장음표시 사용
401쪽
Iisdem suppositis demonstrandum est , quod unitas, ara gregata trium sequentium imparium, quinque sequentium imparium : itemque septem, nouem,& caeterarum sub im- Iaribus per ordinem sequentium multitudinum , lingula lini gnomones , ex quorum continua ad monadem adiectione consti tuuntur seriatim ipsi, de quibus loquimur, quadrati quadratorum. Nam, cuin per praecedentem, huiusna di aggregata monadi successive adiecta conficiant per orditiem ipsos quadratos quadratorum: sequitur, ut ipsa singula aggregata sint gnomones, qui ad monadem continuatim adiecit constituum tales quadratorum quadratos, licui propositio concludit.
Ii lem adhuc suppositis demonstrandum est,quod in ta- dibus algregatis singulis, iplius imparium multitudinis me- dij sunt per ordinem ab unitate sumpti quadrati centrales. Nam tales medii post unitatem impares sunt F.t . 2 s. l.&citeri. Dico igitur, i hi sunt quadrui centrales. Naim per propositionem ioo praemittam, ex ternario primς maltitudinis in medium imparem, scilicet F. fit aggregatum numerorum ipsius multitudinis . sed per praecedentem, tale aggregatum est gnomon. Similiter in quinario secundae multitudinis s. in I s. facit aggregatum totius multitudinis, per i oo & per praemissam, tale aggregatum est gnomon sequens. Item in septenario sequentis multitudinis T. in is .medium producit aggregatum ipsi' multitudinis per 'Ioo' hoc est, gnomonem quentem per praemissam. Adhuci in novenario sequentis multit ad in is 9.in i. medium producit congeriem iptius multitudinis per too', hoc est, gia monem qui sequitur, per praemillam:& sic deinceps in infinitum. Verum, per 8 9 huius, tales impares per ordine mul-' ti plicati an quaaratos centrales sibi collaterales producunt gnomones eosdem, qui scilicet quadratos quadratorum co-lstituunt. Necesse est ergo,ut talus medij multitudinum sini gularum impares sint quadrati centrales : quemadmodum
402쪽
o deinceps similiter pro reliquis.
Omnis tubus,sive octiletius centralis cum impari collater Ii coniunctus,aequivalet duplo tetrabedri centralis. Cum enim numerus basum octahedri ad numerum basium tetrahedri. st duplus : itemque numerus laterum illius ad numerum laterum huius duplus. iam impar appositus facit, ut unitas ' centralis cum semidiametris octa bearis sint s additione si-αὶ duplum unitatis centralis & semidiametrorum tetra- hedri. Sunt enim semidiametri octa hedri sex,& semidiam ui tetrahedri quatuor Et idcirco oportet adij cere ad summam octahedri duas semidiametros, hoc est, parem collat ratem, & unitatem , ad duplicandam unitatem centralem: quae cum pari facit imparum collateralem . Constat igitur propositum. PRO Posi TIo Io6 ει aggregato duarum proximarum radicum in aggregatum quadratorum ex eis multiplicato,producitur numerus qui cum ipis radicum aggregato coniunctus scit duplum aggregati cub rum earundem Exempli gratia 2.δc s. sunt duae proximae radices, quarum congeries I .quadrati autem 4.& s. cubi v ro 8. 27.quadratorum cumulus I 3. cuborum vero 3 I. Dico igitur,quod id, quod fit ex s in I s. scilicet os . coniunctum cum s. facit duplum ipsius 3 1. Exponatur unitas cum radicibus x.& 3 . & quadrati A.& 9. cum medio proportionali 6. Itemque cubi octo & 27. cum duobus medijs proportionalibus i 1.& I8. in quibus propter proportionem numerorum,quoniam ex 2.in .fit 8. & o 3 in .fit Ιχ.idcirco ex aggregato a.& . in . fit aggregatum ipsorum 8 ex Ita Non aliter ostendam quod ex dicto a. & 3. aggregato in s.fit ipsorum i 8. dc 17. aggregatum, sicut in 8 9' demonstrauimus. Unde ex aggregato ipsorum 2. &.3. in aggregato ipsorum . & 9. noc est, ex F. in I 3. fiet aggregatum ipsorum quatuor numerorum 8. I 2. I 8. 27. Demonstra
dum est igitur, quod aggregatum talium quatuor numer rum. cum aggregato radicum, scilicet cum s. sicit duplum aggregati ipsorum 8.& 27. hoc est, quod o s. cu s. est dupluipsius 3 s. liue qd aggregatu ipsorum i 8.& i 2.cu s.conivnctum,cstςquale aggregato ipso δι 8.dc 17. Quod facile demostratur: Na i 2.superat 8.in . At ipse i 8auperatur 1 27. in 0.Tanto igitur aggregatum ipse θι 18.& i x. superatur ab ag gregato ipsorum S.& 17.quanto y.maior est quis 4.Sed 9 maior
