장음표시 사용
71쪽
iuuabit exercitatio,quae per assuctudinem, quantunuis ardua,prona reddit. Caeterum non mediocriter conducet,si post numeri primari, inter parallelas positi triplicationcm,priusquam numeru alique primariu cum eo copulabis,circulu ei adigas tentesque que numeru in triplu ductus faciat. Deinde etiam tentari potest unus aut alter numerus primarius, qui in triplum similiter ducatur. &numerus ex hoc productus ad numerum priorem procreatum ex ductu numeri circulum aflumentis addatur. Huiusmodi enim numerorum productorum addatio eundem proferet numerum , qui fuisset natus si ab initio numerus ille primarius quem tetauimus, Vna cu numero primario prius inter parallelas posito,iactet in triplum ductus . Sic enim chi videris quem numeru ea multiplicatio atque additio procreabit,facile coniectura capies tu ex numeri su pia repositi,tu ex numeroru productoru atque additoru vel magnitudine, Vel exilitate, quis numerus primarius assumpti circuli vice subiturus maxime quadrabit. Veluti in excplo iam dato, post primam senarii numeri inter parallelas positi triplicationem ex qua fiut i8,si quis assumens circulu, co in i 8 ducat, numerus pro- duchus erit Io8o. Deinde tentcmus,si in i 8 ducantur,quid fiat:&producetur sq.quae si addantur ad Iois,surgent II, . qui numerus
similiter prodi illet si ab initio 63 in 18 fuissent ducta postea si tria
in numera ipsum productu Ii ducantur, fient Mo2.quae satis apte respondet numeris supra se repositis,& tame satis supererit, ut tria in se cubice postca ducatur. At si per nota binari, id facere tetaremus, numerus supra reponedus nimiu redudaret. si per aut 3: numerus productus seret maior,quam ut a supra se repositis posset subduci. Longe aute facillimu erit,si postquam numerum inter parallelas positu ,adiuncto circulo,in triplu duxisti, primu denumero quinario qui inter primarios medius est,eo modo tentes quo supra dictu est. Ita statim scies, an maiore numero primario, an minore sit opus. Ad eundem modum tentare proderit,quoties post triplicationem numerus aliquis primarius inquirendus est, qui ea officia praestet,quae paulo ante iunt dicta. Hoc exeplum explicuisse suffecerit,ut viam cubi lateris inuestigandi daremus. Alterum pluriu notaru spectandum con*derandumque adiugamus.
72쪽
ev THEBERTI TONSTALLI IN LIBRVM sE-cvNDUM PRAEFATIO.MvLTI qui in supputadis integris nihil haerent,postquam adnumerandas partes quae nusquam non sunt obviae, Ventum est, libellos abisciunt mon atrum opinor ob caul am,quam quod non sit tam expedita partium quam integrorum numeratio. qui si secordia abiecta, animum intenderent:cuncta,quae per nimias delicias corruptis animis ardua Videntur,reperiret prona. Nam ut integrorum numeratio pene a nemine ignoratur, qui modo sensum comunem habet,& eam vult perdiscere: sic quae de partibus numerandis traduntur,Vt non admodum acutam mentis aciem requirunt , ita poscunt hominem nec dormitantem , nec stupidum, iacuius animus inter legendum minime peregrinetur. Et quan uis haec non ,sicut AEsopi fabellar, cum quadam voluptate penetrent intellectum: propterea tame studiosis nequaquam est cessandum. Cogitent quemadmodum pulcherrimis quibusque difficultatem praetexuit rerum ipsa natura .quae nihil,quod est magnu , cito prehendi voluit. simulque secum reputent, quantus in tota Vita pro
tantillo studio percipietur fructus. Nam quis quaeso mortalium vitam sic potest transigere, ut non sit ei frequenter habenda supputatio in qua labi & decipi, praeterquam quod damnosum est,ridiculum putatur. Veruntame hanc,quam nunc aggredimur, partium supputationcm non magno egere acumine,vel hinc licet cognoscere,quod mercatorcs in hac nihil ccdunt philosophis:& nescio an longe superent. adeo magis industriam,quam ingeniti postulat. Illud omnino praefandum esse duximus. Quisquis integra supputare nescit: is ne partium calculum putet se posse discere. Quippe qui nimium ingenio fretus ordine praepostero stolidus id tentabit: is simile quiddam facere videbitur,ut siquis ignorans literas, moliretur legere. Quamobrem illa omnes in promptu prius tenere debet,quam ad haec accingantur. Alioqui, ut in adagio est,& operam dc oleum perdent.
