장음표시 사용
151쪽
A Q. v AESTIONES. se ipsorum numerorum singuli ad numerum qui cuique ex parQtione debetur,se habere debet. Quocirca primo loco positis numeris illis omnibus ,simul additis qui ex partibus denominatis & au-
reorsi accessione surgunt,qui iaciunt 387:secundo,eoru singulis,alio sub alio seorsum annotato itertio, summa 6oo aureotu: statim quantum cuique ex partitione accrescet, quatuor proportionaliuregula demonstrabit. Et si partes omnes cuique accrescentes colle
Et aequales erunt summae diuidendae, nihil est erratum.
Esro tentum aurei inter tres ea lege diuidendi sint, ut quoties primus quinos eonsequitur,secundus senos eapiat:quoties secundus septenos habet,tertius sumat novenos. In hae partitione ambigitur, cu pro quinis quibusque primi secudus senos habeat, quantum debetur tertio. Rem inuolutam sic extricabis Consydera si septem aurei secundi tertio novenos partui: facile sciri potest quot aureos tertio secundi reserent. Nam sicut septeni secundi se habent ad senos eiusdem:sic noveni tertii ad summa qua is habiturus est,se habere debet. Et permutatim,sicut septeni secudi se habet ad tertis novenos :sic secundi seni ad summa qua tertius est eo. sequuturus.Quare quatuor proportiones in regula deprehedit,pro numero tertis in tota hae partitione, aureos septenos & -ς sumendos esse. Quamobrem si omnium uiu numeros, Videlicet ς,6,& cum se in unam summam coaceruatos primo loco statuamus videlicet eentum triginta & unam septimas 'vi secundo autem eo rum singulos,alium sub alio seorsum annotatum designemus, tertio summam centum diuidendam: quatuor proportionalium regula ad exemplum prioris proportionis , quae de omnibus illis Partibus ad earum unamquanque reperitur, facile posteriorem de summa diuidenda, ad eam summam quam quisque habiturus est,
deformabiti stat smque patefaciet primo 26 Hr , secundo D est,tertio ΑΙ ex partitione deberi.
152쪽
- - 76 Tertius Aisi IN R Ac partitione facienda, quando alioqui exercitatos Iabinonnunquam vidimus,admonendos iuuenes esse duximus,ne er-xarent:vt postquam primi & secundi numeros in centu multiplicatos per diuisorem secuerint,cum ad tertij numersi ventu erit, integra in minutias eis adluctas statim redigant,ut fiat septima aquas deinde in centu multiplicent,sic surget . Hoc loco quia minutiae quae diutaedae sunt,& quae sunt diuisores, eside denomia
o natore habet: maior numerator earu quae secandae sunt, per earum quae secant numeratore minorem,integroru more diuidendus est, ut numerus eruatur qui attinebit ad tertisi. Alioqui eum tam diuisor quam diuidendus easdem integrorum minutias numeret, neripe septimas: si diuisoris denominatorem Videlicet septem, in diui' dendi numeratorem integroru minutias continentem,& diuidendi denominatorem in diuisoris numeratore itidem integroru mi nullas numerantem,duceremus in formain crucis: tune tam diui
sorem quam diuidendum,qui integroru septimas cotinent, adseptimara septimas redigeremus. & cum duas priores sectiones de simplicibus minutijs expediuerimus, scilicet de integrorum septi-' mis:tertia hanc,quae cum eis consentire deberet,de minutiaru minutus faceremus,totiusque partitionis mutaremus diuisorem. Quaestio XXI III.
