장음표시 사용
411쪽
,Adhue dico quod estquadratum ipsiuis e Paret: nam Ier nonam a e O.sint continuc proporrionales. Cumque isto unitas, erit per octauam noni Elementorum, ni suad tu de per dissili. eius radix:e. quod est propositum. Vel siet quoniam per septimam ii d Cf. siint contiee. proporti nates : & per octauam, ipsi b e si .sunt continue proportionale. iam per vigesimam septimi b. in h. ficiet quadratum ipsius e. sicut d. in f Sed per quintam harum b. in h. facit o. igitur o. est quadratum ipsius e. Quod c si propositum.
Item dico,qu Iam nil l .sut th in k pi ducit cubum ipsus e. Patet sic: ex e. in o. fa tr. eritque r. cubus ipsus e. rer dissim. mon 'Iextrae missam. st opsus e. Sed, rei octauam si artim scute. a i s. sic Φ. ad O. atque per Io semitat. Eod fit x e in b. idem ex s. in h. igitur ex h: in Efet r. sumquemer eandem, quod ex h. in h. idem sat ex nini. quoniam scili perter septimam harum s. ad h. sicut h.
VROPρ si TisItem dico, quὀdex secundo quadrato in secundum qu dratum producitur, secundus. Per. sextam praemissarum m q. sunt secundi quadrati ipsorum 6 c. Ostendendum est igitur, quod ex m. in q. producitur secundus quadratus, sic per septimam harum & a quam proportionalitatem , ipsim o '. sunt continue proportionales:quare per Io septimi, quod fit ex m. in q. est id, quod fit ex o. in se. Sed, per ant prsmissam, O. quadratus est: ergo quod sit ex o. in se, est secundus quadratus ; quare quadratus secundus est, qui fit ex m. in q. & hoc erat demonstrandum.
COROLLARIUM. Manifestum est igitur, quῖd sicut ex ductu ipsarum b c. B b radicum
412쪽
υ. 1-3 --ε radicum propositarum sue unitate sue quo vis num T. 4-s-36 ro distantium producitur e. i ita ci ductu ipsorum .i L N.8-17-1i6 quadratorum fit ipse o. quadratus ipsus e. atque ex du- 'm'16-ῖi 11 os ipse z. orbus ipsus e i Et similitare ductu m q. duorumi quadratorum fit secundus quadra tu ipsius e. qui videlicet si ex o. in se; qui fit s. Quod etiam constitit per corollarium undecimae secundi horum Arit
ii 1 MAURO LUCI FINIS. Gi , in al
completus dMessans in freto Si lo in aedibus j
Authoris iuxta 6aenobium Carmelitanorum, ilia horum noctissecundam diei Dominici, qui fuit ostritu decimus octauus, se Iunctis Pa aes sum. 1 - Π
413쪽
. Arithnuticorurria Liber Secundus. α
z I O NI AM Hrithmetica in 'rumentum est omnis se putationis, ω numera sint termini , quibus quaelibet magnitudo mgnificatur , non dubium est , quin ster numeros. Seri possit omnis, magnitu iums -- cuius . His mera Geometria comprehendat omnium quam triatum I pecies, metrilicet liveau , superficies , solida sist tera continua, qMe ad haec redigi possunt f in tempora, inpondera kduplicem inique praxim habebiti metam,quae fit lineando , alteram , ροα supputaui quarum : haec asiata tuisquam a funte Heriun-: uia Ararie ianititur, Sicut emis tam theoremata , qIam problemata 'r tbeoria demonstrantisr, sist flusutur s ita max siue per liueati nem siue per calculum ad praxim rediguntur. Nam in- tede tu praemeditata lineamus : m lineata. calculamus. Et quamuis lineator ae riptionem oculo reprae tet , se mentali L eculatione punctum geometricum consequatur; tamen calculator numeris etiam Alsum consequitur,
414쪽
distinctio quidem vocessaria est , cum per numeros irrationalis , aut ignotae magnitudinis terminum seu limitem magis ac magis propinquantes vestigamus . Sicuti cum exempli gratia ,proposita circuli diametro , latus trianguli aequilateri, aut qua rati in eo Aescripti,metiriper ea empartes in quibus diameter supponitur , aut cum planetae cuiuspiam diurnum motum metiri iubem Daque licet de theoria humerorum , magnitudinum plerique graues
dent; nemo tamen hactenus regulo practi cas elementorum , additionis ,subtractionis , multiplicationis , diuisionis , radicum extractionis , progressionum , posnsionum in dimensionum stis dem narauit. 1 audenim cuiuis peruium ea . ante oculos ponere quemadmodum praxis quaelibet talis ὰ theoria deducatur , ω nonnulli Hi um ausi,rem obsecuriorem fecere , sicut is, qui algoris intim demonHratum edidit. Nos itaque , quatenus sese mires nostrae extemiunt , aut quantum calamo dicta tingenium, tentabimus aliquid super hoc negocio proferre, dum otiumst; statur. Itaque, ατ ratio psit , di mitioni
bus praemissis , rem aggrediemur , seriatim singula d
415쪽
LIBRI PRIMI, PARS II. 8sDIFFINITIONES.