73쪽
DE PARTIUM NvMERATIONE LIB. IVM N E integrum in partes, quotcunque velis, sol ui per intellectum potest. Et quemadmodum inte o grorum numeratio ab uno incipit, atque in infinitum potest extendi, sic integrorum sectio a secundis orditur partibus. Neque enim in pauciores partes quam duas quicquam dissolui posse rerum natura patitur. In infinitum autem protenditur arbitrio secantis. Iterum partes ipsas in alias particulas, atque eas quidcm innumeras,intellectus soluit. Particularumque ipsarum rursus' alia fragmenta excogitari possunt,ut res fine habitura no sit, si cui minutias cosectari libet. Ad eiusmodi aute partes recte numerandas duo omnino requiruntur numeri. Alter qui partes dissectorum numeret, quem Arithmetici numeratore appellant: qui quot in se capit Unitates, tot partes dissecti nobis repraesentat. Alter qui partibus ipsis sua nomina tribuat,denominatore eum vocant, quod quot unitates in se contineat, in tot partes totum quippiam diuisum esse denotet. Vtpote tres quartae,quae sunt tres partes alicuius integri in quatuor diuisi. Scribuntur autem ita partes, ut numerator supra breuem lineadum:denominator infra eam ponatur, ad huc modum ἰ numeratorque semper prius pronuntiatur,quam denominator:Vt dicamus,duae tertiae,ires quartae,quatuor quintae. VERVN TAMEN harum minutiarum quaedam simplicia fragmenta dicuntur: hae sunt partes,in quas integra soluuntur. quae dam fragmentoru fragmenta,quas minutiaru minutias Arithmetici Vocare solent hae sunt particulae, in quas rursus partes frangu-tur.Nos in hoe Iibro, sicut partes integroru simplices, aliquando fragmenta ,saepe etiam minutias indiscriminatim vocabimus: itidem quoque appellabimus partium particulas, interdum minutiarum minutias,nonnunquam fragmentorum fragmenta. Inter quas species plurimum, cum in scribendo & in enuntiando, tum etiam in multis aliis interest . Na quae sunt simplices minutiae siescribuntur,ut breuis linea supra se numeratore,infra denominatorem habeat,uti iam diximus. Et si plura simplicia fragmenta scribeda sui, modico interuallo distinguutur. ad hunc modu, Vnicumque numeratorem, & unicu denominatorem singulae habent, & recto casu semper enuntiantur, ut dicamus Vna secunda, duae tertiae, tres quartae. Quae vero sunt partium particulae, duos
74쪽
aut interdum plures & numeratores & denominatores capiunt. Quarum aliae ad sinistra ponendae recto enuntiatur casu, lineam- quae habent mediam:hae sunt ipsae particulae. Aliae ad dextram Io.candae,obliquoque casu enutiatae media linea caret: hae sunt partes,quam sunt particulae rei si duas tertias unius quartae notis scribere velis,ad hunc modum facias, ψ ' Id autem significatur,vi sint duae tertiae partes Unius partis quartae ab aliquo integro diffectae,quod in quatuor partitum est. Vel si tres quartas unius tertiae
unius secudae signare cupis, ad huc modum notes, b ἰ ' quod
exprimit tres quartas partes unius partis tertiae alicuius secundae ab integro dissectae quod in duo diuisum est. Itaque dum fragme- torum fragmeta ratiocinator tractat,summopere cauere debet ne dormitanti obrepat obliuio quarum partium sint particulae, neve pro dissectis integrorum partibus partium fragmenta computet. Nam si id committat,error calculi non mediocris sequetur. s E M P Ε R autcm in omnibus dissectorum minutijs, quo maior denominator fuerit . eo minores erunt partes, remotioresque ab integris:& quo fuerit minor,eo partes maiores erunt,atque ad integra propius accedent. Nam duae partes secundae maiores sunt quam duae tertiae,& duae tertiae maiores quam duae quartae,& dus quartae maiores quam duae quintae: M sic in uniuersum qu 1to magis numerando crescit denominator,tanto magis quantitate partes diminuuntur. A D numerationem autem partium plenius pernoscendam,tria in primis obseruanda sunt. Primum, ut quandocunque numerator & denominator sunt aequales:tune partes unum integru constituant. Exempli gratia, τ ψ γ' tres tertiae unum integrum faciunt: sic quinque quintae, sic septe septimae, sic id genus reliqua.
