장음표시 사용
171쪽
misso sex aureos testitust. sic demum fur elapsus aureos tantum ueY furto deportauit. Inuestigemus quot aureos in uniuersum surripuit. Res sic extricabitur quemadmodum in proximo quaesito; ut ordine retrogrado a postremo ad primum tendamus: nisi quod illie ad singulas duplicationes, propter aureos supererogatos, additione opus erat: hic ad singulas duplicationes, propter aureos restitutos,subductio necessaria est. Itaque si a ir illis aureis ex furto deportatis, , a ianitore restitutos demas ,supersunt ό:quae propterea quod tertio sur dimidium dedit, duplicare oportet, & fient it Ab his propter 4,a secundo ostiario restitutos subtrahamus 4, sies remanebunt. Ea deinde ida duplicemus, quod secundo sur di
midium contulit .ita surgunt is. A quibus 1 ob id deduceta sunt. cuia primus ostiarius 2 reddidit. qua ratione relinquuntur 14. &quoniam primo ostiario surii dimidium oblatum est, ea duplicentur, & prodibunt in qui numerus uniuersos aureos surreptos
capit.Vt autem probemus non errasse calculum, conuerso ordine
numerum hune ad furis exemplum distribuamus : R de r8 primo ostiario dimidiu, quod est ,osseramus. is nobis reddat 2,& Lentis. Horum dimidium feeundo ostiario demus, nempe 8, qui no Rhis 4 restituati sic habentur Ir .Eorum deinde dimidium quod ests, tertio ianitori offeramus .is 6 reddat,& rursus fient v,quae ex niuerso surto restabant. Ad eundem modii res explicabitur,si cu piam inuestigare libet quantum sibi quisque ostiarius retinuit Liquet naque primum ostiarium u sibi seruasse,secundum 4,tertium ianitorem retinuisse nihil.
Q. V A N D o Atar linea dimetiens, quam Graeci diametron vo eant, septem pedes habet, quantus erit ambitus apsidis extremar,& quoties in mille passibus rota circunuolueturs In primis obser uare oportet geometrica ratione ab Archimede deprehensum esse,
diametrum tertiam circuli partem & tertiae paulomis septimam comprehendere. Nam dimetiens cui ille ait) si in partes septuagesimas secetur . eapit ultra tertiam circuli partem, minus quam decem septuageumas, quae partem septimam faciunt. At si in septuagesimas primas diuidatur,vltra tertiam eliculi parte plus ea pit quam decem septuagesimas primas,quae partes sunt septuagesimis minores,nec septima partem implent. Propius accedere non
potuit Archimedes, tametsi multa conatus,vi diametri ad circulu
172쪽
rationem inueniret: quae si comperta esset, iam quadratura circuli fuisset inuenta: quam assequi desperarunt plerique omnes philo sophi qui adhuc fuerunt, & in primis Aristoteles ipse. Ultra A
chimedem penetrare nemo hactenus potuit. Itaque cu omnis circulus ter diametrum & diametri paulo minus septimam colligat, sed quatulo minus,adhuc non sit compertu illud faciamus quo Geometrae solent,Vt pro septima,eui paululum deest, septima sit
mentes integram, perinde copulemus ac si dimetiens tertiam circuli partem,& tertiar septima capiat. Qua ratione si extremae apta dis ambitum ex diametro colligere velimus, multiplicare oportet 1 tem, qui numerus est diametri,in tria,& numero producto ad-. Qere Unam septimam. ita fient Vigintiduo. quae ratio erit apsidi, rotae ad diametrum: & tot pedes una circumuolutio capiet. Quod postquam exploratu est per numerum illum ra secare opore ilium pedit numerum, que mille passus continenti is aute est quinque millia. na passus,ut ait Columella,quinque pedes habet Quo fiet, ut sectionis numerus Mym proserat, quae faciunt l. Toties ferὰ circunuoluetur rota in mille passibus. Propius id sciri no potest propter certam diametri ad circulum rationem adhue incopertam. Et vix tande in immenso spatio deprehendi potest error. Quaestio sev I . QIr s non putaret normae fabricandae artificium delegandum
este fabriss at emendatae normae faciendae ratio tota pendet a numeris: qua Pythagoras inuenisse traditur. Ea autem est huiusnodi
Porro si sumatur regulae tres,d quibus una longa sit pedes tres,altera pedes quatuor, tertia pedes quinque: haeque regulae inter se copositae summis cacuminibus alia aliam tangant, trigoni habebunt speciem,& normam emendatam sermabunt. Nam se dum Euclidis regula'bi quod ab uno triaguli latere in seipsum ducto producitur, aequale reperitur duobus quadratis,quae a duobus reliquis lateribus describuntur,rectus est angulus cui latus illud opponitur. Itaque si huius trigoni singula latera in seipsa multiplices, numerosque ita procrees quadratos: qui ex hismaximus erit, tantum in se continebit, quantum duo reliqui quadrati simul additi: quippe tria in se ducta educunt noue: quatuorque item in se multiplicata sexdecim: qui numeri in unu additi vigintiquinque
