장음표시 사용
391쪽
ita piis propositio per 6 demonstrabitur. NIque, per surpositionem nostram,icosahedrus conficitur ex V nixa δεῆ sed 'unita, iest centrum: ex i 1. semidiametris,o 3 - trian li prymi i Ieosilien Cia. semid. secundum laterum numerum solidi : μ ex ro. pyramidibu ii iii K ς , triangulis centralibus, iuxta num crum basum . DOde io, e Alahedrus autem numerus sermabatur item ex unitate centra- 'IS'li, ex viginti semid metris, ex triginta trianguli, primi , vi, ita, l
nis centralibus, qirotllant solidi bas . Sed cum Tr 'Αhediu, γ i . o praemii Iam, tres pentagon ς pyramides cum quinque axibus; i siue semidiametris sunt aequalesqii inq; pyramidibus trian 'PI 'O χiulis cum tribus axibus, siue semidiametris r iam & Ia.
entagonae Pyramides cum 2 o. semidiametris limul, m uales erunt 2 o. pyramidibus triangulis cum xx. semi-iametris. Atque unitas & triginta trianguli tantundem v trobique accumulant. Igitur ex totus icosahedrus toti do
decahedro aequalis erit, sicut in propositione concluditur. P Ropos ITIO M . Vinias , quatuor diametri, hoc est, par numerus, γε voco diametrum, quadruplicatus cum omplo trianguli primi, o retro intermisto accepti, componunt quadratum imparis collater sis. Disponantur quatuor numerorum series ab unitate,scilicet trianguli primi , pares, impares & imparium quadrati per ordinem. Et in ordine parium capiatur quilibet par,
Viptita 8. ex triangulis autem capiatur, no intermistis praecedens, scilicet 6.octu plicatus, hoc est, 8. Aio igitur,quod unitas, quadruplum ipsus s. scilicet 3 a. simul cum 8. conficiunt quadratu collatera lis imparis , scilicet 8 i. Nam per 3 huius, unitas cum 8. quod est octii plum triangulio. facit quadratum imparis sequentis,scilicet 9.qui quadratus est apsus I per co' vero huius, ipse numerus par S.quadruplicatus, scilicet 3 1. coniunctiis cum quadrato imparis is cedentis , scilicet cum '. es scit quadratum collaterais imparis, scilicet 8 i. Igitur unitas cum 32.& 48. consant quadratum collatera lis imparis praedicti, similiter in caeteris horum quatuor ordinum numeris per eadem penitus argumentando procedens , Qui demonitiandum proponitu ta
392쪽
Quadruplum dictι trianguli, uno intermisso praecedentis iis parem, cum sexcuplo pγramidis quadrata centralis immediate dictum imparem praecedentis coniunctum, conficit duo suppi menta, quae segula fiunt ex ductu ipses imparis is latus f eundi quadrati praecedentis: ct coniuncta cum quadrato φδες imparis constituuhit gnomonem: qui coniunctus cum secundo tuadrato praedicto, construit secundum quadratum sequentem, hoc es ipsius imparis collateralem. Intelligo secundos quadratos eos, qui ex primis in se ductis fiunt: ut i 6. est secundus quadrat' binari j 8i .secudus quadratus ternarii; & sic deinceps.
