale aggrega etitum ex I.&.2.ho est 3:duetiim in congeriem ex ri& . hoc iest, in s. producet cumulum quatuor numerorum, scilicet , I. 1. ψ. S. Verum talis cumulus facit cumulum disserentia- iru quarti ordinis, scilicet ipsoru I. a. 4. 8. I 6. & perinde facit differentiam extremorum, scilicet r.& I6. hoc est, 13. gnomonem secundi loci praedictum.Qusd fuit demonstrandum. Item dico quod tertius im par, scilicet s. ductust.
in tertium quadratum centralem.s.1.3. Producet. teritu M. -
monem ex praedictis , scilicet squi s.cum I 6. coniunctus facit quadratu novenaris, qui tertius quadratus est, facit i qua si . quadratum ex quadrato tertio in se dicto genitum.
Quod haud obscure,noc dissicilius ostendam Hoc processiti
386쪽
Post unitatem notabo radices proximas secundi & tertii M. Ci, scilicet 2. & 3. qui, per sextam huius, coniuncti faciunt i . mp Q duco cin se, s . nec non 3. in .
C Ontinue proportionales iniratione ip- i
i . ' i' RVysem , ς quatuor multiplicationibus ,
scilicet ex ductu 1. in . & in 6. & ex ductit in G. & in s. . nant quatuor numeri similiter proportionales 8. t r. i8.1 . Er adhuc quinque multiplicationibus , scilicet ex a. ita i singulo di s. i a. I S. 17. & cx3. iii 27. fiant quin- 'uc numeri 16. 24. 36. sq. S t. in eadem ratione continua proportionales. Atque his constitutis, demonstrandum erit , quod aggregarum ex a. & scilicet 1. tertius impar, multi- , plicatum in aggregatum ex ψ.& 9. hoc est, in I 3. quod, per i, est tertius quadratus centralis, pmducit differentiam ipsorum i 3 i. hoc est, gnomonem ex his, quales diximus tertium. Nam per hi septimi Elementorum,Eucli L qu inram exductu ipsorum 1. 3. primi ordinis, nascuntur ' imeri trium reliquorum ordinum, idcirco singuli ordines set fuant continuam proportionem primi: & quoniam ex multiplicante indifferentiam multiplicatorum, producitur di crentia proda orunt: idcirco,duo numeri primi ordinis, ita lacet 1. & 3 sunt disterenti; numerorum sequentis ordia inis,scilicet ipsorum . 6. & s. & sit iter hi tres sunt dissi rentiς nurnemrum quarti ordinis, qui sequitur, scilicet ip-orum I 2. I s. Nec secus hi quinque sunt differentiae , quinque numerorum sequentium, scilicet i6.1 3 6.s 8 r. rquo fit, ut cumulus ipsorum 8. - i 8. a . sit differentia iPlorum i 6. 8 I. remorum. Unde demonstrandum erit, iquod ex multiplicatione aggregati ipsorum 2.1 3. in cone briem ipsorum 4. & 9. hoc est ex ditistii in rue. tertii, soli , cet imparis in tertium quadratum centralem , produci uti a cumulus ipsorum 8. I 2. t 8. 27. hoc modo. Quoniam ex 2. t in A. nt 8. dc ex 3. in fit i a. per 24 septimi Euclidis quo aniam 2 .ad 3. sicut .ad i6. propterea in aggregatum i pasorum 2.3.fit aggregarum ipsorum 8.Ἀ.per primam secti di Elementorum,& per eadem rationem, quonia ex a. in Mus ti ,&ex 3. in v. fit 27. propterea ex p. in aggregatum ip- i i i rum a. 3. fit aggregarum ipsorum i8.2I. Rursum ergo exprima secundi Euclidis seqvitur, ut ex aggresato ipsemina 3. in aggregatum ipsorum . 9. fiat cumulus qtra tuor num
mer . ru s. Ia. I S. 17. Quod fuit demonstrandum. i l Eodem
387쪽
todem penitus procestu demonstrabimus, q, qu irtus impar.s. . ductus in quadratu cetralem quartu as .essicit r7 3. gnomone quartu, qui cum quadrato novenarii iunctus. s. cum Sostendemus, P quintus impar. l. 9.auctus In quin tu qtii cereale. s. i. producit 369. gnomone quin tu, a cu a s 6. costituit 61 s. si quadratus est s' quadrati: & sic in infinitim
Unusquisque dictorum gnomonum aequalis est aggregato tria
gulorum centralium ab unitate per ordinem sumptorum,er tot iquot sunt undiates imparis collateralis. Exempli gratia. I s. gnorno post unitatem aequalis est aggregato trium trianguloria tcentralium .s. I. . IO. quoniam ternarius est impar collateralis ipsius gnomonis secundi. At 6 s. gnomo sequens aequilis est aggregato quinque triangulorum, scilicet, . . O. 6. 3 I. quoniam. s. s. est impar collateralis dicto gnomoni. dc sic deinceps in infinitum.Et quoniam tria talia triangula, pexi dissinitionem componunt pyramidem triangulam centrλlea
terti j loci, & quinque talia praedicta triangula constituunt pyramidem triangulam quinta loci, & sic deinceps per impares locos in infinitu : propterea propositio piis hoc dicit.
