장음표시 사용
441쪽
Quoniam numerus c. est radix numeri a. & numerus d. radix numeri b. palam est, quod numerus c.m seductus p ducit num rum a. & numerus d. in se ductus 'producit numerum b. Quare per regulam muli licationis in octaua huius traditam, quanti rate c d. in te ipsam multiplicata phoducitur quantitas a b. S ideo per dissin.quantitas c d. radix quadrata est ipsius a b. propositae quantitatis et quod erat demonstrandum . Quando autem numeri reputanto propositam quantitatem non fuerint quadrati numeri. tunc talis quantitati radix quadrata non 'potest numero notari: est inim solum potentia hoc est quadrato rationalis, & per numerum propositum, tanquam quae litae radicis quadratum solummodo praeimur. Exempli gratia : Radix s. vel Radix s. Poterimus tamen numero magis ac magis vicino ip- 'sam radicem non quadrati numeri significare. Exempli gratia: sit quantitas proposta ipso a. numero non quadrato significata: cuius volo radicem quadratum piope Vcrum inuenire. Capio numerum quadratum b. proxime maiorem ipso a nummo cuius radix sit c.quae iam erit prima radix propinqua quaesit , sed, ut propinquio te inu .nia, subtraha a. ab ipso b. & res duum sit d. quod pallior per orptu ipsius cler nona huius: & proueniat qualitase.qua subtraho ab ipsa c.& superst f quod multiplicatum in se facit g. Dico itaq; , quod fest radix ipsius a. ppior, quam cin ipse g. quadratus vicinior ipsi a. quam quadratus ipse b. Quod sic patet.Cuin c. secetur in c. & ferit, per quartam secundi clementocum, b. ipsus c.quadratus aequalis his, stilicet quadrato qui ex αquadrato qui ex L scilicet g. & duplo eius, quod fit ex e.in s Et idem quoque b. est aequale ipsi a. una cum d. Sed d. est duplum eius , quod fit ex c. hoc est, ex toto es in e. igitur b.aequalis erit ipsi a. di duplo eius, quod fit ex e f. in e. Sed duplum eius, quod fit ex e s in e. est aequale duobus quadratis. ipsius e. & duplo eius, quod fit ex e. in L per tertiam secundi Euclid. his allum piam. Ergo b. aequalis erit ipsi a. & duobus quadratis ipsius c. & duplo eius , quod fit cx e. in s fuerat aurem & b. aequalis quadrato , quod ex e. & ipfg. & duplo eius , quod ex e. in f Igitur quadratum , quod ex e. & ip- 'sum g & duplum eius , quod ex e. in f sunt aequalis his, μ' scilicet ipsi a & duo bias quadratis ex c. & duplo eius, quod 'ex e. in f Quare , demptis utrinque quadrato e. ci duplorius, quc d ex e. in f relinquentur inde quidem ipsum g. hinc μ'
vero a. una cum 'uadrato ipsius c. inuicem aequalia. Ita - ''que g. excedit i Psam M in qua lato irsus e. Et superatur Sab
442쪽
ab ipso b. quandoquidem s. superatur a b. radix scilicet radice. Atque idcO f. crit vicinior radici ipsius a. qu in se era i c. adhuc tamen maior ea . quandCquidcm g.maius ipso a. quadratum quadrato. Similiter autim scut pcr ipsis b. vi c. quadratum & radicem inuenimus s. radicem quaestς vicinior in quina suerat c. Ita rursum perg. &s. quadratum & radicem inueniem iis radicem quaestae propinquiorcm, quam est L. Et similiter, iterurn aliaque iterum viciarior , semper tamen aliquanto imiorem , d nec excreus redigatur ad fractiunculam ato imosqualem,ac qua touis minorem in infinitum, ii quam tamen ipsi aequalem: quq niam quςsita irrationalis est, dc in terminos numerarios non ca-c--io b Ioo dit. quae omnia exercitio practici exempli calculando facile e a S d-8oO pci iuris. Poteris & alia via propinquare radici ignotae sic. sit a. 2329 numerus non quadratus, ius volo prope verum vestigare radicem: assumo ingentem numerum quadratum,Vt pura celen artu, qui sit b. cuius latus c. Multiplico a. in b. & produco d. Quo fit, ut si a. propositus sit exempli gratia s. ipse d. proueniat 8 . cui' radix quid in maior quam 28. minor quam 20. qt laesi te. Et quoniam quadrata I unt in dupla ratione radicum, cum . . numerus sit . centuplus ad ipsum a. quadratum, scilicet ad quadratum: iam αradix ipsus d. erit decupla ad radicem ipsius a. Hoc est, cum d. ad a.sit sicut b. centenarius ad unitaten erit c. ad s. sicut b.ad c. vel si ciri c. ad umorem, hoc est, decuplus. Igitur s. erit decimalsars ipsius e.hoc est, maius quam aci minus verb, quam Miri est ipsius a. radix quaesita. Quod si per centcnario assumpsisse quadratum numerum maiorem, Ut centi cs centum, per mInutiores partes magis vero appropinquassc m. magisque si ad calculum millionem quadratum applicas lem. Itaq; dc inceps in infiniatum, lice t verum numerario termino attingi nullatenus positi PRO Posi TIV 26'.
