장음표시 사용
111쪽
REGvLA DE TRIBvs NOTI saevM co MMON 1 TRANTI Bus. R AE cIPUA omnium regula est,quae de tribus noctis quartum ignotum in notitiam educentibus, abs Arithmeticis traditur. Vulgus regulam auream voeat e quod haec caeteris Arithmeticae regulis , velut caeteris metallis aurum,praestet. Quam,Vt clarius explicemus , pauca quaedam de proportione, quatenus ad numeros attinet,praefati omnino necesse est:sine quibus haec regula non facile intelligi potest., PROPORTIO est duorum numerorum certa alterius ad alterum coparatio, atque habitudo. Propositis naque quibusvis duobus numeris, alter altero vel maior est,uel aequaIis,vel minor. Illa itaque ratio,qua sese Vel aequaliter, quado existut aequales, mutuo respiciuti vel inaequaliter,quado alter altero maior est, aut minor, proportio vocatur:quae nihil aliud est quam eorum inter se eomparatio. Habitudo autem certa est,quasi diceres, notus quidam &diffinitus alterius numeri ad alterum respectus. I Psa Ru M vero proportionum inter se similitudo proportionalitas nuncupatur. Eius autem duae sunt species: altera continua,altera separata. CONTINUA proportionalitas inter numeros est,quando qua proportione primus se habet ad secundum,eadem secundus se habet ad tertium t in qua specie unus atque idem numerus medius ita duobus circa se positis numeris communicat,ut ad praecedentem comparatus primae proportionis sit terminus: ad sequentem vero collatus,secundae sit initium, veluti praecedentis numeri comes quidam,& sequentis dux. Haec autem species in paucioribus numeris quam in tribus inueniri non potest:quanquam etiam in illis numerus medius, dum bis repetitur, vicem subit duoru. Sint nobis pro exemplo hi tres numeri, Unum,duo, quatuor: in his enim proportionum est aequalitas. Nam qua proportione unum se habet ad duo,eadem se habent duo ad quatuor: quippe unum ad duo eomparatum subduplum est, itidemque duo ad quatuor. Sia milis ἐ couerso est inter eos habitudo quando in utraque proportione, numerum maiorem ad suum minorem comparamus. Nam
quemadmodum quatuor ad duo duplam habent proportionem,
112쪽
sEPARATA Vero proportionalitas est quam eandem disiiti. ctam appellare licet, cum qiratuor numerorum qua proportione primus se habet ad secudum, eadem tertius se habet ad quartum. In qua specie, praecedentis proportionis terminus separatus est a
sequetis initio. Haec autem species in paucioribus numeris quam in quatuor inueniri nequit: in quibus proportionum deprehenditur aequalitas, siue minorem Vtriusque proportionis numerum cum suo ipsius maiore compares,siue e conuerso. Puta siquis hos quatuor numeros inter se conferre velit, nempe duo ad quatuor,& tria ad sex. Quemadmodum enim duo ad quatuor comparata subdupla sunt, sic sunt tria ad sex collata. Similiter e conuerso, quemadmodum quatuor ad duo collata,dupla sunt,sie sunt sex ad tria coparata. Amplius in hac specie permutatim fit collatio. nam qua proportione primus se habet ad tertium , eadem secundus se habet ad quartum. Atque ordine etiam conuerso, qua proportione quartus se habet ad secundum , eadem tertius se habet ad primum. Quo fit ut praecedenti proportionis minor numerus cum sequetis minore comparatus eandem habitudinem habeat, quam sequentis maior collatu cum praecedentis maiore. Veluti in exe-plo praedicto: sicut primus numerus binarius ad tertiu ternarium collatus subsesquialteram proportionem habet, sie secundus numerus quaternarius ad quartum senarium eadem est habitudine. Itidem ordine conuerso, quemadmodum quartus numerus senarius ad secundum quaternarium comparatus sesquialteram habet Proportionem,sic tertius ternarius ad primum binarium eandem habitudinem habet. Itaque numeri huiusmodi, quorum Vna est Proportio, proportionales vocantur . De quibus ab Euclide cum in Geometria,tum in Arithmetica longe principe regula huiusmodi traditur,Si fuerint quatuor numeri proportionales,quod ex ductu primi in ultimum producetur,aequale comperietur ei quod
ex secundi in tertium ductu natum erit. Atque itidςm quod ex secundi in tertium ductu procreabitur,aequale erit ei quod prodibit ex primi in ultimum ductu.
