장음표시 사용
431쪽
Ex quibus ina ni festum est, huiusmodi duarum quantitatum
eam aggregatu m,quam disser. ntia, semper est quantitas Unius nin. minis & utrique rosarum commensurabilis. P RoposiTIO I , .
Duarum quantitatum plurium nominum , aggregatim , aut dis rentiam vecti l M. Quando nomina quantitatum sunt ad inuicem in comensurabilia : tunc congregatio haud aliter fieri potest. quam aggregatis membris per adverbium Plus: nec etiam draal ivr proferri,quam per adverbiu Minus Isicut o tendit Euclides indecimo, tam de binomiis,quani de residuis. Vbi vero fuerint duo
nomina inicem comensurabilia: timc ea, per praecedentem, con
iuncta constant unam quantitatem, S ideo redigenda sunt ad ununomen in additione. Quod si minor a maiori subtrahatur, superest quantitas unius nominis, in subtractione. Semper igitur duo nomina, quae in additu ne, vel subtractione ad unum redigi possunt, redigenda sunt ut qu1m paucissimis nominibus siue aggregarum, siue differentiam proferamus. Et in additione hoc selnperat tedendii, quod nomina per Plus geminata, Plus conficiunt
Per Minus vero notata Minus . tantum inquam, Plus, seu tantum
Minus, quantu comuncta constant. Qu id si nominum alteru per plus,alterii per min' notetur, tunc eoru excelsus adij ciendus, aut subtrahendus erit summae: adi jocndus quide,qn nomen per plus notatu, maius cst , subtrahendus vero, cum maius est reliquum nomen. Vndeli nomina contrari js titulis insignita, fuerint aequalia, tunc nihil conflant: nam quod inde adi j citair , hinc subtrahitur, de ita summa intacta permittetur. In subtractione verb, si nominum Vtrunque per plus notetur, supererit differentia nominuper plus fide notanda, cum illud nomen 1 quo fit subtractio mat' est: per Muius vero inscribenda, cum subtrahenda nomen maius est. Quando aut nomina aequalia,nil restit. Quod si ambo nomina ner minus notata sint, similiter supererit excessus nominum; Verum per Plus notandus, cum maius nominum erat subtrahendum: per minus aute inscribendus, quando reliquum nomen maius fuerit Nam aequalitas eorum rursum nihil residuat. Demum, si nominum alterum per inus , alterum per Minus inscribatur triac eorum aggregatum pro relicto subtractionis subscribendu est eum adverbio Puis, vel Minus, cum quo scilicet notabatur nome, , quo fit subtractio. Quae pnecepta ita sunt in trinialibus scholis trita, & per conceptum animi cognita , ut demonstratione non egeant. Igitur ad reliqua Iranseundum.
432쪽
PRO ost Tio isti antitatem unius nominis in quantitatem duorum aut plurium nominiam multiplicare . Qua n litas. unius nominis sit a. binomianis autem quantitas b c. sub duobus nominibus b. & c prolata. Oportet multiplicare a .in b c. Multiplico per undecimam huius, ruantitatem a. in nomen b. & fiit d. item multiplico , per eanem, a. in nomenc.& fiat emico igitur,quδd quantitas conflata ex nominibus. d Ost productum quoa su ex multiplicatione ipsi a. in ipsam b c Nam , per secundi Elcmentorum primam, qu*fi ut ductu unius quantitatis in parte propositae quantitatis p riter accepta conficiunt illud , quod fit ex dicta quantitate in totam propositam. Itaque de. productum cst ex multiplicatione iesius a.in ipsim b. α factum: quod quaerebaturia
Verum in multiplicationibuς binomiorum acresiduorum, hoetest praenotandum , quod si nomina multiplicanda inscribantur per Plus aut per Minus. utraque, tunc productum ex eorum mutati plicatione faetiim inscribendum erit pe plus. : li. vero alterum nominum permus,al rerum per Minus notetur,. productum per minus notandum erit. Quod itru cile, breui demon stratione a guemus. Sunto du i residua, unum, a b.. b c. Alterum de. e L.