Alterum illud est,quadocunque numerator maior est denomina tore , quot Vnitatibus denominatore numerator superat,totidem partes plures sunt quam quae integrum faciunt.ut nouem octauae
integrum & partem octauam faciunt eptem quintae inteerum &duas quintas,sex quartae integrum & duas quartas. v ,- - Tertium est, ut quandocunque numerator minor est denominatorer quot unitatibus numerator denominatore minor est,totidem partes desint ad integrum coponendum,ut duae tertiae sunt duae partes aliutius integri in tria dissecti: quibus tertia pars deest ad integrum faciendum et Itidem tres quartae quarta parte minus conti
nent, quam integrum. 'τ τ Atque itidem in reliquis similibus.
75쪽
O DE PAR T. RED Vc T. 1T A QR E denominatoris augmentum partes quantitate quidem minores,numero Vero plures reddit. Quemadmodum econuerso numeratoris incrementum Vel integra progignit, vel partes multo propiores intςgri ' ..... AD HAEc cum omnis integrorum Inter te multiplicatio &quantitate & numero maiorem edat istum,nempe numeru productum t econtrario in partibus euenit, ut minutiae multiplicatae
quantitate minores,numero plures comperiantur. DE PARTIBVS DISSIMILIBUS AD SIMILI Tv-DINEM REDIGENDIS.uM res supputationibus faciendis partes aliae aliis maio-e res,longeque dIssimiles frequenter occurrant,interdu fragmentorum fragmenta simplicibus aggregata fragmentis , nonunqua integra partibus intermixta : ne tam varium chaos rationes totas conturbet: eiusmodi tam diuersa prius ad similitudinem quandam reducere necesse est,quam ea vel addere,vel subtrahere,vel multiplicare,vel diuidere quiuis aggrediatur. quo fiet, ut operis aequalitas cuncta tum prona, tum facilia reddat: quando alioqui, siquis tam dissimilia inter se committere telaret,in Iabyrinthum inextricabilem sese ingereret. Igitur antequa illa quisipiam moliatur: haec quae de dissimilibus in unam faciem redigendis praecepta sequuntur,prius tenere curet. SIVE autem maiores partes in minores mutare libet, siue eco uerso minores in maiores redigere: partes quaelibct in quasvis iras formantur: si partium,quas transfigurare Volumus numeratorem in denominatorem earum,in quas sunt transformandae,na ultiplicemus; & numerum ex hoc enatum per earum partium denominatorem, quas transfigurare est animus, diuidamus. Quo net, ut partitionis numerus partes illas edat, in quas fit tranHormatio. Quod quidem solum eruditis praecepisse suffecerit. Cartem ut rudium habeatur ratio: utranque speciem seorsum eXplicabimus. .. Itaque maiores partes in quasvis minores transformantur: li maiorum partium numeratorem in denominatorem minorum multiplices, & numerum ex hoe enatum per maiorem denominatore dividas. Quo peracto numerus partitionis patefaciet quot partes minores ex maiorum transformatione nascuntur. Vt si tres quartas ad octauas transformare velis: per tria,maiorum partium nu merator .Qcto minorum denominatorem multiplices: & Pro-
76쪽
