장음표시 사용
91쪽
dato,cum duo in tria ducuntur,fiunt se,c: quae si nihil praeterea fieret viderentur integra. rem quia non duo integra per tria sed duae tertiae unius integri per tres eius quartas multiplicata sunt similiter partium denominatores in se ducutur,ut partium diuisione.quae per denominatoris multiplicationem fit, quanto enim
magis denominator crescit, tanto magis partes comminuuntur nimia numeratoris augmentatio tantum eorrigatur,quantu plus iusto creuerat,atque ea ratione ad aequalitate redigatur. Ita postquam etiam denominatores in se ducti creant duodecim, liquet sex duodecimas esse,quae alioqui sex integra videri possent.
v o sc R o si per minutias velis integra multiplicare, aut minutias per integra:ipsum integrorum numerum per minutiarum numeratorem multiplica,& producetur omnium numerator. eui mi nullaru denominator nihil immutatus sub linea supponatur. Veluti si et integra per - , aut ' per 2 integra multiplicentur,pro creantur W, quae faciunt I -. Alij integra ad exemplum minutiarum ita scribui, ut numerus integrorum supra breuem ii neam notetur,& sub ea reponatur Unitatis nota,quae integra illa esse stignificet. iuxta quae sie scripta,quasi minutiae essent, veras apponuiminutias , quas in ea ducunt. Deinde numeratorem integrorum per minutiarum numeratorem, harumque denominatore per de nominatorem illorum multiplicant: qui modus & expeditus est,& res ad idem recidit. nam cum ipsa unitas integra designans alios numeros non multiplicet, denominator semper inuariatus manet. ita , ducta in , faciunt - .s I e obiter expedita est partium duplicatio: quam speciem qui. dam separatim tractant. S I A V T E M per minutias Voles integra , aliis minutiis adiun -cta,multiplicare et e conuerso minutias per integra minutiss adiuncta:reduc prius integra in minutias sibi adiunctas,ipsa integra multiplicando in illarum denominatorem, numeroque procreat illarum numeratore addendo. cui numeratori sie accumulato,minutiarum illarum adiunctarum denominator sub linea subdatur. Deinde ipsae minutiae iuxta alteras scribantur, numeratorque per numeratorem . & denominator per denominatorem multiplicetur. Puta si duo integra m duabus septimis per duas quartas multiplicanda fuerint, duo in septem ducta creabunt quatuordecim: quibus duo,quae sunt in numeratore addita, producent sexdecim. is erit numerator, cui denominator septe capiens sub linea iungi
92쪽
debet Deinde numerator in alterarum numeratore ductus erea bit triginta duo: denomina&resque itidem in se ducti, producet iginti octo .se 2 integra & Y reducta creant . quae per i mutntiplicata,componunt ri. Ea Vnum integrum faciunt,& F. - v AN Do integra in integra minutijs adiuncta ducenda sunt: prius integra minutiis adiuncta in sociarum minutiarum faciem
redueito,ipsa integra in illarum denominationem ducens,nume- inque producto numeratorem addens. cui numeratori sie coaceruato, denominator sub linea subdatur. iuxta quas minutias interigra minutiarum more,supra lineam notentur,subiecta his unitate Deinde numeratores in numeratores ducantur, itemque denominatores in denominatores,sicuti fit in minutiis. Veluti si V in 3t duceda sint, 3 in s ducta facient Is. quibus addita Α,creat . postea ' in Ist ducta producent Iri :quae supra linea ponantur. Ite se mel f seciuis, quae sub linea locentur. Ita ex hae multiplicatione sient quae si ad integra libet reducere,creabunt 34 π . A T s x integra & minutiae in integra & minutias dites debent, eluti 3 in s l, utraque integra prius in minutias sibi ad luctas edigantur,& postea minutiarum more multiplicatio fiat. Itaque in prioribus illis 3 in ' ducta creant 27. quibus numerator ψ adiu-ctus producit A . Similiter in alteris fiat. I in 3 ducta faciunt M.
quibus numerator 3 additus,educit -ῆ. I a Vero se ductae In apro dueunt V . quae ad integra reductae faciunt i 8 3T. .. v B I e V N Qv E autem minutiam minutiae interueniunt: prius
hae ad simplices minutias redigendae sunt,& postea in singulis,in eundum ea quae supra dicta sunt,multiplicatio peragenda.
