장음표시 사용
421쪽
per distinita, quantitas e h.erit arcuatis quantitati c d.& qualitas sti .a qualis quantitati a b. Sed per dissinitionem, scutnumerus e. ad minae h. sic quantitas e h.ad posita: ac sicut numerus f. ad numeru h. sic quantitas sit. ad post m. Igitur rer i quinti Elemen. sicut g.n gregatum ipsoru e f. ad numeru h. sic aggrega tu ex ipsis est sh. quantitatibus, hoc est ex ipsis c d. a b.quantitatibus ad positam. Quare, per dissin. g h. numeri significantductu quantitatu a b. c d .aggregatum,
ita scilicet, ut g.numerus sit numerator,& h.nus denominator. Itaq; g h.quantitas est propositarum a b. c d .quantitatu congerim,quae quarebatnr. Quod si propositarum quantitatum altera tantum binis notetur numeris, tunc reliquae
supplendus est numerus denominator, qui quidem inquantitatibus ad positam multiplicibus semper est unitas, quae integritatem positae in integris significat.
mabus quantitatibus inaequalibus propositis, minorem 2 m tori subtrahere . Si propositae quantitates singulis denotentur numeris manc numerus minor subtrahatura maiori: narelictus numerus erit is,qui significat qualitate,quae super- ..est poli subtractionem minoris quantitatis a maiori, per secundam huius. Si autem propositae quantitares,quarii ait in ab altera subtrahenda est, singulae binis exprimantur numeris. Sint ipse tunc a banaiorin cssim inor: quarii numeratores sinta c.denominatores b d. ita Vt oporteat quantitatec d. subtrahere a quan titare a b. Ducatur a. in d. & fiat e. t in leb. in c.ει fiat fMox iubtrahatur ab e. numerus f&reliquum sit se Ducatur demum b. in d. de fiat h.Eritque quantitas sit. cui' numerator g. denominator h.quq relinquitur. post subtractionem ipsus c aequantitatis,ab ipsa quantitatea b. Cu em l .m scans singulos a b. faciat singulos e h.erit,ps huius, sicuta. b. sic e.ad h.& smiliter,qm b.m scans sngulos e d. cit lingulos fh. ideo sicut c. ad . . sic fad h.Qu reper corollaria dissinitionum, quantitas eh. ipsi a b.&quantitas f h. ipsi cd. aequalis erit. Et quoniam h numerus est eois earum denominator, ideo per elinius, ipse quantiatares et .sh.sunt ad inuice sicut e t numera tores. Quamob- re excessiis numerato R,scilicet g. nus significabit quanti latue h.sh.differentia,hoc est,ipsa g h.quantitas erit talis dria: sicut erat demonstrandu . bd si propositarii quantitatum Altera tan binis notecnumeris: tuc reliquet suppledus est nus
422쪽
denominator: qui quidem in quantitatibus ad positam multiplicibus semper est unitas, integritatem positae ac non diuisae significas. Item notandum tam in praesenti,quam in prς cedenti propositione, qu bd quantitates,quae ad positam multiplices sunt, & insuper particulares , aut superficie tes recligendae sunt ad partes, ita vi sngulae binis significe
tur numeris, atque modus demonstrandi locum habeat.
Hi ne constabit, propositis duabus quantitatibus, utrast maior. Pno post Tio 8 .