DICI NON POTEST Qv Λ NT A M in uestigantibus lucem ad exquirenda incognita praebeat haec regula : cuius ea virtus est, Vt e quatuor numeris proportionalibus siquis ignotus fuerit, caeteri qui noti sunt, latitantem illum prodant. Atque ideo si tribus numeris propositis , quispiam inucstigare Velit quis sit quartus, ad quem tertius ea proportione se habeat qua primus ad secu-
113쪽
dum i multipIicet secundum in tertium, & nu tum proereatum diuidat per primum: quod postquam factum erit, sectionis numerus quartum demonstrabit. Exempli gratia: siquis scire eupit quia
sit ille numerus ad quem tria ea proportione se habeant, qua duo ad quatuor: tria in quatuor ducat,& enascentur duodecim: quae per duo diuidat,& sex prodibunt. Ratio huius rei in promptu estinam secundi in tertium multiplicatio producit idem quod procrearetur si primus in quartum ignotum multiplicaretur. Igitur eκ secundi in tertium ductu, quartum velut in magna turba latitantem habemus : sed quis sit, adhuc ignoramus. Diuisio autemper primum facta reliquam, qua tectus est, multitudinem ab eo segregat olumque relinquit,atque a caeteris destitutum e latebris in lucem profert. Nam quandocunque duo numeri inter se multiplicantur , si productus numerus per alterum diuidatur, partitionis numerus alterum continebit. Veluti si duo in tria ducas fient sex : quae si per duo diuidas, numerus partitionis tria continebit: si per tria, duo . Itaque ad hunc modum quartus numerus
sIMILITER si tres numeri continue proportionales fuerint,' quod ex ductu primi in tertium producetur,aequale deprehende tur ei quod ex secundi in seipsum ductu natu erit. Et quod ex scieundi in seipsum ductu generabitur,aequale erit ei quod nascetur
ex primi in tertium ductu. Ad eudemque modu tertius numerus ignotus exquiritur,dum secudus numerus in seipsum ducitur, &numerus productus diuiditur per primu: nam sectionis numerus tertium monstrabit. puta siquis duo ad quatuor comparans scire eupit quis sit tertius numerus ad quem quatuor ea proportione se habeant,qua duo ad quatuori medium numem, quatuor,in seipsum ducat,& sexdecim creabit quae per duo diuida qui primus
est numerus,& tertius Numerus octonarius prodibit. Eadem nan. que est in utraque specie & ratio & regula numerum ignotu exquirendi: quod ad plurima investiganda nos e iuvabit. HAs proprietates numeri proportionales,ubicunque occurrat, semper secum deserunt, non solum quando per se con*derantur, verumetiam cum ad res quaslibet numerandas applicantu Ut ea.dem ex accidenti in rebus numeratis, quae in numeris ipsis inuicem sit habitudo. Quo fit ut innumera quae vulgus imperscrut bilia existimat, ex proportionu similitudine veniant in notitiam, miraculumque rudibus explicata praebeant.