A R T I v M diuisio,est duorum fragmentorum alterius u P rerum oblique secantis ,per multiplicationem in V nu coitio , per quam tertium enascitur fragmentum, ex 'triuisque illorum aequali eomplexu generatum. In omni autem pamudiuisione fragmentum partibus diuisoris iungens a parte sinistra poni debet,fragmentum vero diuidendum a dextra. quemadmodum fit in integris,ut diuisor sinistram occupet. Deinde tragmeti diuidendi numerator in diuisoris denominatore multiplicetur, taenascetur sectionis numerator. Postea denominator diuidendi tragmenti in diuisoris numeratorem ducatur : R partitionis denOminator proueniet. qui sub numeratore prius procreato, linea m-
93쪽
L I B. Ia. yteriecta,supponi debet. Ita ad hunc modum numeratorum in deri nominatores,& denominatoru in numeratores multiplicatio oblique in formam crucis diui Andreae facta, fragmentum procreabit diuisoris & diuidendi vim pariter complectens . Exempli gratia. Si per tres sextas diuidere duas tertias Voles,multiplica duo in sex:& fiunt duodecim, numerator operis . Deinde tria in tria ducantur & procreabuntur nouem,sectionis denominator. Sic per idiuisae τ faciunt . quae, si earum numerator per denominatorem secetur,integrum Vnum & tertia Vnius integri partem constitulit.. s v N T qui iubent in minutus diuidendis, diuisorem a deYtra poni, quasi id magni referat. qui cur id fieri sie velint,nihil video. quando illi ipsi praecipiunt fragmenti diuidendi numeratorem in
diuisoris denominatorem,contraque diuidendi denominatorem
in numeratorem diuisoris duci. Quod praeceptum siquis seruet, nihil omnino refert ab utra parte diuisor steterit i id quod res ipsa ante oculos posita palam indicabit, si in medio fragmentum diuidendum , atque,Vtrinque idem fragmentum secans statuatur, ad hunc modum-π P. Nam fragmenti medii diuidendi numerator in diuisoris denominatorem, vel a sinistra, vel a dextra ductus,eundem creat numerum,similiterque diuidendi denominator in numeratorem,Vel sinistrum, Vel dextrum multiplicatus idesaciet. Qiamobrem cum in integris diuisor sinistram teneatmontemere aliud in partibus statuemus , privsertim cum in explieandis difficillimis quibusque quaestionibus, in quibus minutiae interueniunt hae, quae diuisoris funguntur partibus, suapte natura sinistram teneant. id quod in sequenti libro passim cuiuis licebit cernere. Quas minutias, quando ad diuisionem ventum erit,si de suo Ioco in dextram transferes, laborem geminabis. si et v AERIS cur ita in minutiarum partitione multiplicatio in sormam obliquae crucis fiat,ratio illa est. quod minutiarum ekilitas fit per denominatoris multiplicationem. quanto enim magis ille crescit, tanto magis hae comminuuntur, & numero plures
fiunt. At e conuerso numeratoris incrementum vel integra progignit:vel partes multo propiores integris. Itaque O minutiatu inter se multiplicatio, ex numeratoris directo in altem numeratore ductu, denominatorisque itidem in alterarum denominatore constet,quemadmodum proximo capite edocuimus: minutiarum vero diuisio,quae suapte natura mulltiplicationi cotraria est,per mul'tiplicationem fieri etiam ipsa debeat, ut tertiu his mutua sectione
94쪽
eoeuntibus fragmentum enascatur, quoniam altera illa multiplicatio conficitur directe. haec,quae partes secat, necesse est oblique
fiat, ut alterarum numerator in alterarum denominatorem, denomina torque alterarum in alterarum numeratorem ducatur. alioqui sectio nimia redderetur,nec ad aequalitatem res posset perdu- ei. Veluti in exemplo iam dato,quando per 'r diuidere , voluismus multiplicantes tria diuidendi denominatorem per tria diuisoris numeratorem si nihil praeterea faceremus, ideremur per tria integra partes illas secare:atque ita diuidendo, nimium excederemus. Sed quoniam illa tria per quae divisimus,non erant tria integra, sed erant tres sextae, propterea diuidendi numeratorem in sex diuisoris denominatorem ducentes , corrigimus excessum illum, atque ita partitionem ad aequalitatem reducimus. latum enim diuidendi numeratorem supplemus,quantum plus iusto denominatorem eius auximus,partes minuendo.