Quod tales gnomones sunt pyramides triangulae cen- trases per impares locos dispositae in infinitum. Cuius propolitionis & corollarij demonstratio haec est. Aio, Q 6s .gnomo tertii Ioci,cit pyramis triangula centralis quinta. Quod lsic patet. Ducatur s. in 3 i. radi . s. quinta in triangulum si . quin tu qui basis eth pyramidis ipsius quintae,& producut urta 1 s.coluna. stri agula quinta huic addo quadratum quinta primae speciei. s. i s. & triangulum quin tu . si 1 .de confli turia 9 s.qd, po 7 9 huius, triplia est puramidis sue quintae. pr ductu aut ex s. in 3 I. cum dictis quadrato & triagulo, sum Plia,cit aequale proaucto ex s. In s9. quoniam .s 39. conitate si . s. te 3. hoc est, triangulo quinto : impare tertio , &radice tertia: & ex tali radice in talem, imparem, hoc
388쪽
est ex s. in s. fit dictus triangulus quintus et s. svi ex regula progressionis facile constat Quo fit, ut productu ex s. in 39. aequale sit producto ex s. in s l. in s. & in 3. hoc est, producto ex s.in 3 I .cum quadrato quinarij & triangulo quinto , hoc est, cum 2 s. dc cum 1 F. Et, quoniam 3I. triangulus , scilicet quintus centralis cum ipse quinario & ternario, quoniam quinarius 'est tertius impar, conficiunt semper triplum terti; quadrari centralium, qui nunc est. 13. .&gnomo 6 s. fit ex 3. in ipsum i 3. per pretinissam.Iam iccirco productum ipsum ex s. in 39. scilicet io s. triplum erit gnomonis 6 s. suit autem de triplum pyramidis triangulae quintae : Igitur gnomo tertius & pyramis centralis quinta sunt aequales. Quod erat demonstrandum. Sed restat ostendere, quod triangulus imparis loci cum ipso impare& cum radice collaterali ad imparem faciunt simul triplam quadrati centralis, qui collateralis est ipsi radici. Hoc est assumpto exemplo, quod cum s. & 3. saciunt triplum ipsius 13. quod sic ostin letur: Disponantur quatuor series numerorum, singulae ab unitate initium capientes: in qu rum prima sint trianguli centralis locorum imparium , lscilicet t. I O. 3 r. 64. ex in secunda I. 3. s. p. dc caeteri im- pares per ordinem.1In tertia radices naturalis progressus I. 2. 3. . &c. In postrema I. F. I . 2 F. & caeteri quadra-titi centralis. In quibus id quod volumus facile constabit. Nam cum in exordio tres unitates sint i
t 'triplum quatimet trium subsequetium tres ad primas uniatates augumentae super ipsas unitates siciant duodena-irium, qui numerus triplus in ad augumentum, quo in quarta serie sequens unitatem excedit ipsam unitatem ; iam ideo necesse erit, ut aggregatam trium corollarium,scilicet,io. 3. a. sit triplum ad huc sequentem, scilicet s. Item qu niam augumenta trium in tertio loco sequentium supra irim praecedentes. constant 14. Et augumentum reliqui in quarta
389쪽
quarta serie supra suum praecedentem est 3. Idcirco de aggregatum trium illorum , scilicet 3 i. s. 3. erit & triplum diadi reliqui, scilicet O. Et sic deinceps in infinitum, propter augmenta illic per duodenarium , hic per quaternarium 19. et entia semper demonstrabimus. Quod demum in di- '3l.ctis quatuor seriebus numeri si cundum talia procedant cre 6. menta, facillim uim est ostendere. In triangulis quidem si ' 6 . consideretur continuatorum crcmema , quae crescunt per Sternarium , iam alternatorum crementa per duodenarium ' Io 9. Eugebuntur. At in serie impatium quis nescit crementu fieri per binarium , dc in serie radicum per unitatem demq; in I 66. serie postrema quadratarum centralium , quoniam singuli oconstant ex binis proximis quadratis primae speciei, quo- ῆ rum differentiae crescunt per binarium, quia videlicet con- 4 flatur per additionem continuam imparium, ideo differen- α iaF sortiuntur per quaternarium crescentes. Sic nihil restat, quod ad demonstandum propositum faciet.