Itaque exponam primum , dein ostendam propositionem Exponatur ab unitate sex numeroru series, scilicet, radices, Impares Trianguli primi, Pyramides quadratae cetral , quadrati pii mi, & gnomones secundorum quadratorum, per ordinem continuati. Quibus exaratis, iam in secundo loco, impar est 3. hic autem quadruplum triaguli nullum est. Nam retro intermis Ia unitate, nullus est triangulus. pyr*mis hunc locum prς cedes,eli unitas eius, sexcuplusest senarius:
qui lotus facit hic duo supplementa 3.& s. quaesingula fi
ex impare huius loci, scilicet ex s. in latus secundi quadrati praecedentis, scilicet Unitatis, hoc est, in unitatem. Et coniuncta cum quadrato dicti imparis, scilicet cum nouem, conficiunt I s. gnomonem, scilicet eius dein loci: qui applic rus secundo quadrato praedicto, scilicet unitati, costruit iam secundum quadratum kquentem , scilicet i 6. In tertio autem loco, impar est s. quadruplum trianguli, uno retro i termisso, sumpti, scilicet unitatis,est quatuor. Pyramis praecedens est 6. cuius sex plum 36. qd cum A. facit o. quae sunt duo supplementa, scilicet 2 o. de io. quae singula fiunt ex impare dicto, scilicet s. in . latus secundi quadrati praecedentis,qui est I 6.dc coniuncta cum quadrato dicti imparis, scilicet cum 2 s.faciunt 61. gnomonem icrtium: qui colunctus cu secundo quadrato praedicto; s cilicet i 6. conflat iam sicudum quadrarum sequetem,scilicet S i. In quarto deinde locoν
393쪽
rbe, Tmpirest'. qaidruplum trianguli uno retro inter,nil sin sumpti, scilicet ternarii, estia. Pyramis praecede euius si cupium t I . quod cum II. facit II 6. quaedunt duo supplςmeta, scilicet 6 6 quae singula fi ut ex impare dicto . in s. latus, scilicet secundi quadrati prae-, cedentis, qui suit 8 I. de coniuncti cum quadrato dictarim paris, scilicet' 9. faciunt i s. gnomonem quartum, qui coniunctus secundo quadrato praedicto, scilicet 8 i. Ω-cit 1 16. secundum quadratum sequentem. Adhuc in qui noto loco, impar numerus est . quadruplum trianguli non immediate praecedentis , scilicet 6. est 2 . pyramis praeceadens . cuius sexcuplum 26 . quod cum 2 . essicit a88. quae sunt duo supplementa, scilicet. I .& r . quae singulae nunt ex Impare clicto, scilicet '. in i 6. latus scilicet, quadrati secundi praemissi, qui fuit 2 36.& coniuncta cum quadrato dicti imparis, scilicet cum si . faciunt 3 69.gnomonem iungendum secundo quadrato praedusto, scilicet 1 6 s. Vt c6- flet 61 s. quadratum secundum quinarij et qui sequitur,p situs in praesenti loco. Sic pro sexto, septimo,& sequentibus Ioeis in infinitum fit similiter seriatim procreando , se cundos radicum quadratos. Sed demonstrandum quo pacto in singulis locis quadruplum trianguli', ex tertio retrotinsum loco silmpti, cum sexcupio pyramidis quadratae praecedentis conium uim , facit dicta duo suptementa , siue quod idem est quod duplum talis trianguli cum triplo talis puramidis coniunctum, sicit Vnum tale supplemen tum , quod ut dictum est) fit ex impare ipsius loci in latus secundi quadrati praecedentis: & proinde duo talia supplementa coniuncta'cum quadrato dicti imparis, componunt gnomone, qui itinctiis c u secundo quadrato praedicto conficit m quadratum sequentem , impariq; collaterale.
394쪽
vellim in primo post unitatem loco,qui secundus appel- νlatur, in quo ut dixi) quadratum triangulta:nullum est, liquet quod triplam pyramidis praecedentis, scilicet s. facit tale supplementum, quod scilicet sit ex impare huius loci,