v v A T V o R inter se partiri cetum aureos sic cupiunt, ut quot ternos primus capit,totidem fecitdus quaternos habeat:quot qui nos secundus,totidem senos tertius sumat:quot tertius septenos, totidem quartus octonos cosequatur. Ambigitur quonam modo fiet iusta partitio. Multos exercitatos vidimus ad hoc saxum impingere,dum nec singulorum partes scirent inuestigare,neque his tande inuentis, summa propositam ad earum rationem diuidere. Tota aute res sic expedietur . Principio singuloru partes ad eundem modu exquiruntur quem proximo quλsito monstrauimus. Et secundi quide pars,cui fabricandae primi portio dat legem,facile cognoscitur,cu alter ternos,alter quaternos sit accepturus. Tertia vero portis,quae tot senos habere debet, quot secundus quinos
153쪽
eipitinoΚ tam eiis sese oriri,cum secundus quaternos non quinos sumat. Quamobrem consederandum est, si quini aures senos asserunt,quot aureos quaterni reddent: & per quatuor proportionalium regulam deprehendemus tertii portionem rapere aureos 4 & τ . Rursus quarti pars,quae tot octonos habere debet, quot tertius septenos sumit,cum tertii portio 4 & π non septenos ea piat,ad hunc modu exquiretur,ut videndum sit si septeni pariunt octonos , quot ad eam rationem ex 4 & ρ obuenire debent. Et quatuor proportionalium regula monstrabit quarti portionem s& n . Demum postquam exquisitae sunt partes singulorum, omnes in unam summam per additionem colligantur , & prodibunt mi quae diuisoris fungentur partibus,& primum locum tenebulis
secundum singulorum partes aliae sub aliis seorsum annotatae. tertium,summa Ico aureorum, quae diuidenda est . Caetera per quatuor proportionalium regulam expediatur. Cum autem ad quarti portionem ventum exit, postquam ea in centu multiplicata est, quia minutiae productae denominatorem habebunt eundem , quε diuisor i ideo numerator earum solus per diuisoris numeratorem, integrorum ritu secetur, sicut in proximo quaesito monstrauimus i tu, rei rationem illic aperuimus .partes autem cuiusque appar
LEoro habet peditum sex millia Se centum, equites septiAggtos viginti sex.Esto, pedes stipendium quatuor nummos sestertios in diem capiat, eques nouem. Si duorum millium aureorum praeda secundum eandem rationem inter eos distribuenda sit, quantuconsequentur equites quantumque pedites In primis multiplicare oportet equitum numerum in numerum stipendis,quod eorum quilibet in diem capit,& surget 6s . quae summa seorsum erit annotada. Itidemque faciendu est de peditu numero,& fient 2 4oo, quae seorsum etiam notentur. deinde illi duo numeri procreati si-
154쪽
Iarum summarum productarum exemplum, haec, quae proposita est, summa duorum millium erit diuidenda. Nam quae proportio
est amborum productorum numeroru ad alterum ex diaetii equitum in sua stipendia natum , eadem comperietur numeri propositi duorum millium ad eum numerum, quem equites ex praeda habere debent. Et permutatim,quae proportio est amborum numerorum productorum ad numerum propositum duorum millium, eadem erit alterius ex ductu equitum in sua stipendia nati,ad numerum quem equites ex praeda consequentur. Quare ut primum de equitibus absoluamus: primo loco ambos numeros productos simul additos locemus, secundo numera ex ductu equitum in sua stipendia procreatum,tertio numerum distribuendum duoru milis Ilum. Deinde ex quatuor proportionalium regula deprehedemus
