장음표시 사용
451쪽
in h. fiet duplum ipsius e. Sed ex unitate in h. fit duplum ia ipsius f. igitur ex aggregato dupli ipsius a. & vestatis , hoc. est ex g. in h. fiet duplu totius.e f. quod erat demonstrandii. . Quod enim producta ex unitate in h. hoc est ipse h. sit dupla' .iplius f. pala est: Namffit ex c. in d. At ipse h. fit ex a.in'd. qui duplus est ipsius c.quoniam scilicet a.est multitudo radicum& c. dimidium talis multitudinis. Costat ergo propositum. Sed e f. per prςmittam, est triplum aggregati quaaratorum a qui tu or radicibus propositis factorum : Ergo h. qui fit ex . g. in h.sexcaptus erit aggregati quadratorum, sicut propositio concludit. Quod autem pro quatuor radicibus conclusum est, pro quotcunque propositis. in infinitum demonstrabitur .. '
Hinc altera regula elicitur ad habendum cumulum quadratorum I quotcunque ab unitate ordinatis radicibus facto sum. Quod si pro radicibus proponatu lice quantitates secundum primae crementum ordinatae, tunc proportio earum singularum ad singulas radices duplicanda et t. & secudum talem proportionem adaugenda, vel diminuenda erit summa radicum, Vt proueniat lumina quadratorum propositarum quantitatum . .
. si Tropositis ab unitate quotlibet radicibus,si radix proxime se- T-- Tquens multiplicet aggregatum ex quadrato postremae oe ex dia a -- 4midio ipsius postremae; producetur triplum summae quadratorum 3-yipsarum radicum propositaram. Exempli gratia, sunto radi- Α- inces octo dispositae ab unitate singulς cum suis quadratis. Ra I a sdix proxime sequens erit 9.aggregatum ex quadraro postre- 6-36mae, scilicet 6 . & ex dimidio ipsius postremae scilicet . T- Α' erit 68. Aio igitur, quod si p. ducatur in 63. producetur tri- 8-6 plum summet talium quadratorum omnium scilicet sta. Quod sic patet. Per 3 6Τ secundi horum arithmeticorum , ex aggregato ipsorum s. de p. hoc est postrem. e propositarum,& sequentis proxime radicis , hoc est ex i7. in productum earundem scilicet 2. fit sexcuplum summae dictorum quadratorum. Igitur ex 8 quod est dimidium dicti aggregari, si 1.triplum alao .quae in 7 1.fiet triplia talis summae. Sed sicut 2.ad 9. sic o 8.ad est summa quadratorum .. quare,per vigesimam septimi Elementoru, quod fit ex 72.u,
452쪽
triplum summa quadrar rem dicta. tοῦ τοῦ aequale erit et,quod ex se. in os . Igitur ex s. in 6s. siet M-plum diche summae quadratorum : quod erat demonstrandum.Quod autem 71.ad 9. sit sicut 68.ad 8 patet. nam 7 a. ad p. est octii plus ex dissin .multiplicationis,atque 58. ad similiter octu plus : constat enim 68.ex duobus, scilicet 6 quadrato,& ex dimidio suae radicis,scilicet inq; 6 Oct plus ad 8. suam radicem , & totu plus etiam quatuor dimia dius eiusdem radicis ad k. Quare totum 6 8. ad totum δή smiliter octupluna. Constat ergo propositum. quod sicut de octo, ita de quotcunque propositis radicibus similiter ostendemusia P Rorosi T ro 38.
Quod fit ex aggregato quotlibet radicum ab et late ordina rarum in se ipsum multipliιato, quale est aggregato omnium cuborum a singulis radicibus fictorum . Nam per distin . aggregatum radicum ab unitate ordinatarum, est triangulus n merus postrem et radicum. Sed triangulus talis in se ductus. producis aggregatum cuborum omnium radicum usque ad postremam inclusiue, per 3 8 praecedentis libri.Igitur de a=gregatum ipsum radicum in sese multiplicatum producit eorundem cuborum aggregatum. quod erat demonstranda.