deunt viginti quatuor. quae deinde per quatuor maiorum denominatorem diuidas: & numerus partitionis sex habebit. Ex tribus figitur quartis ad octauas reductis sex octauae consurgunt. Et si
duodecim tertias ad quintas transfigurare cupis: duodecim maiorum partium numeratorem , in quinque denominatorem minoiarum ducas, & sexaginta nascuntur: quae per tria maiorum denominatorem diuidas, & numerus sectionis viginti creabit. Sic ex duodecim tertiis,Viginti quintae generantur. Quod si tres quintas ad septimas Vis reducere: per tria maiorum partium numeratorem, septem denominatorem minorum multiplicar & procreabis viginti unum. quae postea per quinque maiorum denominatorem diuide:& numerus partitionis quatuor ostendet. Vnumque restabit reliquum, quod V nam quintam unius septimae significat. Sic ex tribus quintis ad septimas reductis fiunt quatuor septimae, di quinta pars unius septimae. Nam quadocunque in eiusmodi reductione reliquu occurrit,partis erit particula denominacionem
que in recto casu a maioru partium denominatore qui diuisor extitit,sumet, alteru vero in casu obliquo a denominatore minorv. MINOR Es partes d conuerso in quastibet maiores tranfigur tur, quando per numeratore minoris denominator maioris multiplicatur,& numerus inde proueniens per minoris denominatorem diuiditur. tunc enim numerus partitionis palam indicabit quot partes maiores ex minorum transfiguratione surgunt: ut si
sex nonas in tertias quis commutare Velit, per sex minorum partium numeratorcm,tria denominatorem maiorum multiplicet:&creabit decem & ocho: quae deinde per nouem minorum denominatorem diuidat,& in numero semonis duo comperiet. Itaque ex sex nonis in tertias comutatis duae tritiae generantur. Et si duodecim sextae in quartas sint mutandae, duodecim numerator mi norum partium in quatuor maiorum denominatorem ducantur, di progignutur quadraginta octo et eaque postea per sex denominatorem minorum dividantur: & ocho in numero partitionis erunt. Ita duodecim sextae reducuntur ad octo quartas. Quod si septem octauas ad quintas quis reducere cupiat, septe numeratorem minorum partium,in quinque denominatorem maiorum ducat,& conficiet triginta quinque:quae deinde per octo denomina. torem minoru diuidat, & numerus partitionis quatuor habebit,ia reliquum supererit,ires octauae unius quintae. Quamobrem ex septem octauis in quintas commutatis quatuor quintae oriuntur,
77쪽
-3 DE PARTIRT D veri& tres octauae unius quintae.Na in eiusmodi reductione hameatum fragmenti quadocunque occurrit, denominationem in casu recto a minoris fragmenti denominatore per quem fit sectio, caepit, denominationemque in obliquo a denominatore maioris
'Drusns Asturi denominationum partes ad easdem denomiis nationes rediguntur, quando Vnius fragmenti denominator per alterius denominatore multiplicatur. na numerus inde prouenies denominator communis erit. Vt si duas tertias & tres quartas ad eandem denominationem Velis reducere, tria denominatore priami fragmenti per quatuor denominatorem secund muItiplieo: εe ena seentur duodecim denominator communis. Ia .
