장음표시 사용
91쪽
ta mundamentum II. mathematico-Dioptricum.
s, haeias viaticas adtelligendum.
CAPUT VIII. De Sphaeris integi is ac dimidio, , earum
in refringendo proprietatibus.
SPhaerae vitreae , quarum in restingendo naturam praesenti capite investigamus, intelligi debent sblidae eiusdem diaphan eitatis ac densitatis per totum, item persectae sphaericitatis , non quales eae sunt, quae obiter in ossicinis vitrariis emantur intus vacuae, aqua deinde limpida aut quovis alio puriore liquore impletae, paulo aliam ob me mi diversitatem in refringendis radiis naturam liabent: radii quoque in eas incidentes stipponuntur non nimium ab axe distantes,ad Eo gradus scilicet,nec omnino ultra 3 o. gradus.
Integras haera rad os a lovinquos De axi parallelos inridentes unispos taram ad Utantiam quartae partis diametri Sit spliaera A B ad quam incidat pumisto si radius D E axi HL parallelus. Dico, quod facta duplici re fractione post sphaeram concurrat cum axe in puncto G ad distantiam B quae aequalis est quartae parti diametri AB. Sit enim A L sesquidiameter & BG dbmidia ipsius BCDemonstratio. Radius DE vi priamae refractionis per coroll. pro. . hujus dirigetur ad punctum Κ, adeoque pro cedet linea EFfi . Ad punctum P a Centro C ducatur perpendicularis CFI ; erit pro secunda refractione angulus inclinationis CFE, cui per Is . primi Eucl. aequalis L FI. Quia vero in egressit viatri refractio fit a perpendiculari, & -- gulus refractionis debet esse media pars inclinationis per s. hujus. Quod autem angulus G F Κ sit media pars dicti anguli Κ FI, sic ostenditur. Angulus GKF est media pars diebἰ anguli inclinationis.
sed GF Κ & GKF aequales sunt. Ergo
92쪽
tuam angulus G s est media pars anguli inclinationis. Cum enim linea: C3 St ΒΚ sint aequales, S perpendicularis ducta a puncto F ad axem ΗΚ sae coincidat cum puncto B, fient triangula CBF dc ΚBF per . primi suci. aequalia, adeoque CF S: F Κ aequales. Item anguli Κ CF M CKF aequales: cst autem angulus ΚFI aequalis duobus internis 3c oppositis cΚαFKC Per 31. primi Eucl. unde quilibet eorum dimidius ipsius ΚFI; sed in triangulo Κ GF linea Κ G cum sit etiam aequalis G B , & ipsi b prope rursus aequalis G F ; unde per s. primi Eucl. etiam anguli G Κ F,S L FG erunt aequales & quia GKF est dimidius ipsius KFI , ut iam demonstratum, etiam GFΚ erit dimidius ; ergo angulus refractionis competens ; ed quia B G cst distantia qti artae partis diametri, cum sit dimidia pK, quae aequalis temidiametro, integra igitur sphaera radios , ut dictum , uale in distantia quarta: partis diametri, quod erat demonstrandum.
Cum radii Solis a longinquo progressi in ejusmodi sphaeram incidentesteus cantur pro parallelis , ad candem distantiam duin colliguntur mutuo sese intendentes, facile ignem in materia ap aca dent, Sc comburent. Unde etiam focus cu)uslibet sphaerae vitreae solidae aequaliter per totain, facile sciri poterit. Sic sphaera, cuius diameter pedis Romani laabet focum in i tantiam ejusdem pedis ; de cuius diameter secum atque ita des is.
at Sphaera vitrea tenuiter crasta impleta aqua limpidissima focum amplius i removet: nam radii axi paralleli, quia vi primae rcfractionis uniuntur ad di- i stantiam prope duplam diametri, δί consequenter accedente secunda resta- dione concurrunt cum axe prope ad sesquidiametrum. Focus igitur erit Poprope ad distantiam semidiametri post sphaeram , sicque fieri potest,ut ignis Uiu baqua suo alias capitalissimo hoste acccndi possit. Quod si ejusmodi vitreae sphaerae alio diaphano liquore, velut oleo, vino, aut simili impleantur, ' pro ratione densitatis ad acrem aliter secum removebunt : nullum autem corpus perfecte diaphanum propius colligit aut unit radios parallelos, quam vitrum aut crystallus,quiantili uincit densius adeoque magis refractivum.
i: si Liacidum constituatur in axe ad punctum G in distantia quartae partis diametri post sphaeram, radii post vitream sphaeram egredientur paralleli: iii ngius in axe distet quarta parte diametri, radii post sphaeram aliquando ς' VergCnt. Si propius inter G SIB, omnino post sphaeram fient divergen-
. R , ncC unquam convenirc poterunt.
