장음표시 사용
71쪽
6a Fundamentum II. Alathematico-Dioptris m
Fiat inprimis C Κ tripla distantiae centri CM concavitatis obveris ad parallelos, ducaturque ex puncto K linea Κ EIL; itera per punctum I ex centro G alterius cavitatis ducatur perpendicularis Gl F, fiatque HIL semissis LIG, ac producatur H I in O.Dico
punctum O esse iocum virtualem, a quor
dius axi parallelus incidens post duplicem
res actionem divergens propagaretur, si recta procederet. Demonstratio. Radius incidens DL Viprimae rei actionis ita refringitur in Lente perai. supra, ac si recta veniret ex pluacio K. Ducta itaque ex centro G linea perpendiculari GIF cum angulus GII, aequalis sit angulo inclinationis EI Fin Lente pro secunda re-
stactione ; in egressu autem e vitro in acrem, cum supra angulum inclinationis debeat an gulus refractus crescere una tertia, sitque jam
ex constructione hoc factum nam angulus HIL est una senullis ipsius L IG, unde angulus HI G erit vere angulus refractus 3 producto igitur radio HI in O fetermin
Ditur punctum , a quo ra litis duplici retractione propagatus procedere deberet. Pui ctum igitur O erit locus virtualis quaesitus , quod erat faciendum.
iiii , iis In LQntibus quomodolibet utrinque inaequaliter concavis sociis virtu Letilibuι lis continetur spatio inter utriusquὰ cavitatis semidianactros. Neque enim v π ad obtusioris cavitatis centrum ascendere potest cum ex hypothesi altera cavitas sit acutior, solum vero id fieret, si aequalis esset utrinque : neque etiam ad acutioris cavitatis centrum live semidiametrum descendere potest, comhoc solum contingeret, si aequalis acutior utrinque soror vitas: est autem obtusior ex suppositione. Ergo m.
In Lentibus quomodolibet utrinque cavis eadem est soci virtualis dbstantia,quaecunque cavitas obvertatur ad parallelos, quia simili modo facit εinvenitur de determinatur ad eandem distantiam locus virtualis.
72쪽
Syntagma I. Opnt V LCorollarium III.
si radius aliquis ita incidat intentem quomodolibet cavam, ut produinis a puncto incidentiae recta procedat ad focum virtualem, Post duplicemi fractionem fict.im ex Lente egredietur axi parallelus, cum reciprocum sit Lucis iter. Quod si ita incidat, ut productus ultra S post secum virtualem Lumaxe concurrat, egressus e Lente magis fiet divergens, nec unquam cum Re poterit concurrere. Quod si vero ita incidat radius aliquis, ut a primo ingressu Lentis recta productus ante secum sive ad spatium intra secum My diem procurrat, egressus post duplicem refractionem c I cnte cum axe
D Lente plavo concamasii punctum ad quod conruergit radito incidens fuerit tons a Lente plus quam diametro caruitatis, ita erit recessus dilantiae illius octi supra diametrum ad eandem diametrum , ut Asantia punm illius ad Hylantiam alterius foci imaginarii, is quo pos Lentem facta duplici refractione rarius di mergit.
73쪽
Fundamentum II. mathematico Dioptricum.
Sit eni in Lens plano-concava AB, cujus semidiameter EN vel CN : linea vero CF sit aequa lis diametro , sitque G punctum ad quod incidens radius D E convergit, sue
quo productus dirigeretur , nisi vi retractionis alio detorqueretur. Cum igitur certum sit , quod s ita incideret radius D E ut dirigeretur in F, fieret per conversam 22 supra, Sc coroll. . Praeced. ut post refractionem factam egreder tur axi parallelus, necessario nunc, cum ultra punctum F directio convergentiae fiat, egrestus magis diverget, ac a parallelo in axem supra
declinabit, adeoque dabitur in ipso axe punctum H, ad quod ceu secum imaginarium radius secundo refractus dirigi potest. Hic ergo secus inquiritur, a quo nempe radius D E puncto E incidens post secundam refractionem se etam ita egreditur e Lente , quasi ab H pr
Dico itaque, si sat, ut G p excessus supti
diametrum C F ad ipsam diametrum C F ; itii composita G F de F C seu tota G C distantia scilicet puncti G ad quod incidens radius D sprimo ingressit in Lentem dirigitur, ad CH distantiam alterius puncti H seu soci imagina rii ι erit punctum H illud ipsum , ad quod ra dius D E incidens, postea vero post duplicem
fractionem productus in axe concurrati si v per numeros hoc ipsum melius indicando : Si diameter CF iit partium aequalium 2o , excessus FG supra diametrum io. si fiat ut FG ro ad CF 1o, ita CG, 3 o. ad CH 6o. Erit distantia puncti H seu foci imaginarii partium mixta
Demonstratio. piat enim PH dimidia ipsius H C seu tertia pars totius P C : vi primae
refractionis radius D E ita refringetur a puncto