o v o D si scire cupis , quot duodecimae partes seorsum sint iniduabus tertissi duo numeratorem illius primi fragmenti, in qua tuor denominatorem posterioris ducas , & octo pro numeratore Procreantur: quibus denominator comunis sub linea suppositu indicat in duabus tertijs octo duodecimas deprehendi. mi Itide si vis scire quot duodecimae partes seorsum sint in tribus quartist tria numeratorem ipsius secundi fragmenti,in tria denominatore primi multiplices, & nouem pro numeratore consurgent: quibus denominator communis sub linea subiectus demonstrat in tribus
quartis nouem duodecimas inueniri. TT . DEINDE si ad comunem denominatore numeratorem etiam Comunem Vis inuestigare prioris fragmenti numeratore in denominatore posterioris,& similiter numeratore secundi fragmeti in prioris denominatore, ad forma erucis diui Andreae, multiplica. numerique ex his duabus multiplicationibus prouenietes simul
addatur: & numerus inde prouenies numerator comunis erit. Ut
si duo numerator primi fragmenti, in quatuor denominatorem secundi ducantur, fient octo. Et si tria secudi fragmenti numerator,per tria denominatorem primi multiplicentur, surgent nouet quae addita ad octo faciunt septendecim, qui numerus erit numerator communis. Ita duae tertiae & tres quartae ad eandem denoriminationem reductae numeratorem habent communem septen decim,denominatorem Vero duodecim. ψ
SI VERO plura fuersit fragmenta, Vti duae tertiae, tres quartae,' quatuor quintae post duo priora fragmenta ,sicuti diximus,reducta , iterum denominator communis prius inuestigatus per tertii fragmenti denominatorem multiplicetur,& surgent sexaginta ormnium denominator communis. υτ co
78쪽
etv d D si scire cupis quot partes sexagesimae sint in quovis tragmento,numeratore ipsius fragmenti in denominatore eommunem multiplica, nempe sexaginta,numerumque procreatum diuide per eiusdem fragmenti denominatorem : ita deprehendes in duabus tertiss quadraginta sexagesimas, & in tribus quartis quadraginta quinque sexagesimas, A E & in quatuor quin
iis quadraginta octo sexagesimas. DEINDE numeratorem omnium fragmentorum comu neminuestigaturus prius reductorum fragmentorum numeratore per denominatorem tertis,& numeratorem tertis per denominatorem
fragmentorum prius reductorum multiplica. numerosque ex his duabus multiplicationibus generatos simul adde, & numerator communis omnium fragmentorum prodibit. Ut si septendecim, prius reductorum numeratorem communem, in quinque tertii fragmenti denominatorem ducamus, indeque procreemus octoginta quinque , & iterum duodecim communem prius reductorum denominatorem, in quatuor tertii fragmenti numeratorem multiplicemus, atque ita generemus quadraginta octo. hosque duos numeros simul coniungamus, enascentur ecntum triginta tria. Is numerus erit omnium fragmentorum numerator communis. sic duae tertiae,ires quartae,& quatuor quintae ad communem numeratorem & denominatorem reductae, fiunt centum triginta
tres sexagesimae. He Eodem modo progrediendum est, etiam si plura fuerint fragmeta ad eandem denominationem reducenda: vi primis quibusque,quemadmodum diximus,expeditis,proxime sequentia ad eundem modum absoluantur, donec per omnia fragmenta sit discursum. a x praedictis nimirum liquet numeru statim inueniri posse,qui partes quascunque Volumus,denominatas habet. Quippe si partes omnes denominatas inter se multiplicemus, numerus procreatus partes eas cotinebit. Exempli gratia, si numeru aliquem cupis exquirere qui capiat unam secundam, Vnam tertia, unam quartam. Vnam quintam,una sextam,Vnam septimam, - ἡ τ τ ι - omnes has partium denominationes inter se multiplica quae generat quinque millia Sc quadraginta:is est numerus quaesitus. I N eiusmodi autem numero singuli numeratores , partes plureres usque ad totidem cotinere possunt, quot in denominatoribus singulis reperientur: nam in eodem etiam deprehendas unam secundam, duas tertias, tres quartas, quatuor quintas, quinquet
79쪽
tas, sex septimas, i vel si r-m reperias duas se a