Posita ergo quantitas est, quς ad libitum ponitur ad
communem citi silcm generis quantitatum mentitari:&quae ab unitate denominatur. Sicut unitas est conam unis num
rorum dimensio. Quando igitur multiplex eli ad positam,sgnificabitur eo numero, secundum quem ipsa multiplex .est ipsius positae. ando veloquantitas, corin et partem vel . partes positae, lignificabitur duobus muneris,scilicet denominatore & numeratore parsis ivel partium. Vnde quantiatas significata ad positam habet eam ration zm, quam mamerus denominator, ad numeratorem. Quare, si tales numeri fuerunt aequales, quantitas significata crit luc aequalis positae: minor aut, cium maior sumi denominator: maior ver cam minor.Erit utique significata quantitas ad positam, aut aequalis,aut multiplex, aut superpar licia larisi aut superpa tiens, aut multiplex suser particularis, aut denique multiplex superpartiens , quando maior fuerit' signi ficata, quam posita. Quod si posita si maior : tunc talis erit posita ad significatam.Duae quoque quantitates, quarum denomina i res eandem proportionem habebunt ad numeratores,erunt ad inuicem ςquales Suoniam scilicet eandem rationem habent ad positam. Cuius vero denominator maiorem rationem haSebit ad numeratorem, maior erit. Quantitas cum quantitate coniungi dici zur, cum sumitur earum aggregatum. Quantitas a quantitate subtrahi dicitur, cum sumitur maioris super minorem excessiis. Quantitas quantitatem multiplicare dicitur, cum sumitur quantitas, quae ad mul- tiplicatam eam habet rationem, quam=multiplicans ad positam: Et sumpta sic quantitas,productiim vocatur. Unde, quando multiplicans maior fuerit quam posta, & pr ductum maius erit multiplicante: & quando minor, minus : & quando aequalis, quale. Quantitas in quantitatem partiri dicitur, cum sumitur quantitas,ad quam diuisaeam habet rationem, quam diuidens ad positam. Et sumpta sequantitas Vocatur proueniens, siue quotiens. Vnde sidia uidens maior fuerit, quam posita, & diuisa maior erit quo- iente : di si minor, minor; & si aequalis, aequalis. Quadratum alicuius quantitatis est productum eius in se ipsim multiplicatae : & ipsa tunc radix vocatur. Cubus autem est is, qui fit ex multiplicatione radicis in quadratum. Et
416쪽
suadratus secundus,sui fit ex quadrato primo in se ipsum,
sue ex radice iis cubum. Quo fit, Vt rosta quantatas, radix, quadratum, cubus, de quadratum secundum, ni conisnue proportionalia : scin perque crescentia , s radix sit maior, quam posita. Dccrescentia vero, si minor. Quantitas ni gnitudine rationalis est, quς posita: commensurabilis est. Quantitas potentia tantum rationalis est, cuius quadratum duntaxat positae commensurabile est. Qoantitas cubo tam tum rationalis est, cuius cubus solum rositae commensu tabilis est. de qua nihil Euclides. Quantitas quadrato secundo tantdm ratiCnalis est , cuius quadratum secum dum duntaxat positae commensurabile est: quae meditatis ruantitas vocatur. Bin omium est bimembris quantitas exuabus quantitatibus potentia tantum inuicem commensurabilibus composita. Excessus autem maioris membri si pra minus, Apo me, sue recisum, vel residuum vocabitur.