E, ut dirigatur a puncto E in Κ quasi procea rei a priueto P. Cum cnim ita sit GF ad F C, sicut C C ad CH ; ita erit G F ad FN sesqui Materam ipsius F C, sicut G C ad C P sesquialte tam ipsius CH, & componendo, ita erit CN
Porro in triangulo G EN ita est GN ad N Esseu NC, ut sinus anguli NE G seu complementi D EN ad sinum anguli 'U ; ut autem sinus , ita de anguli; quare erit ut una tertia anguli DEN qui est angulus inclinatio nis ) vel anguli ei aequalis OL G per i s. pruni Euclid. ad angulum G,ita crit
74쪽
c ad triplam linea: EN, seu sesquidiametrum. Ut autem G N ad se, quidiametriim, ita est G P ad P C seu PE: ut G P ad PE in triangulo rex, ita est angulus D EP ad angulum G. Igitur angulus D EP seu LEG habet ad G ut tertia pars anguli DE N ad eundem G : ergo est tertia parsinguli inclinationis D EN; ergo est angulus refractionis illi competens lute fiet in ingressu Lentis res r. ictio in E Κ, quod erat primo ostendendum. secundo in triangulo P E H , ut P E ad P H , ita est angulus E H C aut sternus IEH aut etiam oppositus LEM ad angulum HEP seu alternum MLK: sed P H est tertia pars lineae PC ex constructione : ergo angulus ei est triplu, anguli MEL : ergo in egressu e Lente in aerem, cum L L sit inclinationi aequalis, MEA erit angulus testactus: ergo radius pro- ς; per L M quas procederet ex H,quod crat demonstrandum.
in Lente plano concavas punctum ad quod convergit radius incidens s erit remotum a Lente in distantia dupla diametri concavitatis, ita ut exce in supra diametrum sit aequalis diametro : etiam alterius soci imaginarii a quo post Lentem facta duplici restactione radius divergit,inae distantia erit. Nam exempli causa, ut F G excessus supra diametrum tum 1 o.ad F C diametrum Eo. ita erit composita o. ad C H o. ergotiae C G Sc CH erunt aequales.
Propositio XXVI. Theorema. h Lente plano concava, si pun tum ad quod convergit r. dus incidens fuerit vicinius Lenti quam diametro: ita eriptu fu, diametri pura ejus distantiam a Lente ad diam trum, ut ejus dis tutia a Lente ad dNam iam
75쪽
66 ndamentum II. Mathmatio, Dioptrictim.
S It Lens plano-concava AB, radius imcidens DE tendens in F punctiam, quod sit vicinius Lenti, quam diametro GCDico, si fiat ut GF excessus diametri sit pradistantiam F C puncti F a Lente ad ipsanidiametrum GC, ita EC ad FH,quod pulmetum H sit sociis verus & realis, quo radius prius incidens D E post secundam refractionem factam in egres ii a Lente dirigitur. Demonstratio. Fiat enim H P dimidia ipsius H C, hoc est, P C sit sesquialtera lineae H C. Ostendam vi primae refractionis radium D E restingendum in EP , & vi s cundae refractionis in E H, ita ut habeat se cum realem in H. Nam sicut NEF seu sui plementi D E N ad sinum anguli E F N; ira
quoque erunt sinuum anguli; &conseque ter ita erit tertia pars anguli DEF ad angi
tum E FN, sicut FN ad triplam EN seu ad
sesquidiametrum. Ut autem FN ad sesqui diametrum , ita si is ponitur esse FE ad FP.
Nam cum ita sit G F ad G C sicut C F ad
CH, addendo utrinque tertiam partem consequentibus, ita erit GF ad GN sicut FC ad CP; & per conversionem rationis ita erit FN ad GN triplam semidiametri ut
FP ad PC. In triangulo siquidem FNEita est FN ad EN, sic sinus anguli NEFsive complementi D E N ad sinum anguli EFN : ut autem sinus, ita&anguli. Ergo ut angulus inclinationis D EN ad angulum EF N, ita FN ad radium sive semidiam trum NE: ergo ut una tertia D EN ad angulum EF N , ita NF ad triplam NE seu GN. Sed, ut vidimus, ita est FN ad GNsicut PF ad PC; de in triangulo EPE. ita est PF ad P E seu PC, sicut angulus P EF angulum EF N. Ergo ita se habet tertia pars anguli inclinationis DENad angulum EF N , sicut angulus P EF ad eundem EF N. Ergo PEF est
tertia pars anguli inclinationis DEN , ergo est angulus refractionis illi respondens: ergo in ingressit Lentis radius D E vi primae r stactaonas refring tur in E P, quod erat primo ostendendum. Deinde vi secundae refractionis, cum in triangulo EPH ita sit P E ad sicut sinus angulorum oppositorum, & ut unus ita quoque de anguli. Idcirco ita erit PE seu P C ad H P , sicut angulus E Pl C seu alternus IEHad HEP. Quare angulus IEH est triplus anguli PE H, de consequonter IEP angulus inclinationis in egressu Lentis erit duplus anguli restactionis
76쪽
. Quod si obiectum ponatur in H, ita per Lentem concavo-planam refingetur , ut radius post duplicem rcist chionem procedat in D, quasi veniret ex F.