Proposita mih lam currentatis radicem cxbicam eatrabere Si numerus repraesentans prDpositam quantitatem, si numerus cubus, Iunc radix cubica eius numeri erit numerus repraesentas propolitae quantitatis radic , persecudam huius libelli. Si autem pio posita quantitas signeturpa duos numeros: tunc sit eius numerator c. denomina tot f. qui supponatur vel cubi numeri. Vel an ratione cliborum numerorum. Si cnbi, sic capiantu C. si autem in ratione cuborum, redigantur ad minimos cius rationis,
per 3ν septimi,qui sint ipsi e f. erumque per corollariu secundae
443쪽
octaui e snumeri cubi: si ergo ipsus e.cubica radix dinum rus,& ipsus scubica radix ipse d. numerus. Aio igitur,qubdquantilas cd.cuius numerator c. denominatonaut d.erit rhela cubica propositae quantitatis es. Quod sic constat. Ducature.in se,& fiat a. Item d. in se& fiat b. Eritque perdis sn.quantitas a b quadratum ipsus c d. Cumque ex radicis ductu in suum quadratum proueniat cubus ipsius radicis riam ex ductu quantitatis c d. in quantitatem a b. proueniet cubus ipsius ed. Sed ex tali ductu quantitatum proueniet quantitas e f per regulam multiplicationis in octaua huius traditam,quoniam scilicet ex ductu c a. numeratorum fit e. numerator, & ex ductu d b.denominatoru fit L denominator: igitur e squalitas est cubus ipsius c AEquantitatis,& pe indec d. radix cubica ipsius e L propositae quantitatis quaesita. Quando autem numeri repraesentantes propositam quantitatem, non Dei intcubi numeri; tunc, sicut in prima propositione dictum est, talis quantitatis cubica radix non crit rationalis,&in numerarios terminos non cadit,nec nisi per cubum profertur sit radix cubica 7.dc φ. cubica 9.poterimus tamen per numeros magis ac magis ipsi propinquare, sicut in praecedenti pro radice quadrata vesti sanda secimus. Sit enim,exem p i gratia, a.quantitas propolua non quidem cubo numero significata, cuius cubicam radicem vestigare iubear,quam non nisi prope , propiusq; tentim accedendo, coni)cere possiim: sicut in numero non quadrato de quadrata radice faciebam. Sit itaque ipso numero a. proxime superior. b. cubus: cuius radix cubica sit c. Deinde subtraho a. ab
ipso b. & residuum sit d. V ood partior per tripli in quadrati,quod ex c. Sc proueniar E. Hoc sebtraho ab ipso c. & retaduum sit f cuius cubus esto s. Dico itaque, quod L est propinquior radici cubar ipsius a. tuam erat c. Atque quod g. cuDus est vicinior ipsi a. quam erat b. Nam, per vigesimam primam huius , cum c. quantitas secetur in ipsas e. ct s erit cubus ipsius ci scilicet ipse b. aequalis his, icilicet cuboire Ius f qui est g. de cubo ipsus e. & triplo eius quod ex quadrato ipsius e. in f necnon triplo eius quod ex quadrato ipsius L in e. Cumque idem b. sit aequalis ipsis a d. simul, atq; d. sta qualis triplo eius, quod ni ex quadrato ipsus α. in e. & ideo triplo cius, quod sit ex quadrato iplius e sin e. propterea b.aequalis erit his, scilicet ipsi a. Sc triplo eius,iquod fit ex quadrato ipsius e f in e. Sed, per vigesimam D d huius, et ap - - :
444쪽