403쪽
maior est quam in aggregato ipsorum a.& 3. hoc est, in s. ergo aggregatum 18. & I a. superatur ab ataregato ipsorum t. de χ7.in s. Quare aggregatum ipsorum I 8. & 12. cum D coniunctum, fit aequale aggregato ipsorrum 8. & 17. Quod suit ostendendum. Similiter pro duabus quibuslibet proximis radicibus argumentando procedam. Sicut proponituta
Omnis cubus centralis cum impari collateras coiuiunctus, conficit duplum aggregati cuborum primi generis collateratis oepraecedentis. Nam numerus, qui fit ex aggregato radicum duarum, scilicet propositi loci,& praeceden iis, hoc est, ex impaeri colla terati in aggregatum quadratorum collateralis,&pr cedentis, hoc est,in quadratum centralem collateralem, est per 3 9 huius, gnomon collateralis in quadratis quadratorum. Et per p9 huius, talis gnomon est cubus centralis. verum ratis numerus cum aggregato radicum collateralis& praecedentis, hoc est, cum impari collaterali coniunctiis. essicit per praemissam, duplum aggregati cuborum collat ratis & pnecedentis, hoc est, cuborum ipsarum radicum Igutur cubus centralis cum impari collaterali coniunctus, facit
ipsum tale cuborum duplum : quod est propositum.
Omnis cubus primi generis,cum praecedenti cubo coniunctus, conficit collateralem tetrahedrum centralem. Nam , per Ios praemissam, cubus centralis cum impari collaterali coniunctus, conflat duplum tetrahedri centralis. Et per praecedentem , idem cubus centralis cum impari collaterali coniunctiis,efficit duplum aggregatum cuborum collateralis & pretcedentis. Igitur tale cuborum duplum, quum est duplo tetrahedri. Et perinde cuborum aggregatum aequale erit ipsi tetrahedro centrali: quod est propositum.
Omn s tetrahedrus centralis potest esse cubus centralis tertii generis,hoc est cubus mixtus, compositus scilicet ex cubis primi generis collaterali O praecedenti. Vocamus autem huiusmodi cubum mixtum: quoniam ex mixtura duorum ca-borum primi generis compaginatar: sicut & quadratus centralis conficitur ex combinatione duorum primi genetis quadratorum , scilicet collateralis & praecedentis. Cum igitur, per praemisiam , tetrahedrus conitet ex collaterali de praecedenti primi generis, cubis : & ex eisdem cubis constet cubus
404쪽
Obus mixtus colla letalis, per suam dissinitioncm iam sarit constat Propositum.
uis ico abedrus eum quadrustis imparis cotiteratis eo iunctus, conficit quincuplum'collateralis pyramidis centralis. Et hoc quoniam numerus basium icosahedri ad numerum basium pyramidis centralis, scilicet 1 o. ad ι. quincuplus est. Item numerus laterum linearium illius ad numerum Iaterum linearium huius, scilicet 3o ad 6. quincuplus est, de ideo aggregatum pyramidum triangularium componentiuicosahedrum ad aggregatum pyramidum triangularium coponentium tetrahedrum centralem quincuplum est, quippe quae sequuntur numerum basium. Et similiter aggregatum triangulorum ad aggregatum triangulorum quincuplum , ut qui sequuntur numerum laterum. Adilatar in-tur unitati cetrali ipsius icosa hedri quaternarius:& sic quistnarius erit quincuplus ad unitatem centralem pyramidis, seu tetrahedri centralis. Cumque semidiametri icosahedrisint ii . de semidiametri tetrahedii sints iuxta numerum scilicet angulorum solidorum :'atque semidiametri ix. lint totidem radices collaterales ; oportebit i 1.radicibus addore 3. radices collaterales, δc perinde quadruplum paris numeri collatera lis squando scilicet, radix duplicata conficit parem ut aggregatum semidiametrorum in icosahedro existat quincuplum aggregati semidiametrorum tetrahedri: Sed quadruplum paris numeri collateralis e quoniam scilicet par cum unitate facit imparem collateralem .Igitur quadruplum imparis collateralis appositus i Ahedro,sici totunia, quae concurrunt ad structiiram ipsius icosahedri qui cupla eorum, quae componunt tetrahedrum, singula sing Iorum , & perinde totam nameram totius quincuplum
405쪽
Von fit ex quovis numero in quotlibet numeros, aequale est ei, quod fit ex illo in aggre natum ex his. Ustenditui in decima sexta, noni Elementorum, quo ad numeros : & in prima quo ad lineas.