114쪽
ns RSovLA DE TRIBvs NOTI Lxae veta facilibus exemplis primum ordiamur, Quando tritiei modii tres triginta nummis vaeneunt, inuestigemus octo modiorum tritici quantum erit pretium. Hic palam vidcmus duas esse proportiones Nnam de tribus tritici modiis ad octo tritiei modios i alteram de triginta nummis , trium modiolu pretio cognito,ad octo modiorum pretium adhuc ignoratum,quod eadem habitudine ad triginta nummos respondere debet, qua octo modii ad tres modios se habent. In omnibus aurem proportionibus in ordinem designandis, a sinistra incipicntes tendimus in dextram, quemadmodum in scribendo Graeci, Latini,& omnes pene gentes faciunt. non autem sicut in numeris per notas signandis Chaldaeos sequimur a dextra ordietes. Itaque in hoc exemplo,tres tritici modii,qui prioris sunt proportionis initium, a sinistra primulocum occupare debent: octo aute tritici modii, qui prioris sunt proportionis finis, locum secundum dextram verius. Triginta autem nummi,qui posterioris proportionis initium existut,tertium locum a dextra teneant oportet. 3. 8. N. Quartus aurem Iocus adhuc vacans expectat ut simili fine proportio posterior claudatur, pretiumque in eo reponatur, quod ita ad triginta nummos respondeat, quemadmodum ad tres modios modii octo. Id autem per regulam supra enarratam facile exquiras si tertium numerum per se dum multiplices, numerumque
procreatum diuidas per primum. Igitur triginta quae sunt in tertio loco,multiplicata per octo quae sunt in secundo,creant ducera & quadraginta: quae si per tria dividantur , numerus sectionis
octoginta profert: qui numerus pretium octo modiorum indicat,& quarto loco repositus proportionem posteriorem complet. Sie quando tritici tres modis triginta nummis vaeneunt,octo constabunt octoginta nummis. AD Hvrvs exempli similitudinem, quandocunque in rebus numeratis ratione numerorum duae proportiones habentur, quarum alterius utrunque extremum tam initium a quo incipit, quam terminu in quo desinit, cognoscimus: alterius autem primum extremu,quod eius initium est,scimus,sed eius terminu adhuc ignoramus: prioris initium proportionis, cuius ambo extrema nota sunt, a sinistra primo loco ponamus r eius autem terminum secundo loco dextram vetius t posterioris vero proportionis
initium,quod est notum, tertio loco notemus, & tum demu eius
115쪽
terminum ad prioris proportionis similitudinem initio suo resposurum, secundum regulam paulo ania mostratam inuestigemus. Initium proportionis nequis ambigat appello eum rerum numerum qui prior in proportione praecedit, siue maior extiterit, siue minor. terminum Vem eum, qui sequitur, siue minor,sive maior fuerit. Itaque si posterioris proportionis initium,quod est notum, numerus minor fuerit,quam quartus inuestigandus:minor etiam numerus in priori proportione praecedet. At si posterioris proportionis initium nobis notum numerus maior existat,maior itidem in priori antecedet. Similiter si maior rem numerus in priori proportione praecedit, maior etiam in posteriori antecedat ne-eesse est. Sin in priori praeeedat minor, itidem in posteriori fiet. alioqui proportiones similes non erunt. x x x v D autem diligenter obseruandum est, ut quantiis prior proportio res unius specieic posterior aule,res alterius rapiati primus tamen a sinistra situs numerus , qui prioris proportionis est initium,& seeundus a dextra positus,qui finem eius complet, res eiusdem speciei numerare debeant. Similiterque tertius numerus notus, qui proportioni posteriori dat initium, & quartus inuestigandus,qui finem eius inuentus claudet,in eiusdem spretes rebus numerandis consentiant: quae res ad formandas recte proportionum similitudines plurimum iuuabit.Veluti in exemplo iam dato r in quo prior proportio est de tribus modiis ad octo modios,
posterior autem de triginta nummis ad pretium octo modiorum inuestigandum. Idque verum erit, ut primus & secundus numerus eiusdem speciei res numerent, & similiter tertius & quartus inter se respondeant,non solum in recta proportionum similitudine, quando sicut primus comparatur ad secundum , sie tertius ad quatium: verumetiam in similitudine proportionum eonversa, quando sicut secundus comparatur ad primum, sie quartus ad tertium . Caeterum si permutatim proportiones velis comparare, nempe prioris initium ad initium posterioris, & terminum prioris ad posterioris terminum:tune primus & tertius numerus eius dem speciei res numerabunt, & tertius & quartus itidem facient: veluti si in exemplo dato, copares tres modios ad triginta numinmos,& octo modios ad pretium inuestigandum. Quem modum similitudinem proportionum fabricandi,tametsi sit dissicilior,pIerique omnes qui supputare docent,magis nune obseruant: quippe qui faciliorem modum rectam proportionum similitudinem h. iii.