huius,quod fit ex quadrato ipsius esin e.aequale est his licet et,quod ex quadrato ipsius L in e. de ei, quod ex quadra to ipsus e. in sari; et,quod cx quadrato ipsi'e.m totam es. Igitur triplum eius,quod ex quadrato ipsius e f in e quale erit his,scilicet triplo eius, quod ex quadrato ipsius L in cide triplo eius quod ex quadrato ipsus e.in f atque triplo eius. quod ex quadrato ipsius e. in e s Quamobrem ipsa b. erie etiam aequalis his. ipsi a.& triplo eius, quod ex quadrato ipsius sui e. & triplo eius,quod ex ipsius e.quadrato in s. atq; triplo eius,quod ex quadrato ipsus e. in e s Verum,per χhuius,idem D. cubus aequalis est his, scilicet ipsis. qui cubus est ipsius s&cubo ipsus e.& triplo eius,quod fit ex quadrato ipsius e. in striploque eius,quod ex quadrato ipsus fin e. Quoniam scilicet e. de s constituunt ipsam crassicem ipsius b. Ergo h c, s cilicet ipsa a. triplum eius , quod ex quadrato ipsus fin e. de triplum eius, quod ex quadrato ipsius e. in L cu triplo eius, quod ex quadrato ipsius e. in e s simul erunt
aequalia his simul,scilicet ipsi g. cubo ipsi' f& cubo ipsius α& triplo eius,quod ex quadrato e.in s& triplorius,quod ex quadrato ipsius sin e. Demptis igitur utrinque his, scilicet triplo eius, quod ex quadrato ipsi' e.in s de triplo eius quod
fit ex quadrato ipsius sin e. supererunt se& cubus ipsius e.tam ut aequalia ipsi a. de triplo eius,quod ex quadrato ipsius e. in es Itaque g. tanto maior est ipso a. quanto triplum eius quod ex quadrato ipsus e. in e f. iine in c. maius est cubo i lius e. Maius est enim id , quod ex quadrato ipsus e. in e squam cubus ipsi' e.qui ex quadrato ipsius e. in ipsum e. pr ducitur. Multo magis ergo & triplum eius,quod ex quadrato ipsius e.in e s seu in c.maius erit cubo ipsius e. lim igitur s.sit maior ipso a .minor autem ipso b.quandoquidem smiianor fuit ipsa c. radix radice. erit f propinquior cubicae r dici ipsius a.quam suerat c. Adhuc tam es maior est ipsa quaesita radice cubica ipsius a.quandoquide g. cubus maior, a a. Similiter autem, sicut per b.& c. inuenimus f radicem vi eruniorem radici ipsius a.quam fuerat c. ita rursus perg.& finueniemus radicem propiorem radici ipsius a. quam fuit fides militer iteru, atq; iterii propinquiore, niiqua in in infinitii- Ito D punctuale veru, numerario termino attinget . Quinetia id d-7o oo ipsum, sicut in quadrata secina',aliter attetabimus sic: Sit a. e - Is numerus no cubus, cuius Velim coniectare cubam radicem. A slunio cubum numerum masnu, Tuia millenarium,qui
445쪽
sit b. euius radix cubica se licet denarius sit c. Multiplico ipsit in a. in b. & produco d. Quo fit, ut si a. propositus numerus sit . iana ipsum productu d. sit 7 m. Cinas radix cubica quide paulo maior est, quam I9. quae sit e. & quoniam cubi lunt ad inuiceiir tripla ratione radicum ; propterea cud. numerus sit millecupi' ad ipsum a. cub' scilicet ad cubu: ia e. radix ipsus d. decupla eri t ad radicem ipsius a. igitur rae cdix ipsius a. quae sit serit pars decima ipsius e.hoc est, paul, maior,quam I A. Quod si pro millenario assumpsissem cu- abum maiorem, utputa millione, vicinior vero suissem.Itaq; deinceps: na maior numerus distinctus patres exprimit.quia snumerosior: neq; aliter geometrico pucto accedere licet propter incommensurabilitatem qu sitae radicis, In nullum ni merum cadentis. Haec de radicum quadratarum, & cubic ru extractione satis. Nunc ad progressiones veniamus. Nam quemadmodu datae qualitatis quadrata vel cubica radix via dometrica extrahatur in libello Datorii Theonis docuimus.