Duabus quatitatibus propositis,altera in altera multiplicare. Si propositae quantitates singulis signentur numeris: tunc numeri significantes ipsas quantitates multiplicentur alter in alterum : Nam productum, per secundam liu us, erit numerus fgnificans quantitatem ex propositarum quatitatu multiplicatione productam. Si aut qualitates, quae multiplicandae proponuntur, singulae binis significentur numme. ris: tunc sint ipsae a b. cd.quaru quide numeratores sinta c. denominatores vero b d. Et ducatur numerus a. in numeruc.& proueniate.Ite ducatur numerus b.in numera d.& pr ueniat s Eritq; quantitas e scuius numerator e. lenoni in tor s. productum ex multiplicatione quantitatis a b.in quantitate cd. Na, per quinta nutus libri, ratio quantitatis e fad qualitate cd. coponitur ex rationib' numeri e.ad numeru α& numerid.ad numeru f. Ratio aut quatitatis a b. ad posta coponit ex ratione numeri a.ad Vnitate, & ex ratione unitatis ad numeru b. Sed p disti. multiplicationis numerorii, tacut a. numerus ad Vnitate, sic numerus C. ad numerum c. &scut unitas ad numeru b.sic numerus d.ad numeria f. Igitur, per ςqua proportione,quantitas e f. ad quantitate cd sicut quantitas a b. multiplicans ad posta.Quare, per disti. multiplicationis, quantitas es cst praedictum proueniens ex ductu quantitatis a b. multiplicatis in quantitate cd. multiplicata. quod quaerebatur. Quod si altera propositarii quantiatatu duobus signetur numeris ,reliqua vero uno: tunc huic suppled' est, ut in pnemissis factu est, numerator, hoc cst,unitas: Et si quantitatu altera vel ambae sint multiplices ad positam,& in supcr superparticulares, vel superpartientes ;tunc redigantur ad partcs, ita ut singulae binis con notatae numeris, ta ad praxim, Q ad demonstratione accomodetur. : P R o P o-
423쪽
ruabus quantitatibus proposivis, asteram in alteram partiri. si propositae quantitates singulis significentur numeris, luch dem numeri quilitate ex alvisiona unius in alteram, prorueniente exprimerendita quidem, ut numerus diuisus sit numerator & diuides denominator. Na sicut se habet diuides quantitas ad diuisam, sic se habet posita ad quantitatem ex diuisione proueniente. Vis sit diuidenda quantitas a. diui- . dens vero b. iam dico tunc, quod quantitas a b. est quantitas, quς prouenit ex diuisione ipsius a. in ipsam b. Nam per huius, sicut est numerus b. ad unitatem, sic est quantitas a.
ad quantitatem a b. quandoquidem earum numeratores.snt aequales, quia.sutrobique est numerus a. & denominator quantitatis a. sit unitas et denominator vero quantitatis
a b iit ipsς b. Ergo sicut quantitas b. scilicet diuidens ad positam squae per unitatem significatur) sic quantitas a. scilicet
diuisa ad quantitatem a b. proueniente. Quamobre, per diffdiuisionis; ex diuisione quantitatis a.in quantitatem b. pr uenit qui titas a b. quod fuit demonstrandum. Quod si qualitates, quarum altera in alteram diuidenda est, lingulae binis denotentur numeris : tunc ipse a b. c d .quaru numeratoresa c. denominatores b d. ita ut ipsa a b. sit diuideda in ipsam c d. Ducatur d. in a.& proueniate. Item c. in b. & prou e. et εniat s eritque quantitas e f cuius numerator e. ac denomi- 6 Tot renator sea,quae prouenir ex diuisione ipsius a b .in ipsemc d. Quoniam, per quintam huius, quantitatis a b. ad quantitatem e fratio, mponitur ex ratione numeri a.ad numeru e.