cam enim residua ipsa sint quamitares a ci d s quq restant per a scisonem minorum nominum a maioribus , illud si pronunti tur a b. minus b c. hoc est, quod superest, subtritim quantitate .b e Eq,l 'ς 4qWδΠιit 'rea b, liter enim e prima notu potust, cumisit quan- aE γ 1 b d 4s ri' ix irrationalis, per abscisionem quantitatis. a quantitate sibi tabe. ds ij. inwi Hensurabili saetaini relicta : & sim ditet xl terum sie pro ' Κ sertur do. minus d f. hoc est, quod rclinquitur , dempta qua
titate e f. a quantitate d e. illud inquam, residitum. est quantitasae.. es. Minusiaci sicut dicti m est, relictu Hoc autem residuum quantitas d L. per similem abscisioneris remancns. Quae cum aliter, quam per b c. e L. Min nominum, ex quorum abscisione generantur, hoc est, quorumi excessus sunt, profecit nequeant etiam si alterum in alterum multiplicandum. erit; talis. multiplicatio non, nisi per nominum b. e. εα Min' ' multiplicationem. fieri poterit. . Si igitur residuunt a b. bci multiplicandum est in residuum d e. e L. non aliter multiplicatio fi
b c es Min' - ti potest, quam multiplicando haec nomina singula in illa sineti labia unde fiet quadruelex multiplicatio, prima scilicet a b. -
433쪽
δ e. serenda a b. in e s. Tertia d e. in b e. Quarta b e. In e s. H rum prima, per primam secundi Elementorum Euclidis , con- b cntinet qua tuor multiplicationes se ipsam integran es , scilicet a c. e Iin d s. a c. in es h c. in d f. b e. in e s. Secunda continet duas multiplicationes se ipsam perficientes , scilicet a c. in es. de b c. in es. Tertia item duas, ex quibus ccmponitur, scilicet hc. in d f. bc. in es Quoniam, scilicet pioducta partium integrant productum integrorum. Quarta vero nica cst, scilicet b c. ine s. quoniam fit ex nominibus in diuisis & cum praedictis octo posita facit nouem multiplicationes. Produdum autem quaestum est, quod fit ex multiplicatione a ci in d f. Quod haberi non potest, nisi paractis dictis quatitor multiplicationibus,quae continent nouem ductus. Ex quibus confitendum sit solum illud quod fit ex ac. ind s. neces le est caetera octo producta esse abificiendat quod scri non potest nisi dimidium eorum notetur per plus, ac reliquum dimidium p cr minus; atque ita altarum ait m repensante, sum ma qu sita , quae fit ex ac. ind s. feriuntur in racta. Sia ex dictis caeteris octo productis, ilia prima myltiplicationis , scilicet quς fiunt ex a c. in e f. ex b c. in d s de o b e. ine s. inscribi debent per adverbium Plus, quoniam sunt m bra primae multiplicar onis , quae s. t cx nominibus a b. d e. per idem adueibium notatis Duo aurem prc ducta seclidae multiplicationis,ex a c.in e f. & b c. in e s notanda per adverbium Minus: quoniam sunt membra sccundetr multis licationibus, qu sit .ex nominibus a b. e s. quoi uiri alterum po adire bitam Minus inscribitur. Duo quoque preducia tertiae multiplicationis, ex bcind s. &ex bc. in e s. similiter per adverbium Minus notata iniculiguntur, quoniam tertia multiplicatio quorum membra sunt constat ex nominibus, de. bc. quorum alterum per minus notatur. Octauum igitur productum , quod sit ex b c. in e s. nominibus inscriptis per minus ; necesse est, ut inscribatur per Plus: atque ita sani quatuor producta inscripta per Plus, & totidem producta patia inscripta per Minus et & perinde tantum his minuentibus, quantum illa superadmini, Summa quaesita, quae fit ex a c. in ds intacta permaneat. Constat igitur, quod ex dumi
nominum per adueibium,Minus, notatorum produciturquantitas per adverbium, plus, notanda. Sed illud exemplum satis
esse debet, quM plus in plus multiplicatum , sue minus in mianus, Umnino pmducit plus: quemadmodum assirmatio assi mationis affirmat, & negatio negationis affirmat similiter. Item sicut asiamatio negationis, siue negatio affirmationis negat: Ita
434쪽
siue Plus in Minus, fuc Minus in Plus multiplicatum pro lacit
Ninus . Poto exemplificare regulam & conariobare demonstrationcm per numeros rationalcs, ut sc sngulae ncium multia plicationcs distinctae apparcant: di facilius omnia intelligantur.
