장음표시 사용
111쪽
vatiae disseis renuae. Disterent apnura Secunda. Quarta.
3.Vel persimi metros. Ut aggregatum semidiametrorum ad unam semidi, metrii cavitatis,ita seimidiameter cavitatis alterius ad semissem distantiae soci. liis regulis perspicuum est praeceiiciates tabulas etiam servire ad utrinque concavarum Lentium focos virtuales inventcndos, potissimum prunam. Nani Lentes uti incis concavae quae diametrum habent ultra pedem non ita frequen-rer veniunt ad ulum,nisi in tei spicillis. Sic Exempli causa, si velis scire datae Lentis cujusdam concavae focum viriti alerei,cujus Cyncavitatis unius diameteriit: alterius invenies in tabula primi pro fodo in corii muni concursu dictarum diametrorum respondere . I dc insupcta utius adhuc centesimae, sive focum virtualem esse in distantia st Lente ad particulas centestinas se' tem cum dimidi1. Quia vero acutiores cavitates potissumiri, ad tubos con munes Hollandicos inserviunt, tartim coriblisitionis ad diametrum utque utrinquc quartae partis pedis Romani sive - specialem tabulam accurasestipputatam hic apponere volu ut unico mox intuitu cujuslibet talis combinationis diametrorum minorum soci res ori dentis distantis per particulas
mihi linia ejusdem pedis Romani indicat una cum adiectis si quissiliat, mi initiis sive fractionibus facillime addisci possit. Eadem tabula potest quoque ad ferti in ilium convexitatum combinatiotiem pro inquirendo soco uidem inpetente servire. f. III. Menisicorum set e Lentium mi Martim focos trigonometrice reperire.
Menil contin ut sit pra vidimus coroll.I. prop.29. variae possunt esse differe tiae exsola concavitatis mutatione, prout eius radius sive semidiameter cum radio convexitatis aliter atque aliter se habet. Prima differentia esse potest, cum centrum concavitatis continetur interr dium convexitatis 3c ejus triplam ; tunc locus realis, quem habet talis Men, seus,erit ultra sesquidiametrum convcxitatis. Secunda differentia : cum semidiatrieter concavitatis extenditur ultra Es- quid aliaetrum convexitatis ;& tunc socus realis erit ante convexitatis sesqOidiametraim. In his duabus differentiis semper praevalet convexitas, adeoque ambarum istariam dii serentiatum menisti habent secum verum & realem ad arcem,ubi radios parallelos perfecta unire & colligere possunt. Tertia dii serentia est,cum radius concavitatis minor est radio convexitaris: de in hac disterentia praevalet concavitas, nec hujus disserentiae Menisici habent focum verum &realem, sed virtualem,radiique paralleli incidentes non colliguntur & uniuntur,sed dis erguntur & divergunt post Lentem: ideo γὰad concavas Lentes reduci pollunt. Quaria differentia est, quando ambae siphaericitates sunt aequales sive ruali radio: tunc nullus et it secus,sed radii in talis dii serentiae Meniscosentes remittuntur paralleli,ut demonstratum supra prop.29. Vidimus quoque supra prop. 28.&3Σ. quod dum radius concavitatis triplus est radii convexitatis,tioci distantiam cste aequalem radio concavitatis. Item ipatet ex prop. 33. quando in Menisco aliquo radius convexitatis triplus est radii concavitatis, distantiam soci virtualis esse aequalem radio convexitatis. His obiter repetitis Jam uia versaliter inquiritur, quomodo dato quocunque Menisco qualiumcunque sphaericitatum accurate sciri possit eius focus, livd ille ut realis, ubi nempe convexitas, sive virtualis, ubi concavitas praevalet quod ut sciri probe possit,sequens Theorema venit demonstrandum.
113쪽
per particulas centesimas pedis Roma
114쪽
θ2Suarum concavitatum acutiorum in diametris
sidanisve alterius cujuslibet mensurae indicatarum cum assigna- 1lcncuilibet combinationi per easdem particulas
n specillis concavis acutioribus.
