장음표시 사용
81쪽
ra . Fundamentum II. mathematico Dioptribu
convexitatis, semper concursus ultra sesquidiametrum convexitatis protrudetur , donec dum ex earem semidiametro ambae superficies constituantur, ubi tunc radii incidentes axi paralleli post Lentem iterum pGralleli procedent, hoc est, in infinitum. Quocirca ratione sphaericitatum tota latitudo protrusionis loci sive concursus radiorum versatur inter semidiametrum concavitatis dum est aequalis sesquidiametro convexitatis, de semidiametrum concavitatis, donec aequetur cum eadem semidiamet
Memistus ambas su- rei scies a.' ualis si saericitatis habetis uti testinat i a dica
c ceni v si ambae superficiei sphaerica ex aequali fuerint
semidiametro, radius incidens axi par gelus post secundam reseractionem factam restituitur para Em.
SIt Meniscus AB cujus convexitas & concavitas ex aequali semidiam tro C l, vel a F, dico, quod radii s DE axi CK incidens parallelus per secundam refractionem in I suctam e vitro in afrem egrediatur parallelus. Fiat enim ipsius C l, vel a F tripla Cc vel a G neglecta Lenticcrastitie C a , dumturque EI G : item a centro F per pum tum I ducatur perpendicularis FIL rursus a piincto I ducatur IH parallela ipsi C G
82쪽
Demonstratio. Radius DE vi primae refractionis ab E dirigitur in c vel G neelecta vitri crassite per coroll. pro A. hujus, cum Cc vela G sit tripla radii convexitatis ACB ; igitur in ipsis vitro erit angulus inclinationis LI E prosecunda refractione , vel ei aequalis FIG, cum sit ad verticem. Porro quia dum a vitro in aerem si restachio angulus refractus debet fieri una tertia major angulo inclinationis , ac angulus refractionis esse media pars anguli inclinationis , adeoque hic duplus esse anguli refractionis per dicta si aperius. Quod vero angulus GEF aequalis angulo inclinationis ita d
plus sit anguli HI G, sic ostendo.
In triangulo G IF ut sinus ita sunt SI anguli quibus opponuntur, &ut sinus ta siunt latera. Sed ut GF ad FI, ita sunt sinus angulorum , ergo ut CF ad FI, ita sunt anguli iis
oppositi, nempe GIF ipsi GF , &IGF ipsi
FI. Cum itaque ex constructione G F sit dii pia ipsius FI, etiam angulus G IF duplus erit anguli IGF. Est autem ipsi IGF aequalis angulus HI G, cum sint alterni per 19. primi Euclid. sequitur ergo angulum HI G vere esse angulum refractionis tali inclinationi competentem : adeoque . quia anguli HI G &IGF aequales, erit IH parallela: ergo radius ita incidens per secundam refractionem egrediens in aurem restituitur parallelus , quod erat demonstrandum.
Eadem manente convexitate apparet differentia in diversitate processus radiorum refractorum per solam mutationem concavitatum. Cum enim radius concavitatis velut M a minor est radio convexitatis , necessario
quia angulus GIM aequalis angulo inclinationis crestit, etiam angulus refractionis tali inclinationi competens crescere debet ultra parallelum I H, adeoque refractus tunc fiet divergens , secumque virtualem habebit versus K. Si descendat radius concavitatis in b vel F, in ut si aequalitas, radius refractus procedet parallelus. Si descendat cen- concavitatis inter F & G velut in N, cum angulus inclinationis NIG M. inor , etiam minor refiactio respondere debet, adeoque radius re-Κ fractus
83쪽
τι Fundamentum II Mathemtico-Dioptritam.
Mira disci- fractus inter parallelas IH & CG converget ultra G versius o. Si rursus f is' centrum concavitatis sit ultra G velut in O , focus ascendet versus F inter Gu - G de F, nunquam tamen perveniet in F , nisi sit tanta Mus distantia , ut couca iratis radii incidentes pro parallelis habeantur, ex quibus igitur mirabilis apparet m. uv* restactionum inmeniscis ex sola centri concavitatis mutatione.
Propositio X XX. Theorema. Qstomodo Cum in ea missis ambae si perficies concentrica ab eodem centro ex aquo stibi invicem reypondent , radii axi paral-kli incidentes non egrediuntur paralleli, sed divergentes, tanto magis , quanto ob crastiem Lentis major intor
utriusque sphaericitatis radios seu semidiametros i aequalitas ex lit
84쪽
SIt Meniscus A C cujus ambae si
perficies aut sphaericitates A Bconvexa dc O C concava ex eodem centro F sibi invicem ex aequo respondent. Dico primo , radium D E incidentem axi parallelum post duplicem refractionem non egressi rum parallelum, sed dive gentam. Demonstratio. Cum enim con- eavitatis O C radius sive semidiameter F C minor sit radio F B per coroll. i. praeced. radius retractus siet divergens, quod erat primum. Dico secundo, quod tanto magis fiat divergens , quanto Lentis
85쪽
Tundamentum II inanomatico Dioptricum.
