장음표시 사용
81쪽
kti id exemplo proximo. Vbi duae quartae supersunt: per duo,diuisoris dimidium, facta sectio,cum numerus sectionis sit unum,
unum dimidium monstrat. Si vero id fieri non potest,per tertiam diuisoris partem reliquum diuidatur,modo tantsi supersit:& numerus partitionis Vel Vnam tertiam vel plures indicabit superesse. Puta si per nouem numerus esset diuisus,& sex manerent reliquar per tertiam diuisoris partem, nempe tria, sectio facta duas tertias unius integri superesse manifestat. Alioqui si per tertiam sectio non quadrabit,per diuisoris partem quartam,nisi minus ea supersit,reliquu secetur: quippe sic facta sectione, numerus partitionis patefaciet an Vna quarta remaneat,an plures. Veluti si per sexdecim numerus fuisset diuisus , reliquaque essent duodecim : quarta diuisoris pars pro reliquo secando sumpta,in numero partitioni tria producit, quae tres partes quartas Vnius integri demonstrant Si nee id quidem procedit, tum de quinta aut sexta, aut alia qua-uis diuisoris parte,ad eundem modum tentadum. Caeterum si nihil horum iuuare potest, reliquu ipsum ad minimam sui nomenclaturam redigendum est ais qui sequuntur nodis. PARTEs reliquae,quae Vnum integru conficere non possunt; ad minimam sui nomenclaturam rediguntur , ad hunc modum. Numerator & denominator toties dimidiadi sunt, quoties id fieri potest: in singulisque dimidiationibus,tinea interposita,numerator supra eam,denominator infra scribatur: & postrema dim diatio notetur. quia qua proportione se habebit ipsius numerator ad denominatorem subiectum,eadem primus numerator denominatorem suum respiciet. Et si in alterutro eorum inter dimidiandum impar occurrit numerus,quia amborum dimidiatio amplius progredi non potest, illic erit sistendum. Continuoque maximus numerus ambos communiter numerans est in uestigadus,qui eorum Vtrunque per diuisionem possit exhaurire. MANI Mus numerus duos communiter numerans sie inuesti
satur. Numeratorem & denominatorem post dimidiationem cessantem a scinuicem subtrahe,quoties id fieri potest. ex qua subductione frequenter repetita, si eorum alter ad Vnitatem soluitur,eiusmodi numeri contra se primi ab Arithmeticis vocantur: de ad
minorem nomenclaturam redigi nequeunt, cum Omnes numeri
contra se primi sua proportione sint minimi. Exempli causa, reliquae sint viginti sex quinquagesimae , quas ad minimam nomen laturam redigere velimus 3e: harum numerator dimidiatus re-
82쪽
linquit tredecim. at denominator per medium sinus ereat viginti quin p. sic ex dimidiatione,tredecim Vigesimae quintae generatur, . Ultra propter imparem in utroque occurrentem numerii dimidiatio non procedit:quanuis,etiam si in alterutro solo fuisset imparitas, dimidiatio cessasset. Quaerendus est ergo per crebram
alterius ab altero subduetionem, maximus numerus ambos communiter numerans. In primisque tredecim numeratorem a viginti quinque denominatore subducamus, & relinquemus duodecim, ea rursus a tredecim numeratore subtrahamus: & unum remanebit,quod nobis indicat numeros ex dimidia- Η ' : tione cessante repertos,contra se primos esse. et v is D si erebra numeratoris & denominatoris subductioneu seinuicem facta, neuter eorum ad unitatem soluitur, tandem omnino reperientur similes. Quod quando compertum est, simul inuentus est maximus numerus ambos communiter numerans: is videlicet,in quo similes deprehendutur: per quem dati reliqui numerator seorsum diuidedus est,atque itidem denominator: sicque numerus utriusque sectionis tam alterii prioris numeratoris numeratorem ea proportione minimu,quam altem prioris denominatoris denominatore, itidem etiam minimu ea proportione demonstrabit qui minimam indicabunt nomenclaturam, ad quam partes redigi possunt. Atque ita manifestum est,maximum numerum duos comuniter numerantem eos numerare per numeros ea proportione minimos . Exemplum paratu est:si triginta quatuor centesimas secundas ad minimam nomenclaturam