equitibus obuenire qum , quae sunt Ea summa est quam equites uniuersi consequentur. quam ipsam si per equitum numerum postea dividas,tum deprehedes quantum unusquisque eques habiturus est. Et quoniam ea minor est quam ut per equitum numerum secari possit, in viliorem pecuniam multiplicanda est, ut sectione subire valeat. De peditum portione inuestiganda similiter agendum erit. Nam quae proportio est amborum productorii numerorum ad alterum ex ductu peditum in sua stipendia natu,
eadem reperietur propositi numeri duorum millium ad eum numerum quem pedites ex praeda cosequentur. Et permutatim, quae proportio est amborum productorum numerorum ad numerum
propositum duorum millium,eadem erit alterius ex ductu pedita in sua stipendia nati, ad numerum quem pedites ex praeda habituri sunt . Caetera eo modo ex*ediantur quo de equitibus diximus:& peditum portio erit IIII AD EvNDEM modum distributio fiat, si inter eanonicos &alios cuiusuis templi sacerdotes pecuniam diuidere sic oporteat,
ut quoties inferiori sacerdoti tria obueniunt,canonico accrescant quinque . Quaestio XXVI. I M v N A moletrina trinae molae reperiuntur,quarum unae duodecim horis modios tritici decem & octo molunt: Secundae, per idem tempus modios tredecim et Tertiae, tanto tempore modios
155쪽
ru Qv AEsTIONE . .cto. Aecedit ad moletrinam rusticus, tritici modios asserens vigintiquatuor , quos omnibus molis sic supponi de*derat, ut uno momento singulae suum opus absoluant. & scire cupit a molito te quanto tempore sit expectandum Vt res expediatur, quantumque quibusque molis sit subiruiendum , ut omnes una desinant. Prima quaestio facilis explicatu videtur, si omnes modios simul addamus quae duodecim horis moluntur a trinis molis: eum duae proportiones deprehendentur,una de omnibus illis modus simul additis,qui sunt triginta nouem, ad modios viginti quatuor a rustico allatos :altera de duodecim horis, ad illum horarum numerum,quo molae expedient opus. Etenim sicut omnes modii simul
additi,qui sunt 3',se habent ad 24 modios a rustico allatos: sic horae duodecim ad illum horarii numerum quo res absolui potest, se habere debent. Et permutatim, sicut illi 3' modii simul additi
se habent ad duodecim horas,sic modii ad illum horarum numerum quo res finietur. Ita demum ex quatuor proportionalium regula comperietur, vigintiquatuor modios a trinis illis molis expediri posse septem horis & quindecim tricesimis nonis. Modii Modii Horae Horae 39 - ra γ g, Postquam deinde prius quaesitum de tempore,quo modii 24 si .mul absolui possunt, exploratum est: posterius quaesitum de modiorum numero,qui singulis quibusque molis subiici debet, continuo potest excuti,cum de tempore iam certo ad singularum molarum modios quaestio sit versa . Nam sicut ir horae se habent ad horas 7 & : sic Iῖ modi, qui per primas molas Ir horis conficiuntur,ad illum modiorum numerum se habere debet qui horis γεc molis eisdem subiicientur . Et permutatim, sicut Ia horae se habent ad modios I8,qui per primas molas eo tempore expediuntur,sic hor: & Π ad illum modiorum numeru qui eisdem molis per id tempus sunt subiiciendi. Ad quem modum si per secundas atque item tertias molas comparationem facias , quae res ant8 obscura visa est, a regula quatuor proportionalium illustrabitur.
Id quod statim fiet,si primo loco horas Ii statuas, Secundo horas 7 dc H . Tertio illum modiorum numerum qui a singulis molis duodecim horis confici potestialium sub alio seorsum annotatu.