de ex ratione numeri s. ad numerum b. Ac per dissin. multiplicationis in septimo Elementorum, sicut a. numerus ad ipsu in e. sic unitas ad . . Ac sicut f numerus ad ipsum b. sic e.ad unitate. Et ratio quilitatis c d. adpositam 3 o. ponitur ex ratione numeri c. ad unitatem , & ex ratione unitatis ad numerii d. Propterea, per aequi proportione, ratio quatitatis a b. diuisse, ad quantitatem e s proueniente,erit, sicut ra-
tio c d. diuidentis ad positam. Ergo, per distin. liuisionis , ex diuisione quantitatis a b.in quantitatem e d. prouenit qua
titas es quod est propositum. Quod si propositarum
quantitatum altera uno tantdm significetur numero, tunctipplendus est ut denominator per unitatem: ut in praemiusis faciendum praecepimus. Etsi quantitatum altera vel utraque sint multiplices ad positam, aut supe r particulares, seu
424쪽
seu superpartientes , redigantur sin rutae ad suas partes. Imride, ut lingulae per numeratotε α denominat g expreΩ: ad pK dicti pinum de demon thratione accommodentari
omnis additio & omnis subtractio in quantitatibus e gnitis irrationalibus fieri poteli per terminos plus de minus Namq. qualitates, quaru sola quadrata, vel quaru seli cabi vel quaru sola secunda quadrata sunt cognita, ut plurirmini neq; coniungi pollunt, nisi per terminos binomiorum: neq; . altera subtrahi ab altera, nili per terminos residuoruni',ut si iungendae sint diae quantitates r. 3. r. a. statim dica, eam aggregatum ei Ier. 3. p r. 2. Si vero haee ab illa subtrahendast, ilicet respondebo, residuum poli subtractionem eis: r. 3. m. r. 2 QMdndo tamen ad inuicem Comensurabiles saerint, . pollunt ad unu nome, ta in additione, si in subtractione regi, ut post a docebimus.Illud tamen in binomiis, residuislsic prolatis, nunquim non licet comperire quadratum, citius radix sit ipsu in binom ale aggregatum, siue residuum qd p additione, liue subtractione querendu proponitur. Veriana rate quadratu non nisi P duo nomina potest proferri,qn pro positae quantitates fuerint in comensurabilas : Vt postea pet. epta declarabimus, regulas singulas tradentes. PRO Posi Troe o Duas quantitates propositas, quarum Vel quadrata tan-tam, vel cubi tantum, vel secunda quadrata tantam cogntiata supponuntur, inuicem multiplicare. Sunto duae quantitates a b. quarum quadrata c d tantam cognita suppo nuntur: si iubear a. in b. multiplicare, id faciam per quadrata. Sit enim ipsa ruin a b. productum e. quod cum rationa te non sit, existentibus a b. inuicem incomensurabilibus, deperinde non semper possit exprimi numero; quaerendum est per eius quadrasum,quod semper rationale est, lic. Mu lti pirco, per 3 huius,c. in d.& proueniat f. Aso igitur,q, Lest quadratum producti quaesiti, hoc est ipsius e Q od lic ostendo. Qina. multiplicans se ipsam facit c. & multiplicas ipsum b. . facit e.erit ideo, per prima 6' Euclidis, sicut a.ad s.sic c. ad e. Et similiter, b. multiplicans se ipsam,facit d.& multipli cans i psam a .facit e. erit sicut a. ad b. sic inad . . Igitur c e d. sunt continue proportionales. Quare per i H sexti,quod ficexe. in d. scilicet faequu est 'tradram,od ex e.O erat dem strandu.Si cu tingat igitur ipi uin f Productum esse quadratu . in
425쪽
neruiquod tu cft,si a b. sunt in uice comesurabiles: tuc
ipsum e. productium attonale esti qua loquide tunc quadrati nuis radici est. Ponantur nunc ipsarum a b.qumtitatum quadrata secuda tin rationalia, hoc est, cognita P numeros,