116쪽
LM nificis ἰα euns ita es di serentia inter radios conmmitatu τ com
cui talis adradium convexitatis, ut diameter concavitatis
Sit primo Meniscus A C B cujus concavitatis
centrum G versitur intra radium FC convexitatis ACB de ejus sesquidiametrum CH sive intra F&H. Dico ita esse FG differentiam radiorum ad F C radium convexitatis, sicut dupla G L sive diameter concavitatis ad C Κ distantiam ci. Certum enim est,quod vi primae refractionis radius D E in ingrestia Menisti dirigatur ad punctum H , ideoque inclinationis angulus pro secunda refractione erit G O H, S: angulus retractionis prioris semissis erit HO K. Demonstratio. In triangulo HOG ita est D misis
angulus H Ο G ad angulum G H G sicut H G ad litati Goseu GL: &ita cit dimidius G O H ad angulum OH G sicut dimidia GH ad GF ; vel sicut tota GH ad duplam GL : ut autem semissis an guli Gol seu angulus H Ο Κ refractionis ad angulum OH G , ita ΗΚ ad O Κ'seu LΚ pertrigonometriam sumendo angulos pro sinibus , quia simi satis acuti: ergo ita est HGad duplam GL sive diametrum concavitatis, sicut H Κ adii LΚ ι & permutando, ut dupla GL ad L Κ, ita GH ad ΗΚ sicut G Κ ad HK. Est autem dupla L G cum L Κ aequalis triplar L G cum G Κ : igitur ita est tripla L G cum G x
II ad LΚ sicut G A ad HV Si itaque auferatur exi primo termino G Κ, relinquitur tripla LG, de ex secundo LΚ si auferatur ΚΗ , relinquitur L H. Cum ergo ut totum ad totum ita sit ablatum ad ablatum : erit reliqua seu tripla L G ad reliquam L H seu triplam L F sicut tota ad totam nempe dupla I si cum L Κ ad LΚ r ut autem tripla ad triplam , de dividendo ut L G ad LΚ , ita excessus triplae L G ad triplam L F sed ut excessus triplae L G ad triplam L F, ita excessisus simplicis LG ad simplicem LF : hic autem excessus est G Rergo ut G F ad L F, ita dupla L Gad L Κ: oe quia GF est differentia radiorum,LF non computata Lentis crassitie in sive C F est ra-ὸius convexitatis, S dupla L G aequalis diametro
concavitatis, & foci distantia est Lx, ergo ut est differentia inter radios convexitatis & concavi tatis ad radium convexitatis,ata est diameter concavitatis ad distantiam soci, quod erat demo strandum.
117쪽
Fundamentum II. mathematico Dioptricum.
Siti cundo Meniscus ACB cujus convexitatis A CB r di is C F concavitaris vero A LB radius LGextendatur in G ultra CH sesquidiametrum convexitatis : erit persi aperius dicta secus realis ante convexitatis sesquidiametrum CH. Sit ergo exempli causa ad punctum M. Dico ita esse differentiam F Rad convexitatis radium FC, sicut dupla I G quali, est L M diameter concavitatis ad LΚ distantia soc Nam cum vi primae rcfractionis radius incidens in ingressu Menisci dirigatur ad punctum H , cui angulus G OH aequalis angulo inclinationis in v tro , cujus semissis csse dcbet angulus refractionis
ΚOH: undE iam concluditur ita esse G F ad FI 'sicut dupla I G si eglecta Lentis crassitie vel CG quali; est LM ad La distantiam seci, quod ita de monstro. Demonstrario. In triangulo GHO ita est in
gulus OH G vel O HL ad G OH , sicut OG s u L G ad G Hi & ita est idem angulus O H L ad k- imissem G Ohi seu ad angulum id O x sicut dupli GL adHG i Est autem in triangulo OH X ut angulus O HK ad'HOΚ , ita OK sive I K ad
ΚΗ: ergo ita est dupla G L qualis ML ad HG
sicut Κ L ad K H ; de permutando , ut dupla Gnempe M L ad Κ L , ita G H ad FI K. Et ut aiat
cedens ad consequentem , ita omnes antece lentis ad omnes cons 'quentes: erit ergo dupla LG nempe
LM eum GH ad LX, de ΚΗ seu LH ut dupla G L nempe M L ad K L: de rutius compotion ro , ut dupla G L, G H, L H seu tripla G I. ad I H s utriplam ipsius L F ut dupla G L cum X L ad K L:& auferendo conssequentes antecedentibus , ita erit excessus tripla: GL silpra triplam L F, seu cxcessiis simplicis G H - GF ad lineam Guyo ML D mpe M Ldiameter concaVitatis ad KL distantiam foci, quod crat demonstrandum.
