장음표시 사용
101쪽
merui sectionis proseret primae radicis integra: 8c praeterea etiam
partes aliquot illius denominationis. Caeterum aliquot minutiae semper restabunt,quae minus quam Vna partem faciant: ut ad integrum sormandum partes illae nunquam deduci queant. v x Knx gratia,si scire libet quae sit radix numeri octonarii haeesse 2 deprehedes,& quatuor erunt reliqua. Iam si scire velis quot quartae unius integri supersint in radice: Primum 8 per quatuor
tuor ducito,& producentur u8. Huius secundo producti radicem perscrutans eomperies eam II. totidem naque quartae sunt in octois narii numeri radice,hoc est, duo integra,& tres quartae,praeter septem in minutus reliqua,quae quartam explere nequeunt. Itaque ultra primam inuestigationem , quae 2 integra in radice protulit, secunda tres praeterea quartas eruens propius accessit.
Qv b d si etiamnum partium particulas inuestigare pergens scire velis quot quartae Unius partis quartae , Vltra duo integra &tres quartas supersint: ad eundem modum,sicut de integroru partibus exquirendis iam dictum est,numerum,cuius radicem secundo indagasti, semel in denominatorem particulae,& iterum in productum ducere debes: atque in numero secundo producto radice inuestigare. quae postquam inuenta erit,cunctas illius denominationis partium particulas in numeri primo propositi radice contentas demonstrabit. Illam autem radicem si per denominatorem
particularum seces,numerus sectionis partes integrorum demonstrabit:& id quod erit reliquum,partium particulas. v ERBI gratia, Ira, cuius numeri in superiori exemplo secundo producti radice inuestigauimus , per quatuor multiplicemusr inde nascetur sit. Postea iterum ducamus quatuor in sir: ita producentur ro48. huius numeri radicem quaerentes deprehendemus eam esse 4s : & supersunt 23. Igitur 4s quartae Unius partis quartae in octonaris radice erunt quas si diuidamus per quatuor numeros partitionis, mostrabit II, & unum erit reliquum. Qua ratione comperiemus in octonarii radice Vndecim partes quartas, nempe duo integra & tres quartas , atque insuper unam quartam Vnius partis quartae cotineri. Quia si cui est animus amplius progredi: poterit ad eundem modum etiam particularum particulas VI
teriores perscrutari. IN e UBIs quoque numeris ad eundem omnino modum
omnia fiant. nisi quod numera illum non cubum, cuius radix ing. iiij
102쪽
w4 integris inuenta est, non solum per denominatorem partis quam .eunque voles, multiplicare oportet, & iterum in productum sed ut ratio cuborum postulat) tertio denominatorem illum in numerum ex secunda multiplicatione productum ducere debemus. Quo fiet ut numeri tertio producti radix inuestigata eum; illius denominationis partes in primi cubi radice colentas manifestet. Itidem etiam progredi licet ad partium particulas in his inuestigandas.
ALIO MODO per compendium id fieri potetit,ad hune modum,ut denominatorem partium quas exquiris semel in reliquii, quod post primam in integris radicis exquisitionem restabit, atque iterum in productum ducas. Postea per eundem partium denominatorem radicem ipsam in integris inuenta multiplica, numerumque illum partium radicis sic productum duplica . Dein' de numerum qui ex denominationis partium semel in radicis reliquum,atque iterum in productum multiplicatione productus est, sie diuidere per numerum ex duplicatione generatum debes, Ut tamen tantum supersit, quantum numerus sectionis postea in
seipsum ductus,propemodum delere subductus possit. Na in his
numeris non quadratis semper c uti diximus aliquot minutiae restabunt. Ita numerus sectionis radicis partes ex reliquo nascentes monstrabit. Verbi gratia, Si ex octonario radicem quaeris: inuenies eam 2, & supersunt quatuor. Iam si scire cupis quot quartae sint in reliquo multiplica quatuor reliquum per quatuor den minatorcm partium quas quaeris: & prodeunt sedecim. Iteru de nominator quatuor in sedecim ductus creat sexaginta quatuor.'Deinde radicem a multiplica in denominatorem partium qua tuor,& fient s. duplica productum 8,& procreantur sedecim. Iam
vero si diuidas sexaginta quatuor per sedecim,quater in illis diuisor haberi potest,sed tune nihil restabit quod numerus partitionis postea in se ductus deleat. quare si semel minus,quam alioqui fieri posset, diuisorem sedecim tollamus, ter sedecim facient quadraginta octo:& supererunt adhuc sedecim: a quibus si numerum sectionis 3 in se ductum qui facit nouem,subducas, restant septe . sic
numerus sectionis ostedit,ex reliquo radicis fieri tres quartas,praeter minutias restantes I.