Duas propositas quantitates, singulas duorum, aut plurium nomia . num, invicem multiplicare . Proponatur binomium a b. ex dii hus nominibus a. & b. multiplicandum in binomium c d . ex duobus nominibus c.&d. compositum : siue illa sint residua singula binis nominibus expresia, siue alterum B in omium, & alterum residuum. Multiplicetur, per undecimam,& per praeceden-rem , singula unius quantitatis nomina in singula alterius nomia. na, hoc st, c. in a. & fiat e.Item c. in b.& fiat f.Item d. in a.di fiath g. It cm d. in b. S fiat h. scrvatis tamen regulis circa inscriptiones a ducibiorum, Plus, aut Minus, in praecedenti propositione traditis. Nam quantitas compacta ex quatuor nominibus elah. seruatis adverbiorum rei minis, erit, per primam secundi Elcmentorum , productum ex multiplicatiCne totius a b. in totam cd. quantitalcm, proueniens. Illud quoque notando : si nomina huiusmodi possunt ad minorem multitudinc in redigi, redigantur, per i huius: quod fieri potest inter quaelibet bina inuicem co- mensurabilia : Nam per corollarium dictς i talium binorun nominum tam aggregatum, quam differcntia facit quantitatem unius nominis. Non aliter trinomia,aut quadrinomia multiplicabuntur, singula unius quatitatis nomina in singula alterius, pecvndecimam huius,multiplicando : S deinde bina quς ad unum nomen redigi postulat, redigedo. Quς omnia poteris practico exerto experiri.Quod nos in qu stionib' Arithmeticis ab ude fecim'. PRO Posi TIO ISR . Tropc tam quantitatim 'duci hin ahi plarii m nominum, in datam et nius nominis quantitatim partiri. E sto Binomium quoddam si ue Residui ira a b. ex iacminibus duobus a. di b. conscctum: quod diuidendum sit per quantitatim c. Diu:datur per duodecima huius,n incn a. in quantitalcm c. ct proueniat d. item diuidatur no-mcn b. in eadem c. srcutriat c.lam ex re ultiplicaticiaci rhUS C. in . . sat a.& ex nulliasticatione ipsus c. in e. consurget b. Nam diu sor in quoticlcm multiplicatus producit diuitum. Igitur, P primam
435쪽
primam secundi Elementorum, ex ductu c. in totam d e. fit tota ab. Et quoniam productiam diuisum in multiplicantem, exibet' multiplicatam : idcirco tota a b. quod cit productum , diuisa in ipsam a. multiplicantem, exhibebit iplxm d e. multiplicatam.Itaque d e. est quantitas quotions ex diuisione propolita prouenicns. Similiter satiendum est, si diuidenda quantitas sit trinomium, .
aut plurium nominum. Sed memento, si cur in antepraemissa permultiplicatione secimus, ita & in inlisione animaduertere nominiim inscriptiones : Nam nomen inscriptu per adverbium Plus,
si diuidatur per nomen similiter inscriptum : quotiens diuisio- dnissimiliter inscribetur. Si autem diuidatur per nomen adue bio Minus inscriptum , quotiens diuisionas, per Minus inscrib tur. Quoniam scilicet, tam Plus multiplicatum in Plus, quis Minus multiplicatum in Minus, producit Plus, ut in ante prae- milia ostendimus. Nomen autem inscriptum per adverbium, Minus, si diuidatur per nomen similiter notatum, quotiens diuitionis per Plus inscribetur. quod non usu venit, quia diuisor unius nominis semper per plus notatur.) Si autem diuidatur per nomen notatum rer Plus,quotiens inscribetur per Minus. Quoniam scilicet in multiplicationibus tam Plus in minus, quam Minus in Plus multiplicatum, producit Minus. Sicut enim diuisionis demon stratio hi per multiplicationis demonstrationem sita de diuisionis regulae & cautiones ex praeccptis multiplicationis deri-uantur. Quae sunt etiam triuialibus Magi sitis noti itimae,& in quet stionibus nostiis Arithmeticis astatim per exempla traditae.