156쪽
Modii Ai3 Primae molae H A. quae iaciunt d
8 Tertiae molae 4 . . quae faciunt
IT A coperiemus primis molis subiiciendos esse modios undecim & unius modis una decimatertia, Sccudis molis modios octo, Terti s modios quatuor & duodecim decimas tertias. Qui modioru numerus in summa collectus profert vigintiquatuor modios a rustico allatos. Ex quo liquere potest recte supputatum esse. Quaestio xxv II. A et v AE plena cisterna quaepiam fistulas tres habet, ex quarum maxima si extrahas epistomium,una hora aqua tota inluet. Secunda fistula,quae minor est,aquam evomit horis duabus. Tertia,quae minima est,tribus horis emittit aquam. Iam si exeptis epistomiis, una omnes fistulae pateant, ambigitur quanto tempore tota aqua inluet. In hac haesitatione explicanda, quoniam una hora integra maxima fistula rutam aquam fundit,minor horis duabus, minima tribus. minimus numerus in primis inquirendus est, quem hi numeri,Vnum, duo, & tria numerant. qui quemadmodum sit inuestigandus superiori libro edocuimus. Is autem comperietur numerus senarius: qui numeros hos, a quibus numeratur, partes suas habet. Et quia intra se complectitur numeros illos omnes a quibus numeratur,qui tempus aquae numerant per singulas fistulas seorsum exeuntis, diuidendus erit uti mox dicemus . Postea con*derandum est sicut maxima fistula Vna hora totam aquam exhaurit: ita quae duabus horis id facit, una hora aquae dimidium Mundit: quae tribus horis id peragit, Una hora tertiam aquae partem emittit. Deinde quia omnes fistulae Uno tepore aperiuntur,omnes numeri inclusi in integro illo & eius partibus,quas numeri cum numerantes denominant,educendi sunt,ut simul addantur. Id quod statim fiet,si integrum illum per singularum partium denominationem seorsum diuidas . quippe si sex per duo seces,tria inuenies: si per tria, duo. Nam quia numerus senarius numerus minimus integer est,quem unum,duo, & tria numerat: qusque partem unam secundam atque unam tertiam habeat: ipse integer sumen dus est, cuius pars quidem secunda tria:tertia vero duo continet.'
157쪽
Hi autem numeri,sex,trian duo simul additi procreabunt unde
cim.qui numerus,tempus aquae per omnes fistulas fluentis .e,primit : numerosque omnes ex integro illo & eius partibus exeuntes
simul additos capit. Hic diuisoris partibus fungetur in hoc quaesito. Caeterum quoniam sex ab Undecim diuidi nequeunt, ut uterque numerus integer maneat:ideo numerus ille horarum senarius in sexaginta momenta,quae partes sunt unius horae, multiplicandus est, ut semonem serat. Ita numerus continens tempus aquae eου singulis fistulis seorsum intuentis, per numerum momentoruaquae simul ex uniuersis erumpentis diuidetur. qui quoties in horarum numero diuidendo fuerit inuentus, tot effluentis aquae momenta comperientur.
x DavE ITA habere huiusmodi consederatione deprehendi 'potest. Nam cum numerus senarius complectatur omne tempus separatim elabentis aquae: fistula quae Una hora aquam educit, sex horis sexies id faceret . quae vero duabus horis aquam emittit, sex horis ter id perageret: quae tribus horis aquam exhaurit, sex horis bis aqua effunderet: atque ita simul omnes fistulae sex horis aqua undecies educerent. Verum quia in quaestione proposita,aqua tantum semel,non Vndecies ex cisterna fundenda car quae proportio est inter undecim dc unum,eadem erit inter sex & aquae effundendae tempus. Et permutatim,quae proportio est inter undecim & is, eadem erit inter I & tempus aquae fundendae. Secundum regulam igitur quatuor proportionalium per u secates horas 6,prius in όo
momenta multiplicataS,Vt iam diximus: comperiemus omnes ciet
sternae fistulas patentes,triginta duobus 6o
unius horae momentis atque octo unde- H r scimis totam aquam emittere. 36o evEL si libet sperii in minutias secare. deprehedemus is unicus horae , quae tempus monstrant exhauriendae aquae . qui secandi modus cum priori consentit: quippe cum in una hora co sint momenta quorum pars undecima momenta & n momentorum capiat ea pars sexies sibi addita profert momenta.& ri . Poris momenta s sexies accumulata creant νγ. Rursus π momentorum sexies aggregatae educunt iet momentorum , quae duo integra momenta constituunt & n . PORRO si idgenus quaestioni unum integrum non admisceatur, facilius multo explicabitur: ncc erit necesse numeru diuidendum in partes suas frangere,quandoquidem maior diuisore com-
158쪽
perietur. 'Iuti si ciste nae alicuius tres sint fistulae, qitatu si maxima aperiatur,quatuor horis aqua emuel:si minor,horis sex si minima,horis octa.& ambigitur,si una omnes fistulae, sublatis epistomis , patefiat quanto tepore ex cisterna aqua tota exibit. Principio minimus numerus inuestigandus est que quatuor,se dc qcto nil merat. Is aute coperietur Vigintiquatuor, qui partes suas habet numeros illos omnes a quibus numeratur,tempus numerantes aquae.