Eu et in I expeditam partium diuisionem.qua ut plenius pernoscas,illud obseruare oportet,ires earu secandi esse species. Una est, quando partes maiores a minoribus secantur. in qua specie nascuntur minutiae,quae plus quam unum integrum creant. Exemplum. si per 'i' seces An, oriuntur 'c, quae Vnum integrum & dimidium componunt. Altera,quando aequales partes diuidunt aequales ex qua unum creatur integrum. Exeplicausa. si per i diuidas F,fiunt ex ea sectione 'T: qua: Vnum integra faciunt. Tertia est, ubi partes minores diuiduntur a maioribus: id quod in minutiis saepenumero euenit. sic enim hae coire possunt. In hae paristes procreatae minus reddunt,quam Vnum integrum. Exepli gratia .si per ψ , seces 4 : prodeunt se quae tertia paree minus,
quam unu intem edunt. Et Vt scias que sensum asserat minutiarum partitio: primo numeru alique inuestigare oportet,qui utrasque minutias,tam quae diuidunt,quam quae diuidendae sunt, eontineat. id quod facile fit,si utraruque denominato res inter se mulatipliees, deinde in numero illo procreato duos numeros minores exquiras talterum,qui partes diuidendas:alterum, qui partes diuisores reserat. Ita deprehendes nihil omnino interesse virum alterum illom numerorum per alterum diuidas,an partes alteras per
alteras. Exemplum in prima secandi specie,vbi per ἱ secamus b. si numerum quaerimus, qui & capiat,ttia in duo ducta, sex nobis creant. qui numerus utrasque minutias coplectitur. Postea in sex,ptius numerum inuestigemus qui Unam eorum tertiam expri-
95쪽
I. mat. is erit duo. deinde iterum in sex alterum numerum inquitamus,qui creet unam eorum secundam :& tria esse comperiemus. Quibus numeris inuentis, nihil referre deprehendemus,utrum per - secemus - , an tria per duo. Nam Vtrobique res ad idem recidet: quippe ex partium sectione proueniunt tres secundae, quaevnti integrii & dimidiu faciunt nam numeratoris per denominatorem partitio unum in numero partitionis producit, ultra quod
una seeunda superest. id quod itidem eueniet si tria per duo seces. Alterum exemplum in secuda secandi specie, Si per ι diuidas τ iinde prodeunt ri , quae Vnum integrum creat. Idem surget si quatuor diuidas per quatuor: quippe in octonario numero ex denominatorum in se ductu procreato 4 Vnam secundam,& 4 duas quartas faciunt. At in tertia secandi specie, quado maiores partes, diuisoris funguntur partibus , quemadmodu tunc in integris se ctio fieri nequit, nisi minor numerus vel in species sub se contentas multiplicetur , vel in minutias soluatur, sicuti mox dicemus: ita dum minutiae coeuntes sic secantur,huiusmodi partitio nil nisi minutias parit, quippe quae Vnum integrum nequeunt aequare.' quia quot partibus numerator a denominatore superatur , totide
desunt ad integrum componedum . Veluti si per seces τ': prodeunt -τ . Quod perinde Valet ac si duo per tria diuidere moliaris . nam in numero senario Vtrasque complectente minutias, tria unam secundam,duo Vnam tertiam faciunt. Quae sectio in integris fieri nequaqua potest,ut Vterque numerus integer maneat, id quod mox explicabimus . Quamobrem quando partes quaelibet
per alteras quasvis partes diuidendae proponuntur di hoe signifieatur,ut partes illae alicuius numeri propositae diuidatur per alteras eiusdem numeri partes propositas. v st AE TERE A cum in integris multiplicatio semper augeat, partitibque diminuat. in minutiis contra euenit, ut eae multiplicado decrescant,& augeatur partiendo. Nam si per unam tertia una secunda multiplicetur procreatur Vna sexta, quae longe minor est quam vel una secunda,vel Vna tertia. At d conuerso, si per una tertiam una secunda diuidatur: fiunt tres secundae : quae unum integrum & dimidium coponunt, quod longe plus est quam Vel una
tertia,vel una secunda. Veruntamen qui minutiarum naturam ea esse meminerit, ut quanto magis in numero denominator crescit,
tanto magis quantitate partes diminuantur, id quod ante saepius admonuimus. statim mirati desinet cur minutiae multiplicado de gi.