Propositum duorum aut plurium numinum quantitatem,in datam duorum nominum quantitat m Oddere . Esto quantitas a. dii rum, aut plurium nominum: hanc partiri iubemur per bin mium b c. cuius nomina sunt b c. Capiatur il e. Restatuum e rundcm nominum,ex quibus coponitur b c. hoc cit, ut cor omen,
ipsi b. nomini': α e. t inen ipsi c.nomina aequale sit.Si autem b eb c. diuisor suci it Residuum duorum nominum : tunc capiarur I d e.binomium cor uilcm nominum: Deinde,per i 7 praecedente, multiplicetur qui titas b c.in quantitatem d e. & proueniat qua- flitas f. quae erit qualitas unius nominis, per II vel per ii 7 d cimi Luci. Na binomium in lirum res luti multiplicatu producit qualitate rationale.Ite per i spraemissam multiplicetur a. in d e.
de proiicniat g h. Eritq; per prima sexti Euclid.sicut b c.ad ipsama .sic quantitas f. ad triani gn. Diuidatur itaque, per praccdente, quantitas gli. in ipsam s. S proueniat El. Dico itaque, quod k l. est
436쪽
h l. est quantitas, quae prouenit ex diuisione ipsus a. in ipsam be. . Nam cum g h. diuidatur in f de proueniat L l. iam, per distin . diis uisonis , erit, sicut v k. ad ipset m k l. diuisa scilicit ad quotientem , sic f.diuidens a a positam. Et permutatim sicut g h.ad ipsam L. sc & k l. ad positam. Veram suit g h. ad ipsam L. conue sim s-cut a. ad ipsi ira b c. Ergo de a.ad ipsam bc. sicut k l. ad positara. Et pei mutatim a. diu sa ad ipsam k l. sicut b c. diuidens ad postam. Quare, per dissin. diuis: cnis, kl. quantitas cst, quae prcu . . Dii ex diuisione tofusa. in ipsam bc. quae vcstiganda proron batur . Qudd 1; diuisor i stet trium nominum et operteret gc mianari multis licationem , ut prodi ium tandem proueniat unius nominis: S diuidendam per eundem mul riplicatorcm multiplicari: & deinde productiam per productum diuidendum. P Ropos ITIO 1
Si quant tas quaelibet in duo fgmenta diuidetur; id γοd fit ex
Groliet assumpto segmento in quadratum torius,aquum erit his du a b bus licet, quae rium ex ettraque sectionum in quadratum reliqua, O et quod si ex quacrato σῖmpti sei menri in totam . Sit quantitas ter secundi ques hex, γα, iique in duo diuisa, scilicet in a. & b. Dico, quod '' id, quod fit ex a. in quadratum a b. a quum erit his , scili et ei, quod fit ex a. in quadxatum b. & ei, quod fit cx b. in quadratumo b a. viqvr, quod fit ex quadrato a. in totam a b. Quod sic osten-U. bU b dam. Per quartam secundi Euclidis, quadratum a b. est aequale b his, scilicet quadrato b. de ei qυod flex a. in b. tque quod sit
ex a. in a b. Erpo proprer equam utrobique multiplicationem, quod fita x a .in quadratum a b. aequale erit his, scilicet et , quod fit ex a.In quadratum b. cum eo, quod fit ex a. in productum ex a. in b. atque cum eo, quod fit ex a.in productum ex a. in totam iesitis a b. Sed id, quod si a. in productum ex a. in b. aquum est ei, rescis sint ulla d aqu0dfix quadrato a in b. Illud autem,quod sit in a. in pro-- ' ductium ex a. in totam a b. aquum est ei, quod si ex quadra-λlidum. b bio a. in rotam a b. Sunt enim eadem solida , quandoquidem' sub tribus iisdem lateribus. Igitur & id, quod si ex a. in quadram in D ab tum a b aequum erit his , scilicet ei, quia fit ex a.in quadiatum g . b. & ei, quod fit ex quadrato a. in b. eique quod fit ex quis
'Rio a.in totam a b.Quod fuit demonstrandum.