Illius regulam Euclides in ultima secundi: Huius vero praeceptum Philon Byzantius, Apollonius, Archytas, Pappus, Eratosthenes , Menaechmus & alij tra)idere : ut Eutotius Ascalonita in commentarijs Archimedis scripsit.
. Cum fuerint quotcunque quantitates per idem crementum fe- 3matim crescentes, ex dimidio numeri ipsarum in congeriem exprima O vltima multiplicato producitur aggregatum ipsarum fomnium . . Exempli gratia, sint quinque magnitudines, Ia b c d e. seriatim de eodem accessu crescentes: sitq; a. mini- oma civero maxima. Dico, quod si dimidium quinari, duc, i itur in congeriem ipsarum a e producetur aggregatum ipsarum a b c d e. Ponatur enim totidem magnitudines & sin
gulae singulis iesis a b c d e. aequales Q h k l. sed ordine prae
postero dispositae: sic enim fiet, ut, cremento unius Ordinis decrementum at tetius repensant binarum quarum uis una sit congeries : Vnde utriusque.ordinis aggregatum planus numerus erit sub duobus lateribus contentus' quorum Vnuerit numerus combinationum, scilicet quinarius, alter verbeongeries ipsa binarum. Talis autem congeries conflat ex minima & maxima. Igitur quinarius in talem congeriem dactus, producet aggregatum utriusq;. ordinis. Quare de dimiadium quinaris in eandem congeriem multiplicatum pr ducet aggregatum unius ordinis. Quod fuit demonstrandu.
446쪽
Radicum ab et nitate per ordinem dispositarum,ultima in fuco cedentem multiplicata , producit numerum, cuius dimidium es aegregatum ipsarum radicum omnium . Nam per septimam praecedentis libri tale productum est duplum trianguli cotilateralis ultimς radicis : triangulus autetiae est, per distin .ag gregatum omnium radicum Vsque ad ultimam inclusive. Cum ergo dimidium talis producti sit quale triangulo,erit. de aequale aggregato radicum: Quod est propositum.