redigere velimus:statim nanque ex dimidiatione dece & septe quinquagesimae primae prodeunt qui numeri sunt impares & cotra se primi. Postia ea ex prima numeratoris a denominatore subductione, triginta quatuor ex denominatore restabunt:deinde item repetita subductio relinquit in denominatore,decem & septem . simi- ---,' litudinesnque vitiusque numeri tam numeratotis quam denominatoris ostendit. Is ergo numerus decem & septem, qui maximus est, ambos comuniter numerans,eorum Vtrunque diuiridat. Quo fiet ut in numero partitionis ex numeratoris quidem sectione unum inueniatur:ex sectione Vem denominatoris,tria. Igitur una tertia, minima nomenclatura est,ad quam perduci possint vel decem & septem quinquagesimae primae, quae cessante dimidiatione repertae sunt τὴ - vel triginta quatuor centesimae secun
83쪽
M DE PAR T. REPve T. ALTERUM exemplum dari potest,si reliquae sint quatuord eim vigesimato lauae, quas ad minimam nomenclaturam reducere velimus, a. horum quatuordecim secta per medium ,relinquunt septe . at viginti & octo dimidiata creat quatuordecim sie septem quartaedecimae ex dimidiatione generantur. Vltra propter impare numerum septenariu dimidiatio non procedit:quaerendus est ergo maximus numerus ambos communiter numerans,qui Vtrunque tam numeratorem quam denominatorem diuidendo deIeat: is est septem. semel enim septem subducta num ratorem tollunt: quippe omnis numerus seipsum & numerare &subducere potest. rursus septem bis subtracta denominatorem etiam auserui. numerus itaque partitionis utriusque peractae palaindicat septem quartasdecimas ad una secundam redigi. - . Quamobrem cum primu reliquum eande rationem habeat,quam pro sua portione uium habet dimidium, ad unam secunda recidit. quatuordecim igitur vigesimae octauae ad unam secunda, quae minima earum nomenclatura est,rediguntur. Q 4MINI Mus numerus qui partes quascunque volumus, denominatas habeat,sic est exquirendus. Postquam partes,quas in numero aliquo in uestigare destinamus,suis notis sunt descriptae,nu , merus qui partes illas uniuersas habeat, ex denominatorum in se multiplicatione facile procreatur,quemadmodum superius obiter
admonuimus. Caeterum minimus numerus, qui partes eas capiat, maiorem,ut eruatur,poscit industriam. Is autem proportione mi. nima partes illas omnes habere comperietur,qui minimus numerus est,quem omnes illae numerant. Itaque de primis quibusque denominationibus primum expedire oportet,atque initio inuestigare quis sit minimus numerus a duabus primis denominationibus numeratus. Et quidem si hae contra se primae fuerint, Vt nullus numerus eas numeret praeter unitatem:quia sunt sua propo tione minimae,quod ex alterius in alterum ductu generabitur, erit minimus numerus ab eis numeratus. Sin alius praeter unitate numerus eas numeret, sumantur partes ea proportione minimae: quae queadmodu exquirantur, proximo capite edocuimus:quae culant inuentae,subnotetur sub partibus quaru respectu sunt minimae. Deinde partes illae maiores quaru respectu alterae sunt minimae,per numeros sua proportione minimos,maior per minorem, aut minor per maiore,multiplicatae minimii ab ipsis numeratum
producet. Na secundu Euclidis scitu, Quilibet duo numeti mini-
84쪽
merus minimus a duabus primis denominationibus numeratus ad hune modu inuentus, cum tertia denominatione statim cose rendus est , minimusque numerus ab illis numeratus ad eundem modum exquirendus. Is postquam cognitus erit, cum quarta denominatione similiter conferatur, minimusque numerus ab illi, numeratus itidem eruatur. Idemque indagadi modus per omnes denominationes,siquae Vlteriores fuerint,seruetur. Minimus autenumerus ab illis numeratus,qui postremo conferentur, partes omnes propositas minima proportione capiet. Exepla demus, quae rem magis illustrent: atque inuestigemus minimum numerum qui unam secundam, Vnam tertiam, Unam quartam. Vnam quintam ,una sextam,atque Unam septimam habeat. - -- ωψ