proserunt. At si quinque in seipsa ducantur quod latus d tribus maximum est itidem enascentur viginti quinquet qui numeru
173쪽
Q. V AE STION Esaaequalis est duobus quadratis reliquis. Id Pythagoras eu inuenisset non dubitans se a musis in ea inuentione adiutum, hostias his immolavisse dicitur.Ab illo igitur certa ratio normam fabricandi per numeros deprehensa est:cum ante eum fabri normam faeietes vix magno labore rem ad Verum perducerent.Nihil autem refert, quod mensurae genus numeretur ab ipsis numeris normam emei. entibus: nam siue unciae fuerint,siue palmi, siue pedes, siue cubiti siue aliud quidlibet,eoru summa cacumina simul coeuntia normam deformabunt. Iam quod hi numeri primaris,uia, quatuor,&quinque,in quibus normae ratio primum inuenta suit,perficiunt itidem id praestabunt omnes numeri maiores eande rationem limbentes: cuiusmodi sunt triginta,quadraginta,quinquaginta: quorum qui maximus est,in se ductus quadratum producet aequalem duorum reliquorum quadratis.
174쪽
evrn EBERTI TONSTALLI IN LIBRUM Q.V A R-- TvM PRAEFATIO.
v I in numerorum abdita penetrare volet, proportionibus di noscendis operam dare debet:quarum non solum in numeris,uerumetiam in tota rerum natura tanta vis est, ut sine ea nihil vel
ad usus hominum utile,vel ad aspectus amoenum, reperiri possit: id quod ,quocunque oculos tuleris,facile intelligas. Principio quae ad habitationem nostram aedes fabrefactae sunt, nisi laxitate longitudini atque altitudini cogruentem habeant,inamoenae & incomodar ab omnibus existimantur. Si nimis sunt luminosae praeterquam quod sub dio habitare videmur,ad frigora arcenda tepesta, tosque feredas inutiles putatur. Si lumina in his vel angusta sunt, vel rara, carceris speciem reserunt. Si parietes nimium crassi,castella videntur. Coua si nimium tenues,parum tutas a furibus credimus. Ita nisi singulae aedium partes sibi proportione resp5deant, earu gratia tota petit. Pictoru vero ars tota,quae ad hominu oblectationem inuenta, magnoque in pretio apud veteres habita est, nihil praestabit gratu si quae illustrari deberent, fuscis obscuretur coloribus: si quae obscurari,fiant illustria:si in corpore depingendo mebra alia enormia alia exilia inter se no consentiant. quippe risum,no voluptatem irritus Iabor pariet. At si colores floridi te- perentur austeris,candidi suscis, fulgentes Umbrosis, ut quae longinqua sunt,recessisse videaturiquae propinqua,sic emineat i eX tare videri possint: si uniuersa lineamenta sibi pro portione cosentiant, neminem non ea ars summopere delectabit. Qui disciplinae militari dant opera,& arma corporibus, & tela tormentis habilia quaerunt.Qui classem aedificant armameta pro nauium parat magnitudine. Sarcinatores qui vestimenta iaciunt, sic ea aptare student,ut corporu seruent symmetriam. Caetera itide artificia proportionum cognitione uniuersa postulant. Quid medici qui pharmaca dant aegrotis an non eorum summa cura est, Ut postquam
morbi vim sagaci solertia deprehenderat,sic calida frigidis, sic humida siccis misceat, ut aegroti corporis temperamento couenianis
id quod ignoratis proportionibus fieri nequaquam potest. Ipsa etiam ciborum nostrorum condimenta,dum sani sumus, nisi salsa recentibus,acria dulaibus,austera lenibus temperentur,ingrata palato, atque insipida comperiemus. Ita nee corporis humani sanitas incolumis seruari, nec labefactata refici, sine proportionu ΠΟ
175쪽
i 3 DE PROPOR. titia facile poterit: ut non abs re existimari possit, eorpora nostra non magis ex quatuor elementis,quam eoru proportione costare. Denique omniu opifex deus & mudi fabricae & rebus in ea creatis uniuersis eam forma dedit, ut cuncta inter se symmetria tenerentiid quod in singulis licet cernere,siue caelum,siue terram spe .ctes. Quocirca sacrae literae,mensura,numero,& pondere, quibus in rebus maxime Vis proportionu eminet,deum omnia disposuisse testantur. Et ne in confirmandis his quae in consesso sunt, Iongius immoremur:cum palam sit nihil usqua vel aspectu decorum, yel usu gratu esse,cui desit proportio: propterea cognitionem eius ad vitam transigenda operaepretium erit expetere. Quod cum ad caetera negotia comodius gerenda,tum praecipue ad artem supputandi discendam, urimu conducet: in qua sine proportionu notitia nihil arduu explicari potest. Igitur in hoc libro genera pro portionum paulo altius in primis repetere est animus . Deinde earum subijciemus additionem , subductionem, multiplicatione& sectionem. Postremo regulas quasda ad supputationem Vtiles,
quae sine his ne intelligi quidem queunt,studiosis prodemus.