Si aliquis numerus duos singulos multiplicet: producta erunt multiplicatis proportionalia. Ostenclitur in I 8 septime quo ad numeros, & in V sexti, quo ad lineas. P Ropos ITI 3'. si numeros duos unitate distantes aliquis multiplicet: multiplicans erit differentia productorum. Vis ipsos be. quorum c. Vnitate maior,multiplicet ipse d. numerus & A-ciat, ipsos g h. hoc est, d. multiplicans b. facit g. at d. multiplicans c. faciat h. tunc dico, quod h. excedit ipsum g. in gipso d. Patet, quoniam ex disse.multiplicationis z. continet Sipsum d. totiens, quot unitates sunt in b. atque n. ipsum d. toties, quot unitates sunt in c. igitur lacontinebit ipsum d. semel pluries,quam g.continet eundem. hoc est, h. excedet
ipsum g. in ipso d. Quod est propositum.
Existentibus quatuor numeris proportionalibus e quod . fit ex primo in ultimum, aequale erit et,quod fit ex reliquis. Ostenditur in io' septimi, quo ad numeros : & in i sexti quo ad lineas. P Ropos ITIO 1 . His praelibatis, ponatur Unitas a. quilibet autem num rus b. ipse autem c. Vnitate maior quam b. Deinde b. in se satiat d. b. in c. faciat e. & c. in se siciat f Post haec b. in d. faciat g. Item b. in c. faciat h. Adhuc b. in f saciat h. Domum c. in s. saciat l. tandem b. in g. faciat m. Item b. in h. faciat n. Necnon b. in h. faciat o. Sic b. in l. faciat p. Deniaque c. in L saciat q. Quibus dispositis. P α ον -
406쪽
Ipse d. erit quadratus ipsius b. Et ipse s. quadratis ipsus c. Irem e. parte altera longior, sue supplementum in quadrato ipsius b c. Adhuc ipse g. erit cubus ipsius b. ipse autem l. cubus ipsius c. Ipsi quoque ii h. medi) proporti nates, supplemcnta ui cubo ipsius b c. Denique ipse m.q-dratus secundus ipsus b. hoc est quadratus ipsius d.Ipse a rem q.quadratus sccundus ipsus c. hoc est quadratus ipsius 'f. ipsque n o p. medij proportionales ad integrandum, vepatebit,quadratum secundum ipsius b c. hoc est, quadratucius quadrati, quem constitutat quadrati iis cum duplo ipsus e. Haec omnia constant ex dimnitionibus ipsorum quacratorum, cuborum,& supplementorum, sed quadrata primum &secundum, & cubus ipsus b c. demonstrabuntur. . PRO post Tio 7 Post unitatem duo numeri b c. sunt termini proporti nis superparticularis. Tamque tres numeri des. sequentis ordinis, quam quatuor g h k l. penultimi: quamq; quinquem no p q. postremi, sunt continue proportionales in dicta duduin proportione. Quoniam scilicet b multiplicans s gulos b c. facit singulos d e.Ideo per secundam praemissaria, erit sicut b. ad c. sic d. ad e. Item quoniam c. multiplicans sngulos b c. facit singulos e s ideo p eade, sicut b. ad c. sice. ad s.Quare d e s.sunt cotinue proportionales in proportionesorum b c. Similiter & per eandem, ostcndemus, quod tam g h kl quam ipsi m n o p q. sunt in eadem proportione ipsorum b c. continue proportionalcs. Quod est propositum.
Item sicut ipsi a b d g m. sunt continue protortionales: ita di ipsi e e h n. nec non ipsi fh o. Atque ipsi l r. sunt in ea dora proportione continua proportionales. Adnuc, sicut ips ac si q. sunt continue proportionales; ita tam ipsit, e k p. qu m ipsi dii o. quamq; g n. sunt in eadem continua proportione proportionalcs. Haec Cmnia patent per pret cedentcna , S. per pei mutatam proportionalitatem. Pno post TIO 9'. Ite a eo.sunt in proportione continua sint b h. R caeteri ad aequid istantiam dc scendentcs. Similiter m h f. sunt in proportione continua, sic ge. &caeteri condesccndcntes.
Domum ii si q k d. sunt in pi oportione continua, in quas b.