A T S I IN hoc exemplo partium particulas inuestigare perges veluti quartarum quartas t denominatorcm particularum , quas quaeris, nempe quatuor semel in reliquum post secundam radicem
103쪽
Iospartium inuentam restans, videlicet septem ducito: indeque fient viginti octo. Iteru etiam eundem denominatore quatuor in productum viginti octo multiplicato:& surgent Hr. Postea eatu dem particulatum denominatorem quatuor ducere oportet in omnes partes totius radicis hactenus inuentas, quae sunt undecim: nam duo integra quae prodierut ex prima investigatione, & tres quartae quae ex secunda,iaciunt Undecim quartas. quo fiet, ut quatuor in undecim ducta procreent quadraginta quatuor : quem numerum productum si duplices,nascentur octoginta octo. Per ea autem si sic diuidas Hr, ut numerus sectionis postea in seipsum dumis,quoad fieri potest,totum diuidendum auserat,vnitas diuisor sufficiet ita octoginta octo semel a in extracta,relinquunt viginti quatuor i & postea unitas in seducta adhuc unum creati quod auferendum est a 34,& restabunt viginti tria. Ita numerus sectionis unam quarta unius quartae ex secundo reliquo prodire manifestat:& supersunt 23. Hac ratione etiam Ulteriores particularum particulas,quatenus progredi velis consectari licet. RATIONEM uero cur quadratum per denominatorem partium bis sit multiplicandum, Socrates apud Platonem Menonis puero reddit. Cuius sentetiam paucis explicabo. Quadratu lineae
bipedalis quatuor erit pedum ma cum figura duos pedes longa &Vnum alta,duorum sit pedum , l l l fit ut figura duos pedes longa & itidem duos alia,quatuor pedum existat. l l l Quadratum autem duplae Iongitudinis sedecim capiet i l l
pedes . quoniam cum figura lonstitudine dupla & sola duorum
pedum altitudi i l l l figura,quae longi- lne pedes octo l l l l tudinis duplae,&
sIMILITER in omnibus aliis quadratis multiplicandis opus est duplici multiplicationet quoniam prima multiplicatio solum auget in longitudinem:at secunda quae fit in productum, altitudini tantundem adiscit. Exempli causa,Esto quadratum propositu quatuor. si libet inquirere quadratum,cuius quodque latus duplusit ad quodque latus propositi quadratii duplica quadratum pro positum: inde octo nascuntur,& tantum figura creuit in longitudinem. Longitudo enim dupla euasit, sed altitudo inuariata ma complectatur, pedes capiet. altitudinis etia duplae erit, sedecim
104쪽
ioc DE HIN vetv PAR Tonet. igitur quadratum non est . Quare si iterum duplices prodii-inim: inde fient sedecim. atque ita tantundem etiam in altitudiunem crescet,eum sit dupla ad altitudinem priorem. Quod autem Socrates in lineis puero sub oculis demonstrauit, id Euclides innumeris, qui sermati possunt in modum quadratorum,doctis ratione patefacit,cum inquit, Si fuerint duo numeri,ambo quadrati, erit proportio alterius ad alterum, tanquam sui lateris ad latus illius, proportio duplicata. Si verὁ ambo fuerint cubi,erit proportio alterius ad alterum,tanquam sui lateris ad latus illius,proportio triplicata.