qui ternarius est, in latus secundi quadrati praecedentis, scialicet in unitatem: & idcirco per quartam secundi Euclidis, duo huiusmodi supplementa coniuncta cum quadrato disecti imparis , scilicet '. conficiunt I s. gnomonem, scilicet eiusdem loci: qui appositus secundo quadrato praedicto, scilicet unitati, construit secundum quadratum sequentem, i scilicet i 6.collateralem ipsius imparis : cuius quidem latus est quadratus ipse primus. scilicet . quoniam tale latus ex aggregatione constat unitatis & sequentis imparis, per i s huius libri. in tertio loco id ipsum quoque ostendemus : in quo impar est s. quadruplum trianguli 4.& pyramidis sex-cuplum so dc ideo trianguli duplum E. pyramidis triplum I 8. Quare hic ostendendum cst, quod a. cum Is .faciunt acisupplementum quod fit ex impare huius loci scilicet s. in latus secundi quadrati praecedentis, hoc est. in quod sic paret: Nam columna quadrata centralis praecedentis loci, scilicet to .cum duplo quadrati primi eiusdem loci, scilicet ca8.per so huius, efficit triplum pyramidis eiusdem loci,quet
quae fuit c. hoc est i 8. Cui numero addo 2.parte altera longiorem eiusdem loci,& fiunt xo. Cumque 1 o. colu rana diacta fiat ex radice eiusdem loci, scilicet 2. in quadratum ce tralem collateralem, scilicet in F. atq; ipse s.constet ex qu drato primo colla terati & praecedenti, hoc est,ex .de l. iam
ipse io. fit ex 2. in .& ex 2. in s.coniunctus cum L. Parte al
tera longiore, hoc est totus fiet ex 2.in 2.quod est aggregatum ex i. & i. Sic habemus tria producta , scilicet s. ex r. in quod fuit duplum quadrati cum columna coniun
ctum. Item 8.&ex 2.in .atque Α .ex 2. in a. integratiam i tum numerum 2O.cumque ex toto numero xo. ipse octona
rius contineat bis & rursum 8. bis demonstrandum eEquod reliquum, scilicet contineat semel ipsum ut i tus 2 o. contineat quinquies, scilicet secundum numerum imparem huius locum , ipsum quatuor. Quod lain ratione comprobatur: quoniam scilicet fit ex radice secundi loci, hoc est, ex 2.in parte altera longiore eiusdem loci scilicet in a. Et perinde saetias adequatur quadrato colla terati, sci licet
sicut & radix aequalis est ipsi parte altera longiori Pr odi
395쪽
citat itaque in hoc loco 2 o. supplementum ex I. iii 4. α perinde duo talia supplementa, scilicet ad. & ro. mi uir acta cum 2 s. quod est quadratum iptius. s. imparit, faciuntnzomonem 63- qui coniunctiis cum quadrato ipsius sta- et cum x6. quadrato secundo praecedentis loci, scilicet . secundi, constituit seqirentem quadratum secundum, coli teralem, scilicet huic loco tertio, qui est 3I: ι Nam per . sed di Euesidis, supplementa diuo ex lateribus quadram ,
torum duorum productae, un, cum ipsis quadratis compo- λnunt quadratum , cuius hims constri .ex lateribus quadra- γtorum componentium. Sed unum laterum tali uini suit qua- dratus numerus, scilicet & alteru suit sequens impar, sci-blicet x jErgo & compolitas ex illis, per i 1 huius libri, erir i quadraetus sequens, scilicet sedatus scilicet totalis quadrati: idc perinde totalis quadratus erit quadratus secundus terna siris, scilicet 8 i. Di ex p. in ic fit. In quarto etiam loco nunc idemonstrationem repetemus: in quo impar est quadrupta trianguli est i 2.sexcuplum pyramidis tri & ideo trianguli , 5. triplum pyramidis 17. Quare hic ostendendum est,quia 6.cum Inefficit 6 3. supplementum, quod fit ex impar huius loci, scilicet 7 .in latus seeundi quadrati praecedetis, hoetii est in p. quod sic: patet. Nam columna quadrata centrali praecedetis doci, scilicet: 3 p. cum duplo quadrati primi eius ridem loci, scilicet cum i8.estici t, per SV huius triplum pyramidis ieiusdem loci, hocin 1 Gui numem adi jcio. sipa te altera longiorem eiusdem loci: & fiunt 63. Cumque 39eolumna dicta fiet ex radice eiusdem loci, scilicet s .in qua-ὼ ditarum centralem collatera lam scilicet in is .atque ipse L .iediistem duobus quadratis primis, stilicet, collaterali, & ρος denti. aoc est, xx9, ω . Iam ipso I v. sed β. in .d ex3 iri j iAt ipse. paciei alteri longior, si exis . ia a. 3 Iyυγλ r xi qui fit in . coniunctus: m 6. parte est 9ra longiore, scilicet I 8. fiet ex 3. an 6.qu d cst aggregatum 3 - rat . Erii. Sic habemus tria producta, scilicet I S. ex 2. in Cis. quod imit duplum qiradrati cum columna coniunctum. 2 9 Item i3 ex ς. un79. Atque is .cx tan 6. integrantiant tum 6M Cumque ςx mio numero cisi ipse IS. contineat cir bis V. &ipse 17.contineat ter xx demDnstrandum est , quod res tuum scilicet et 8. continet bis. s. ut videlicet rotus 63 Concludatur continere septies ipsunx s. secundu imparem.chuius loci, qui sep tenarius cssi Q Ud de rati*pe confirmatur, J- n. Or Aa Quoniam,