407쪽
sb. caeterique correlativi. Constit ex ccmpositione aequalium proportionum,ex quibus patet conditio S proprietas buiulce descriptionis numeroria, non ta ad necessitate demostrationum , et ad pleniorem silppostionis intelligentiam .
Sicut unitas es d erentia duorum sequentium b c. numerorum: ita ipsi duo b c. sint disserentia trium sequentium des. Et hi tres differentia quatuor sequentrum g bhl. e 1sque bidemum quatuor disserentia quinque m nop q. postremum per ordinem sumptae. Patet hoc totum per tertiam praemillarum, quoties opus est, adductam.
Omniis impar praecedenti quadrato appositus, opstituit seque rem quadratum ,. Patet: na in proposita descriptione,ipsorub c. semper unus est impar, de reliquus par sibi collateralis. Quare totus b c. impar erit. Sed per praecedentem, b c sunt disserentiae ipsorum d es igitur b c. impar adiectiis ipsi d. quadrato, ficit ipsum squadratu sequente: qd est bppositu.
Numeri quadrati df. ex ipsis b cisiime et nitate, siue quocunq; numero disserentibus, a cum duplo ipsius e. medV proportionalis, constant quadratum ex toto b c. fictu. Haec in i 6 .noni per numeros,& in V secundi Elementorum per lineas dena onstratur. Demonstrabitur & hic hoc modo. Ipse b. in bc. singulos, per e praemillarum, facit ipsos d e. singulos.Item ipse c. in b c. singulos facit ipsos es singulos: Igitur, per primam praemissarum, totus b c. in totum b c. faciet aggrega- in m ex d e e f. hoc est, quadratum,quod ex b c.aequabit congeriem ipsoru d f. duplique ipsius αQuod fuit demostradu.. PROPOSITIO i ι - . Duo quadrati P oximi cum media parte altera Diore coniuncti, conficiunt numerum hexagonum aequian da . Haec est 3i' primi horum Arithmeticorum.
: Hinc se itur pulcherrimu comilariti, videlicet, Hexagonuaestangulii cu parte altera longiore colhaterali coitinctu, consumat quadratum .imparis collatetalis: Naper antepraemisis m,totii d e f. qd per praemisiam est hexagonu quiangulu) in ipso e. qui est parte altera longion conflat quadratum totius b c. imparis collateralis.Quod sequitur supponendo. ipsorum b c. dis rentiam esse unitatem. P R o P O
408쪽
Duo cubi partiam cum triplita mediorum proportionalium ecniuncti conficiunt cultim totius. Hoc est, ipsolum bc. siue unitate,sue quocunq; numero differentiu cubi qui stant ipsi g l. cu triplis ipsoru g k medior u proportionalita coniuncti, pei fici ut cubu totius b c. quod in a I secundi horu arithmeticorusuit ostensum hic in secilius ostedetur, sic: Per sinta praemissaru, ipse d. in singulos b c. facit singulos g h.Item duplum ipsius e. in sinpulos b c. facit l, h. atque kh. hoc est, duplum ipsorum nk. Adhuc f. in sinsulos bc. sacit ipsos k l. singulos Igitur,per prima praemisiarum , ipse b c. cinctus in aggeratu ex d s. duploq; ipsius e. qd per i 2 pro millaru ,est quadratu ipsus b c.ὶ Hoc est b c. radix ducta in suu quadratu, producet aggregatu ex ipsisg l. triploq; ips hhh b. ct triplo ipsius h. radix aut in quadratum producit suum I s kkk cubu Ergo tale aggregatum ex gl. triploque ipsorum It Hest cubus ipsius b c. numeri. Quod fuit demonstrandum.
Duplum ipsius e. cum Oitate, coficit aggrega tu ipsorum d hoe es,duplum numeri parte alterato loris, cum unitate ccxn stat aggregatum collateralis o precedentis quadratorum Pater, quoniam si di fierentiae ipsorum d e. & ipsorum e essent aequatra , tunc duplus ipsius e. esset aequalis aggregat, ipsorum d s. Sed csim differentia ipsorum d f. st unitate 4 maior qui in differentia ipsorum d e. illa, scilicet c.& haec b. Per 3' huius, idcirco fit ut aggregatum ipsorum d svilitate luperet duplum ipsus e. sicut proponitur.
atum imorum b c. est excessus,quo aget rotatum Us rim g L. maius est aggregato ipsorum h Patet sic. Si differen tia ipsorum g h. esset aequalis differentiae ipsorum k l. Tune ggregatum ipsoru g Lenet aequale aggregato ipsoru li P. Sed
409쪽
per io' prae miliarum, est id, quo f. superat ipse aggregatum ipsorum gl.rmius est aggregato ipsorum it h. in aggregato ipsorum be. Quod suit demonstrandum.