das tres tertias,quatuor quartas,quinque quintas, sex sextas lepte septimas, 'E' 'F π τ π π Partes autem Unius atque eiusdem numeri plures in numeratore quam in denominatore contineri nequeunt di nam is numerus ea ratione seipsa maior esset, quod est contra rerum naturam: Veluti si quaeras numerum qui quinque quartas habeat, frustra inuestiges' quippe cum quinque quartae unum integra & quartam praeterea partem costituant. at nullus numerus quarta parte seipso maior haberi potest. Minimus autenumerus qui partes quasciique Velis denominatas habeat,queadmodum sit inuestigandus,paulo post dicemus, quando trademus quomodo partes ad minimam sui nomenclaturam redigantur. PARTI v M particular quae fragmentorum sunt fragmenta, &minutiarum minutiae etiam nuncupantur, in integrorum partes quas simplices vocant minutias mutantur, si earum numeratores inter se multiplicentur, Vt Vnus omnium communis numerator fiat r atque itidem earum denominatores in se ducantur, ut unus omnium communis denominator enascatur. Ideoque si ad eandem denominationem reducere cupias duas tertias unius quartae
unius secundae P . , unitatibus in duo ductis,tantum duo iurgunticum unitas alios numeros non multiplicet. sic oritur numerator communis. Deinde tria in quatuor ducta creant duodecim, quae iterum in duo multiplicata producunt viginti quatuor. ita compertus est denominator communis. Quamobrem duae tertiae unius quartae unius secundae ad simplicia fragmeta redactae,procreant duas vigesimasquartas Vnius integri. ετ INTEGRA in partes quascunque Volumus franguntur,si numerus integrorum per denominatore illarum partium quas proincreare cupimus,multiplicetur: quippe numerus ex multiplicatio. ne generatus enatarum partium summam demonstrabit. Etenim
si integrum ad sextas reducere est animus, Vmtatem per lex multiplicemus δε enascetur sex: qui numerus erit partium. Si tria integra ad sextas resoluere libet, sex in tria ducantur: ita fient dece& octo qui numerus existit partiu,solutis in sextas trib' integris. S I Q. v A vero integra Vna cum partibus occurrat quae ad partium denominationem reducere Velimus, numerum integrorum per denominatorem partium multiplicemus,& numero procreato partium numeratore addam us indeque crescenti numero eundem denominatore supponamus,linea interposita. Exempli gra-
80쪽
LI B. I r. sitia . si quinque integra & tres quartas ad tandem denominatione
reducere cupimus,integrorum nota primum scribatur: deinde an
te eam ad dextram, ipsum fragmentum, breui linea interserta ad hune modu, s l .quinque deinde numerum integrota, per quatuor denominatorem fragmenti multiplicemus,& consurgent vigintii quibus addita tria numeratore commune Viginti tria creat. his sub linea media, quatuor denominatorem subiiciamus: sie nobis enascentur ex hac reductione Viginti tres quartar - .et v o D si integra & plura simplicia fragmenta ad unum sim
plex fragmentum reducere quis Velit,numerum integrossi & primum fragmen tu,sicuti iam praecepim',absoluat. Deinde fragme- tum simplex ex hoc enatu cum alijs sequentibus copulando per singula fragmenta discurrat, donec uniuersa in eandem denominationem transsormauerit eo modo quo ante dimim est. si v ERO integra & partium particulae simul reperiantur, de ad simplex fragmentum Velis ea reducere, primum partium particulae ad simplicia fragmenta reducendae sunt,sicuti ante preceptum est: & tum demum integra cum his in eandem denominationem sunt copulanda. ITIDEM Qv E per omnia fiet,si integra & plura fiagmentorum fragmenta sese simul osserant. his nanque omnibus prius ad simplicia fragmenta redactis , caetera seruentur quae iam praedicta sunt. Tv AR aeus econuerso reducuntur ad integra, si numeratorem ipsarum partium per earum denominatore diuidamus. na numerus partitionis integra cotinebit.Vt si decem & octo tertiae ad integra reducendae sint,dece & octo per tria diuidamus:& numerus partitionis prodibit sex. totide itaque sunt integra. Vel si ex viginti duabus quartis integra procreada sint,viginti duo per quatitor secemus,& in numero partitionis quinque deprehendentur at- , que duo reliqua. Igitur quinque fiunt integra.& duae quartae supersunt. quia semper in omni diuisione tam integrorum quem partium ,reliquum,si quod restabit,a diuisore, per quem sectio facta est,suam denominationem sumet.Ipsum autem reliqusi,quod integrum creare nequit, eadem proportione se habet ad integra, Mut numerator ad denominatorem,qui diuisor extitit. Quocirca
cum per integrum diuisorem, id quod reliquum erit, amplius secari non possit, per dimidium diuisoris, si modo is dimidiari potest, diuidaturi & numerus sectionis dimidium ostendet integrit