per singulas fistulas seorsum exeuntis. Hic numerus secadus est,ut quaesitum eruamus. Tu con*derandu est, Sicut fistula quae cister nam quatuor exhaurit horis na hora quartam eius partem emit. tit: sic quae sex horis id complet, una hora sextam eius partem facit vacuam:quae horis octo aquam educit, una hora p rtem Oct o uam aufert. Deinde quia omnes fistulae uno tempore fluunt: omnes numeri coprehensi in illius integri partibus , quas numeri eunumerantes denominant, exquirendi sunt, atque una addendi: ut per eos integer ille , qui suis partibus eos includit, diuidatur . Et quia ex 24, quarta pars cotinet sex, sexta quatuor,octava tria: sex, quatuor, & tria simul addantur, & fient i3. qui numerus tempus aquae per omnes fistulas simul miretis numerat. Hic numerus diuisor numerum 24 integrum partium suarum denominationibus tempus aquae per singulas fistulas seorsum fusae demonstrantem, atque intra suas partes numeros additos includetem secare debet Quippe cum numerus 24 capiat omne tempus separatim inlueti' aquae: fistula quae cisternam in horis exhaurit 'oris 24 sexies id arceret: quae sex horis aquam fundit, horis 24 quater id complar quae horis octo aqua educit, 24 horis ter eam emitteret: atque ita omnes simul μ horis aqua tredecies educerent.Uem quia in quae stione proposita aqua tantu semel non tredecies ex cistema fundenda est quae proportio est inter i & vnu,eadem erit inter 24 &aquae inundendae lepus. Et permutatim, quae proportio est inter& - , eade erit inter Vnu & tempus aquae exhauriendae. Secuduregulam igitur quatuor proportionalium per I3 sccantes 24, comperiemus omnibus fistulis apertis aquam ex cisterna emuere hora una & undecim decimis tertijs. Is 1 24 iri Quaestio xxv III. EST O, cisterna quaepiam tres habeat fistulas, quarum maxima per horae quadrantem plena cisternam exhauriate minor,per lio xae dimidium t quae minima est, per horae spacium totam aquam
159쪽
ici Q. AESTIONE Salandat si sublatis epistomiis,una omnes fistulae pateant,quanto tepore vacua reddetur cisterna Haesitatio haec superiori similis est,& simili modo soluenda, praeterquam quod illic de horis integris, hie de unius horae partibus quaesitum cst. Veruntamen si q uem minutias vitare iuuat id quod plerique omnes,quantum fieri po-'test, cupiunt hic quoque integroria more cuncta expediti possunt, ut horae quadrans velut integrum quiddam computetur horae dimidium,quod duos quadrantes continet,pro duobus integris: hora vero,quae A quadrantes capit,pro integris. Ita minimum numerum,quem Vnu,duo, Sc quatuor numerant , inuestigates, depre demus 3. qui numerus omne tempus elabentis aquae complectens
diuidendus est. Deinde consi deremus capa fistulam quae per horae quadrantem totam aquam fundit, per octo quadrantes octies id efficere: quae per horae dimidium aquam emittit, per octo quadrantes quater id praestare: quae per horae spatium aquam exhauxit, per octo quadrantes bis eam educere: atque ita fistulas omnes una patentes per octo quadrates decies & quater aquam fundere.' Sed quia in quaestione proposita aqua tantum semel,non decies &quater emitteda est quae proportio est inter 14 & i, eadem erit inter 8 & aquae exhauriendae tempus. Et permutatim, quae propor tio est inter I & 8: eadem erit inter I & tempus aquae inundendae. I igitur numerus diuisor erit. Et quia 8 numerus diuidendus, qui horarii quadrantes numerat,minor est quam diuisor, propterea multiplicetur in horarum momenta totidem , quot horae qua drantem iniciunt ea aute sunt i s. Ita surgent uo.quae si per i se; centur, partitionis numerus proferet 8 . totidem nanque inprmentis cisterna vacua fiet. Quaestio XXIX.