u. vo D si compendii dati rationem quaeris, id ita habere sub
oculis videre licebit, hoe exemplo . Finge numerum propositum esse tria,huius raditam constat esse unum , & supersunt duo. Iam si scire libet quot quartae unius integri ad I I I I I Iilla duo respondere debeant, duc denominatorem quatuor in tria, & fient duodecim. Iterum multiplica quatuor in productu duodecim , inde nascentur quadraginta octo. Huius numeri figuram quadratam Morma,
x N A A c figura sedecim respondent ad maximum quadratum, sub primo numero 3. nam ex ductu quatuor in unum , & ite rum in productum,fient sedecim. Itaque hoc quadratum resec bis,cuius radix nota 4 quia nascitur ex ductu radieis integrorum in denominatorem partium ad radicem Unum in integris prius inuentam respondet. Quod luperest autem, respondet ad reliquii numeri primo propositii quippe quod nascitur ex ductu denominatoris partium quatuor in reliquum 2, & iterum in productumino , ex quo procreantur triginta duo . Ex illis autem triginta duobus, quae Vltra quadratum, quod est sedecim, supersunt:duodecim illa , quae gnomonem extremum non absoluunt Ooco autem in numeris gnomonem, id quod constat ex duobus numerorum Iateribus angulum rectum facientibus, instar gnomonis geometrici veluti reliquu maximi quadrati triginta sex sub quadraginta octo resecanda sunt. Ita restant gnomones duo,qui cum quadrato sedecim quod resecuimus, conficiunt maximu quadratum 36 sub 48 contentum: ad ijciuntque radici superiori quatuor. quae ad radicem unum in integris inuentam respondet, duas Vnitates .uti in figura liquet. α reliquum huius quadrati triginta sex,
105쪽
dum vnti insuper accessisset. Itaque ante oculos cernere licet, gnomonem quenque quadrato resecato applicatum , in se complecti Iongitudinem & altitudinem ipsius quadrati sedecim ,hoe est duplum radicis quatuor:& insuper in angulo restare quadratum numeri gnomonum: is est in hoc exemplo binarius. sunt enim duo gnomones. Quare diuisio numeri procreati ex ductu denominatoris in reliquum & iterum in productum, facta per duplum radicis,sic tamen ut numerus sectionis in se ductus subduci possit a .eliquo partitionis,ostendet quot sint gnomones. Quo fiet ut liqueat quot partes ad reliquum respondentes , addendae sint ra- dici prius in integris inuentae. nam ei gnomo quisque unitatem' in partibus addit.
AD EXERcENDOS iuuenes plurimum iuuabit nonnullas interrogationes subnectere, per quas ea, quae de minutiarum inter se comparata magnitudine dignoscendo,dEque integrorum &minutiarum additione,subductione,multiplicatione, & diuisione hactenus dicta sunt, melius intelligantur. Sunt in his quoque quaedam,quae ad enarrationem Partium quotarum in numeris &in minutus, atque etiam ad partium aliarum in alias transsormationem faciunt. Ea aute rudimenta ex Arithmetica Lum de Burgo,cuius nomen in ea arte no parum,neque abs re celebratur, excerpsimus:quae sane ad ingenia studiosorum in numeris vegetanda magnopere conducent.
Quomodo, propositis binis minutiis, scias utrae sunt maiores.s I v v IN v E sextae conserantur eum tribus quartist utrae maiores eruntde Continuo scies, si Vtrisque minutiis iuxta alteras notatis,numeratorum in denominatores,denominatorumque in numeratores,obliqua multiplicatio fiat,& uterque numerus productus supra suas minutias locetur. Quippe Vtercunque illorum maior erit, maiores suas minutias ostendet. Hac ratione maiores
sunt, quam π. nam supra erunt:supra H ,i8. At ubi integra& minutiae eum alijs integris & minutiis conferentur r si integra erunt paria,de minutiis solis iudicadum erit,uti supra dictum est. Quod si integra altera alteris imparia occurrant,quae maiora sunt, Vincunt altera quantunuis magnas minutias ad- 28 2'iunctas habentia. ἀπα
106쪽
Interrogationes per Additionem soluendar A etvo numero subduci debet i3,Vt restent u Item a quo nu. mero subtrahetur 3 ψ, Vt relinquantur Huius generis interrogationes, siue de integris,sive de minutiis quaeras, per additio ne solutitur. Nasi Ir ad I addas,surgetas, quaesuma est unde illa ει eximi debet,ut restent la. Similiter in minuti s,adde 3 τ' ad 4 τ, di fient 7 V, Vnde subduci debent illa 3I, Vt 4 π- relinquantur. Interrogationes per Subductionem soluendae.