118쪽
Sit tertio Meniscus cujus concavitati, A LB radius L F minor sit radio N Cconvexitatis AC B: in tali casu quia con-4i cavitas praevalet, radius D E post secundam refractionem iactam in egressu Me nisci a puncto I diverget in H quasi pro- i. cederet ex puncto K. Dico rursus,quod ita sit differentia FN radiorum ad N Cradium convexitatis, vel neglecta Lentis crassitie ad N L sicut diameter sive dupla FL radii concavitatis ad I Κ vel LΚ di- , stantiam foci virtualis. Nam radius D Evi primat restactionis dirigitur in M t est erimi LM tripla lineae N L adeisque sesquidiameten et . erit item EI G angulus ii, clinationis , cui aequalis Filii utpote adverticem., unde duplusianguli MIH . adeoque angulus HI F sesquialter anguli FI M. Demonstratio. In triangulo M IF Demo.
ita est angulus Mi F ad angulum M, sicut FMad FI sive FL : de ita est dimidius angulus FIM seu angulus HIM ad angi Ium M sicut F M ad duplam L F. In triangulo autem MI K ita est angulus MILseu HIMad IN F, ut MK ad IK seu KL : ergo ita est F M ad duplam L F , ut MK ad KL vel ΚC: rursus dividendo erit excessiis ipsitis MF super duplam FLad duplam F L ut M L ad L Κ seu M Cneglecta Lentis crassitie ad K C. Si porrdi adjungatur ipsi M F linea L F, de eadem LF addatur duplae FI , erit excessus ipsius M P super duplam L F idem ac excessus ipsius M F super triplam L F. Erit ergo excessus M C super triplam L F ad duplam L F ut M C ad C Κ : de permutan- do, ut hic excessus ad MC ut dupla I Fad MC, ita sunt trientes t hoc est, ita est excessus N C sit per FC seu NF ad N C.
i,' Use ut NF differentia radiorum Conu ..U xitatis de concavitatis ad CN radium: ἰμ convexitatis , ita erit dupla ipsius L F ,M:q ii quae est aequalis diametro concavitatis adu: I K vel CL soci virtualis distantiam ιi ica quod erat demonstrandum. inim/ mui, . inclum i cia
119쪽
Ex tractenus demonsitatis regulae practicae certificantur consequentes, A M. pro Meniscorum quorumlibet sive Lentium mixtarum secis inveniendis quae fiant Regula f. I. Ut differentia semidiametrorum ad semidiametrum convexitatis, iupς si φ dupla semidiameter sive diameter concavitatis ad distantiam seci.
Si datus Meniscus cujus convexitatis radius parcium zo, radius vero co cavitatis si e partium 3o, erit differentia partium io, & diameter concavitatis partium so. Fiat ergo
Ut differentia radiorum partium io.ad radium convexitatis partium to ita diameter concavitaris partium 6o.ad distantiam seci, quae erit partium rio. II. Per diametros. Ut differentia diametrorum ad unam diametrum ita
Resumatur praecedens, sique Meniscus cujus sphaericitatum diametri comsiderentur, sitque diameter convexitatis partium 4o, concavitatis partium 6o, erit differentia diametrorum partium 1 o. Fiat jam Ut distantia diamet parti 1 o. ad diametrum convexitatis o. parditata meter concavitatis so. partiad distantiam seci, quae erit ut supra Part. o. III. Persemidiametros: ut differentia semidiametrorum ad unam seni diametrum,ita alia senudiameter ad semissem distantiae seci.
Eodem resumpto Menisco set differentia semidiametrorum ut in prima exempIO,loco tamen diametri ponatur semidiameter, ut hic: factiam vides. Fiat ut differ. Rad.part. io .ad Radium convexitatis io. Part. ita semidia meter concavitatis 3 o. ad semissem distantiae seci,quae erit pari. 6o.haec aurem duplicata dat veram distantiam pari. rio, ut in prioribus e emplis. Iuxta secundae Regulae practicae operationem praesens Tabula quari pro Meniscis cst supputata: stipponit autem combinatarum sphaericitatum diametros in particulis centesimis notae alicujus assumptae mensurae ἔ Velut pedis Romani continua progrestione per differentiam quinarii sese cxcedentes usque ad integram mensuram quae sit partium centum, quia Menisci longioris diametri sphaericitatum non satis commode praxi subservire poliis videntur: qui tamen alias combinationes requirit, ex regulis modo tradi tis iacile pro iis secos determinare poterit. Usus Tabulae est persimilis Prxcedentium Tabularum, modo attendatur, qualis sphaericitas praevaleat caenianori quantitate diametri, pro ea siquidem praevalentia secus , vel reali de verus,aut virtualis esse debebit. Sic dum Meniscus seret, cujus concavitatis diameter esset 6υγ artium, convexitatis autem η o. partium,in cisi ab his numeris facto in Tabulam , dum venitur in communem areolam, repetitur numerus iso.pro secidistantia in partibus similibus: unde talis Me- Discus,quia diameter convexitatis minor est diametro concavitatis adcoquet Uonvexitas praevalet , habebit iacum realem M verum in assigna a Peripuis