'Data quacunque Lentis conmeritate inmenire concalitatem, aduex astera parte radios parasi os uniat ad quamcunque distantiam.
CIt data Lentis convexitas A C B , cujuς si midiameter F C: addenda sit illi ex altrodparte concavitas , quae ita radium D E irine dentem ari N C parallelum restingat , ut concurrat cum axe ad quamcunque assigna tam distantiam velut hic in exemplo est CLFiat inprimis H C tripla ipsius F C si midiametri: vi primae refractionis per corolLpro . hujus radius D E ab E dirigetur in H. Seligatur jam in linea EH punctum quo ii que I, ita ut IS I adaequet crassitem Lentis futurae , ducaturque linea M I Κ ; puncto I tai quam centro intervallo quocii iique ducatur arcus a c b, fiatque angulus a I b thiplus ipsius a Ic, vel LI H, adeoque Hl G dii plus ipsius ΚI H. Dico punctum G este centrum concavitatis A I B , quae addita datae convexitati ita radium D E incidentem axi parallelum restingat, ut post duplicem rcfiaeti nem uesatur cum axe in ast nato puncto L. Demonstratio. Cum enim radius d Eincidens avi parallelus vi primae refiactimis tendat in H, erit pro secunda res actione radius incidens MIH , dc quia linea Gl Lvenit ex G centro concavitatis AsB , erit angulus inclinationis MIL, cui aequalis est ad verticem G I H. Quia porro angulus re si actionas in egrestit in aerem debet elle una tertia anguli res acti , ω media pars anpuli inclinationis per dicta superius i angulus vero Κ IH ex construetione cit una tertia at guli res acti Κ I G, de media pars anguli is lG aequalis angulo vero inclinationis LIM ;erit ergo angulus res actionis tali inclinati m ni competens: concavitas ergo AI B cx ce tro G descripta erit quasita, quae nempe aedita datae convexitati radium D E axi pati 'telum incidentem restingit in I x distinc Mailignatae puncto Κ quod erat demonstra in
86쪽
soci & G puncto centri concavitatis addendae ad convexitatem continiictur, facile erit G centrum concavitatis in quacunque assignata soci ditantia trigonometrice invenire hoc modo.
Fiat ut IK ad H Κ, ita angulus IH F grad. i. min. o. ad ΚI H angulum secundae Refractionis. Quo subducto ab angulo IH F nempe grad. min. o. ut notus fiat angulus Κ : tripletur dcinde angulus L i id, ut sciatur angulus ΚI G, de addatur illi 'angulus Κ : eveniet angulus I G CRqualis scilicet per 31. primi Euclid. duobus internis 3c oppontis, Fiat undem ut I G Κ vel ejus complementum I G C ad I Κ aut prope illi*qualem C Κ , ita angulus Κ ad G I radium dive semidiametrum concavi tatis quaesitae. Ratio operationis siti portit assumptum angulum inciden- η D E M s. graduum pro quo tamen etiam alius supponi δί consor mi-
ZHF per 3Σ. primi Eucl. anguli autem illi se habent ut F E radius ad F H duplum radii . adeoque angulus E E H duplus sit ipsius Et F cum nectae sit; ille igitur erit grad. 3. min. a. hic vero utpote tertia pars anguli dentiae grad. i. min Ao. reliquae operationis ratio similiter ostendi po-RE Sed sam in exemplo Trigonometricam hanc praxin elucidemus. Exemplum.
supponatur semidiameter F C conveYitatis esse pedum 6. & assigne- tu distantia foci pedum 3o. Ttigoti Operationu Trigonometricae Membrum I. ut I K 3o. pedum ad H Κ 11. pedum
Membrum II. Ut Angu I G C grad. s. ad I K 3o pedum
87쪽
udamentula II. Alathematico Dioptrici
Semidiametri igitur coiovitatis addendae centrum pro assignata sori distantia erit pedum io. Hac praxi facile quoque invenitur, si diamea x concavitatis ni dupla diametri convexitatis, quod focus sit ad distanti diametri concavitatis r si vero tripla, sociis sit ad distantiam semidiam esui concavitatis: de sic cum eadem semidiametro convexitatis C. Pedum.
Quanto magis recedit sociis a puncto H distantiae sesquidiametri convexitatis , tanto magis centrum concavitatis accedit ad punctum Fdistantiae semidiametriae quanto magis sociis Κ accedit ad punctum H, tanto magis centrum concavitatis recedit a puncto F, donec dum secus incidit in ipsum punctum H, ibidem sit & centrum concavitatis. .
Propositio XXXII. Theorema. Si ci Menisicus cujus concavitatis rassius triplus est ra-Hi convexitatis concavitatem obvertat ad parallelos, dystantia fori erit aequalis radio
Sit Meniscus AKBCA cuius convexitatis A C B tadius sit Cis comcavitatis autem A Κ B radius Κ G prioris C F triplus , di eo , . odradii paralleli axi incidentis D E in cavitatem obversam secus sit in I distantia , quae sit aequalis radio Κ G concavitatis A X B produeat enim radius D E in M, dc ex G centro concavitatis perpendicula sGEO.