c v M Q V o numero coniungenda sunt 23,ut fiant D 'Item eunuquo numero copulanda sunt 6 Ψ, ut fiant i3- s Huiusmodi quae
s I cv AERI s quantum 'esuperant T:per subductionem scies.
Nam postqua eo modo, quo dictum est deprehendisti ψ maiore, esse quam Ῥ: alteras ab alteris subducito,&-; restabiliquae disseretia inter has minutias mostrabit. Id probare licet sicut in subductione. na sim addas ad P,fiet summa aequalis adb. Itide si quaeratur quae sit dislarentia inter ετ & 'Fr eodem modo scire licet. zerrogationes per Multiplicationem soluendae. v v I s numerus in I diuisus erat, tuado in numero sectionis i habentureItem quis numerus in que diuisus crat,quando numerus sectionis profert 2 4sMultiplicatio rem aperiet. Na si s in irducas, fient 8s: qui numerus in s sectus educit in numero sectionis i . itidem in minutiis seducta in 2 - faciet 8-μ. Is numerus in Α - sectus, in numero partitionis reddit 2-r.
Quomodo partium particulae sunt exquirendae.
U O M o D o exquiras se de , , aut de Hoe perinde estacsi quaeras quae sunt 'r quatuor quintarum, aut octo nona rum. Igitur huiusmodi quaesita,quae de minutiarum minutijs occurrunt,per multiplicationem minutiarum alterarum per alteras expediuntur. Nam π de Ἀ- sunt Tr. Item se de 'iunt et r. quae ad minimam nomenclaturam redactae faciunt
v AE sunt de E, Interrogatio haec, nisi quod integra minutiis sunt admixta , praecedenti similis est. Quocirca per multiplicationem simili modo soluitur. Nam 'a' de 2 sunt I π.
107쪽
Ioy Interrogationes per Diuisionem soluendae. PER v E M numeru diuisa sunt , quado 2 prodierunt in numero sectioniss Item per quem numerum diuisa sunt Irm,quado numerus partitionis habet Huiusmodi interrogationes persectionem soluuntur, Quippe 36 per 2 secta, monstrant 4 in numero partitionis. Nam quando duo numeri aliquem componunt, si is per illorum alterum secetur, alter in numero partitionis exit. Ita cum quater ' faciunt 36: si numerum illum compositum secesper ',exeunt 4: si per Α,exeunt '. Similiter u τ per 3 diuisa, educunt 3 - in numero partitionis. PER Qv E Μ numerum multiplicare oportet 2 r, Vt 7 τ produ, cantiars Hoc genus interrogationia per diuisione explicatur. Nam si per zz seces IT , ex ea partitione prouenient 3 et . Is est numerus,in quem si χπ ducas, producentur I T.
Quomodo exquiras in numeris, quota pars maioris numeri sit minor:& in minutiss,quota pars maiorum minutiarum minores existant.