IN PRIMIS QUE exquiramus, quis sit minimus numerus, quem duae primae denominationes numerant. quae quia sunt eontra se primae,duo in tria durantur:& sex enascentur. qui numerus minimus est, quem duo & tria numerat, qusque unam secundam& unam tertiam habeat. Item sex cum tertia denominatione,n-pe cum quaternario conseramus et & quoniam numerus binarius
ambos communiter numerat, bssque in quatuor, & ter in sex r peritur quia tria & duo numeri sunt ea proportione minimi tria sub sex,& duo sub quatuor subnotemus. Deinde vel senarium maiorem numerum per binatium , de duobus minima proportione
subnotatis, minorem vel quaternarium minorem per ternarium,
de duobus minima proportione subscriptis , maiorem multiplicantes,duodecim procreabimus:qui numerus minimus est, quem sex & quatuor numerant,quique Unam secundam,unam tertiam,& unam quartam proferat. Rursus duodecim cum quarta denominatione,videlicet cum quinario conseramus t qui numeri, quia eontra se primi sunt, atque sua proportione minimi, quinque in duodecim ducamus, & sexaginta crcantu taqui minimus numerus est,quem quinque & duodecim numerant,quique unam secund1, Vnam tertiam, Unam quartam ,& Vnam quintam producat. D inde sexaginta cum senario numero , quae denominatio proxima est,conferamus. & quoniam senarius &seipsum per unitatem, &sexaginta per denarium numerat et decem & unum , qui numeri sunt ea proportione minimi, subsignentur. Itaque siue sexaginta maiorem numerum per unum, qui numerus de duobus minima fili.
85쪽
86 DE PAR T. REDve Trproportione subnotatis minor est, siue sex minorem numem pes decem numerum ex subscriptis maiorem multiplicemus,sexaginta iterum prodibunt: qui numerus minimus est a sexaginta, & a
sex numeratus,& qui unam secundam,Vnam tertiam,vnam quartam, Vnam quintam, atque Unam sextam capiat. Demum sexaginta eum septem conferamus: qui numeri contra se primi, atque sua proportione minimi comperiuntur: & ideo septem in sexaginta ducentes,quadringenta viginti procreabimus: qui numerus minimus est, qum sexaginta & septem numerant, qusque Unam secundam, unam tertiam, Unam quartam, Vnam quintam, Vnam sextam, & unam septimam proserre potest. Hac ratione numerus partes,quascunque Volumus,denominatas complectens, exquiri tur. Quinetiam si omnes hi denominatores in se multiplicentur, fient quinque millia & quadraginta: qui numerus itidem omnes eas denominationes habet. Caeterum numerus eas minima pro- Portione capiens is est quem exquisiuimus: nempe quadringenta viginti, qui numerus in illo duodecies continetur: quemadmodum ex illius sectione per hunc laetenda,cuiuis licet cernere. Alia itidem huius generis exempla, quaecunque occurrunt, ad hune modum explicari possunt. Mo Dus exquirendi pretiu quamuis partium hic est attingendus. Nam eum ex integrorum diuisionibus partes quae supersunt,
tam crebrae supputantibus occurrant,ut nusquam ferme non sint obuiae ἰ ne earum aestimatio longa mora quempiam torqueat inuestigantem,pro quanta pecuniae summa Valeant,operae pretium esse duximus viam demonstrare, qua id quoque deprehendi possit.
Ea autem est eiusmodi, Si per partium numeratorem pretium totius integri, cuius sunt partes, multiplicetur,& numerus ex mul tiplicatione procreatus per earundem partium denominatorem
diuidatur,numerus partitionis pretium indicabit partium. Reliquum vero, siquod ex ea sectione restabit, supra diuisore stantem linea interposita, notetur. Exemptu demus,Vt magis quod dicim', eluceat. Si singula vini dolia aureis viginti constiterunt, & duam tertiarum pretium scire cupimus, viginti per partium numeratorem, qui duo continet, multiplicemus, Ut sint quadraginta di quae deinde per denominatorem, qui tria continet, diuidamus: & numerus partitionis surget, tredecim aurei: & superest una tertia v nius aurei :quae eum pretii sit particula, nobiscum conjderemus,
qua pecunia viliori possit aestimari,sicut iam dicemus.