93쪽
Fundamentum II. Math matico-Dintricum.
Propositio XXXV. Theorema. 1hs, i, da. Raditu axi parallatus incidens in Hemisplurium Ῥitreum site dimidiam pharam,cum axe concurrit ultra distantiam diametri una prope tertii semidiametri.
C It hemisphaeritim Α CB, Cu-O lux diameter C G , sesquidiameter C F : radius incidens D E axi MF parallelus. Dico Primo, quod facta duplici refractione radius incidens si e puncto I egrediatur ut concuserat cum axe M F ultra G distantiam diametri.
Demonstratio. Nam quia DE vi primae refractionis diri, gitur ab E in IF per coroll. pro. q. huius, erit I punctum egre sus in aurem. Puncto I ad planitiem AB ducatur perpendicularis HI Κ : crit pro secunda
nis HI E in vitro , cui per is primi Eucl. aequalis p i K. Item rursiis ipsi FI K etiam erit a qualis G FI per Σ .ptam. Eucl. Sed
si radatis refit ictus in egreisus entis sol et I G , cum I G S: GF proxime aequales Per s.
prim. Eucl. forent etiam anguli
autem in egressit vitri angulus refractionis este dimidius anguli inclinationis per s. huius: unde minor GIF , qui ut demonstratum proxime aequalis G FI, sive etiam FI Κ : at si minor erit angulus refractionis, radius refractus ultra diametri distantiam CG cum axe Concurret ι ergo radius D E incidens facta duplici refractione ultra diametri distantiam cum aXe concurrit,quod erat primo demonstrand una. Dico secundo , quod radius refiactus I L prope una tertia semidiametri post diametrum C G proximo in puncto L cum axe MF concurrat. Sit enim G F tripla ipsius GL, sive C F dividatur in tres partes aequales, Quarum ima sit G L. . 1
94쪽
Demonstratio. Cum N G sit aequalis G F addita una tertia C L a C Nerit LN dupla ipsius L F: Verum in triangulo LIF linea Ll est prope aequalis ipsi LN , idcirco S LI sicut NL etiam erit prope dupla ipsius IF sed ut L I ad LF , ita sunt sinus, & ut sinus, ita etiam anguli oppositi: igitur angulus L FI etiam erit prope duplus anguli LIF. Est autem
intulus I FI aequalis angulo secundae inclinationis, ut dc monstratum retreb LIF erit anguius refractionis tali inclinationi competens. Porro G Lessuna tertia ultra diametrum C G ; igitur radius DE duplici facta refractione cum axe ultra distantiam diametri concurrit proxime in puncto Luna circiter tertia semidiametri remoto, quod erat demonstrandum.
Hinc patet, quod licet Lens plano- convexa , ut supra propos 6. suit ἡemonstratum , radios parallelos uniat ad distantiam diametri convexitatatis, id praecise non ita se habeat, scd quanto Lentis crastities in or est , quod etiam paulo remotius ultra diametrum convexitatis iocus ordinetur; usque dum convexitas , si tanta sit, ut dimidiam sphaeram adaequet radius siccundo refractus I L proxime ad punctum L una tertia semidiametritillaras ultra convexitatis diametrum accedat.
propositio X XXVI. Theorema. Asphara integra euicunque objecto quantumvis magno N M tala. disto ac quomodolibet figurato obvertatur, a quolibet culiqud bbejus puncto radius quidam eam pertransit
3ecto ob veisa raiadium acci .pit inesia cium tians euntem a quocunque puucto.