116쪽
formandi ignorent. Et ad permutatam comparationem sequendam,incitari videntur a mercatorum more,qui omnia pecunia aestimant,quaeruntque inter se quanti merces quaelibet vendantur, quid pro singulis, quid pro uniuersis sit soluendum: comparationem aliarum rerum plurimum ad pecuniam, nonnunquam ipsarum inter ipsas facientes. Veruntamen utrancunque viam sequa-xe,regula iam data respodebit:quae, siue recta. siue permutata proportionum comparatio fiat, semper cum ea congruet. Nobis autem visum est iuuenum instituendorum gratia, in singulis seque-tibus quaestionibus solum rectam proportionum comparationem,in qua quaeque proportio ambo sua extrema eiusdem speciei habet,ut intellectu faciliorem, & magis naturalem sequi: ne si v- tranque in singulis,quod nihil necesse est, insereremus, fastidium oboriretur legentibus. Quamobrem ante omnia multa cautione est opus,ne in rebus numeratis proportionum similitudo,quae ratione numerorum con*deratur,male sit concepta, neve pro similitudine dissimilitudo nos fallat. At postquam recta proportionum similitudo cogitatione deprehensa est, caetera per datam regulam facile explicantur. PORRO vulgus in communi sermone serἐ de numero inuestigando primum quaerit: Veluti si quispiam interroget, Quanti
constabunt tritici modis quatuor,quando centum vendutur mille nummiss Hanc interrogationem consederantes, in ea proportiones duas statim deprchedemus: alteram inter centum modios& quatuor modios,habentem notum Vtrunque extremur alteram inter mille nummos & quatuor modiorum pretium adhuc ignoratum. Igitur nihil respicientes ordine quaerentis vulgi,quod semper quidlibet,ut in buccam Venerit, loquitur: nobiscum con*deremus proportionem illam inter centum modios & quatuor modios,quam Vulgus cum altera confundit: ambo extrema nota habere, atque ideo alteri praeponendam esse: alteram autem proportione,de mille nummis ad pretiu adhuc ignoratu posteriore fore debere. cuius initiu notu,quia maior existit numerus quam quartus inuestigandus, maior itidem numerus in priori proportione praecedet. quocirca primo loco maiore prioris numeru,nepe centum notemus:eius aute minoIe numerii quatuor,loco se do: tertio vero loco signemus posterioris initium notit,videlicet mille.
Hac ratione proportiones in ordinem aptantes,secundu datam
117쪽
regulam mille per quatuor multiplicemus, ct prodibunt quatuor
millia, quae per centum secta faciunt in numero partitionis qua .draginta,qui numerus est quaesitus. I N H o c autem exemplo, sicui permutatam proportionum si militudinem sequi magis placet,sic eas comparabit,Sicut centum modis se habent ad mille nummos,sic quatuor modis ad pretium inuestigandum: ut tertio loco numerus medius ponatur , tertiusque numerus in loco medio: tantilla enim differentia est inter re., ctam proportionum similitudinem,& permutatam. Ueruntamen siue hane siue illam comparationem sequi libet,nihil respiciemus ad ordinem quaerentis Vulgi: quin potius ad hane exempli formam alia tortuose quaesita ad rectam proportionum similitudinem cogitando reduci possunt. HIs DUO Bus exemplis in Utraque proportione res vamales praecesserunt,pretium vero sequutu est de quo fuit quaestio. Nune exemplum petamus ubi praecedat pretium, quaestio autem de rerum vaenaliu numero sequatur. Quando octoginta nummis tritici modii octo emuntur,quot haberi possunt pro triginta nummiis Hie manifeste sunt duae proportiones, altera de go numis ad nummos 3o. altera de octo modus ad numeru modiorum inuestigandum. Et quia in posteriori proportione numerus modiorunotus maior est, quam is qui inuestigatur: pretiu quod est maius octoginta nummoru in priore proportione primu locu tenet: minorque numorum numerus secundu :tertium autem occupat octo modioru numerus,qui est notus. Quaestioque fit de numero modioru ignoto. Digestis igitur in ordine numeris, ad hunc modu,
triginta per octo multiplicentur, & surgent ducenta quadraginta: quae si per octoginta sint secta, numerus sectionis tria continebit. sie quando numi octoginta reddunt octo modios, triginta nummi afferent modios tres. Ita si primum exemplum supra datum in hoc eonferas, tam illius proportionu loca, quam earu extrema ipsa,eouersa esse in hoc exeplo Videbis. qui illic quartus numerus erat,hic primus est:qui illic tertius,hie secudus:qui illie se. cudus, hie tertiust qui illic primus,hic quartus & postremus. quaeque illic proportio erat prior,hic posterior reperitur,ut facile cuiuis appareat res numeratas rationem numerorum etiam conuersorum sequi,nihilque referre quae res numeretur,dummodo pro portio illa cui' in rebus numeratis ambo extrema sunt nota,prae h. iiij.