86쪽
MINνTIARVM quarumlibet pecuniae reliquarum ,st imatio depreheditur ad hune modum. si pecuniae summa,euius pars est quodvis reliquum, in argenti libris per diuisionem quaesita est, inuestigemus, quot aureis,quot solidis,Vel si libet,quot denari,saut quot nummis sesterius,aut quot semissibus, aut quot quadratibus,aut quot sextantibus argenti libra aestimatur.Vel si peeunia. prior in aureis per sectionem inuestigata fuerit, exquiramus pro quot denariis,vel si libet,pro quot nummis sestertiis,aut pro quot obolis,aut pro quot quadrantibus, aut siquod ars signatum vilius
in usu est, aureus integer valeat. Deinde aestimationem totius illius partis, cuius pars ipsum reliquum est, per reliqui numeratore multiplicemusr numerumque procreatum per ipsius reliqui de nominatorem diuidamus: & numerus partitionis aestimationem reliqui monstrabit. Iterumque secundum reliquum, siquod prodibit notetur:& ulterius,si ita libet,ad eundem modum procedatur. Exemplum repetamus,quod proximo capite dedimus:in quo pretium duarum tertiarum Vnius dolii viginti aureis empti, tredecim aureos inuenimus, & reliqua erat una tertia unius aurei. Quae ut sciamus quid asserat, Vnum aureum centum nummis aestimemus, quorum numerus in unum reliqui numeratorem ductus tantum centum creat: quae per tria reliqui denominatorem diuisa in numero partitionis educunt triginta tres nummos : &iterum superest Una tertia unius nummi, quam aereis adhuc sextantibus ad eundem modum aestimare potes. Igitur pretium duarum tertiarum unius dolii viginti aureis empti erit,Tredecim aurei,triginta tres nummi,& Vna tertia unius nummi. Itaque in a
bitrio est eomputatis an peeuniae aestimationem ordine quodam exquirere Velit, Vt primum vestiget quot argenti libras pecuniae summa quaevis harat, Deinde,siquid reliquum superest,quot id aureos faciat Iterum,siquid remanet,quot id denarios creet, Tertio, uid restat,quot id producat nummos,& sie deinceps. Vel austatim in primo reliquo ad vilissimam pecuniam descendere malit,Vt per eam reliquum aestimet. Veruntamen Vtrancunque Viam elegerit,idem est indagandi modus. A T s I ex integrorum sectionibus partium occurrant particu-Iae, quarum pretium exquirere velimus,eas prius ad simplices integrorum partes redueamus. Deinde pretium ad eundem modum inuestigemus, quemadmodum in simplicibus fragmentis
87쪽
A R T I v M additio,est plurium minutiarum seorsum pro
v positarunt in unam summam collectio. Ea autem, quando partes eiusde sunt denominationis, nullum habet nerugocium: sola etenim numeratoru fit additior & numerus procreatus supra breuem lineam notatur, sub qua denominator apponitur. Exempli gratia. si quatuor septimas, quinque septimas, sex septimas vis addere, solis numeratoribus per additionem coniunctis,fiunt quindecim septimae. TVT v A N D O Vero partes diuersos denominatores habent, si binae minutiae fuerint: postquam ad communem denominati nem sunt redactae , priorum numerator per denominatorem po steriorum, Fc numerator posteriorum per priorum denominatorem,ad formam X literae Graecae quae speciem crucis diui Andreae resert) multiplicari debenti numerique inde prouenientes ambo simul addi:& consurget numerator communis. Et si plures