396쪽
Quonia I s. produeitur ex radice tertii loci.s3 .in s. parte altera longiore eiusdem loci: & perinde productas duplus est ad qua iratu eiusdem loci, scilicet ad p. quotuplus ech parta altera longior ipsius radicis. Producitur itaque in hoc loco supplementu 6 3 .ex ran 6. Et perinde duo talia supplemeta 63.&63. coniuncta cum 9. quadrato ipsius imparis,saci ut gnomonem 17 1. Qui coniunctus cum quadrato ipsius y.s 1 cum S I. quadrato secundo price letis loci. Cter iij, copon ut quadratum secundum sequentem. Cass .collateralem, hoc est, huius quarti loci. Nim pervi secundi Euclid. luo quadrata de duo supplementa ex lateribuet quadrator am Producta pariter accepta, coliciunt quadratum totalem: cuius latus est aggregatum ex lateribus quadratorum partialium. Cumque unum horum laterum suerit iam qqadratus numerus , scilicet 0. & reliquum impar numerax sequens.s. 7. iam aggregatum ex ipsis, totalis scilicet quid ii laetas ierit, per I s' huius, erit quadratus tequens, scilicer i 6. latus, scili-icet totalis quadrati. Unde totalis quadratus erit qaadratus rsecundus, icilicet 1 16. qui fit ex io. in se. Lubet & in qui ito loco demum propositum demonstrate. In quo quidem impar est o. quadruplam trianguli saepe dicti se sex cuplum pyramidis is . & ideo duillum trianguli ix. triplum Pyra-imulis I 32. Raate hic ostendandam,quad i i. mcit supplemcn tum, qa sti ex impare huius loci, scilicet '. in latus secundi quadrati praeeedentis, scilicet in I 6. Quod: sic potest concludi: Nam per 8o.huius columna quadrata centralis praecedentis loci, sciliceo . cum duplo quadrati primi eiusdem loci, scilicet curristi incit triplu pyramidi, - suae eiusde loci,quae sal t . hoc est I y . cui numero addo ipsum I 2. parte alteraelongiorum, d onscioli: μα- γ'
rati&praecedent hoc est,ex I. 6.&9. iam ipse roo. fiet ex . . is bis p habemus tria productavi micet ς i. exa. ii a Qquod, seu' a -ter γ septies-o duplum quadrati cum cohamna coniunctum:6. ex '.in ris, Ig-bisia atque 48. ex . in I 2. integrantia totum Cuinquet. -63 toto numero iη ipse a. istineat bis I 6. sic ipse β4.quarer
397쪽
tincat aer o. ut scilicet toto φ . ccnis re hedat nouies i6. 9 es isiva ta impaxim bimus loci,scilicet s.quod sicut prius fies id es 'η QCsi nditur. Quoniam 48. producitor: lx radice quarti loci, AEAE scili Cet A. in 12. parte altera longiorcm eiusdim loci. Ei id 6' 10 hi P Vndς circv productus est triplus ad quadratum collateralem sei F qnῆς c cis. - 2Ilicet ad 16. quot uplus est parte altera longior ipsus radicis. Producitur itaque in hoc loco supplementum i . Tex P. in 16. dc ideo duo talia supplementa scilicet 1 . 7: Te . p&14 .coniuncta cum 8 3.quadrato ipsus imparis s. saeiunt Cynomon m 36'. qua conior ictiis cum quadram ipsu, ιο. : φ naiς scilicet cum 2 16. quadrato secundo precedentis loci, 73s scilicet quarti, componat sequentem qua irarcm secundum, g 9 β hin . scilicet ca s. huius quinti loci. Nam per quartam seeundi S i i pHς Euclidis,duo quadrata, di duo supplemera ex lateribus qua 9Α iς dratorum producta pariter accepta, conficiunt quadratum totalcm: cuius latus est areripatum ex lateribus quudratoiu 9' I partialium. Cumque unum horiam laterem suerit qua- pGaius ni metus, scilicet iis.& reliquum impar numere, se ΑΑ ' septim amen , scilicet 9.iam peri e huius aggregatus ea ipsis, tota lis scilicet quadrati latus, erit numerus quadratus, scilicht io' si Ui- .χ F Vnde totalc quadratum erit quadratus sectindus, selli 7 9'novies γ 19' -8icer 6ι f. qui flex a 3. quadrato huiu quinti loci in semul octi Ptiplicato. Similiter in texto, septimo, octavo, & cieteris de Iorg