A Q v AE ductus per salientem quatuor horis cisternam implet Obstruso vero saliete, fistula in cisternae fundo,si tollas epistomiti, Undecim horis emittit aquam . Iam si vacuam cisterna patefactus salies impleat,atque per idem tempus aperta fistula exhauriat, intra quatum temporis plena erit cisterna Ex hoc labyrintho sie tete extricabis. Quia cutemam implendi tempus, quod quatuor est
horarum,cum euacuandi tempore,quod est horarum Vndecim,co- currit: quatuor in undecim ducere oportet, Vt Vnus numerus de
troque fiat, qui partes omnes utriusque temporis intra se eoplectatur. Is autem numerus erit 44. Et quia tempus implendi celer
160쪽
rius est,& euacuandi tardius: obseruare oportet utriusque tempo- iis inter se distatiam .Eam autem si alterum tempus ab altero sub ducas,numerus restans indicabit qui reperietur septem. Ita si nil merum ex utriusque temporis multiplicatione procreatum diui das per eorum inter se distantiam et numerus sectionis patefaciet, quot horis, effluentis aquae tarditatem celeritas influetis assequetur. Horae igitur 44 diuisae per septe,in numero partitionis edu- eunt 6 horas & N. intra quas cisterna plena erit. Sic omnes horas & implendi & exhauriendi per multiplicationem in unum nurum collectas earum inter se differentia secabit,ut quaesitum explices. Idque ita habere vel ex illa cosyderatione liquere potest: quod saliens quatuor horis ei sternam implens,una hora quartam eius partem reddit plenam: fistula autem, quae Undecim horis aquam educit,una hora partem Undecimam eiusdem quartae partis exhaurit. Ideo ut sciamus quantum Vna hora conseret ad implendum, ab una quarta parte pars Vna Undecima subducatur : de supersunt Ξ . quae minutiae restantes indicant quot partes cisternae una hora implentur,nempe de quadraginta quatuor partibus soritae septem. Quoties itaque septem in q4 habentur, totidem horae requiruntur ad cisternam implendam. Nam sicut septem cisternae partes se habent ad 44,quae sunt omnes eius partes: sic una hora,qua septem cisternae partes implentur, ad illum horarum numerum,quo tota plena erit,se habere debet. Et permutatim,sicut sepῆtem partes ecternae se habent ad unam hora,ita 44 quae sunt omnes cisternae partes, ad eum horarum numerum, quo poterit
Quaestio XXX. ' TvRRIs extruenda est, euius altitudo erit quadraginta oebi'torum ingula latera exterius latitudinem habebut cubitorii vice. num ,interior autem habitatio ad usus hominum per singula latera cubitos patebit quindenos:conuensique cum operis redemptorire,singulos aureos in singulos cubitos dari. quanti igitur constarebit totius turris substructioῖ Ad hoc quaesitum pervestiganda , inprimis quia latera omnia paria sunt, eorum latitudinem in se multiplicare oportet.& surget quadringenta. Deinde numerus ille ex latitudinis ductu procreatus rursus in altitudine ducendus est, iaprouenient sexdecim millia. tot aureis constaret turris, si esset solida, nil,sique haberet eoncaui. Caeterum quia interna habitatio