Ex qggregato ipsorum b c.in ipsum e.producitur aggregatum ipsoru bh. Patet: nam per s*rtamis strum, b. in e. sicit h. Ite-queb. in s. sacit h. Sed nec sicut b. ad c. sice. ad s. Igitur per ipse c. in e. faciet h. Quare per primam, totum cc. ine. facit totum h h. Quod est propositum.
. Ex aggregato ipsorum b c.in aurexatum ipsorum 4 e. prodacitur aggregatum ipsorumgi. Nam cum,per praecedentem, ex amregato ipsorum b c. in ipsum e. fiat aggregatum ipsorumh k. Iam ex b c. in a e. qui ipsum e. unitate excedit producetur a gregatum ex h h. & b c. Sed tale aggregatum , per ante praemisiam, est aequale aggregato ipsorum g l. Igitur Mo b c. in a e. producetur totum g l. Quod est propositum.
Ex aggregato ipsorum b c. in aggregatum ipso bipsorum d producitur aggregatum ipsorum Ibhl. Nam cum per ante praemissam ex b c. in α fiat Ii k. de per praecedentem, ex b c. in a e. fiat g l .iam, per primam praemissarum, ex b c. in agere fatum ex duplo ipsius e. de ex a. producetur totum g h k l. ed per I 6.duplum ipsius e. cum a. unitate, conflat aggregatum ipsorum d sigitur ex bc. in d s. producetur totum g h E l. Quod fuit ostendendum.
Ex aggregato radicum unitate distant tu, in auregatum qum dratorincipsarum radicum, producitur disserentia fecuviorum quadratorum . Haec est, 89' primi horum arithmeticorum: tamen' hic breuius demonstratur. Nam com bc. sint radices unitate distantes, quae semper saciunt impare colla tersem
ipsius L quadrati, que'.Proxime praecedit d. quadratus constat ψ hic id ipsum propianitor demonstradu, i in diista 89'. Itaq; cu per i o praemissaru asgregatu ipsorum g h k l. sit differentia ipsor; in m q. qui sunt secundi qiodrati di- istarum. radicum, hoc est, quadrata ipsorum d f quadrato--m: atque per praecedentem ea toto b c.in totum d f. pro- ducatur
410쪽
ducatur totum g h h l. ' insisto
ralis autem secartilarum Qui dratorum disserentia dicitiir Gnomo secundorum quadratorum :& idem est Octahedrus centralis, Idem cubus centralis: Ide quoq; Pyramis magula centralis locorum imparili, ut satis ost sum est in primo horum arithmeticora PRO Post Tio 22 .
. Pregatum ex vi q. ex quadruplo ipsorum n p. ex ipsius o. sex plo,s secundus quadratus totius bc. Haec est conciu so dictaru Ppositionii, in qua possum' nobis laude tota VC. - Iiliti.ooo. dicare, necubi hactcn' neq; apud Graecos, neq; apud Lati- -- ooo .prip. Π0 φdςm Mitrata .itaq; qd de ipsus b c. q*adrato fuit oste ori. sum in i 2 de cubo aut ciusdem praemi statu id ipsum de seclido eiusde b c. quadrato demon liret haec ' in qua toti' huius repastinationis gloria consistit. Sive igit ut ipsorub citra sit unitas, i ue alius quicunqi numeri radiaec demost . tio locu habet.Itaq; adduehit p ' & uel praemii laru , liquet Q ex b c. toto in ipsum g. fit torti m n. Ite is ex b c. toto in li . fit tot u n o. Ite ex b c. toto in k. fit totu o p. ite ex b c. toto ii l. fit tot u p q. Hinc sequitur,vi,' ia dictu est, ob c. toto ing. fiat in n.& ex b c. in triplu ipsius h. fiat triplu ipso M n o.& ex b c. in triplu ircinis h. sat tripla ipso1μ o p. & ex b c.in L fiat tot u p q. Igitur per p praemi ilaga ex ipso b c. in agg e-gatum ex g l. triploq; ipso ν li k. quod aggregatum per Is praemissa in est cilli' ipsius b ci produces aggregatu ex m 'quadruplo ipsoru n p. atq; sexcupio ipsius o. Sed ex b c..ux. suu cubu producifccc quadratus ipsius S c. Ergo talis .
a quadratus ipsi h c. erat coieries ex m q. quadruplo ii': monstrandiini fuit.