Numerus multitudinis imparium ab se tale di*ositorum in se ductus, producit aggregatum ipsbrum .impari sem omnium Exempli gratia, sint quinque impares ab cde. ab unitate dispositi: dico, quod quoniam quinque sunt, quinarius in seductus producit aggregatum ipsoru in quinq; imparturiri Nam, per quintam lecimam praecedentis libri, quinq; dicti impares aggregati conficiunt quintum numerum quadratum , qui ex quinario in se ducto producitur. Verum est ei go propositum in omni cala PRO Posi Tro 3ω . Numerus multitudinis parium a binario successive disposito rum, multiplicatus in numerum unitate maiorem, producit ah relatum ipsorum parium omnium Exempli gratia, sunto quinq; pares a b c d e. a binario per ordinem dispositi. sauiatem sit quinarius numerus ipsorum .g autem numerus unitate maior, scilicet senarius. &ex Ling.fiat h. Aio , quod li: est aggregatum ipsorum a b c. e. parium. Quod sic patet. palam est,quod in tali exemplo s. est quinta radix, & g. sex lx radix: Igitur, per septimam praecedentis libri h. talium radi . cum productam' est numerus parte altera longior sextus vqui per octogesimam quintam dicti libri, est aggregatum ipsius e. paris sexti loci & omnium praecedenti uin : quod erat demonstradum. Et similiter inoi casu constabit propolitii PRO OsIT Io 3 i' . Si in ius ordine fuerint quotlidet quantitates contin e proportionales , er in securido ordine quantitates una plures i n eodem ratione confuse proportionales, ita ut earum differentiae
sint quatilitatibus primi ordinis singulae singulis aerualest tunc disserentia primu ρο ρο tremae secunti ordinis aerualis eriar elato quantitatἹri primi ordiais. Ponantur in primo ordine q'antitate. continue proportionales quot-- uis,
447쪽
vis,utputa quatuor a b c d.quib' succedat in eade P portione tria e.qnta. Deinde in secudo ordine una plures quatita. res. s. quinq; fgh hi ita coparatae, ut dra ipsaru sg.sit aequa
lis ipti a.Et differentia ipsa υ g h. aequalis ipsi b.& dsa ipsa esk. aequalis ipsi c.& differentia ipsarum k l. aequalis ipsi d.
Tunc aio, differentia ipsarum s l. erit aequalis aggregato ipsaru a b c d. Patet propositu: qm disserentia ipsasu fl. extremaru conficitur ex ditiarentijs quatuor mediis: quae per hypotesim sunt aequales ipsis quatuor a b c d quantitatibus. Sed suppositis magnitudinib' primi ordinis r sic inuenietur magnitudines secundi ordinis.Sit ipsa i a b.disserentia m.&scut est m.ad ipsam a. sic sit a ad s. de sicut est a. ad e. sic sit f. ad i. Unde sicut ipsis a e. intersunt tres mediae proportion tes: ita&ipsis fl. totidem mediae proportionales iii eadem' proportione intererunt. quae sint glik. Et, quoniam ppita milem proportionem,sicut est a. ad s. sic est disserentia ipsarum a b. scilicet m, ad differentiam ipsaru Q. Qitq; & m. ad a. sicut a. ad s. ideo m. eandem habebit rationem ad a..& ad differentiam ipsarum snaequalis ergo est a. differentiae ipsaνsg. Sed cum disserentiae seruent continuatam magnitudinuproportione, Iropterea tam Κd ipse ru g h. i c. diiserentiae ipsarum ii Eu d.differentiae ipsaru k Itqualis erit.Hinc oritur regula progressionis magnitudinu continue proportionalium. Nam ex m.52a.iam notis, notescit f deinde ex a. e.& s. nota venit l.cuius & insus s. excellus est aggregatum irsarum a b c d. licui osten 1nm est.
secunta Δos terminos summantur quotlibet quati rates cois rinue proportionales,quara extrema multiplicet ipsi terminis tar 2 . s . .l a productora differrem diuisa inter minora disseretia a bibet ag- . I asTuus ipsarum F.intissum. Sutrio duo termini,gratia exo 8 - 2O . soti inspli, numeri a. & s. quorum quadrati .dc. a D cubi autem. 3ο- ηο. roo. Σ1o. Gis. 8.& ia 1 .secundi quadrati i6. & 62D quadratis autem intersit medius proportionalis itacu bis duo med ij proportio . nales io.& so. secundis quadratis tres medi; proportionales o. Ioo. 2 so. qui singuli producuntur ex ductu terminorum in se, &ad imi icem , deinde in singulos secundi, &terti j ordinis numeros , ut assistet multiplicatorum. In horum tertio ordine sunt quatuor numeri continue proportionales scilicet g. ro. 1 o. i 2 s. in quorum extremos 8. de .la s. multiplicati termini 2. & s producunt 16. & 62 D. . D d 3 quorum