VOTA pars sunt 4 de ir, aut T de Hoc facile sciri potest tam in integris,quam in minutus,si id quod minus est,per maius in minutias eo modo diuidas , quo de virisque supra dictum est. Nam si 4 per ia seces, fient is, quae sunt τ de Ir. Et si per diuidas ' , prodibunt π. Igitur dicam Y esse π-de π. Idque ita esse vel ex hoc capere experimentum licet, quod si sumas V de π, id quod alteras minutias in alteras ducendo facere licet, inuenies
Minutiarum aliarum in alias transformatio. v o T decimae octauae sunt in Hoe genus vocant minutia. rum aliarum in alias transformationem: id quod fit per partitionem. Nam si per τε diuidas-r, ex ea sectione prouenientss',quae sunt ψ. sic in m comperiuntur Tr. Eodem modo quaelibet aliae minutiae in alias quastibet per sectionem transfiguratur,etiam si integra sunt adiuncta . Veluti si quaeratur quot tertiae sint in 3-τ. per τ diuide 3 π,& prouenient io -c. tot sunt tertiae in 3 π. Hunc modum partes alias in alias transformandi,supra etiam dedimus, quando de partibus dissimilibus ad similitudinem redigedis praecepimus: quanquam ibi de minutiarum sectione,quae nodum ex plicata erat,d industria reticuimus. Coos
108쪽
Interrogationes per plura & diuersa soluendae. e v M quot octauis supputari debet τ, ut fiant ἡδρPrincipio eo- sidera eum quo numero iungendae sunt v, t surgant q- id Quod per subductionem scies. Nam si subducas Wab ,retabunt g. in
eo numero cVulanda sunt ',Vt fiant π. Iam vero videndum est
quot octauas , capient. id quod scies si per π seces s : sic in numero sectionis prodibunt 2 r. cum tot igitur octauis, hoc est cuduabus &ὴ unius octauar, copulandae sunt V, ut surgant 'ς. Eodem modo de similibus fiat. svBTRAHANTvRJa tot septimis .vim supersit. Principio videndu a quo opus est subducere προ t τ restet: id quod depre- , hedes,si V ad j addas:ita surget i .a quibus demere oportet φ, tvim relinquatur. Deinde vide quot septimae sunt in i Ad quod scies,si per F seces Im: .ita surgent 7 π,quae sunt septimae &-Qunius septimae. de tot septimis subducere oportet - , ,supersit.' Id ita esse probabis, si eapias septimas , quae sunt Vnum integra: postea sumas decimas unius septimae,quae sunt jς, & faciut E . Sic in summa fiunt iis ,sicuti iam dictum est. Similiter fiat in huiusmodi quaesitis. sv BDuc ATun differentia quae est inter V &, de tali numero,Vt restet disserentia quae est inter τ&π. Primum per subductionem exquirenda est differentia inter- & θ, ea est . Deinde eodem modo quaere disserentiam inter . & Q, R eam inuenies . Postea ambas eas disserentias adde,& lassent quo numero fiat subductio primae disserentiae,videlicet altera disse rentia,quae quaesita est, restabit. PER quot quintas multiplicada sunt et ari ut inde ereseant Ne Primu vide per que numera opus est multiplicare is,ut fiat 7 π:
id quod scies, si per ret diuidas 7 π. ita exibunt 30: in quae si is ducas produces 7 T. Deinde Videndum quot sunt quintae in 3 id quod facile cognosci potest, si per π seees 3 π. Nam inde prouenient is π,quae sunt is quintae & onius quintae .per tot quintas multiplicanda sunt di ut fiant . S V M A N T v R τ de tot octauis,ut V inde proueniat. Hoc tantum valet ac si dicas, τ cuius numeri faciet mel per que numerum multiplicada sunt γ,ut fiat .s Sicuti supra edoctus es, per diuidem proueniet . . Huius numeri π faciet γ. Nam V de πsunt . Iam vero ut scias in a quot sunt octauae,si per seces V, prouenient ό. Itaque de v sumendae sunt et ivt fiat
109쪽
DIPIDANTVR Z- per tot, ut inde proueniant de i Principio sumendae sunt , de i ψ eo modo quo dictum est, eae
sunt I - PIs numerus partitionis illius esse debet. Postea videnduper quem numeru secandae sunt 7 - .ut inde proueniant I A. id
quod fiet, sicut supra dictum est, si per i is diuidas ita exibuntetis, quae sunt τ: per quae diuidere oportet I ,Vt inde proueniant I is,hoc est ἰ de i .