sintndi h.ut scilicet g. sit quadratum ipsius c.atq; h sit quadratu ipsius a. Rursum nunc per istec secunda quadrata vestigabo productu ipsi tu a b.sic: Multiplico g. in lupera hui',& proueniat h. Dico itaq; quod h.est quadratu secuduiddelroducti, hoc est,quadratu ipsi' f. qd sic ostendo. Cuosi c. in se iaciat g.& c in d. faciat serit,per primam sex ti sicut c. lid dulcg.ad s. Et similiter,quoniam d.in secit f&4 in sesecit h.ideo sicut c.add. sic sad h. Ergo gs h. sunt continue proportionales. Quare per I 1 sexti, quod fit ex g. in h. stilicet k.est aequum quadrato ipsius s. Quod erat ostendendum. Id idem quoque haud dissicilius ostendemus de te ris, quartis , α quotiescunque quantitatum quadraris in infinitum. Nam quota sunt quadrata quatitatum multiplicantium, productum ex quadratis, totum quadratum erit a quadrato producti multiplicanti u.Quod etia ostedit Capanus in fine decimi Elementov. Hoc itaq; φacto multiplicatur ad inulae quantitates potentia tin ronales,vel mediates prima ,vel cuius q; ordinis. nia nuc ad quantitate cubo ori rationales,hoc est,quatum sollam cubi supponuntur c Diti : qua uis de his nihil Euclides Eunto,ut prius propositet qualitates a b.quaru productu sui te. de quaru quadrata c. . . eorii productu fDucaca. in c.de fiat4. ite b. Hyd. & fiat m. Eruntq; per dissin. l m. cubi quantitatem a b.per quos cubos quaerimus nunc productu ipsa a b. cipsum e. Multiplico igitur l cubu in m. cubu,&Jueniatn. Aio nuc,P em numer' est cub' ipsi' e.hoc est,q, ipsum e. productu quaesitu est radix cubica ipsi'n. sic ostenda. Cu ex a.in b. fiat e. dc ex a. in c. fiat l. erit per primam sexu, sicut b. ad c.sic diad i. Item ni ex d. in b. fiat m. &ex Mn c. sat ferit similiter.sicut Mad e. se iam & m. ad f Quare fiet sicut m. ad s.sic e. ad LEt ideo, per decimaquartam sexti, numerus n. qui fit ex l. in m.aequalis ei, quod fit ex c. in f hoc est cubo ipsus e.qui idelicet fit ex e. in suum quadratum L Per dissin. igitur e. best radix cubicum ipsius n.Quod fuit demon strandum. Hac via multiplicandae sunt quantitates cubo tantam cognixe. Quando autem Una quantitatu multiplicanda ν cognita per seproponitur,alterius aut vel quadratum, vel cubus,
426쪽
vel secundum quadratum tantsim cognitum offertur, tun capien dum est similiter quadratum, vel cubus,vel secii diri quadratum quantitatis per se cognitae,&deinde quadratum in quadratum, siue cubus,in cubum, sue secundum quadr tum in secundum quadratu multiplicandum est sic de 3 inceps pro tertijs,aut quotiescunq; quadratis.Sic & dem5 stratio dudu memorata procedet, & propositu absoluetur.
Vnde manifestum est, quM ex ductu quadratorum , si Oborum, siue secundorum quadratorum, aut sequentium. semper producitur quadratum, siue cubus, sue quadratu secundus producti ex multiplicatione radicum, quartim quadrata, seu cubi, seu secunda, vel sequentia quadrata. Quae omnia, sicut iam demonstrata sunt,ita per Arithmet eam praxim , tam in quantitabus rationalibus, quam eo. tentia, siue cubo, tantόm rationalibus, siue medialibu&,hu duorum pluriumve nominum, supputando comprobatur,. . quemadmodum in Aritiuneticis quae itionibus per exempla tradidimus.
Duabus quantitatibus propositis, quarum quadrata tantam vel cubi tantum, vel secunda quadrata tantum cognita su qponuntur; alteram in alteram partiri. Quoniam, per des finitionem, quando multiplicantur inuicem duae quantiqtates, productum ad multiplicatam est, sicut multiplicans ad politam: Iam si multiplicans nunc sit diuidens ac prodiictum sit diuisum, eris multiplicata, quotiens. Quandoquis dem, per distin . diuisa quantitas ad quotientem est, sicut dioidens ad positum . Itaque diuiso producto in multiplicantem, semper ex diuisione prouenit multi plicitis.Quod cum ita sit, abi oluemus problema, per descriptionem penitus, aesuppositionem praecedentis propositionis. Sint igitur, sicut in praemissa, propositς quantitates' a b. quaru quadrata e . .