VANTITAT v M species duae reperiuntur altera continua est,quae magnitudo dicitur.altera discreta, Q. quae siue multitudo siue numerus appellaξ. Ipsa etiamagnitudo species habet duas: altera est immobilis, qua Geometria tractat: altera mobilis,de qua Astrologia colyderat. Itide micilitudinis duae species occurrunt. earu altera per se cosyderatur, de qua disserit Arithmetica: altera refertur ad aliud ea musica pertractat. Numerus vero est unitatu collectio De Proportione & eius generibus. PROPORTIO est duarum, quantaecunque sunt, eiusdem generis quantitatum,certa alterius ad alteram comparatio, atque habitudo propositis nanque quibusvis duabus quantitatibus, necesse est alteram altera vel maiorem, Vel aequalem, Vel minorem esse
Illa itaque habitudo qua sese vel aequaliter,quando sunt aequales;
mutuo respiciuic vel inaequaliter,quando earum altera maior reliqua 'ut minor est,appellatur proportio:quae nihil aliud est,quam earum inter se comparatio. Eiusdem quoque generis quantitates
176쪽
neae,duae superficies, duo corpora, duo loca, duo tempora: neque enim linea maior aut minor superficie est, aut corpore, nec tem pus loco maius est, aut minus: sed linea linea,superficies superficie,corpus corpore: sola enim quae Unius sunt generis inter se co- parabilia sunt. Proportio autem habitudo certa est: quasi diceres,sie determinata,vt haec sit,& non alia. Neque enim necesse est ut omnis duarum quatitatum habitudo vel a nobis sciatur , vel a rerum natura. Quippe proportio apud Veteres in tria secatur genera quorum unum est discretorum,Videlicet numerorum,quod voeant Arithmeticum. Alterum continuorum, quod Geometricum appellant. Tertium sonoru & cocentuum, quod harmonicu nun eupant,ex illorum utroque mixtu: quod musica in pausis & prolationibus tempus spectet: in vibrante vocum notarumque diuisione, numeros. Et quia ad institutum nostrum tertium hoc genus non attinet, parum admodu in hoc libro de eo dicturi sumus. Innumeris aute omnis minor est pars aut partes maioris: quamob rem in eis omnibus certa est habitudo & nota. At vero in eontinuis proportio est magis larga. Nonnunquam enim in eis minor quantitas est pars aut partes maioris:& taliu omnium,interuenietibus atque adiuuantibus numeris,nota est proportio, quae & ra tionalis vocatur. Huiusmodi autem quantitates siue comunicantes, siue comensurabiles dicuntur: quia eas una & eadem qualitas
neeessario metitur. Quo fit Vt omnes numeri sint communicates, quod omnes eos metiatur Unitas. Saepenumero aute in continuis
minor quantitas no est pars aut partes maioris: & in talibus proportio neque nobis nota est,nec naturae: qualis est inter quadrati diametrum & eius costam,cum nulla unquam mensura,quae Virique sit comunis,inueniri possit, tametsi diametri quadratu dupla sit ad quadratum costae. Huiusmodi autem proportio irrationalis
nuncupatur,& hae quantitates incomunicantes, siue incomensu rabiles. Vnde fit ut quaecunque proportio occurrit in numetis,eadem reperiatur in omni genere continuorum i puta in lineis, suri perficiebus,corporibus,& temporibus. At non e couerso idem accidet. Infinitae nanque reperiuntur in cotinuis proportiones,quas numerorum natura non sustinet. Caeterum quaecuque proportio in V no genere cotinuorum accidit, eadem comperietur in omnibus aliis. Nam qualitercunque se habet aliqua linea ad quamlibet
alia,sic se habet quaelibet superficies ad aliqua aliam,& quodli t
177쪽