Si quantitas quael4bct in duo stamenta secetur: Cubus, qu4 ex Dinquum erit his, scilicet duobus cubis sectionum, O triplo eius uod
437쪽
' ex quadrato utriusque in reliquam Sit a b. quantitas, Vtrunq; iin duo diuisa, scilicet in a. & in b. Dico, quod cubus totius a b. Per secundioequalis erit his, scilicet cubo ipsius a. & cubo ipsius b. N triplo .a. . b mi belus, quod fit ex quadrato a. in b. necnon & triplo eius, quod M. 'fit ex quadrato b. in a. Quod iic ostendam. Per quartam secundi -a b diae. Elementorum, quadratus totius a b. est aequum his, scilicet qua- aequis, est b b bdiato ipsius a. quadrato ipsius b. & duplo eius, quod fit exa. in 'μ' - 'κ Q au blb4. b. Ergo,propter aequam utrobique multiplicationem, cubi b- uidi b ab aequalis eri inis, scilicet ei, quod ex a b. in quadratum ipsius a. μ&ei quod ex a b. in quadratum ipsius b. de duplo eius, quod ex a b.in productum ex a. in b. Sed per primam lecundi Elemento- sed per p a. rum, quod fit ex quadrato ipsius a. in a b. aequum est his, scilicet eis quod fit ex quadrato ipsius a. in a. scilicet cubo ipsius a &ei δ Wx i. - - - auod fit ex quadrato ipsius a. in b. Illud autem , quod fit ex qua- Item rato ipsius tacin totam a b. aequum est hix, scilicet ei, quoa fit Cub' b.ω solidu b. b. a ex quadrato ipsius b. in b. scilicet cubo ipsius b. &ei, quod fit ex aeqli uti obdo.b. b.a b.
quadrato ipsius b. in a. Iterruper primam secundi Elementorum, e . .' 'l' quod fit ex producto iplarum a b. in totu a b. squu est ius scilicet a.b. atq; b.b.aei quod fit ex producto ipsa M a b in a. & ei, quod fit ex eodem Et ideo producto in b. Sed quod fit ex producto ipsarum a b. in a.aequa duplanti qua duplo hoia..est et , quod fit ex quadrato ipsi uva. in b. Illud autem, quod fit u ex producto ipsarum a b. in b. aequun* est ei, quod' fit ex quadrato ipsius b. in a. Ergo quod fit ex producto ipsarum a b. in rutae eis. s. ζῶ, s. λ.aeqtium erit bis , scilicet ei, quod fit ex quadrato ipsius a. in b v μμ λ
&ei, quod fit ex quadrato ipsus b. in a. Quare & duplum eius, quod fit cx pro luto ipsarum a b. in totam a b. aequum erit his, scilicet duplo eius, quod fit ex quadrato ipsius a. in b. & duplo eius quod sit ex quadrato ipsius bcin a. Ergo commutatis qualibus, cubus totius a b. equalis erit lus, scilicet cubo ipsius a. cu- Eo ipsius b triplo eius.quod fit ex quadrato ipsius a.in b.& triploraus, quod sit ex quadrato ipsius b. in a.Quo usuit demonstradaia
Si quantular praelibet in duo segmenta dissescatur, cubus tollat . x b ualis erit his scilicet duobus cubit se mentorum , ct triplo soli- i, sub tremer singuo fermentis contenti. Esto, ut prius,quan- per Prmisiam.