eroductum autem e. & ipsarum c d. productum L. Ostes si sum est ergo,quod L est quadratum ipsus e. quod scilicet s- - fit ex ductu c.in d. itur ex diuisione ipsu&sin ipsam cirros ueniet ipsa d. quod est quadratum ipsius b. prouenientis ex diuissone ipsus e. in ipsam a. Sit igitur, exempli gratia, diti idenda quantitas e. diuidens autem a. & Ostcrantur harum quadrata tantum , scilicet f quadratum diuidendae e. atque c. quadratum diuidentis a. diuidam ipsam sit ip- iam c. Ia96
427쪽
c. δc proueniet b d. quadratum, scilicet ipsius b. quotientis rquoniam scilicet ex diuisone producti in multiplicantum, prouenit multiplicata . Item quoniam ex multiplicatione ipsarum gli. quae ser i secunda quadrata ipsarum a b. producitur h. secundum quadratum ipsius e. prodii dii ex ipsis a b. iam similiter si pro diuidenda quantitate e. offeram r secundum eius quadratum f& pro diuidentea.proponatur secundum cius qua fra- tum g. tunc diuidam ipsa in h. in ipsam g. de prouenit h. secundum quadratum ipsius b.quotientis. Nam ex diuisione producti in multiplicantem, prosilit multiplicata. Demum. quoniam ex multiplicatione cuborum i m. qui scilicet sunt cubi ipsarum a b. producitur n. cubus ipsius e. producti primarii : non aliter, si pro quantitate e. 'partienda detur eius cubiis n.&pro diuisone a. ponatur eius cubus i. tunc partiar cubum ipsum n. in ipsum l. & proueniet m. cubus ipsius b.Quotientis.Naaraque productum in multiplicantem diuisum , exhibet multiplicatam. Nec secus faciendum pro tertijs, ac sic luentibus quadraris, quousque processerit curiositas. Quod si diuisor, aut diuidendus numerus ita offerantur, ut alter per se notus sit, alterius vere, tantum potentia vel cubus vel secundum quadratum cognitum proponatur : tunc par dignitas capienda est numeri per se cogniti, ut scilicet, vel quadratum in quadratum , vel cubum in cubum, vel secundum quadratum, in secundum quadratum , vel dignitatem quamuis in parem dignitatem partiaris : sicut in multiplicatione factium est. Sic enim de demonstratio dudum explicata l)cum habet quailio finem. COROLLARIUM.
Ex quibus mani situm est, quod ex diuisione quadrati, in quadratum, siue cubi in cubum, siue secundi quadrati in secundum quadratum , semper prouenit quadratus, seu cubus, seu secundus quadratus illius quotientis, quod ex diuisione radicis in radicem, quarum sunt quadrata, vel cubi, vel secunda quadrata, proueni bat. Quod corollarium sequitur similiter o pr cedentis corollario, sicut propositio ex piopolitione nascebatur, per ipsas multiplicui onis sic diuisionis distinitiones.
Tropc tarnm duarum quant taram per potenti ny cognitas, aut per cubos tant: div datos, congeriem, alit excession veIi are . Sunto duae quantitares ab .. quarum quadrata ci'. cognita sint.Volo earum congeriem pronuncia . Per undecimam huius , multiplico a in b. per nota ipsarum quadrata c d. & proueniat e. Huius . Cc duplum i
428쪽
duplum sit s. Sumo igitur aggre a tum ipsarum c d s. dico enim
quod tale aggregatum est quadratum conscii ei quaesiae. Nam per. secundi Elcmentori tri,aggregatum ex duobus quadratis, d plaq; producti radicu,quarum sunt quadrata,conficiunt quadratum congerici radicum. Item sunto duae quantitates a b.quarum maior b. & earum quadrata sint c d. Volo subtrahere iplam a. ab ipsa b. Per Ii huius multiplico a. in b. pe rearu potentias cd.oc
proiicniat e. Huius duplum si s quod lubtraho ad aggregato Ua7 sarum c d. & residuum sit p. Dico igitur, quod g. in quadratum eius quantitatis, quae relinquitur post subtractioncm ipsius a.ab u ipsa b.Nam per secundi Elementorum, quadratum quacitatis, , qua si subtractio, una cum quadrato subtractae,sumptum aequa - le est quadrato residui una cum duplo eius,quod fit a tota in sub -