96쪽
ρ3 DEMINUT. PAR T. crescant, cum in his numeri incrementum diminutionem asserat quantitatis , & denominator pro ratione magis quam numerator augeatur . Maius mirum prima facie videri potest, quomodo partes diuidendo crescant: sed nee id quidem quempiam turbare debet, qui partium diuisionem ab integroru loge diuersam esse perrenouit. Etenim illa fit per subductionem diuisoris a numero diuidendo toties repetitam,quoties id fieri potest. Haec aute per duorum fragmentorum obliquam in unum coitionem, per quam tertium exoritur fragmentum ex aequali illorum complexu productum. Quare quonia multiplicationis natura est ut partes edat minores:partitionis quae ei contraria est,esse debet, ut partes instauret, plenioresque eas reddat. Cui rei no absimile quiddam nonu- qua in integris Videre licet, siquis minutiores nummos ad librarii aurcorumve summa cupiat redigere. id quod fit per sectione,si per
illum nummorum numerum,quo libra Vna aut aureus unus aestimatur, Vniuersus nummorum numerus diuidatur . Itaque quando minutiae per minutias secantur, Omnia maiora fiunt,quemadmodum aurei atque librae congeruntur ex minutioribus nummis.
Quocirca partium diuisio nihil aliud est, quam inuestigatio quaedam quot & quae partes ex duabus fragmentis ad tertii fragmenti procreationem pariter per sectionem coeuntibus oriantur. s I Qv AE vero minutiae per integra fuerint diuidendae: ab earum sinistra numerus integrorum supra lineam scribatur, Veluti minutiarum numerator quidam,sub quo ,linea interiecta,notetur Unitas:quae,quasi quidam denominator,integra designet. tumque multiplicatione in formam crucis facta , sic fiat diuisio quemadmodum in aliis minutiis. Nam si per ψ dividantur π : postquam in speciem crucis multiplicatio fiet,orientur . Alio modo id fieri potest,& res ad idem recidet:ut denominatore manete intacto, numerator minutiarum per numerum integrorum in partes aequales, si fieri potest, diuidatur. Veluti si per a integra 'r secentur, fient ψ . Alioqui si numerator per integrorum numerum in paristes aequales secari non possit, numerus integrorum in denominatorem diuidendi fragmcnti multiplicetur,& res erit confecta: sicuti si per 2 integra - secentur, prouenient ψ . SIC OBITER. expedita est partium dimidiatio,quam speciem curiosi quidam separatim trastini, cum longe sit facilior quam si
quis eas per tria,quatuor, aut quenuis alium maiorem numerum secare velit.