448쪽
quorum disserentia est cos. Aio,quhd huiusmodi disserentia
mulsa in disserentiam ipsorum 2.& s. hoc est, in 3. exhibet aggregatum dictorum quatuor numerorum continue proportionalium, scilicet 8. ao. m. Ia s. quod sic ostenditur. Quoniam x. ductus in se, facit . ductus in s. facit io. Iam - idcm 2 m 3.3uς disserentia est ipsorum 2.& s. producet dis, 16. 4Q. Ioo. 1 3O. 62I serentiam iplarum Io. productorum : quoniam multia plicator ductus in differentiam multiplicatorum, producit disterentiam productorum.Item quoniam s.in 1. facit Io. Min se facit 1 1.iam & idem s. in 3. faciet differentim ipsorum. Io.& a 3. Simili ratione, quoniam x.in . facit g. & F. in A. facit ro. propter proportionalitarem numerorum ideo in disseretiam dictam ipsorum a.dc 3.scilicet in 3 Iaciet disserentiam ip rum 8. & io. Non alitor deinceps ostendam, v dicta terminorum a.& s. si fierentia multiplicata in Io. facit disseretiam ipsorum 1 o.& so. multiplicata quoq; in 2I.: cit differentiam ipsorum so. & I 2 s. Quamobre eade terminorum differentia multiplicata in aggregatu ipserum 4. Io. 2 I. seciet aggregatum trium differentiarii dictaru,scilicet ipserum 8 α ao. ipsorum io.& so.ipsorum 1 o. &123. Sed tres tales differentiae coniunctae componunt extremorum 8. de I 2 1.disserentiam,igitur dicta terminoru differcntia mutitiplicata in aggregatum ipsorum .io. 2 1.producet differentiam ipserum 3 in ta s. extremorum . Quare & talis extremorum 8. dc 12 1. quae sunt producta ex terminis in . de as. multielicatis differentia diuisa in terminorum differe ditiam,exhibebit dictum ipsorum . io. 2 1 continue propor-27. 6 - ς ε 3Α 3 tionalium aegregarum e sicut propositio concludit. Adhuc tr. 189. ,Α . 1a Os per eadem omnino demonstrabirmas, quod ipsa terminorudisserentia multiplicata in singulos 8.eto. N. ix s terti j .rdinis numeros, producet singulas quatuor sequentis ordinis numeroru differetias: & pinde inde terminor u dra in scata in aggregatu ipsorum 8. m. 1O.r 2 s. producet aggreetatu diactarum quatuor differentiarii sequentis ordinis:& ideo producet dram duoru extremoria 16.& 62 3.quae sunt producta ex ductu terminorim 2. ec s. in ipsos 8. & i 2 s. extrem0s ira tuor continue proportionali u.Vnde dc taliu productovisserentia diuisa in disseretiam terminorit,exhibebit aggregatu ipsorum 8. 2 o. IO. I 23.quatuor continue proportionali ii numeroru : quod erat demonstrandu . Similiter pro caeteris terminis, aut proportionibus ostedam qd proponitur.
449쪽
il Sicut quadratus ad duplum suae radicis, sic est collateralis Triangulus numerus adsequentem radicem i. Exempli gratia, sit a. quinta radix b. autem quintus quadratus numerus: α ipsius a.duplus ipse c. Item d. sexta radix. cumque xia se faciat ipsit in b.Item a.in sequentem radicem d. faciet ipsum e. io. e. per dissin. parte altera longiorem sexti loci. Cuius dimidi i sit squi per octauam praecedentis libri,erit triangulus quintus. Demonstrandum est ergo,quia sicut est b. ad ipsum c. sc est f. ad ipsum iu Sic, quoniam a. multiplicans ipsos a d. -- producit iplos b e. Iam ideo, per primam sexti Euclidis,etu sicut a. ad ipsum d. sic b.ad ipsum e. & permutatim sic b.ad a. sicut e. a. d.Cumq; a.sit dimidius ipsius c. atque e dimi-Hius ipsius fiam, pel 1 3 quinti Elementorum,etit m. a qua Ii, sicut b ad c. hoc est,quadratus quintus ad suam radicem, .striangui us quintus, ad d. sextam radicem : quod fuit d, monstrandum in sicut pro quinto loco, ita pro quocunquς constabit propositum.