Quidquid de Numerorum, Linearum, et solidorum ductu ratione,proportione O Symmetria, atque similitudine ratiocina. mur , idem de quolibet quantitatis genere dcmoxnrare atque concladere posumus. Hoc enim ferassiimptis ad demonstrandum dissinitionibus, ac suppositis nostris. Exempli gratia, si duorum numerorum uterque multiplicet reliquum, producti sunt m uales, quae est I7' septimi Eleme
torv. Igitur eis duarum quantitatum utraque multiplicet alteram, producta erunt aequalia. Quod sic ostendam .Qualitas a. multiplicans quantitatem b. producat quantitatem c. Item quantitas b. multiplicans quantitatem a.saciat qualitatem d. Aio, qudd quantitates c d. sunt inuicem aequa les. Cum enim ex dissinitione multiplicationis c. producta ad b. multiplicatam sit scut a. multiplicani ad positam, erit & permutatim c. ad a. sicut b. ad positam. Sed rursus ex distinition. multiplicationis , sicut b. multiplicans ad postam, scd. producta ad a. multiplicatam. Igitur s-cut d. ad a. sic c. ad a.& perinde, per nonam quinti, cd. qualitates sunt aequales : quod fuit demonstrandum. Exemplum aliud a sequenti propositione sumptum. Si numerus duos multiplicans duos produxerit, producti sunt multiplicatis proportionalcf. Igitur S si quantitas duas quantitates multiplicas, duo Educta fecerit, producta multiplicatis
417쪽
erunt proportionali H quod sic ostendam.Quintitas a. 1ltiplicans ipsari, b. pmducat d. multipli Cans autem c. faciate. Aio , quod sicut est b. ad c. sic est d. ad e. ciam enim per dissinitionem multiplicationis d. prodista ad b. multiplicatam sit sicut a. multiplicans ad positam , nec non e. pro-
ducta ad c. multiplicatam , sit etiam sicut a. multiplicans ad positam; Iam erit sicut e. ad c. sic d. ad b.Ergo & permutatim erit sicut e. ad A ficc.ad b.& conuersim sicut d. ad αsc b. ad c. quod est propositviri Similiter quicquid in septimo, och tuo & nono de numeris ostendit Euclides, idem de quantitatibus in genere ostendere polsumus. Alicubi tamen pro numeris quantitates rationales substituendo, assumptis
diis nitionibus ae suppositis nostris. Quidquid etiam in secundo, sexto dc undecimo Elementorum de ductu & proportione linearum , arearum & solidorum traditur, potest ad quantitates in genete sumptas conuerti. Exempli gratia et prima secundi sic conuertetur e si fuerint duae quantitates, quarum altera in quotlibet segmenta secetur; illud,quod cxcludita alterius in alteram fiet, aequum erit his,quae ex ducta quantitatis indiui in unumquodq; segmentorum diuise pariter acceptis producentur. Quod sic ostendam: sint duae quantitatesa indiuisa & b c d. secta in partes quo tuis, ut Pu
in tres b c d. δ exa in tota b c . . proueniate. nec non X a.