118쪽
cedat,illaque euius initium solum notum est,sequatur. A et v v Ε ideo siquis experiri cupit an in quarti numeri inuestigatione error sit admissus, hac ratione id facile deprehendet, vi in proportionum comparanda similitudine, ambarum sedes atque etiam extrema ipsa conuertat: Veluti in exemplo iam dato, quod omnia prim ontraria habet. Vel si magis libet: sedes e tum solas mutet, posterioremque ex priori faciat, atque ex posteriori priorem. Quippe mutatis proportionum simul locis, atque extremis,vel etiam locis solis, si nihil erratum erit, necesse est eorum numeros sedes mutatas tequi. quare si alis numeri in his in-
uenti fuerint, propter errorem calculi totum opus ab initio repetendum est. Mercatorum Vulgus sumens experimetum num quis error interuenerit, hanc locorum in proportionibus mutationem, regulam de tribus conuersam Vocat, eum Vna tantum sit regula,
secundum quam cuique licet, quam Velit quaestionem explicandam proponere. u. v is o siquando eueniat ut rerum numerus ex secundi in tertium ductu, proueniens numero diuisore sit minor, sectionem inque non ferat, tum numerus ille minor in numerum partium in se eontentarum est mi Itiplicandus, ut diuiseris sectionem maior per inerementum factus recipere sufficiat. Consyderandumque est, quese rerum genus numerus ille numerat: puta an argenti libras,aut aureos,qui in nummorum,quibus aestimantur,numerum multiplicari possunt. an maiora pondera, quae in numerum librarum, aut unetarum duci: an dolia vini aut olei, quae in amphorarum ,conglom,aut sextariorum numerum multiplicari: an iugera,quae in perticarum,aut pedum numerum ducta augeri possitntrvel quicquam aliud simile. Exemplum huiuν rei asseramus. Centii oues emptae sunt aureis viginti,quati constiterat tres ' Proportiornibus recte in ordinem redactis ad hunc modum, Ioo 3 2o Secundus numerus ternarius in tertium Viginti aureorum ductus creabit sexaginta: qui numerus quoniam per centum diuidi nequit,soluamus aureos illos in Viliorem pecuniam. & quoniam singuli aurei de angelis nune loquor aestimantur octoginta numis, in illum nummorum numerum 6o ducamus r & prodibunt quatuor millia & octingenta; qui numerus maior est diuisore e tenario,per quem sectus in numero partitionis prodire faciet quadraginta octo. Sic quando Ioo oues emuntur Zo aureis, 3 consta
119쪽
bunt o nummis. Nec quempiam illud moueat, quod in secunda
proportione finis initio, id est quartus locus tertio non videatur respondere,quod hic nummos,ille aureos habeat: cum uterque locus idem rerum genus, nempe pecuniam contineat, licet pecunia maior in minutiorem,velut in partes suas ideo soluta sit, ut diui asoris sectionem numerus diuidendus caperet. v B I AvTΕΜ ex diuisione reliquum quidpiam erit quod per diuisorem amplius secari non possit, similiter reliqui numeratorem in partes suas notas,siquas huiusmodi habeat: alioqui in partes pro arbitrio denominandas ultiplicetur, ut diuisoris,qui denominator est,sectionem maius factum pati possit. quae eum peris acta erit,numerus partitionis manifestabit:pro quot partibus, vel notis,vel denominandis ipsum reliquum valeat. quemadmodum in superiori libro de reliqui aestimatione facienda diximus. Exempli gratia,Si nouem vinar panni ut mercatoris voeabulis utamur constiterunt tribus aureis, quanti empta est v nas Proportionibus in ordinem dispositis,ut nouem primo loco sint, unum secundo,
tria tertio, I. 3. quia Unitas nullum numerum multiplicat, tum superest ut ter lius trium aureorum locus diuidatur per primum numerum nouem. quod quoniam fieri nequit,redigendi sunt aurei ad viliorem