Vnde mamsesta fit regula progressionis cuborum. Et hic, scut in quadratis, notandum, quod si pro radicibus proponantur aliae quantitates secundum prirnς crementum in ordinem continuatae : tunc proportio earum singularum, ad singulas radices triplicanda est: &secundam talem proportionem adaugenda erit, Vel minoranda summa cuborum , radicibus factorum,ut proueniat summa cuborum proe sitarum quantitatum . .
Item huc spectat quidquid de pyramidibus in praeceden
ti libro conclusum est. Nam pyramis triangula est congeries triangulorum : quadrata, quadratorum: pentagona,pent sonorum 8, hexagona hexagonorum, & deinceps ab unitate ordinatorum. Vnde totide progres Itonu regulae propagara PROPO
453쪽
: -- PRO Post Tio 39'. . aeuas propositas rationes coniungere . Sunto duς rationes, na per duos numeros a b. & altera per duos numeros c d. signi ficata , Oportet eas coniungere : hoc est, rationem ex ipsis duabus composita inuenire . Hoc fiet per multiplic tionem terminorum unius in terminos alterius sic: Duc tur a. in c.dc fiat e. Ducatur b.in d. fiat g. Dico igitur, quod a. 3ratio e. ad g. est aggregatum rationum a.ad b. & c. ad d. hoc b. 1 est,quεd ratio e. ad g. componitur ex rationem a. ad b. & ex ratione e.ad d.Quod sic ostenditur. Ex a .ind. fiat s. & tunc, quoniam a. multiplicans ipsas c. . facit ipsas e ferit per primam sexti, scutc.ad d. sic e. ad s. Item,quia d. multiplicans
ipsas a b.producit ipsas fg. erit sicut a. ad b. sic f ad g Sed r1:
tio e. ad g. componitur ex rationibus e. ad f&ipsius Ladg. igitur eadem ratio e. ad g.componetur ea nominibus aequa Ebus, scilicet a. ad b.& c. ad d. Quod erat demonstrandur
Non aliter tres,aut plures rationes in unam colligentur. Pnorosa TIo O . Duaru rationum propositarum altera si adtera subtrahere . Sunto duae rationes a. ad b. de c. ad d. Oportet subtrahere hane ab illa. Hoc fiet per multiplicationem terminorum Ordine permutato, sic: Ducatur d. in ain sat e. Ducatur c. in b.& sat s. Dico ergo, ratio c. ad s. est, quae restat post subtractionem rationis c.ad d. a ratione ipsius a.ad b.Quod sic o stenditur. Ex c. in a. fiat g. & tunc, quia C. multiplicans ipsos a b. facit g s erit, sicut a. adb. sic g. ad f & quoniam a multiplicans ipsos c d. faciunt ipsos g e. erit scut c. ad Asciam g.ad e. Sed ratio g. ad f componitur ex ratione se ad ec& ex ratione e. ad f ergo ratio a. ad b. componitur ex ijs. dem : fuit autem sicut αadd. sic g.ad e. Igitur ratio a .ad b. componetur ex rationibus c. ad d. & e. ad L. Quare, ablata ratione c. add. a ratione a. ad b. supererit ratio e. ad L quod erat demonstrandum.
454쪽
bis ipsam et sibi, si triplicada, duplam iam iungatur iterunt: si quadruplicanda, triplatς iungatur iterum : itaque deinceps.Ita enim intelligitur multiplicari ratio, ut bis, te qua tei ve continuetur in terminis.Vnde quadratorum ratio dupla et cuborum tripla; secundorum quadratorum quadrupla ad laterum siue radicum rationem.
I crationis duplam terminis un' intererit medi propor: tionalis Triplatae, duo'; Quadruplam, tres itaque deinceps.