in singulas partes b c d. proueniant singillς fe h. quantitates. Dico tunc, quod e. maalis est ipsis in h. simul sumptis. Nam ex diffin. multiplicationis erit e. ad b c d. sicut a. ad positam. Et similiter sicut a. ad postam, sic Lad b. sic g. a. c. sic h. ad d. Igitur per undecimam quinti,& coniunctam proportionem, totum fg h. ad totum b c d. sicuta. ad positam: fuit autem sicut a. ad postam, sic e. ad b c d. ergo sicut e. ad bcd. sic sgh. ad b c d. Quare per no nam quinti fgh. totum aequale est ipsi e. quod erat dein
monstrandam. Ex qua demonstrabuntur reliquae propositiones secundi successiae, de quantitatibus in genere. quemadmodum Campanus easdem de numeris demonstrauit in decima sexta noni. Quidquid denique decimus Elementorum de linearum & arearum symmetria & d insta aut proportione ratiocinatur, potest totu ad quodlibet g nus quantitatis conuerti. Exempli gracia,illa propositio, Arationalibus longitudine comensurabili b ' rectis lincis factu rectangulum rationale essi ad quantitates in genere sic com
418쪽
a b uertetur quantitatum rationaliu productu rationale est. qd sic ostenditur. Quantitas rationalis a. multiplicans quantita
- te rationalem bisecit c. Dico tunc,quod c.quantitas rationa
lis est nam q: ex a. in se fiat d.& tunc per prima secundi Ele mento hi, ad quantitates redacti erit, sicut a. ad b. sic d. ad cis rela. ipsi b. commensurabilis est per hypothesiniti ergo & d. ipsi c.commensurabilis est, per Io' decimi. Cumq; d. rationalis sit quia quadratum est ipsius a. ia in per divin.& αrationalis erit. Qv d est pro poli tu. Similiter procedere poterimus reliquas decimi Element. propolitiones demonstrando. Et quod nona eiusdem libri de quadratis ostendit, potetiam ad cubos & ad secunda quadrata quantitatum rese ri. sic: A commensurabilibus inuicem quantitatibus producta quadrata, sunt ad inuicem sicut quadrati numeri : de producti cubi, sicut cubi numeri :& producti secunda quadrata, sicut secundi numeri quid rati. Contra,& quantitatestam, quaru quadrata sunt ad inuicem, sicat numeri quadra-r si, quam, quarum cubi sunt ad inuicem, sicut nam eii Cu-a . 3 bi: quimq; quirum Cecanda quid rata sunt ad inuicem, si-
. 6. y cut secundi quadrati; sunt&adinvicein omnino commen-8. ix.is. 27 surabiles. Quod haud dii sicilias ostenditur, qu1m nona ipsar 6. 24.3 6. s . SI quoad quadrata. Hoc, scilicet supposito &ante de nou trato, quod sicut inter duos quadratos numeros semper in te iacet unus numerus medius proportionalis : ita inter ci I bos interiacent duo medii proportionales:& inter secundos ---. quadratos tres medii proportionales. Ab incommensurabialibus vero in licem quantitatibus facti quadrata non sunt ad inuicem, sicut quadrati numeri; neq; cubi, sicut cubi numeri : nec secundi quadrata sicut secundi quadrati numeri. Contra, ε quantitates, tam quarum quadrata non sunt ad inuicem, sicut qhod rati numeri, quim quarum cubi no sunt inuicem, sicut cubi num ri,qa ina tua quarum iecunda quadrata non sunt inuicem, sicut secudi quadrili numeri; sunt intus se in commilitabiles. que dux proportiones sequuntur ex prae misis 1 de tractione contrariorum . Qua ni, ut quot linearum irrationalium species trach intur in decimo Elementotu. totide eius leno inutis, &earunde proprietatu speciei inamataranter quantitates in genere sumatas. Ita, inqua, ut in omni quantitate initia generis existitit oes tales ration ilium species. Per hanc igitur propolitionem omnis. ometrica speculatio redigitur ad numerariam praxim..
419쪽
Omnis quantitatum adestio , subtradi. o , multiplicatio, seu diuisio, vel radicum extractio, sit per eos n meros, a quibus ι se quantitates figursicantur. Hoc est, numerorum . per quos duet vel quotlibet quantitates singulos singulae significantur, aggregatum est numerus lignificans talium quantitatum aggregatum. Et numerorum, per quos duae quantitates inaequites significin tur excessus, est numerus significas ipsaru quantitatu excessam Item numerorum, per quos duet quantitates sign: sic intur, productas Ast numerus, significansearu quintitatu prodacta .ri. Ad iuc diuiso numero in na- metu, prouenitieu elicitur numeras tignificans quantitatem prouenientem ex diuilione quintitatis illius nui in quantitate hui'. Demu ois radix quadrati, vel cubi numeri est nu. merus significans quantitate,quae radix est quantitatis quadratae .vel cubicae per ipsum quadratu vel cubii lignificatae. Psto vos I Tlo 3 Quantitates, quarum dea minatores sunt aequales, siunt adi=issicem, sicut numeratores. Sint duae quantitates a b. cd. quarum denominatores b d. ponantur aequales: numeratores autem sinta c. Aio,quod quantitas a b .ad quantitatem c d .est, licuta. ad c. Nam ratio quantitatis a b. ad quantitatem c l. componitur ex ratione i psius a b. ad politam,& ex ratione positae ad ipsam c d. Numeri aut a. ad numerii c. ratio componitur ex ratione numeri a. ad numerum b.&ex ratione numeri b. vel d. sunt enim aequales per hyppote- sin) ad numerum c. Sed per dissi. termino ru, quantitas a b. ad positam,est sicut numerus a.ad numerii b. quantitas aut posita ad qualitate c d. sicut numerus d. ad numeru c.Igitur per aequa proportione erit quantitas a b. ad quantitate,c d. sicut numerus a. ad numeru c. Quod erat demonstrandum.