inceps locos in infinitum continuabituria cc demenstratio. u' hy pNamque in sexto loco argues tria producta integrantia sup iQ0O decies a i , -ioopi mentum,continere praecedentem quadratum undecies. 9O 'DOuicca In septimo loco tredecies, in octauo quindecies, in nono sep I temdecies, in decimo undi uigesies.& sic deinceps' per impa Wς duinceps in infini-Pra sequentcS : Vt hic in margine notaui, quo constet pro tWm Et productum me
positum . dium seinperest Cubus pret-
398쪽
Gnemones praedicti , sicut dimis est inuenti, cibi sunt er
o Lahedri centrales. Nam cum unusqui', talium gnomonia constet ex duobus supplemeris & ex quadrato imparis,atq; per poemissam talia uipplemeta conens ex quadruplo tertii retrorsum sumpti trianguli primi,& ex sexcupio pyramidis quadratae centralis praecedetis: Itemque, cum, per ante prae in millim,quadratus dicti imparis constet ex aggregatione uni si 'PI 'O' talis, quatuor diametrorum,sive octo semidiametrorum de . ex octuplo dicti trianguli; idcirco sequitur, ut talis gnomo
si pyx' tuor numeroru cumulo copaginatur, ex quib' talis gnomo. Igitur gnomo existet cubo aequalis. Per 9 13 vero praemisIa v. cubus octa hedro qualis se e constitit: igitur & octa hedrua gnomoni aequalis erit, sicut demonstrandum proponitur. , i, COROLLARIUM. Et quoniam per sos corollarium o siesum sui si quM gnomones praeseti sunt pyramides triangulae centrales impari locorum, idcirco sequitum,ut gnomones, cubi, octahedri cotrales,& pyramides triangulet centrales imparium locorum ordinatim collati , stat ijdem numeri.
REIlai adbuc nobis ostendendum, quod sicut contingit cubos primi generis siet i ex congerie uniu , quorum, trium, d inceps imparium per ordincm ab unitate succedentium singulos ab et nitate continuatos in infinitum; ita ct cubis contralibus similem dignitatem esse a natura tributam: ut scilicet Us cubicentrales ab et nitate seriatim dispositi singuli constituantum ex aggregato et nius, trium, quinque, s. 'cam , O deinceps imporium Iuccessue sumptorum ab τἀtate imparium numerorum, semperq; sub multitudine imparium per ordinem accepto. S menstrabimus autem hoc, praemissis aliquod necessariis prae-
Si fuerint tres. ρη aeque, septem, vel sub sterius cuiuslibet imparis multitudine sumpti numeri aequali excessu C succes-uὸ crescentes ; eorum aggregatum aequum erit ri numero, Pio ductu medii in multitudinem multiplicati procreabitur . A I x . . A Lxempli
399쪽
Exempli gratia , sint tres numeris. 7. Aio, qubd s. qui
est medius ductus in ternarium quandoquidem tres sunt numeri essicit aggregatum ipsorum 3. s. 7. Ad socientur enim ipsis 3. s. . per binarium crescentibus roridem&ijdem, sed ordine praepostero, secrescentes: Sic fiet, ut decrementum unius ordinis resarciatur pari cremento niteti':& duo medii, scilicet s.& s. sint inuicem ςquales; dc simul
iuncti sint squales aggregato reliquarum combinationum Quo fit, ut congeries amborum Ordinum sit planus num rus siue superficialis tetragonus, qui fit ex ductu ternaris in aggregatum ipsorum s.& s. seu quorumlibet binorum: Igitur & congeries unius ordinis squar dimidia est totalis cumuli fiet ex ductu quinaris in ternarium: sicut proponitur. Similiter, si summancquinq; numeri: Vtpote O. I l. I . I s.17. eadem accessione crescentes. Aio similiter, quod medius e rum, scilicet 1 3. in quinarium squoniam quinque sunt numeri) multiplicatus producit talium quinque numerorum
aggregatum. Nam si talibus numeris compares & sub ordiane praepostero applicentur, similiter, & in quovis alio casu, constabit proposi tum.