praeterea minutiae diuersos habentes denominatores occurrunt, primis quibusque quemadmodum diximus expeditis,proximae sequentes similiter copulentur,donee omnes absolutae sint eo m do quo supra dictum est , cum dedissimilium denominatoiu reductione facienda prarciperemus, ubi de communium numerat rum additione nonnihil etiam attigimus, ne quis id ibi de*deraret,cum de comunium denominatoru in uestigatione diceremus.' Quamobrem illie explicata exempla, hie tantum spectanda pon
mus, q- 'a' duae tertiae & tres quartae denominatorem habent comunem duodecim, numeratorem vero comunem decem & septe,
ex additione quae multiplicatione ad speciem crucis factam sequi debet 0, quibus additae qquatuor quintae procreabunt ut cenitum triginta tres sexagesimas.. Q v A N D o minutiae integris addendae sunt,si unae minutiae
erunt,notentur post ipsa integra.Ueluti si 'se addendae sint ad 11, sic notis copulentur Ia . Quod si plures sint minutiae, & plura integra, prius integra in V nam summam componantur: postea
minutiae seorsum eo modo simul addits,quo septa dictum est his adiungantur. Veluti si τ' addendae essent ad o& is,prius 3o& is coniungantur,& fient 46. tum deinde ipsae minutiae per additionem collectae facient 2M . quae ad integrorum summa tun
88쪽
et si minutiae integris & minutus addendae sunt, Iae minii ctiae prius addantur eo modo quo dictum est. deinde quod ex ea tum summa surget, ipsis addatur integris:& siquae minutiae restabunt post illa signetur veluti sia' addedae sunt ad 74,prius copuIenturo eum , quae faciut IIb. ea iungantur ad 7, & uniuerso. rum summa fiet 8 M. Haec Via multo minus habet laboris,quam siquis integra in minutias his adiunctas frangat, unumque de his corpus faciens postea alteris ea minutijs copulet. id quod quidam faciut ad hunc modum, Integra per partium denominatore multiplicant,& numero procreato partium numeratorem addunt: ataque ita numerator communis enascitur . cui denominatorem nihil immutatum sub linea subdunt. Veluti in exemplo dato integra in vicinum denominatorem 2 ducunt: & numero producto,numeratorem 3 addentes,vfaciunt. quas postea coniungunt eum eo modo quo dictum est. 8c res ad idem recidet. v A N D o integra integris & minutiis addenda sunt prius integra coniungantur,postea adiungantur minutiae. Veluti si s eum 3 - copulanda sint,prius 6 ad 3 addantur,& fient 2 οῦ quibus apponantur minutiae, & Vniuersorum summa fiet 9-L. Itidem si plura integra cum compluribus integris & compluribus minutiis conectenda sunt prius omnes minutiae in V num corpus colligantur eo modo quo dictum est. postea integra quae inde proueniunt ad alia integra iungantur:& summa quaesita surget. A ae s x integra & minutiae integris & minutiis addi debent, prius in unam summam integra colligantur. Postea minutiae se orsum eo modo quo dictum est,copulatae,his addantur. Veluti n3 -Fad 6 Tadiungi debent, prius 3 ad 6 addantur,& fient p. postea &-simul additae faciunt et quae ad y adiungantur, ut omanium summa surgat 94 . Eodem modo fiat si complura integra& complures minutiae addendae essent, Vt prius integra eolligantur, post copulentur minutiae, ex quibus siue integra, siue minutis,sive ambo surgunt,addantur ad priora.