Datam rationem bifaria, siue triori siue quadrioria, siue pluriseriam , utcunque quit Fam postulavcrit, aequaliter partiri.
bini datae rationis termini a c. ii oporteat rationem a. ad cibi sariam partiri, interponatur eis media proportionalis HSi autem datae rationis termini snt a d. & oporteat ipsam trifariam diuidere itu cinterponatur eis duae mediae proporrinales b c. Si vero dati rationis termini snt a di de oporteat ipsam quadrifariam partiri: tunc interponantur eis tres m diae proportionales quantitates bcd. Cuius problematis praetica executio,quamuis a nobis in Arithmeticis quaesti nibus si abunde tradita, hic tamen ab exemplis non abstinebimus. Et in primis notandum, quia quando propositae quantitates sunt adinvicem sicut quadrati nometi: tuc quantitas interiacet illis media proportionalis: quando autem , sicut cubi numeri, tunc duae mediae. Quando verbsicut quadrari quadratorum, tunc tres mediae. Quando de mum icut quadrati cuborum,tuc quinque mediae propor rionales quantitates propositis interiacent: & in omni tali calu tales quantitates continueproportionales sunt adimidice coincsurabiles;quippe quae inter se in ratione numero undedi ratrones apsae tunc sunt rationales,hoc est,per veros exprcssae, atq; ideo proposita ratio tunc secatur in ratio'no cognitas per numeros. Si verb propositae quantitates μcus, quam dictum est, ad inuicem se niscant: interpo proportionales mediae rationales non erunt. Exempli gratia, proponantur mihi duo numeri 8. & 13. quibus iub rmedium proportionalem in umire, quoniam tales numeri se habent adini cm,scut .& 9.'quadrati numeri, quibu interiacet medius proporticia alis b. Ideo S propositis unus similiter medius intererit proportionalis I i. duplum ad illum medium , scut propositi ad quadratos dupli sunt. Item
455쪽
Item si iubear ipsis i 6. &3 4. duos proportionales inter ponere:quomam tales numeri sunt ad inuice, sicut 8.& Σ .cubi numeri, quibns interiacent duo medis propoettionales, scilicet i 2.δe 18. i.im ideo de propositis toti ae medii proportionales interiacet, ut scilicet 2 . de 36.Item, si ipsis s. & 8. tres medios proportionales accomodare velim, no minus licebit : cum sint sicut I. & 16. quadrati secundi quibus tresa. . s. medii intersunta. erutq inter .ppositos medi3 6.i2.2 . Adhuc si his numeris 3.& l02. lubet intercludere quinque D
in proportione ipsorum I. dc 6 . qui sunt quadrati cuborii, quibus nemo nescit quinq; numeros interellia proportiona- les scilicet 2. . 8.l6.q2. Vnde S pro sim sintererunt totide scilicet 6. I 2.14. 48. 9 6. Quod si propositi numeri aliter, ' o dici uest,adinvicem se habeant, non intererunt ipsis, quos r cu diximus, numeri proportionales: sed qualitates irrationales. cu. Exempli causi, proponantur duo numeri nulla dictatu proia r
sunt continui: proportionales , ita δί eorum radices scilicet r. . r.6. r. 9. sunt continue proportionales. Si autem ijsdem ςV R numeris vesim duas medias proportionales inserere, assua y 'ςu 9 imam eor In cubos s. & 27. quorum medii duo sunt i i. ς' I r ς - 4
& 18 . qui cubi sunt chrarum quas quavimus mediarum: 'Nam radices caborum proportionalium sunt& propor tionales. Si vero , iisdem Ges medias interponere iubeati
exponamicorum secundos quadratos, scilicet i s. dc 81. quorum tres numeri medio sunt, scilicet 2 . 36. 14. qui secundi quoque quadrati erunt quantitatum trium m diarum, quas 'linerimus : Et quoniam horum numerorum medius quadratus numerus est, iam media trium quantitatum non statim secundo quadrato sed etiam primo notescit: eritque ipsa r. 6. Si demum, ipsis 2. Sc 3. quinq; in diis proportionalca procurem,eliciam ex ipsis quadratos cirborum, siue cubos quadrato ru, qui sunt 6 de 719. Quibus, interponi piat quinq; numeri Pportionaliter. . 96. I . Hα. 32ε. 486.4 similiter erui quadrati cuborii quinq; mediaru,
456쪽
quas quaerimus, quantitatum. Et quoniam horum medius habet cubam radicem , scilicet b. iam media quantitas erit radix quadrata b. Item , quoniam huius medij collaterales sunt quadrati numeri, quorum radices quadratae sunt i 2.dci 8. idcirco & mediae quantitatis collaterales, crunt radices cnbae numerorum i 2. de I 8. Sed haec omnia non soldm ex elementis Euclidis demostratur, veru metiam in triuialibus ludis practico cuilibet sunt notisIima. Quatenus tamen problematis qualitas & locus exigebat, haec a nobis indisecta sunt.