titas a b. vici inque secta in a. & b. segmenta : Dico, quod cubus totius a b. squalis est his , scilicet cubo, ipsius a. Cubo ipsus b.. M triplo solius, cuius latera sunt tota ab.a.&b- Qti .d sic Oste ' edidib. dam. Per praeced. ntem, cubus totius a b. aequalis est his, scilicet
inibo ipsius a. cubo ipsius b. & triplo eius, quod ex quadrato ipsi'
438쪽
a.in b ac triplo eius, quod ex quadrato ipsius b.in a. sed per primam secudi Euclidis quadratum ipsus, cum eo quod exa. in b. simul qualia sunt ei quod ex a b. in a. Erper and ira quod fit ex quadrato iplius a. in b. una cum eo. quod sit ex a bala b aequale est ei, quod ex producto totius a b. & a.in 'γ laoc est solido trium laterii a b. a. b. Atque, quod ex producto totius a b. in b. quale est ei, quod ex quadrato ipsius b. in a. hoc est , solido trium latorum a. b b. igitur, quod ex quadrato ipsius a. in b. una cum eo, quod ex quadrato ipsius b. in a. aqualia sunt ei, quod cx prod cho ipsius a b. & a. in b. hoc eit solido trium laterum a b. a. & b. Quare dc ri iplum illius, a quale mplo huius. Ergo cubus rotius a b. aeqv ilis erit his , scilicet cubo ipsius a .ci ibo totius b. triplo solidi, cuius huera sunt a b. a. b. Quod erat demonstrandum,
Si fuerint duo numeri in proportiove cuborum numerorum, qui fetex uno eorum in qua fatu et qui, ctibus erit. Sunto duo solidi numeri similes a d. tales enim ut in octavo Elementorum ostensum est, habent ad inuicem rationem , quam cubus numerus ad cubum numerian, Sitque ipsius a. quadratus numerus e. & ex e.irid. fiat g. Aio , quod g cubus numerus cst. Nam per decimam octaliam octam Elementorum, i sis a d. intersunt duo numeri med ij proportionales, qui lint b c. sit itaque ipsius b. quadratus ipse f& ex b. in f fiat h.qui cubus erit ipsius b. Ollendam igitur, quod g. aequialis est ipsi h. hoc modo . Ratio ipsius e. ad ipsum f. per undecimam octaui, est sicut ratio ipsius a. ad ipsum b. duplicata : quoniam sciliaet e f. sunt ipsorum a b. quadrati. Sed ratio b. ad . . est rationis a. ad b. duplicata. Igitur, licui b. ad d. se e. ad s. Quare, per vicesimam septimi, qui fit ex d. in e. hoc est. ipse g. aequalis est ei, qui fit ex , in f hoc est i pli h. Cabus autem fuit h. ipsius b. ergo&g cubas idern erit. Q 39d est propositum.
Propositis duabus quantitatibus cubo tantum coen tb.eas con umperere, minorem a maiori sistrassi re . Sunto propositae magnitudines a b. quarum quadrata a b. & quarum cubi ef volo. eas coniungere per cubos, hoc est, comperire cabum totius a b tanqua unius magnitudinis. Duco a.ind& proueniat g.Cui' triplum sit h. Item duco b. in c. & proueniat si. cuius triplum sit L. Mox aggregatum ipsoru e m l. st m. Q , per xi praecedentena erit cub totius a b. qui quaerebatur. Vnde radix cubica ipsius m. erit.
439쪽
erit aggregatum propositarum magnitudinum a b. Et nota,quod si Osi, qui cogniti suppon ntur, scilicet es fuerint in proportione cuborum numerorum; tunc per corollarium i huius,ipsae magnitulinus a b. erant at inuicem commensurabiles. Unde tunc tam g, qu in h. erunt rationales qu intitates quoniam e rum cubi sunt cubi numeri, per praecedentem : quandoquidem bproductitur ex quadratis numerorum e f. in proportione cubica r.eu.ι. r. 1.1 .existentium, multiplicatis vicissim in ipsos numeros c f. Qui m- ὰ ς obrem cam g E. tunc sintritioni les , eorum tripli sciliceth l .rationales erunt: cum lue e s per livpothesim sint rationales, quia cubὶ comiti, erit aggregatum ex e i h l hoc est, ipse m. cubus totius a b numerias rationalis: quam tota quantitas a b. erit cubo cognita, & unius nominis, sicut, corollarium I concludit. Contra de tota mignitudine a b. cognita per cubum eius m. volo subtrahere magnitudinem a. caius cubus e. idque per cubos, hoc est reperire cubum relicte, qui est L Sit itaque n. qui sit ex ab. tota in a. Quod autem fit ex n. in b. sit catus triplum sit r.erit-gii per antepreti milam m. aequalis aggregato ipsorum e f. & r.. Itaque ex n. in totam a b. fiat p & ex na. in a fiat q. Vnde, per primam secundi Euclid. p. aequalis erit aggregato iplarum o q. Au- I sero igitur ipsum q. abi piis p. & supererit o. cuius triplum r. piungo cum e. & aggregatum minuo ab ipso m. & supererit sicubuq scilicet ipsius b. quaesitus, quae po tipsius a. a tota abolubtractionem relinquitur. Hic rursum nota, quod si cubi, qui co- qeniti lupponuntur, scilicet. m. & c scierint ad inuicem scut cubi t. cub. 19.hae via numeri: tunc per corollarium quarta decim ς huius ipsς magnitudines a b. tota & a. erunt ad inuicem commensurabiles. Vnde tua necet se est, cubos ipse rum p q. magnitudinum, elle cubos nu- m S i meros, & perinde ipsas p q. vile rationatus: In e sequi tui ut earum differentia scilic t o. iitrationalis, eiusque cubus , numerus cubus. Quod sic ostendi potest. Clim m. & e. simi ad inuicem, licui cubi numeri: in aeterunt i piis, per decimam octauain octaui duo medii proportionales, qui sint rc sit autem ipsi u m. qua - . . .