VBICUNQv E autem minutiam minutiae interueniunt prius
hae ad simpliees minutias redigantur : & tum demum in singulis
secundum ea quae supra dicta sunt, additio peragatur. X
89쪽
ARTI v M subductio, est summae partium propolitarum s minoris a maiore subtractio 3per quam relictus partiti illarum numerus apparet. Oportet autem semper vel minorem summa a maiore, vel aequalem ab aequali subtrahere. nam
maior a minore subduci nequaquam potest. Propositis itaque binis minutiis, atque utrarunque numeratore in alterarum denominatorem inuice in speciem crucis multiplicatis, illae minutiae maiores esse dicentur,quarum numerator in alterarum denominatorem ductus maiorem profert numerum. v. v AMOBREM si binae minutiae eundem denominatorem habent,quarum alteras ab alteris cupias subducere,minor alterarum numerator a numeratore alterarum maiore, si inaequales extiterint,subducatur, & reliquum supra denominatorem ponatur, linea interposita. Exepli gratia si duas tertias a septem terti,s subtrahas,quinque tertiae remanebunt. Vbi veris num ratores & denominatores reperientur aequales, acta subductione nihil erit reliquum. VANDO autem minutiae diuersos denominatores habent. prius denominatores inter se multiplicentur:& consurgens numerus denominator communis erit. Deinde priorum minutiam nu merator in posteriorum denominatorem, & numerator postmorum in denominatorem priorum,ad forma crucis ducatur. Quod ubi factsi erit si numeri procreati fuerint inaequales:minor a maiore subducatur,& reliquum supra communem denominatorem, linea interiecta,ponatur. Exemplum illud esto. Siquis subtrahere Velit a quatuor quintis duas tertias , denominatoribus in se ductis prius producatur denominator comunis. postea quatuor numerator alterarum minutiarum in tria alteram denominatore ducta,creabunt duodecim alterum numeratorem.Iterum duo,alterarum minutiarum numerator, in quinque denominatorem alterarum multiplicata,generabunt decem numeratorem alterum: quae
cum sint pauciora quam duodecim, ab illis subdurantur:& duo relinquentur: quae supra denominatorem commune prius procreatum Iocentur. sie facta subductione reliquae erunt duae quintaede qcimae. - a ψ subducuntur,& relinquunturA . v AN Do minutiae subducentur ab integris , suffecerit eas abyno integro in minutias soluto, subducere:& quod ta de integris
90쪽
quam de minutiis restabit, totius subductionis ierit reliquu. Veluti si-F- subtrahendae sunt a u: sumamus I de Ir, & restabunt Ir,
ab illo autem uno demptis π,relinquentur W:quae copulatae curigestare faciut H - - : tantum superest si a Ia subducimus . Alii integra minutiam more,supra lineam notant cui unitatem subisecisit, ad integra designada. Deinde quasi minutiar a minutijs subducedae essent,post obliqua numeratorum in denominatores multiplicationem, minore productu a maiore subducunt, & supra lineam notat,cui denominatore subdut. ita I in 12 ducta ereat 84:& 4 in i ducta faciut 4. quae subducta ab 84, relinquunt Ea, si
reducas ad integra,fient is r. ita res ad idem recidet. νη - α A ae s I minutiae ab integris & minutiis subducentur, fieri potest ut quae subduci debent,minores sint illis quae integris adiun. guntur. id quod si acciderit,ium ab illis minutiis subducantur, &integra intacta maneat. quibus adiunctum id,quod restabit,totius subductionis erit reliquum. Veluti si -- subduci debent a 6 πε, ipsis 6 integris manetibus, se subducantur a eo modo quo dictum est,& restabunt πιοῦ . quae si s integris adiugantur,relinquetur ex ea subductione 6 M- . Quod si minutiae quae subducendae sunt,maiores sint his quae integris adiunguntur: tune de integris saltem unu in minutias adiunctas soluatur,ri postqua unu corpus
e2 his factu sit:ab eo fiat subductio.Veluti si V ab 8 ,- subtrahi debet, solue unu de illis 3 in secutas, & fient . a quibus deme-τ, & restat QS. Quae si i as eu γ relictis de 3:relinquentur Errantis restabit si ab 8 subduces. Haec via multo breuior est, quam siquis omnia integra in minutias adluctas frangat,& postea ab eis alias minutias subducat. id quod quida faciut: qui ducetes gin 1,8c I adiungetes,creant N. a quibus demutis eo modo quo supra dictu est,& restant 7 m. sic res ad idem recidet. v v ANDO integra ab integris & minuisis subduci debent, demantur integra ab integris, & quod supererit, totius subductionis erit reliquum. Veluti si ' a I3 subtrahenda sunt,eximantur
9 a i3, & restant 4 una cum minutiis H . ita si s a i3 subducas , id
totum quod relinquitur,est 4 - . v E st v M si integra & minutiae ab integris & minutiis subduci
debet tue utraque integra seorsum in minutias adisictas soluatur, ut una minutiam facies Vtrinque cosistat. posteaque subductio eodem modo fiat,sicuti fieri solet quado minutiae a minutiis subducuntur:qua peracta, denuo colligatur integra ex eo quod roabit.