95쪽
s 6 Annaamentum II. Mathematico Dioptricum. SIt obiectum H IK radians in obvetiam integram sphaeram C A D. Dico,quod
ab omnibus S singulis obsecti punctis r dius aliquis sphaeram fixe loco manentem
pertranseat irrcsractus. Demonstratio. Nam cum ab omnibus punctis quidam radius incidens currat per sphaerae obversae centrum E, erit is perpendicularis,ergo pcr Axioma I. supra traim
sit irrefractus. Sic radius a puncto H dum in C ingreditur sphaeram , transit per centrum E, & rursiis irrefractus sphaeram egreditur in G : item radius a puncto Iprolapsus in A similiter irrefractus transiit in B , & radius KD procedit irrefractus in F, quod crat demonstrand um.
ia radius aliquis irrefractus inῆreditur sphaeram, etiam irrefractus egreditur : & si radius aliquis inclinate ingreditur , etiam inclinate sc u retia.cte egreditur : nec potest radius irrefracte ingredi sphaeram,&refracte egi di ; ac vicissim nullus radius potest inclinare ingredi,& irrcstacte egrcdi.
Radii irrefracti transeuntes determinant locum & sngula puncta im ginis ab obiecto per species transmissae : quia cum se habeant ut axes aliorum radiorum ab iisdem punctis profluxorum & inclinate incidentium, per sphaeram autem rcfractorum concursiam denuo recipiunt, adeoque ex radiorum collectione imaginem distincte citarinantes locum singulis radiis oro concursu designant. --
Propositio XXXVII. Sphaera vitrea integra objecta di ta alterno situ depingestia distantiam quarta partis diametri.
96쪽
It sphaera vitrea ABCD, cuJus centrum Ε, objectum vero FG si ita dissitum , ut omnes radii ab eodem puncto pro physice parallelis habeantur. Dico fore ut post sphaeram ad distantiam quartae partis diametri obieetiim F G distincte&inverso seu alterno situ depinga
Demonstratio. Nam quia per Demon- Axioma Is. supra quodlibet objecti nisuo. punctum radiat in totam spharae obversae superficiem, Sc per praecedentem a quolibet puncto aliquis radius irrefractus transit sphaeram , qui singulis radiis ab eodem puncto profluxis locum concursus designat. Item quia dum objectum ponitur longius distare , omnes radii incidentes pro physice parallelis habentur ; idcirco quilibet radii a puncto F prolapsi transeuntes spliaeram determinantur radio F Α C lad concursum per et . huJuS, ad quartam partem diametri in I, ubi ob plurium radiorum proxime ad perpendicularem unitorum per Α-Xioma I . supra, punctum F nitidissime depingitur. Similiter accidit cum puncto G, quod axe B ED H designatur,&collectis in puncto Id radiis sortioribus ctiam Vivacissime exprimitur. Et quod de his duobus punctis dictum , idem sentiendum de aliis quibuscunque intermediis. Unde tota objecti F Gimago in distantia quartae partis diametri spatio HI exprimitur; & quia puncti F radiationia collectio trans-
sit in I, puncti vero G in H , etiam
inverso de converso seu alterno situ imago exprimitur, quod erat domonstrandum.
97쪽
Si obiectum minus distet, ita ut radii ab eodem puncto progressi pro parallelis non habeantur,cum radiorum ab codem puncto procedentium concursius longius fiat post sphaeram,etiam imago longius a sphaera efformabitur. Unde si objectum sit in HI, imago ejusdem ei formabitur in dissimila & ma gnitudine F G. Quod si objectum iit nimis propinquum, ita ut intra quartam partem diametri exilit,cum radii sccundo refracti post sphaeram fiant di vergentes,nulla imago haberi poterit.
Sequitur etiam, quod si magnum aliquod obiectum radians in sphaeram sit concavum de concentricum sphaerae vitreae, omnium objecti punctorum per conos sive pyramides radiosas translatorum apices inaequali di uitia sphaera collocari. Si vero oriectum sit convexum aut aequaliter longum j cens in directum partes m dias longius a sphaera exprimi, quam cxteriore
Ut dissimila obiecti ad eius diametrum , ita distantia imaginis etiam ad ejus diametrum : & ut distantia imaginis ad distantiam oriecti , ita diameter imaginis ad diametrum objecti. Ratio est, quia triangula quae ab axibus sese in centro sphaerae intersecantibus utrinque efficiuntur, sunt aequiangula , adeoque de latera proportionalia per η. sexti Luci
Vitrea φhaera prae omnibuς Lentibus vivacissimo exprimit imagines: quia , ut stupra propos i7. corollar. s. deductum , imago per quascunque Lentes convexas csserinata ob radios magis refractos ideoque debiliores circa exteriores partes minus praecise & distincte deponitur , adeoque semper circa marginem obscurior apparet. Per sphaeras autem integras transportata opc radiorum, tum perpendicularium a singulis obiecti pun- egres rum , ut constat ex prae Ced: tum proximo ad eosdem accodentium , adeoque per Axioma. i'. supra sertiorum vivacior imago exprimitur , ideoque in omnibus sui partibus distinctior apparere pote st.