PRopos ITI y l. pes qsadrati centrales cum quatuor undatibus sumpti, sunt aequales quatuor triangulis tentralibus,cu tribus imitatibus simul acceptis in eodem loco. Nam triangulus centralis constat ex unitate dc tribus triangulis primς speciei pr cedentis loci. Quadratus verb centralis constat ex quatuor triangulis primς speciei praecedentis loci, dc ex unitate. Quam ob rem . quatuor trianguli centrales constabunt ex x .mangulis primae,& ex quatuor unitatibus Tres verbquadrati centralii constabunt ex i 2.triangulis primae, de ex tribus unitatibiis. igitur, si apponantur hic quatuor, illic tres unitates, constabit vetitas propositi.
Tres pyramides quadratae centrales cum quatuor axibus semflassant aequales quatuor pyramidibus triangulis centralibus cu tribus axibus in eodem loco simul acceptis. Haec constat exit Aillanti: quoniam pyramides constant ex basibus, illa: quadcim: hae triangulis, de axes constant ex totidem unitatitit, iis fingulae. Quare cram ex aggregatione aequalium coacervcntur aequalia, constat propositui
390쪽
P Ropos ITIO P . Tres Pentagoni centrales eum quinque Cnitatibus simul sumti sunt aq uales quinque triangulis centralibus cum tribus unitatibus sim ui acceptis in eodem loco. Quonia triagulus centralis constat ex unitate&ex tribus triangulis primis praecede tibus. Pentagonus autem centralis constat ex quinque tri pulis primis praecedentibus ex unitate: quam ob rςm quinque trianguli centrales constabunt ex i s. triangulis primis& ex s. unitatibus. Tres vero pentagoni constabunt etiam ex I s. triangulis primis,& ex tribus unitatibus: Isitur si rerponamur hic 3.illic tres unitates, constat propositum. P Ropos I Tio 9 Tres pentagonae pyramides centrales cum quinque axibus sunt aquales quinq; pyramidibus triangulis centralibus cum triabus axibus eiusdem loci pariter acceptis. Haec sequitur ex prae mista: quonia pyramides constant ex planis, illa: pelagonis,liae triagulis,& axes constant ex totidem unitatibus singulae. Igitur cu ex aggregatione aequalium coaceruetur qualia, Verum est id,quod ostendisdum proponitur
, Lia2 Omnis cubus centralis aequalιs est octabebo centrassi colla 8. sim id. γ aerati. Nam talis cubus', per dissinitionem construitur exra. δεμ ' unitate,quλd est centrum: ex octo semidiametris, ex ι 2. trian 6. pyr gulis primis: quoniam tot sunt latera linearia solidi .: Sexscx pyramidibus quadratis centralibus quot, scilicet sunt bases solidi. Octahedrus autem conflatur ex unitate centrali, ex lenis semidiametris, ex Ia. triangulis primis : quoniam
C Vnitas tot sunt eius solidi latera,& ex octo pyramidibus triangulis octahe. I J o. semid. χ centralibus, propter totidem bases. Sed cum per 'a' pinthdtus Q. Δ'', ' sim, tres Pyramides quadratae cum quatuor axibus,qui susti .3. Pyr. Δ' χ aequales semidiametris singulae singulis, sint aequales quatuor pyramidibus' triangulis cum tribus axibus: Iam sex pla ramides quadratae cum octo semidiametris erunt aequalesi octo pyramidibus triangulis cum sex semidiametris. At unitas Sc ia. trianguli eadem utrobique summa ingerunt. Ergo de totus solidus numerus toti solido numero, scilicet cubus. Octahedro adaequabitur: quemadmodum proponitur.
Omnis Dodecah rus ηAmerus aequalis es Icos hedro numer: . ro. hi collaterali. Sicut praemissa,per nonagesima secundam ita