88쪽
Demonstratio. Cumi radius GEO ex D centro concavitatis procedens sit perpendicu- laris ad concavitatem,erit angulus inclinationis D EG, cui aequalis ad verticem OEM: &quia radius D E in ingressu Lentis frangitur ad perpendicularem , ita ut una tertia minuatur angulus inclinationis, ideo angulus refractionis
erit N EM, aut huic aequalis utpote oppositi ad parallelas Et G L item, quia anguli D E G , EG Κ sunt alterni in parallelis , etiam aequales erunt; idcirco angulus EG Κ etiam erit triplus anguli EHG. Sed ut anguli,ita & sinus, & ut sinus,ita latera. Quare ut angulus E GK ad angulum E HG , ita latus EH sive Κlq ad EG. Igitur H x est tripla ipsius EG, &consequenter G H dupla ipsius E vel aequalis G K. Ducatur jam ex F centro c6invexitatis perpendicularis FI P ad convexitatem AI C. Cum igitur H G dupla sit ipsius GL LGK tripla ipsius FC aut FI, erit H F octupla ipsius Fl,&angulus inclinnationis pro secunda refractione H IF crit octu- plus anguli H. Huic autem HI F est aequalis, utpote oppositus ad verticem PIN , & quia in egressu Lentis in acrem angulus restactus una tertia debet crescere , fiet angulus NIL semissis ipsius PIN,adeoque sicut PIN ochuplus est anguli H sic seruistis hujus NIL erit quadruplus ipsius H. Sed totus PI L aequalis est duobus internis &oppositis, nempe I FL dc L:&cum I FI ad angulum H sit ut HI seu Hx ad IF , nempe ut 9 adr; hinc angulus L erit ad angulum H, sicut 3 ad 1. hoc est,ut E H ad E G ; quore anguli L & EG L sunt aequales e & cum neglecta Lentis crastitie in triangulo EGL sint EL, &EG seu CL, de ΚG aequales, sit radius concavitatis, cui CL aequalis; ergo si
meniscus ut supra concavitatem obvertat ad parallelos, dimotia soci erit aequalis radio comcavitatis,quo rat demonstrandum.
Perinde est quaecunque facies Menisti prius desicripti ad radios axi parallelos inciden
Si in concavam superficiem radius axi parallelus incidat, ut hic D E, vi primae refracti nis darigetur in punctum H, ita ut HK sit tripla
89쪽
Meniseus jus cian. veritatis ta/ius est iii plus i adiic uravita tis. Demon strati
so Fundamentum II. Mailematico. Dioptricum Corollarium III. . , P is inveniendi secum pro Menisco, cujus concavitas ad radios paral
lelos obvertitur,eadem est,ac dum convexitatem obvertit ad parallelos.
Si Menisem,cujus converitatis radius tri lus es radii conca laus, conca. Urtalem si vertat ad parallelos, distanti ociminualuerit aequalis radio conteritatis. SIt Mentiscus A b, cu)us concavitatis A C B radius aut Iemidiameter Cp convexitatis autem a Κ b radius Η Κ triplus sit ipsius F C. Dico.ouia Demonstratio. In triangulo FE H R i , ut sinus anguli FHE seu DEH illi aequalis ad sinum anguli FEH: ut aut cin sinus ita&-guli i sed FH dupla est ipsius FE .er oetiam angulus FE H duplus erit ipsus PHE. Quia porro angulus FE Destangulus inclinationis, ideo triplus erit anguli D EH , aequalis per 29. primi Eucl. ipsi FHE ; item etiam aequalis ad verticem opposti LEN per i s. primi Eucliii. Ergo L EN erit angulus refractionis tali inclinationi competens, unde D E in ingrestu vitri proc det ab Em IN , crit ergo NIL Hraditis refractus. Quia vero is perpena incularis cst ad convexam sit perficiem
a fi b, Cum ex centro procedat negrinsu vitri irrefractus procedet per Axi ma iuupra. Focus itaque virtualis erit an centro convexitatis, quod erat demonstrandum.
90쪽
S lagma I. Capus VII. Corollarium.
si semidiameter convexitatis fuerit minor triplo semidiametri concavitatis , foci virtualis distantia major erit triplo concavitatis. Ut si coimirum convexitatis esset inter H& F, velut in M, perpendicularis a Centro dis ducta per punctii in egressus I faceret angulum inclinationis cum lineal N pro secunda refractione, & radius secundo restastis IN deberct magis a perpendiculari versus L recedere, unde consequenter radius NI productus ultra H cum axe concurreret. Econtra, si centrum convexitatis fuerit ultra punctum Hsocus virtualisent inter H S: F, quia perpendicularis a centro convexitatis per punctum lducta procederet inter N & L , ac consequenter radius secundo refractus NI deberet ad partem G magis removeri, unde productus cum axe citius concurreret, nempe inter H & F. Si vero centrum convexitatis esset inter F & C, esset alia species Menisti, C ujus nempe convexitas praevaleret,atque adeo haberet verum & rsalem iocum ad partes X, ut supra ostendimus.