98쪽
CAPUT IX. Trigononis rica focos quarumlibet Lentium iuveniens methodus N praxis ostenditur una cum va
riis tantis ad eosdem in pedibiRomanis N eorum particulu centesimuscinime indagandos accurate supputatis. Hoc capite Icitu dignissima proferimus, quo quarumlibet Lentium so-ςOs principales , tum reales & veros uti habent omnes Lentes conVexae, x mixtae illa: in quibus convexitas praevalet, tum virtuales quos lia bent concavae, & mixtae illae, in quibus concavitas praevalet, Trigono metrice invenire , & ex inventis tabulas construere docebimus : Quae ta- I balx, quantum ad praxin deservire postitit., non est quod ultra pluribus di- ducamus.
trigonometrice reperire. Quando Lens e Ist plan convexa aemper socum habet ad distantiam dia metri convexitatis,ut patet ex propos6 supra: quando vero Lens est utrinquo ravexa quomodocunque, focus ita poterit inveniri.
tu stegre lora radiorum conmmitatum ad radium convexitatis Olier ah trasiclos, ita diam terrebqui ad tantiam foci Sit I ens utrinquὸ convexa, sed Ex gr. inaequaliter, cujus convexitatis ob veris ad parallelos AFB radius sit FG, sitque 6. pedum , convexitatis utem A C B radius sit 3. pedum. Fiat C Κ tripla. ipsus CH , crit K pu eum quo vi primae refractionis radius D E in vitro dirigitur. Ad piuictum IHreilus in aerem ducatur perpendicularis LIG t erit angulus L IK aequa-l lis angulo inclinationis in vitro duplus anguli refractionis ΚI M, ut supra de-
Ostendendum jam aggregatum radiorum utrimque convexitatis, quodvst GH pedum s. ita este ad H F pedum s. radium convexitatis obversae ad . incidentes parallelos, sicut dupla G F, quae seret ra.pedum ad C M distanum soci pedum 4. In quibus tamen moneo cras litiem Lentis non Compu
R. cos principales quarumcunque Lentium convexarum
99쪽
so Auncamentum II. Mathematico- Dioptricum.
Demonstratio. Ut angulus LIM ad angu-
Ium Κ, ita est K M ad MI seu proximὸ aequalem M F; & ut duplus MIΚ qualis est LIΚ vesGIE ad angulum Κ, ita dupla ΚM ad MF , vel dimidia K M ad mediam MF : Et dividendo, ut angulus G ad angulum Κ, ita excessus ΚM super dimidiam MF seu M C ad dimidiam MC. Ut autem angulus G ad angulum K, ita est IK ad I G vel A C ad FG : ergo R C ad GF est ut excessus K M supra dimidiam MC ad dimidiam MC i & componendo erit I C de GF
ad G M ut I M ad dimidiam M C : & erit x Ccum G F ad duplam G F ut K M ad M C. Aeiterum componendo erit K C de tripla G F ad duplam GF, ut ΚM cum M C. Est autem XC tripla ipsius C H ; quare ita erit simplex CH cum simplici FG seu aggregatum radiorum ad duplam GF sicut CH subtripla ipsius CL seu triens compositae ΚM & MCad MC distam tiain iaci a Lente,quod erat demonstrandum.
In Lente utrinque aequaliter convexa cum aggregat im radiorum ad diametrum convexi ratis obversis ad radios parallelos sit ut a. ad i. de pariter duplus radius alterius sit aequalis aggregato, ac etiam x. soci, ergo distantia erat I, nempe aequalis radio.
Re uiae igitur generales sunt pro convexis utrimque specillis de eorum focis principalibus . inveniendis. r. Ut aggregatum semidiametrorum ad alterutram semidiametrum, ita altera diameter integra ad distantiam soci. Σ. vel per diametros: ut aggregatum diametrorum ad alterutram diametrum, ita altera diameter ad distantiam soci. 3. Vel si per semidiametros operatio placeat Ut aggregatum semidiametrorum ad unam i midiametrum, ita semidiameter altera ad sEmi sem distantiae foci. Sed jam exemplum suprα indicatum de in figura postum practice per nu-