i Ex hi; etiam datur intelligi,quomodo sic habeat obiectum respectu Len- Quombatitis concavo planae. Si enim ollae tum supponatur esse in tanta distantia, uti dirutcidius incidens sit parallelus I E, refringetur ita, ut divergat expuncto G - Ahin' colici licet ordinario. Et econtra si incidens aliquis radius ita convergat quasi Leotis eo Noductus pergeret ad focum , ita refringetur, ut fiat in egressi a parallelus. Quod si sensim admoveatur Lenti, punctum ad quod diverget , semper etiam magis ad Lentem accedet secundum datam proportionem. Quod sit natur esse in puncto G extremitate diametri concavitatis, punctum a quo verget radius crit in M. Tunc enim ita crit G M ad diametrum ut C M stantia puncti divergentiae a Lente ad C G. Quod si a Ccedat adhuc magi , .im punctum,ex quo radius diverge ,magis ac magis ad Lentem accedet. Atque sic facile omnes easus intelligi pollunt, quibus obiectum cum Lente
concavo-Plana valet comparari.
Quia idem praestant Lentes Concavo-concaVae, quod concavo-planae, si competentem majoris sphaerae portionem habeant, item etiam, quod conta exo conc. ivae,in quibus debita concaVitas praeValet, hinc caedem regulae iis plicari potiunt,modo pro diametro assumatur distantia foci ordinarii.
tens quomodoM t cava, in qrea nempe praevalet cavisas, objectum viqihili perst ci s acceptum trajicit consesὸaa quamcunque distantiam.
SIt Lens cava vel utrimque, vel convexo-concava, ubi tamen praevalet concavitas, vel plano- concava,ut hic est AB , in quam radiet obiectum visibile CDE. Dico,quod ob)echum CDE per species acceptum postsetis iciat semper obscure de confuse ad quamcunque distantiana.
77쪽
t mundamentum II. mathematico Dioptritam.
Demonstratio. Nam quia per Axiom. ib. supra totum objectiam CDEradiat in totam Lentis oppositae superficiem FGH , de quodlibet ejus punctum in singula ejusdem Lentis puncta: alii impiis sbium tribus his planctis CD E pro exemplo, punctum C radiabit & faciet penicillum FCH dequὸ occupabit totam superficiem concavam FH: nec dissimili modo punctum D penicillo sitio radioso FDH totam eandem Lentis cavae superficiem Filvendicabit. Idem praestabit puninim E penicillo radioso FE H di sie iseratiocinandum est de singulis punctis objecti C E. Unde tota visibilis ot lecti superficies insidebit cuilibet cavae superficiei puncto, de quodlibet vii bilis objecti punctum distundetur per totam cavae Lentis superficiem. Quo
circa clarum est,summam hic esse conorum , penicillorum de radiorum Coim fusionem.
Quia porro radii C p,D F, E F in ingressu Lentis franguntur ad perperidicularem, procedent iidem secundum lineas Fc. Fb, Fa in alteram Loritis superficiem a e i, dc inde rursus ex iisdem punctis c b a egressi in aerem ci pote medium rarius restactione nova a a porpendicularibus discederit , ideo qua
78쪽
ldeoque amplius a se invicem abibunt lineis cxl, b L, a K. Eodem modot progredientur radii CH, D H, E H in vitro lineis Hi, Hli , H g, ex vitro autem in aerem per lineas i S, h R , & g Non secus radii CG, D G , EG provehentur secundum G f de ab t in I , secundum Ge in O , item se
cundum G d in N i unde solus radius DGO per T centrum cavitatis tran-fens a refractione immunis csLCum igitur uniuscujuslibet puncti raditi post duplicem refractionem egressi in aerem non colligantur, sed majore ex parte amplius dispergantur, di nullam unquam sedem communem seu stationem ordinatam convenire poterunt. Nam radii qui ex puncto C Procedunt, progrediuntur lineis FcM, & Hi S, itaque post Lentem egresti coire nequeunt. Sic radii quoia
Pti, etiam coire non possitiat propter incid irarum diversitates, cum itaque sic siingulorum punctorum penicilli&radii ruinhuam post Lentem progressu facto couniri queant, sed mutuis irradiatsoninus implicati sese invicemiavadant, necessiario chaos de perpetuam confusionem in quacunque distantia causabunt. Lens igitur cava una & sola species acceptas semper dissipat A: confundit ad quamcunque distantiam,quod erat demonstrandum. Quod hic de Lente plano- concava dictum, similiter idipsum de qua cunque alia Lente Concava vel utrinque vel mixta, ubi concavitas praevalet,aonstrari potest.