dratus t.& ipsius c.qaadratus X. fiatque ex m.in e. nuri crus n. qui Ur H π suit cubus magnitudinis n. Et ex m. in n. num rum si 1t numerus o ri πp. qui fuit cubus magnitudinis p. Itemq; ex n. in Q fiat numerus πιπιπτος. qui fuit cubus magnitudinis q. Dico igitui, quod p. numerus est cubus ipsius r. Atque' ii q. num urna est cubiis ipsius s.
Nam, cupi m e numerisnxia in uicoin, sicut cubi numeri, dc - . trum quadrati sint t. ct x. Iain per Priarcedcntcni, tam numeriis, toui ex e. in z. quam num rus qui ex m. in L. Producitur, Cubux V numerus
440쪽
umeri seri triclim autem m. multiplicas se ipsum faciat ti& mutitiplicans ipsum n. ficiat e. erit, per primam siexti Elementorum, sicut in. ad e. sic r. ad n. Ei re per vigeimiam septuni,qui fit ex m. in n. lci licet ipse pi aequalis erit ei, qui ex e. in t. qui cubus suit. Im. tur P. cubus, cuius radix n. Similiter cum e. multiplicans se in sum laciat x & multiplicans ipsam m. ficiat n. Erit scute. Man. sic αadn. Quare, qui linexe. in n. scilicet ipse q. aequalis erit et , qui ex m. iα x. qui cubus suit: Igitur q. cubus erit, cuius radix fTani igitur p. quam q. cubus numerus est. Quod Qerat do
Vnde minifestum est, quod si duo numeri seruantes ratione ucuborum , singuli multiplicent suum productam , qui ex inde fient, cubi numeri erunt. Qund corollarium , cum praecedenti propositione qu m decentissime locari poterat in arithmeties Elementis: ut sicut ibi os Dii sum est, ex duimi similium planoria πgenerari quadratos, ita constet etiam , qua ratione, quoque ductix ex cu bis numeris, cubi quoque numeri nascatur. Scit haec ideo adducta sunt, ut regula additionis, & siit, tractionis radicum cu-hicarum peculiarix: S respondens regulae in .decimitertia huius cle quadratis radicibus tradite, melius notesceret. Quamquam 'ulierius illa speculari, quae ab Eucliden 'glecta sunt, nimis cutio liam estet. Itaque ad reliqlia transeamus.
P R o P o ς I T I σ 23'. Proposita e uotam 3 viritis r.es cem psallat. trabe Si numerus repraesentans propositam quantitatem sit numeruς quadratus , tunc radix eius numeri eri r numerus repraesentans radicem'quantitatis nropolim , per secundam his ius libelli . cii autem proposita quantitas contineat partem , vel pastes positae quantitatis, tunc sit eius numerator α &denominator h. qui supponantur ves qui irati, vel in ratione quadratorum numerorum : si quadrati, sic capiantur : si in ratione quadratorum numerorum, redigantur ad minimos eiusdem ration, pertrisinina nonam septimi: qui sint ipsi a b. eruntque per corollarium secundς octivi, ab. numeri quadrati: Si teret psi is a. radix ipsis c. numerus e & ipsius b. radix ipse . . numerus. Aio Uic, quod quantitas cd.cuen inerator est c. Id denominator d.
erit radix quadrata propositae quantitatis ab. Q M sie constiti Quoniam