Quantitates, quarum numeratores sunt aequales, sunt ad hiulcem sicut denominatores, ordine commutato. Sunto, sticut in praei nilla, quantitates a b. cd. in quibus ponantur aequales ipsi numeratores a c. Aio tunc, P quantitas a b. ad qui titate cd. est sicut numerus d. ad numeru b. Fiat enim ex a. in . . ni inierus e.& ex b. in c. fiat sex b. vero in d. prou niat g. eritque, per primi sexti, sicut a. ad b. sic e. ad g. vi in
prima propositione hui' ostedim': quar cui in dissiniti nibus P. Huit,qualitas e g. qualis erit ipsi a b. Itena erit simia lituis
420쪽
liter sicut c.ad d. sie Lad g.& ideo quantitas sq. aequalis erit similiter quantitati e d. Et qui quantitatum e g. g. idem est denominator, idco per pr cedete, e Iad ipsum Q. erit sicut numerus e.ad numeru LSed e. ad f licui d. ad b.. c. ipsi a: aequalis multiplicans ipsos b d. facit ipsos se. Igitur sicut d .ad b. sic erit quantitas e Dad quantitatem fg. lioc est,quantitas a b. ad quantitatem c. d. Quod suit demonstandum.
PRO Pos ITIO' ' Quantitatum duarum ratio componitur ex rationibus nu- meratorum denominatorum ordine commutato sumptis. Sunto binae quantitates ab . cd. quarum numeratores,a C. denominatores autem bd. numeri. Aio,i ratio quantitatis a b.ad quantitatem c d. componitur ex rationibus duabus, scilicet ex ratione numeri a .ad numersi c.& ex rone numerid.ad numeru b. Ponatur enim his media quantitas escuius numeratone. sit aeqv alis numem c.& denominator faequa, lis numero b.eritque, per antepraena stam, quantitas a b. ad quantitatem e f. sicut numerus a.ad numerae.hoc evicuta.ad c. Et per praecedentem,qua ruitas es ad quantitate e d. sicut numerus d. ad numeru fhoc est, sicut d.ad b. Sed poliata media quantitate e fratio qualitatis a b.ad qui titate c Acoponi tur ex ratione quantitatis a b.ad quantitate e L & ex ratione quantitatis e L ad qui titate c d .Igitur exaequat ea, dem ratio quantitatis a b. ad quantitatem c d .componetur ex ratione numeri a. ad numerum c.&ex ratioue numeri d.. ad numerum b. Quod sati demonstraridum. PRO Pos ITIO 6'.
Duas propositas quantitates coniungere . Si propositae quantitates singulis significentur numeris.Tunc iungitur numeri, per quos propositae quantitates significatur: m adigregatu tale erit numer' significas aggregatu Ppositaru quacitatu quaesitu per secuda huius. Si auto propositet qui citates singulae binis significetur numeris. sint ipsae tuet a b. cd. quarii numeratores qdea c. denominatores aut sui assoleob d. Ducatur b. in c.& fiat e. Ducatur etiam a. in d. & fiat sSitque ipsoru e L aggregatu g. Minde ex b. in. l. fiat lLetitq. quacitas g h. cui' numerator g. lcnomina ror aut h. aggreg in ipsarra a b. cdi quantitatu quaesitu. Cu em b.multiplicas singulos c d faciat singulos eh. erit per prii nam, huius, sicute.add. sice. ad h. Et similiter,qm d. multiplicas singulos a. b. facit siligulos siti eritque acuta. ad b. sic f. ad h. Quare, . rex