97쪽
Ar si minutiae per integra de minutias secandae proponuntur 1 prius integra in minutias sibi adiunctas redigantur, ut una de his minutiam facies appareat. quae,quia diuisoris partibus sun-gentur, sinistram occupabunt .aliae vero minutiae,quae sectionem pati debent, dextram. deinde multiplicatione in formam crueis facta , minutiarum more,diuisio peragatur. Veluti si per ri partiri
π- voles prius adiunctarum minutiarum denominator 2 in a ducatur,& fient 4. quibus additus numerator I, educit ψ-: per quas si seces Q, ex ea partitione prouenient m. v v o D si integra per minutias diuidi debent, integra quidem minutiarum more,supra lineam , tui subdatur unitas,d dextra Iocentur:minutiae autem a sinistra. Caetera Vero quae de multiplicatione in formam crucis facienda iam diximus mihil immutentur. Exempli gratia. si per I secare vis q, enascentur n. PORRO si integra per integra & minutias diuidenda sunt, postquam integra quae minutias adiunctas habent, in earum sormam redacta erunt, a sinistra locentur, quod diuisoris fungantur partibus: caetera vero expediantur sicuti proxime diximus, quado integra per minutias secantur . Veluti si per 2 ip secandae sunt V,' minutiarum adiunctarum denominator 3 ducatur in a , & fient squibus numerator 2 additus creat 'i'. per eas autem si diuidas φ. inde prouenient V , quae faciunt IV . AT s I integra & minutiae per minutias serandae sunt: prius
integra in minutias sibi adiunctas redigantur,ut una de his minutiaru facies fiat. deinde a dextra positae.per alteras minutias frumetotu more secentur. Ueluti si per partiri s ἱ voles: s in
ducantur,& 2o prodibunt.quibus numeratorem 3 adde,& surgent. Postea multiplica 4 denominatorem diuidendi fragmenti ins numeratorem diuisoris,& producetur zo. Deinde numerator diuidendi 23 ducatur in denominatorem diuisoris 6,8c surgent I38. quae si per ro secta ad integra redigantur, proserent 6 ΥΔ. AD EvNDEM modum fiat si integra & minutiae per integra secandae sunt. id quod quando acciderit,ipsa integra a sinistra I cata minutiarum speciem induant,vii supra dictum est. Qv A N D O vero integra & minutiae per integra & minutias diuidi debent, prius utraque integra in minutias sibi adiunctas seorsum redigantur,ut omnia minutiarum speciem utrinque referant.' Deinde minutiae quae diuidendae sunt a dextra locatae per alteras,
fragmentorum more secetur. Veluti si per 3 π partiri 6 F cupis; 3
98쪽
in ' multiplicata ,& producto numerator additus,facient Ite 6 in 7 ducta, productoque numerator adiunctus proferent Postea si per secetur ex ea partitione lεἰ prodibunt. quae ad Mintegra reductae faciunt Ietu .vBIcvN Q v E aute minutiam minutiae interueniunt, prius
hae ad simplices minutias redigendae sunt, & postea in singulis, secundum ea quae supra dicta sunt diuisio peragenda. SI c APERE experimentum libet an partitio recte facta sit, sectionis numerum in diuisorem multiplica,& numerus diuidendus producetur. nam multiplicatio diuisionem, & multiplicationem diuisio probat in minutiis,quemadmodu fit in integris. Igitur quando per 'τ secantes in educimus 4 , quae faciunt i π recte diuisum esse probabimus , si in diuisorem θ ducemus .ital producentur,quae ad minimam nomenclaturam redactae faciut . quod fragmentum diuidendum erat. IN MINvTIIs operaepretium illud admonere putauimus, in quo multum exercitatos labi saepenumero vidimus , Quandocunque minutiae quae diuisoris funguntur partibus, & quae sunt diuidendae , eundem denominatorem habent, qui in visisque suo
numeratore minor reperitur ,maiorque existit earum numerator
quae secandae sunt, quam quae secare debent: quoniam tune in utrisque , minutiae totidem integra repraesentant quoties utriusque numerator denominatorem suum continet, partitio nequaquam oblique in Armam crueis fiat, sicuti fit in minutiis, sed denominatoribus manentibus intactis, maior diuidendi numerator per diuisoris numeratorem , qui minor est,integrorum more secetur. Alioqui si supputator illas sicut minutias diuideret incautus,cum integra desinent, & minor numerator maiore partiri possit,in labyrinthum inextricabilem ignorans sese immergeret. Exemplis rem illustremus . Esto per H secandae essent se, denom natoribus Vtriusque nihil immutatis, septem pers diuisa educent unum integrum & duas quintas. Aut si per ρ partiri cupias ,per Octo secans decem . num integrum procreabis: dc supererunt ψ, quae reddunt4. Et quan uis in his exemplis nihil referre videatur viro ea modo secentur,cum etiam si minutiarum more fieret partitio,nihilominus post reductione minutiatu ad integra res ad ide recideret: in me praeterquam quod via 1a monstrata illas reducendi vitat ambages, multae supputationes occurrent in quibus error immensus