Ex quibus quidem manifestum, quod in quantitatibus continue proportionalibus, si prima & secunda suerint in
tionales, tunc sequentes in eadem proportione continuatae semper in infinitum rationales erunt. Si autem prima Atertia tantum rationales suerint tunc quinta, septima de singulis semper intermissis , sequentes rationales erunt: intermissae vero omnes potentia latum expresset.Si vero primα& quarta rationales duntaxat esse contigerit: tunc septima, et decima , et tredecima , et binis semper intermissis caeterae sequentes rationales erunt, intermissae autem cubo tantinim cognitae. Adhuc,si prima et quinta solum rationales supponantur: tunc nona, tredecima, septemdecima, et ternis semper intermissis , singulae rationales erunt. trium vero Vbicunque intermistarum media quadrato tallim cognita, duae caeterς mediates, hoc est, per secundum quadratum pronunciatae. Denique si prima et septima tantum supponantur rationalese tunc necesse erit tredecimam, undevicesimam, vigesimamquintam, et quinis semper intermissis singulas 1 quentes esse rationales. Quinque vero in quovis loco intermissarum mediam potentia tantum esse rationalem : duas autem huic collaterales cubo tantum pronunciabiles. duasque extremas rationalibus proximas quadrato cubi ta tum cognitas. Quae corollaria ex ipsa proportione, ductuque quantitatum satis constat.Consyderata numerorum'
multitudine, quae siue quadratis, siue cubis, siue secundis auadratis, sue quadratis cubicis proportionaliter interciisit.& ipsorum qRadratorum, seu cuborum productis.
457쪽
PROLOGOMEN A. I R C A irrationalium quantitutum hiecies succurrunt quaedam L eculationestum ad magnitudinum Symmetriam, quam adpraxis, , rationum pleniore notitiam fisantes , Olim a nobis explicata: quo, quoniam huic secundo libedo congruae midebantur, hic subiunximus. αuarciit apertius intelligatur, exordium eapiemus a di sinitionibus ipsarum irrationalium magnitudinum. Deinde no per Deo area quemadmodum Euclides,si ub terminis co- mensurabitam , incommensiurabilium quantita
tum, earum condictiones, proprietates colligan
tia proponemus, ac per nomas posita demonstrabimuπ.Nec facile qui 'iam fuisse putet,elementa --iusmori a lineis oe areis ad quantitatem in genere sempiam transferre, , numerarium silmulpraximhinc derivatum ossendere:quippe quaesiculpas intriuiabbus scholis triti,ita necubi satis siuerat demo
stratu. Ordior itaque nouum demonstrandi genuΥ,
tantos in hac parrepraestantius Euclideo , quanto generalis quantitas dignior ac purior 67 primariae
matbematicae, gram linea jecialas, es conuenientior. Simul per mium hanc, quam in demonstrando assumimus, multa notescent, quae in decimo Elementorum Hlyderantur.