tractam. Quam ob rem, si tale duplum subtrahatur ab aggregatog quadratorum totius & subtractae, superest quadratum residui. ia Vbi notandum est, quod quando duae quantitates propositae sunt inuicem commensurabiles, tunc,quoniam it* sunt eiusdem se ex e 3- ciet: de earum tam congeries, quθm mccitus est de eiusdem speciei quantitas. Exempli gratiar: iue propositae quantitates sint po-tcntia tantiis rationales inuicem commensurabiles: tunc earum tam congeries, quam differentia erit quam ias unius nominis potentia tantum rationalis. Si autem propositae quantitates singulae sint unius speciei binomia:& perinde commensurabiles: Iunc carum tam congeri , quam dilicrentia erit eiusdem speciei binomium : Et similiter de reliquis irrationalium speciebus dicendum : Quae omnia & in decimo Elementorum demonstrantur,& calculo praelico comprobantur. Sed regul; in ii ac prosost one assignatae quantitatibus potentia rationalibres tam iam usu veniunt: non de iis, quatum cubi rantum , aut quarum secunda quadrata tantum cognita offeruntur. Nil pro
uniuersis quantitatibus, talia potentia tantum , quam cubo tantum , quamque secundo quadrato Vel quotacunque pote -m regula. tia tantum cognitis, dabitrus hic Vnicani de auream rigulam, quam hic simul triacmus de demonstrabimus. Sit a. magnia rudo posita , quae denominatur ab unitate. bc. duae magnati nes datae. Sit d. quadratum ipsius b. dc e. quadratum ipsius c.Ite fcubus ex bin g. cubus cx c. Et tunc si secctur c in b. di pro- vcniat h. Item e. in ci , proucniat h.Itcm g.itisti proueniat l. eruthin sicut a b dici siciit ipse. ac en ita &jpse a h k l. per distiniationem quadratorum, de cuborum , dc per disinitioncm diuisi nis ccnunue Prc i OHic nalas. Quare rer distinatiCnc in h. radix E. quadratum
429쪽
quadratum & l. cubus talis radix erunt. Quibus cosideratis, si v lim aggregare quantitates bc. per earum quadrata d e. vel per earum cubos fg. ponam m. aequalem aggregatam ipsarum a h.& faciam n. quadratu ipsius m. 5 eiusdem in . cubum O. Mox ducam d. in n.d proueniat P. I telarduca f. in o. Jc proueniat q: Aio tuc, quod p. erit quo iratum totius b c. quodq; q. erit cubus eiusdem b c. totius. Et sic trabeo ta per quadratos, a per cubos a Ne ratu ipsaru b c. Hoc est, habeo ta quadratu; et cui ii talis aggre ati, glialiter in notitia non venit. Atq; ita deinceps fiet per fecunda &I mio lacunq; quadrata: Quod sic osteditur.Cu,per dissi. diuisionis. sit liciu e. ad b. sic lLad a.erit coniunmim totum c b. ad ipsurru b. Dcut rotu litae. ad ipsam a. hoc est, c b. ad ipsum b. sicut in. ad a. Quare per i 1' iuxti Euclid.qd fit ex a. in b c. hoc est, ipsum ag r gatu b c.aequale crit ei, quod fit ex b. in m. Itaqἰ cii cx b. in ira hoc est, ex radice in radicem producatur totu b c. ia, per corollariu undecimae huius, ex d. in n hoc est,ex quadrato in quadratu producetur quadratu totius b c.qd fuit p.& ex fin o. hoc est, ex cubo in cahum, producetur cubus totius b c.quitat q. quod erat demon strandum. Et similiter per eade: omnino, id ipsum ostedetur de se- bcundis quadratis, teris'; dignitatibus magnitudinum . Quod l1i velim subtrahere quantitatem b. de tota b c. per quadrata ea Rrum . . de p. tunc dimita quadrata ipsius b c. scilicet ipsam p. peril quadratu i plius b. scilicet per ipsam d. Et proueniet ex ii demon. lstratis, H fa n. cuius radix quadrata est i A qua subinalma. unita
in ' sita vererit h. Cuius quadratu, scilicet ituam k. suco ijd.qua 'dratu, scilicet ipsius b. subtrahendae:& prouexere. quod ex oua dratu ipsius ciquae luperest post subtractione: ipsus b.1 tota b c siepet quadrata subtractae & eius,a qua sit subtractio, habeo quadratum relictae. Eadem quoq; subtractio fiet per cubos quantitatum scilicet per s& 'sic. Dimida cubit ipsius L c. scilicet min cubum
ipsius o. scilicet n& proueniet ex demonstratis ipsa o. cuius radiccnt,ica cst m. De qua minuo a. Vnitate,& relinquetur h. cisiis cum
hum l. luco in scul, si ipsius bi. subtiabendae:& pro inmiet e. cubus ipsius c. relicte post dictam ac propos tant subtractionei: Et per eandem idipsum in secundis quadratis caeterisque deinceps eu niet. Quae quidem regula, quoniam communis cit uniuersis in infinitimi quantitatum dignitatibus,1 nemine hactenus animaduet la,si demonstrata, merita aurea scit appellanda. .