DI v I D A N T v R I per tot nonas,ut inde proueniat et is. Primo videdum per quem numerum secanda sunt I b,ut inde pro- 'eniant 2 Mid quod scies,si per 24 seces sita prouenient 3 b. per eum numerum diuidere oportet 7 ut exeant a P. Iam vero quot nonae sunt in 3mcognosces si ea per diuidas, prouenient enim o. Ita y per 3o nonas diuideda sunt ut 2 Q proueniant.. D I 'A N V V R toties Tin ψ,Vt inde fiant ψ. Primum iducantur in m producetur et . Postea multiplica P in eum numerum, qui faciet ',quem inuenies si per seces θ, ita prouenient i Ψ: in quem numerum si ducas b, producentur φ. Thema enim hoc innuit, Vt numerus ex multiplicatione ψ in θ productus,ducatur in eum numerum qui faciat P. U AE R Ο de quot sextis existunt - Primum vide se cuius numeri sunt m. Id quod scire licet,si particulas quotas exquirens, per π diuidas ': inde enim prouenient Ia*, cuius numeri ψ faciunt π. Postea quaere quot sextae sunt in xvi, id quod scies, secas ea per l, ita inuenies 7 se de tot sextis Q existunt l, hoc est de
sextis,& γ nonis Unius sextae. SUBDUC 'NTUR; de π a tali numero, ut restent θ de b.
Primum cape P de θ,quae sunt se. Postea sume e de ψ, quae sunt
eas adde ad m& fient I TR. de quo numero si subductio fiat,restabit quod quaesitum est. sv BDUCAT v R dimidium trium quartarum de Ia a tali numero,Vt quinque sextae duarum tertiarum de io Prestent. Primuvide quae sint e de la τ. eae sunt ' ψ:quoru cape , quae est 4πι, tantum est dimidium trium quartarum de Ii . Deinde Vide quae sint in de Io ,eae sunt 6 quom cape ,quae sunt SV . Iam Vero secundum thema subduci debet δἰ a tali numero, ut restet Siz. Quocirca adde q-ad s 3 , & surgent iori . Is est ille numerus
a quo subductio fieri debet, ut restet id quod thema iubet.
110쪽
TIVM PRAEFATIO., os Tu π AM tam in integris quam in partium minutiis omnem supputandi ratione explicauimus; superest ut studiosis paululum aperiamus quantum ea conferat ad vitam degendam. Numeros nanque ipsos per se consederandos hactenus exposuimus: quae res auspicantibus parum voluptatis afferre Videbatur. Nune eos ad res numeratas applicantes, artem ipsam pandemus per artis opificium. Qua de re, dici non potest Virum maior capietur utili tas an Voluptas'. quando ea, quae scire pernecessarium est , & rudi
populo velut aenigmata videntur,sine Sphinge solui possimi. Ad iquae pervestiganda regulas quassi uri perutiles trademus , quibus nonnulla quaesitu dissicilia,quaeque prima facie supra humani in-
penis captum rudibus videri possunt facile inueniatur: ex quibus altius intellectis , plurima alia similia nullo negotio deprehendi queant. Eiusmodi autem attingere praecipue est animus,cuiusinois di in vita saepius occurrunt: quanquam his tortuosa quaedam, &quae latentes anfractus habeant, ad maiorem ingeniorum exercitationem admiscebimus. Verum enimuero qui numerorum nodos explicare cupit, quaestione quapiam proposita , non temere antὰ respondere debet,quam secum alte rem consederauit. Nam qui alioqui lingua quam ingenio promptior quicquid incosyderate in mentem venit, stolide mox blaterat, praeterquam quod aberrat ascopo, ridiculus existimatur. tem illud admonere lectorem operaepretium putamus,Vt nisi prius teneat quomodo tam integra quam minutias supputet,ne hoc libello legendo sese torqueat. At si illis pernotis hune in manus sumat,cuncta tum facilia, tum iu cunda spondemus. Sed rem aggrediamur.