Nine apparet, quae sit differentia inter Lentcm convexam & cavam e D; in uLens siquidem convexa consulas species acceptas transmissasque distinguit inter Len- bene ordinat, cava vero easdem traiectas Perpetuo confundit. con
. In Lentibus quomodolibet cavis ratione situs objecti si illud positumst tam longe, ut eius radii censeantur in Lentem cavam incidere paria est ;ita poli Lentem radii divergent, quasi ob)ectum esset positum in ioco ordinario ejusdem Lentis, ut paret etiam ex coroll. 1 praecedentis. Quanto autem nauis ob)ectum erit Lenti propinquum ante Rus secum, tanto radii erunt magis divergentes, quasi cx puncto temper ad Lentem propiore inter ejus secum & Lentem provenirent.
79쪽
De Speciliis mixti si e Menissis , , eorum in restingendo proprietatibus.
Post explicatam Lentium convexarum atque concavarum in rcfringendo naturam , nunc ordine sequitur indaganda Lentium mixtarum in quibus scilicet convexitaS cum concavitate combinata) sive Men iscorum dios' trica quoscunque radios ab objectis visibilibus trajectos refringendi facultas, quam per sequentes propositioncs in medium producere , di quam clare seri potest , demonstrare conabor.
Menisens, cujus eavi tatis radius aequalis secquidiam -tio eon eis altatis quo modo uniat radios parallelos.
L ns mixta , cujus conca latis ra rius sietis femidiameter aequat is esse quidiametro convexitatis , unis radios incidentes axi parati os ad Hylantiam indicatae aequab/atis sive si quid ametra convexit iis mel semidiametri concavitatis.
SIt Lens mixta A C BH A , cujus convexitatis A C B centrum L diameter Κ C, sesquidiameter F C : concavitatis A H B semidiam ter sit F H aequalis prope ipsi F C , nisi quantum cras lities Lentis o cupat. Dico radium D E incidentem axi F C G parallelum post Len-Lem cum axe Concursurum in puncto F, distantia scilicet sesquidiametri
convexitatis, aut semidiametri concavitatis. Demo
80쪽
Sequitur hinc , atque ex supra demon- Quid μα- stratis, si semidiameter concavitatis fiat ma g x si 'rjor , quam sit distantia aequalis cum se qui- ρο δεῖ diametro convexitatis quia major circulus sesquidia- magis accedit ad planam si aperficiem quod uniat radios dicto modo incidentes in aliquo puncto inter sesquidiametrum, de diametrum converitatis constituto , sive inter puncta Κ& F. Si vero sat semidiameter concavitatis minor sesquidiametris convexitatis, quod radii paralleli axi incidentes ad maiorem distinitam uniantur, quam sit sesquidianacter convexitatis , donec tandems essent diametri vel semidiametri utrinque utriusque sphaericitatis aequales, secunda rcsractio in concavitate restitueret radios parallelos. Unde tota latitudo concursus radiorum , dum semidiameter concavitatis majors est sesquidiametro convexitatis cxtenditur aut continetur intra spatium diametri & sesquidiametri convexitatis, nec ultra esle poterit ; sive intra puncta F & Κ. cum convexo plana Lens per 6. huius radios parallelos uniat in extremitate diametri convexitatis. Contra autem, quanto minor est concavitas quam semidiameter Mus, ut sit aequalis sesquidiametro Demonstratio. Radius D E. vi primae Demon restactionis pre coroll. pro: . hujus tenta si vo
dii directe ad punctum F distantiam scilicet sesquidiametri convexitatis: sed & punctum F est centrum concavitatis ex suppositione, erit ergo FLE perpendicularis ad stipers-ciem concavam A H L B: & quia per Axioma i. hujus radius perpendici daris transit de medio in medium irretractus, idcirco radius D E facta selum unica res actione in E recta procedet ad punctum F. quod erat ostendendum
Idem est, si dicatur: Lens mixta cujus concavitatis diameter tripla est diametri convexitatis , unit radios axi parallelos ad di stantiam sesquidiametri. Nam, ut hic in figura apparet, linea H N vel neglecta Lenatis cramite C N tripla est lineae C Κ diame tri convexitatis.