458쪽
' Commensurabiles magnitudinca dicuntur quas commu
In commensurabiles veris, quarum impossibile est inu
Gmmcnsurabiles porcntia quantitates sunt,quarum potentiae, hoc est quadrata sunt comm cnsurabilia. In commenturabiks vcro potentia, quarum quadratai commensurabilia. Commensurabilcs in secunda potentia quantitates sunt, quarum secunda quadrata sunt commensurabilia. In commensurabiles similiter,quariam inc5mensurabilia. Commensurabit scobe quantitatcssunt, quarum cubi commensurabiles. In commensurabiles Verb cubo, quarum cubi incom
Quibus ita se habentibus, s proponatur quaptitas quia
piam ; erunt infinitae quantitatis illi coramensurabiles, &quantitate,& potentia,S potcntia secunda 1 cubo. Vocetur itaque proposita quantitas Rationalis, unde de quadratum ipmis, di si cundum quadrati ,1 cubiis, S quincimque dignitates ab ea proragat rationales troiit. Et quantitas Tropositae, hue magnitudine, siue potentia como ia su rabi lcs, rationalis vocetur. Incommensurabilis vero, irrationalis. Quibus ita di Tnitis subiungemus singulas irrationalium disinitiones : nam, cum Quantitas rationalis si, quq positet rationali coimmensurabilis est. Rationalis potentia tam din cili, cuius quadratum duntaxat rationale cst. Similiter & ration lis cubo tantum, colus cubus tantum rationalis est.
Medialis autem, cuius secundum quadratum duntaxat rationale est. Ex quibus. limnitionibus sequitur, ut quantititas rationalis sit etiam & potentia, de cubo, & potentia secunda rationalis: non autem e contrario. Item ut quantitas potentia rationalis sit etiam potentia secunda rationalis, non autem c contrario. Nunc disinicinus quantitates irra tionales bimembres. Binomium constat ex duabus quantitatibus rationalibus ac potentia tantum commensurabilibus. Quarum occisus. Arotome
459쪽
Apotome vel Residum dicitur.Et necesse est, ut earum qu dram conficiant rationale: earum vero productiarn mediate. --mmediale primum constat ex duabus quantitatibus medialibus potentia tantum commenturabilibus, & rationale comprehendentibus : quarum quadr*ta conficiunt me diale. Harum excellus. Residuum mediale primum dicitur .
Di mediate secundum constar ex Mabus quantitatibus medialibus potentia tanthyn commensurabilibus & mediale comprehendentibus : quarum quadrata conficiunt m diale, quod est mediati praedicto in commensurabile. H rum excessus Residuum mediate secundum dicitur. Maior constit ex duabus quantitatibus potentia incommensurabilibus : quarum quadrata conflant rationale : de quod sub ipsis mediate. Haru vero excelliis dicitur Minor. Potens rationale ac mediate constat ex duabus quantitatibus potentia in commensurabilibus, quarum quadrata conant mediale,& quod sub ipsis rationale. Harum excelliis dicitur cum rationali mediale totum potens. Potens duo medialia constat ex duabus quantitatibus potentia in commensurabilibus , quarum quadrata conflant
mediale, de quod sub ipsis mediate praedicto incommensurabile. Harum excelliis d: citur cum mediali mediale totum potens. In quibus sex disinitionibus mediate intelligitur quantitas potentia tantum rationalis. Namque omnis area, siue omne productam potentia tantum rationale, solet ab Euclide mediate vocari. Et linea potens talem pream, solci ab codem linea mediatis dici. Quod tamen
non interturbabit propositum nostrum. Nos enim quantitatem in genere sae illa linea sit, siue area, potentia tan-rum rationalem vocamus , citius quadratum rationale. Medialem vero, cuius quadratum secundum tantam ratio
nate est. Sed in dissilitionibus dictarum sex irrationalium sequemur Euclidem. Praeterea tam binomium, quam residuum habet sex species sie distinctas. Quando metior portio Bino iiiij, seu retadui, est potentior breuiore in quadrato quantitatis libi commensurabilis: ipsum est primae , tecundae, vel tertiae species.