99쪽
Ioibrietur si ritu partium 'ea dividas. Et praesertim ubi ex diuersi, in
tegris, & variis minutijs in V num additis, Vnus omnium diuisoreolligitur, qui multa & Varia secare debeat. Id quod in explican dis numerorum nodis, in sequenti libro manifestum per exempla
faciemus.1N INTEGRIs numeris maior non diuidit minorem: cum in minore maior non cotineatur. Vti superiori libro,de partitione praecipientes, admonuimus. Caeterum maior numerus minorem
frangere in minutias potest . Et ut scias quonam modo ea sectio fiat quotque & quales partes faciat:illud obserua, ut minorem numerum diuidendum supra breuem lineam ductam,numeratorem statuast maiorem Vero qui diuisor est,denominatorem lineae subiicias .sie tot enascentur partes,quot diuidedus, qui numerator est, unitates capit. tales autem erunt,quales denominator, qui diuisor est demonstrabit. Quae continuo ad minimam sui nomenclaturam redactae manifestabunt quot & quales partes prodeant,quando maior numerus in minutias diuidit minore. Exemplum, Si per 3o secare is velimus , fiunt s. quae ad minimam nomenclaturam
redactae faciunt ψ . Itidem si per Ao partiri cupiamus is, sectio facit ZZ-,quae sunt T. Similiter si per Usecare velimus I, prodeunt - . Minor numerus supra linea numerator emcitur, quod in minutiis is locus sit numeri diuidendi. maior vero numerus sub linea denominator fit: quod eum locum in minutiis diuisor obtineat. Et quemadmodu si numerator maior esset,denominator minor eum secans proferret integra:sic e convcrso,quando denominator numeratore maior est,enascuntur minutiar: quibus tantum
deest ad integrum componendum,quanto numerator denominatore est minor. Ita numerus minor diuidi per maiore duobus modis potest . vel quando res a minore numero numeratae ducuntur in species sub se contentas;Vt numerus productus maioris sectio. nem ferat . veluti si unus aureus inter quatuor viros diuidendus, multiplieetur in minutiore pecuniam,vt in quatuor partes distribui possit. vel quando numerus maior minore in minutias secat
id quod fieri potest eo modo quo iam diximus. Haec quanquam attinent ad sectionem integrorum, quia tamen huiusmodi partitio producit minutias,de quibus ibi praepostere fuisset dicendum, in hune Iocum potius releganda fuerunt.
100쪽
v ADRATI & eubi lateris inuestigatio eodem modo fita in minutiis quo in integris fieri solet, nisi quod geminandus est labor, cum tam in numeratore quam in denominatore radix sit quaerenda. Latus autem in numeratore inuentum numeratotis erit radix . quod Vero ex denominatore eruetur,denominatoris radix habebitur. inter quae,linea media secanda est. Exe-plum de latae minutiam quadrato. Si de - radicem cupis eruere,numeratoris radicem inuenies Sidenominatoris 4. Sic linea distinguente , fiunt in . Similiter de et radix quadrata capit π, dc reliquae supersunt 'ta. Radix vero cubita earundem minutiarum habet & restant s.
meris neque quadratis neque cubis. B I I N numero, qui neque quadratus est,neque cubus, ra' dix est inuenta, temper aliquid erit reliquum, siue in prima investigatione id eueniat,sive in ulteriore:de qua iam dicemus. Nam si nihil restaret, is numerus, quadratus,aut cubus esset. Nonnunquam autem in amplo numero reliquum ipsum in gens erit. Prima nanque inuestigatio radicem deprehendit maxi mi numeri quadrati, aut cubi in his contenti: inter quem & numerum illum, qui neque quadratus, neque cubus proponitur, ipsum reliquum disserentiam manifestat. Quocirca in eiusmodi nu meris veram radicem assequi nunquam licet:tametsi propius mul to,quam in prima investigatione factum est, accedi potest ut scias quot partes cuiusuis denominationis supersint. Id quod in quadratis fiet ad hunc modum.. POST primam in integris radicis exquisitionem, in qua reli quum superest numerum illum non quadratum, cuius in integris radix inuenta est, per denominatorem cuiuscunque partis, quam optas,multiplica. Deinde per eunde denominatorem iterum multiplica numerum productum. Quod cum factum erit,radicem numeri per secundam multiplicationem producti,exquire. Haec nanque radix secunda cunctas illius denominationis partes in nume-
'ri primo propositi radice contentas demonstrabit. Atque ideo si per partium denominatorem radicem illam secundam seces: nues