430쪽
, PRO Posi Tio I ' , ' N Suas propositas quantitates potcntia tantum , vel cabo tantum. vel secundo quadrata tantum rationa es,inlucem commensurabilet inuicem eo uacre : vel alteram ab altera Dbtrahere . Quoniamdu .e quantitates commensurabiles inuicem supponuntur, crant sicut numerus ad numera : sint ergo licat numerus a. ad numes. b rum b. quarum maior b.& liorum numerorum aggregarum sit c.
2 s. f di serentia vero d. ite ipsis rivia a b. quadrati sint e f. cubi g h. qu, iis . si diati secundi h l. Quantitates autem propositae, si potentia tantu621. l. sint rationales, sint earum potentiae seu quadrata in n. Si aurei 3 cubo tantum Ationales , carum cubi sint p q. si tandem quadra to secundo rationales, earum quadrata secunda sint r sIpse ai x tem quantitates sint i x.& quoniam t x. sunt ad inuicem sicut rei Jo. n meri a b.ad inuicem necesse est, ut de in n. ipsis e f. de ipsi p q. ipsis 21 o. q g h. nec non ip li r s. ipsis k l. lint proportionales. Qu 3niam, scia12 Io. l licet quantitatum proportionalium , tam quadrata ad inuicem, . uam cubi ad inuicem , de quam secunda quadrata ad inuicem de einde pares dignitates semper proportionale sunt; propi rea videlicet,quod quadrata duplicant, cubi triplicini,quadrata secunda quadruplicant, & sic deinceps proportionem radicum. Hinc sequitur, quoniam per coniunctim,& euersam proportionem, i cui est c. numer isadd. numerum,aggregatum scilicet a b. ad eo- ' rum disserentiam, sic est aggregatum quantitatum t x. ad earum φ differentiam : idcirco de talium aggregatorum' quadrata, talium disterentium quadratis,& cubi cubis, de ieeuda quadrata secundis, qua ratis proportionalia erant de deinceps sequentia. Vnde sicut
S rum, hoc est, sicut quadrata lingularum quantitatum lx .ad qua dratos singulos numerorum a b. lic erit quadrarum aggregati quatitatam t x. ad quadratum ipsius c. ncc non sie crit quadratum' disi ren tiae quanti latum t x. ad quadratu in ipsius d. id ira que decubis,& de secundis quadratis dicendii. Quoniam igitur quantitates t x. notae sunt per quadrata m n. tantum tunc licu teli m. ad e. sic iit y. numeras ad quadratum ip itis c. Item sic sit E. nu- , c merus ad quadratum ipsius d. Nam ex lim demonstratis y. nam erus erit quadratum ata gati ipsa una lx. & E. numerus erit quadratum disterenti ei plaria in t x. sic notescit per quadrata tam congeries, quam excellus propolior'm quantitatum. Quoniam aurem quantitates t x. cubo tan una sunt rationales: tunc similirer quaeretur earum tam congericS , quam excellus per cubos ;Si demum quadrato secundo tantum ration ales ; tunc talis congeries.& excellus periectanda quadrata notis aOitur. . Co RoL