Si ex radicibus ab unitate, O sectatim seitatis accessum crescentibus quotlibet segregentur etruitas ct deinde exsequentibus tres, Inde quinque, edi deinceps per multitudinem imparium foventium per ordinem; iam unitas, tertius tria, quintus sequDisi quinque o dcinceps postremus femper reliquarum multudinum
quadratus numerus est. Quod enim unitas quadratus sit, paret. Quod autem tertius sequentium sit quadratus, concluditur, quoniam addit tres unitates, hoc est, sequentem imparem unitati: & perindo, per i 3' huius,aggregatum , hoc est,ipse tertius dictus, est sequens ab unitate quadratus. item quinque sequentes per unitatem singulta crescentes faciunt, ut quintus eorum excedat supradictum tertium quinque unitatibus, hoc est, i pso s. impari tertio: unde per i I. huius, aggregatum,hoc est,ipse quintus praedictus erit tertius quadratus. Adhuc septem succedentes numeri cum totidem nitates, hoc cst, . quartum imparem addant, iam similiter aggregatum, hoc est, septimus huius multitudinis, erit quadratus quartus per dictam is '&sic in infinitum, sicut d monstrandum proponitur.
400쪽
Manifestum est ergo, quia in eadem dispositione numerorum, primus, quartus, nonus, sedecimus,& caeteri segreg - itarum multitudinum secundum impares numeros, postr rimi sunt ipsi radicti ab unitate sumptaria P ordine quadrati.
Si ex numeris ab unitate continuatim dispositis impambus in infinitum, segregetur unitas , & ex sequentibus tres,& inde quinque, & deinceps aliae multitudines seiu per se- , cundum impares successive numeros : tunc si unitas, & diaebe sequetes multitudines singillatim coaceruentur: Unitas & aegregata ipsa singula erunt quadrati quadratorum 1 r dicibus per ordinem ab unitate dispositis in se multiplic tis si storum. Hos quadratos quadratorum nuper quadratos secundos appellauimus.Quod igitur unitas primus imparium sit quadratus quadrati unitatis, constat per se: quandoquidem unitas in se ducta semel atque iterum semper ivnitatem producit. Quod autem tres sequentes cum vnit te coniuncti conficiunt quadratum, constar per I 1 huius: i& quoniam unitas & tres sequentes impares perquatuor aggregationes coficiunt totidem quadratos: iam idcirco vutima eorum congeries erit quartus quadratus, hoc est, 'quadratus quartae radicis. Sed per praecedentem, eiusque corollarium, quarta radix numerus quadratus est igitur talis congeries est quadratus quadrati quarti, hoc est, quadratus secundus binari j. Similiter ostendemus,quod quinque sequotes impares ad talem quadratum secundum appositi,cisci et quadratum non ς radicis : sed nona radix, per praemisiam desii uni corollarium, tertius quadratus erat: igitur talis cmmulus erit quadratus secundus sequens , hoc est, quadrat nouena ij, scilicet quadratus secundus ternarii. Non aliter, si tali quadrato secundo applicentur septe impares sequentes, conflabunt quadratum sedecimae radicis per i s Cumq; radix sedecima, per praemissam & suum corollarium , sit quadratus quartus. Iam tale conflatum erit quadratus secundus sequens, hoc est, quartae radicis , siue quadratus
quarti quadrati, hoc est, sedenari; . Adhuc si huic quadrato secundo accumulentur nouem impares sequentes, comstituetur quadratus secundus sequens, hoc est quintae r dicis , siue quadratus ex a F. in se multiplicato factus. dc sic in infinitum. Quod demonstrandum proponitur. PRO -