Omnis triagulus multiplicatus in duplum collaterusis radicis. producit aggregatum ex cubo ct quadrato collateralibus. Re- Tetita descriptione prςmisse,.ostendendum est, quod striangultas quintus multiplicatus in c. duplum ipsius a. radicis quintae, producit cubi & quadrati quintorum congeriem, hoc modo. Sicut est b. quadratus quintus ad c.duplum sua: dicis aula est striangulus quintus ad d. uentem radice,
Per praecedentem. Cain. vero a inta per divin. faciat cubum quintum: Iam d. unitate maior, quam a. in b. faciet conge-l
em ex cubo tali suoque quadrato. Sed per i s sexti, quodist ex d.in b. quum est ei, quod fit ex s. in c. siue per Σ3 septimi. Igitur sin c. siciet dictam cubi, quadratique congeriem , quod erat demonstrandam. Et sicut in quinto, ita im ouis loco constabit propositam. P Ropos I Tto 3 I' .. rQuod sit ex aggregato quotlibet radicum ab unita Gordimaturum multiplicato in duplum radicis vltima, si iungatur cum ipso radicumaggregato,cUabit triplum aggregati omnium quadratorum ex dictis radicibus singulis factorum . Nam cum aggregatum , exempli gratiae , quinque radicum xb unitate ordinatarum sit per dissin. quintus triangulus : & an Pras rum quinq; quadratorum taliam radici sit quinta Pyramis. 15
450쪽
quadrata Per distin. Iam demonstrandum erit, quPH illud. quod fit ex quinto triangulo in duplum radicis quint , si . iungatur cum ipso triangulo , conflabit triplum pyramidis quadratae quintae. Sed,per praecedentem,id,quod fit ex quinto triangulo,in duplum radicis itintae,aequum est aggregato cubi & quadrati quintorum .igitur demonstrandum erit, quδd congeries cubi quadrati & trianguli quin totum, aequi ualet triplum pyramidis quadratae quintae. Quod cum iam ostensum sit in os ' precedentis librit iam constat propostatum . ita non solunt i in quinto , sed in quovis alio loco demonstrabitur, quod demonstrandum proponitur. COROLLARIV M. . Hinc regula progressionis quadratorum ex radicibus o dinatis factorum constat. Quod si numeri progressionis propositae sint ad radices singulis singulas dupli, tunc quadratorum quaesitorum semina, ad quadratorum radicum cong Tiem erit qua ita pla: si tripli,non pli; si quadrupli,sedec pla ; si quincupli vigecupla quincupla,&ita deinceps: naim quadratorum ratio duplex est ad laterum rationem.
- Si fuerint quotlibet ab unitate ordinald radices : quod fit ex ggregato postrema ιρο sequentis: dicum in productum ex eisdem,duplum semper es ad cougeriem ex cubo quadrato, ct trita gulo collateralibus postrema: ct perinde sexcuplum pyramidisndrata collateralis boc es aggregati quadratorum exradicia
ordinatis productorum. Sint,exempli gratia, quatuor ab unitate radices,quarum vis sit a.ei' quadratus b.Dimidium multitudinis radicum fit c. Radix sequens, hoc est, quinta sit a d.fiatqueexb .ind numerus e.&exd. in c. numerusi .Palamd i 3 est, quod Sest ingregatum excubo ipsius a. de ex quadrato . M eius, hoc est, ex b.quandoquidem d. multiplicator est unitate maior quam a. quodq; pee 28' huius f. est triangulus quartus,aggregatumque quatuor radicum. Deinde g. sit aggregautum ipsarum a.d.radicum:&h. suproductum ex earundem a. d.multiplicatione, fiatque inde ex g. in h. numerus h. & sie demonstrandum erit, quod numerus h. est duplum ad aggregatum ex e f. Quod sic pater. Numerus g. constat ex a. δ d.&ideo constat o duplo ipsius a. Se ex unitate.& numerus h. constat ex a.&b. per nonam praecedentis libri: quoniam b. est parte altera longior quinti loci: Et b.est quartus quadrat vius radix a. Igitur ex a. in a b. fiet e. & ex duplo ipsius