Quando vero inaior portio brevia Orem potentialiter excedit in quadrato quintitatis sibi in commensurabilis, ipsimn muniae, vel sextae speciei. Deinde si maior po
460쪽
tio mim fuerit rationalis quantitate binomium seu Resdnum erit prima vel quartae speciei. Si minor portio fuerit rationalis: erit socundae, vel quintae. Si neutra portionum suerit rationalis, erit te tiae, vel sextae speciei.
Notandum. γ od quant Iratum alia eri rationalis. Ata irrationalis. Es irrationaliam, alia simplex , hoc es, iuι noro is, a5a bimembris. O mum simplicium alia pater
tialiter tan um rationata : alia cias tantu . . aba quadraro secu/.do totum rationalis:
quae Media is vocatur. Bimembrium autem duae sint precipuae 'ecies. Prima species, cuisu membra sunt potentialiter tantum commensi rabici . Secunda , cnitu portio sunt etiam poterulariter incommensurabitet. Prima β ecies est triplex . O totvlo secuis. . Ita enim emtinet Tinomatim pir compstionem partium.O Resi oram per e cessum Item Tinne diale primum, cum sus νύ o medias primo. Item di mediati s Gundum , cum suo residus med ali secundo. Haee υινὸ δ cies continet Maiorem , cum in mori, item Potentem rationale , ct inediale . Dumque Residuum, silicet cum ratia si mediati potem rem: Item Potentem duo media ia : suumque Re duum cum mediali mediati pςtentem . Traterea tam Sinomium, quam Re duum. est sex J ecierum. Quaesingula iamduduin Lbmita furat . Sed attendendum, quia quantit, dureum nominum siue bimembris ect, quae cinstat ex duabus portionibus ita ad imitem adfectu , ut ad unum nomen r di
queant. Secus enim non erit Σ nominis quantitas .vi autem portionet tales alicuitu quam
ritatis ἱimembris sint ita ableeiae, ut ad uno nomen redigi nequeant, opus eris duabur conditioni us, filicet ut portiones sint inincem incommensu litis nam portiones commensurabiles coniuncta conficiunt quan irare viHus nominis o eius Epeciei cuius sunt partes, is Octodemiu ct insiper ut congeries quadra:orum inarum poritonum sit incommensurabilis produeZo earundem et sic enim et, ut talis congerisi cum dupli talis producti l quod est quadratum pransitae bimembris per quartam securissit minime faciat quantitatem uni- n minis. Namsi dicta congeries dicto producis commensurabilis esset; tunc congeries cum sti dicta, hoc en, Acrum quadratum, esset qua ruitas unius nominis , ct perinde quantita. ipsa esset tinius nominis: quia videlicet, vadis uni nominis quadrati: qur conditiones exprimuntur in pudistis irrationalium di niti nibur . talioniam igitur riscesse en, partiones ex quibus bimembris quantiso, siue per campositionem, siue per abscissionem procedit, esse inuicem incommensurabiles insuper congeriem quadrator n earundem portionum esse ineomm Ureabilem producta Ipsarum idcirca sex utrinque irrarionalium quantitarum species pro Mari oportet. Si eiam portiones fuerint incommensurabiles in magnitu istantum, Me est, potentia se uin commensurabites , siens tres Oecies irrationatium , siticea prima , secunda , o tertia. Sι autem portiones fuerint incommensurabiles etiam potest tiriiser, feni tres re Ius pectes , si cer q: arta, qui ima, ct sexta. Deinde , si congeries uadratorum ipsarum partis in fuerit rati natis , or prac tum earrem med ale, mi Lma . vel quarta Jecies. Si autem eo eries medita . . o productum rationati, fiet s.cunda, vel quinta. Si vero tam congeries, quam productum mediati, Er alterutrum Di