pecuniam. aureusque puta, aestimetur so numis nam sic aestimatur angeli numerusque aureorum ductus in numerum nummotum procreabit 2 . quae cum per noue secta sint,numerus partitionis proferet 26 nummos:& reliquae erunt ἴ . Et quia nummi partes notas habent quadrates, quom quatuor pro numo Valent, sex in quatuor ducamus:& fient 24. iterum ea secta per nouem,innumero partitionis educunt duo,& adhuc restat - unius quadra. tis. Et quia quadras minores partes apud nos notas no habet, per partes quaslibet denominandas , puta quatuor, illum aestimemus. iterumque ducamus sex reliqui numeratorem in quatuor e & de nuo fient 24. quae rursus diuisa per noue in numero sectionis duo facient,& adhue supersunt Vnius quartae partis unius quadrantis. quas si cuipia amplius minutias sectari libet,potest ultra diuidere in partes quascunque Velit. Igitur quando nouem vinae tribus aureis emptae sunt,una vina costitit 26 nummis,duobus quadrantibus, & duabus quartis unius juadrantis, ac sex nonis unius quartae pa rtis Unius quadrantis. π reductae faciunt a- .
120쪽
L I B. III. ra tur secundae T. Locusque secundus solas continet minutias -. Locus integrorum tertius in speciem minutiarum sic scribendus . Itaque sic Iocatis minutiis - - π π ex secundi loci in tertium ductu nascentur: - . quae divisa per π educunt Ea constituunt unuintegrum.& restant τι et quae ad minimam nomenclaturam redactae, faciunt duas septimas. Atque hoc pacto,quando tres vinae se-tici cum dimidio emptae sunt sex aureis, se unius vina' Vno aureo& duabus septimis constiterunt. Quod si minutiam minutiae vel . simplicibus minutias,vel integris admixtae sese osserent. antequam opus aggredimur, reducenda sunt omnia in unam minutiarum faciem, queadmodum superiori libro docuimus:posteaque fiat mul.
. tiplicatio & diuisio sicut in minuivis fieri consueuit. Pecuniae euiusuis in quamlibet permutatio quomodo sit facienda. Quaestio II.sI Q v Is PIAM ab aliqua regione in alia longe profecturus,ad periculum a latronibus vitandu, pecunia eius nationis unde proficiscitur, mensariis dare velit,ut eius aestimatione illic,quis iter destinat, recipiat:scireque cupiat quantum in illius regionis pecunia sit habiturus, id hoc modo facillime dignoscat. Principio maiore quamuis pecunia in viliorem per multiplicationem redigi,contraque viliorem in quamlibet maiorem per diuisionem reduci, pendmanifestius est quam ut sit admonendu . Quamobre pecunia permutaturus primum animaduertat,quot minutioribus nummis illius regionis ubi fit per utatio mesarius unum aureia regionis alterius,quo iter adornat,aestimat. qua de re cu eo pacta inire oportet. Quod cu obseruauerit,omnem illam pecuniae summa , quam mensario daturus est, siue in argenti libris, siue in aureis fuerit, in eosdem nummos minutiores redigat. Id quod fiet ξ vestigio :sitotius summae permutandae numerum in eum nummoru eorundenumerum,quo pars ipsius,puta libra Vna vel aureus unus aestimatur,multiplicet. Deinde numerum ex hoc enascente per summam
aestimationis unius aurei illius regionis , quo iter parat, diuidat.&numerus sectionis patefaciet quot illic aureos sit recepturus. Cuius rei ratio per regulam de tribus notis quartum ignotum proserentibus, palam nobis constabit, uti mox in exemplo dicemus. ROMAM profecturus quispiam mille aureos angelos octoginta nummis singulos aestimatos , mensarijs tradidit, ut Romae ei redderent aureos ducatos . conuenitque in singulos quinquagin