eorpus ad aliquod aliud,similiter & tempusmon autem sie se habet quilibet numerus ad alique alium. Quocirca in cotinuis proportio magis larga est,quam in discretis. Quo fit manifestum, pr portionem Geometrica maioris abstractionis, quam Arithmetica esse. Omnes enim proportiones, circa quas Arithmetica versatur, rationales sunt:de quibus hoc libro maxime dicturi sumus . Geometria vero & rationales & irrationales aequaliter consi derat. Proportionis rationalis species. PROPORTIONIS rationalis species sie dignosces. Omnia quantitas ad aliam coparata aut ei aequalis, aut inaequalis reperi- tur. Quantitas aequalis est quae nee sibi coparata excedit, nec ab ea exceditur. veluti cubitus ad cubitu collatus: pes ad pede .numerus 'quaternarius ad quaternariu.Inaequalis aute qualitas,quae sibi coisParata excedit,proportione ad illam habet inaequalitatis maioris veluti cubitus ad pede,numerus quaternarius ad binarIum. Quod si ab illa exceditur, minoris ad illam inaequalitatis proportionem habet veluti pes ad cubitu:numerus binarius ad quaternarium. MAIOR Is vero inaequalitatis species sunt quinque,quaru tres sunt simplices,videlicet multiplex,superparticularis, & superpartiens. Duae vero reliquae compositae,nempe multiplex superparticularis & multiplex luperpartiens,ex prima & duabus reliquis coficiuntur. Quibus rursus aliae quinque species inaequalitatis minoris opponuntur: qtiae eadem seruant nomina, praeterqua quod praepositio haec sub) in singulis nominibus apponitur, ut submultiplex, subsuperparticularis,subsuperpartiens,& sic deinceps. PORRO Vt de primis quinque suo ordine dicamus, Quantitas ad aliam multiplex est, quae eam pluries integram continet. Et si bis eam capit dupla dicitur: si ter tripla: si quater,quadrupla: sicque in infinitas species variatur. Ut igitur sciatur quomodo singulae eius species generantur, facta numerorum serie naturali, Veluti I. 2.3. q. .6. . 8. λ. quilibet eorum, qui praecedentem per Unita
tem superat,sub alia & alia specie multiplex est ad unum: secundus enim duplus est,tertius triplus quartus quadruplus,& sic decinceps. Et sicut in infinitum in hoc naturali numerorum progressu species multipliciter variantur, ita etiam in qualibet specie generari possunt infiniti numeri. DUPLORVM in primis generatio huiusmodi est, Sicut enim primus numerus par idelicet binarius, duplus cst ad unitate, ita
178쪽
secundus par qui est quaternarius,ad binarium numerum dupluuerit:& tertius par,qui est senarius,ad ternariu; quartus par qui est octonarius, ad quaternarium. quintusque par,qui est denarius, ad quinatium numerum duplus erit: & sic deinceps in infinitum in generatione duplorum progressus fieri potest.
TRIPLORVM autem generatio sic obseruatur, In naturali numerorum serie post ternarium, qui Unitati triplus est, duobus intermissis,puta quaternario & quinario,senarius qui sequitur, triplus ad secundum numerum naturalis seriei binarium comperietur. Iteru etiam omissis aliis duobus, Videlicet septenario & ocho natio peruenietur ad novenarium,qui triplus est tertis numeri .Et rursus Io & II intermissis, duodenarius triplus erit ad quartu nus merum ad que modum sine fine progredientes, triplos inueniemus. Etitque triplorum cotinue Unus impar,alius par alternatim Q U ADRUPLORVM Vero generatio incipit, siquis post quaternatium tres numeros, veluti quinarium, senarium & septena' rium intermittat. quartus enim occurrit octonarius, qui ad binarium numerum ,qui secundus est,quadruplus reperitur. At rursus'. io. & II intermissis,duodenarius numerus ternarii numeri,quitertius est,quadruplus erit:& sie deinceps. singuli autem quadrupli numeri sunt pares,sicut in duplis euenit. Similiter si quatuor numeros intermittas, quintupli inueniuntur: si quinque,sextupli: si sex,septuplit atque ita semper proportionis generandae denominatio per unitate superabit numeros o mittendos. Omnium autem numerorum multiplicium, quorum
denominatio est impar,vn' par & alius impar alternatim erit: sed multiplicium,quorum denominatio est par,singuli pares erunt. ANTITAs superparticularis ad aliam dicitur, quae semel eam continet,& aliquam eius partem. Et si eam & eius dimidium continet,vocatur sesquialtera: si eam & eius tertiam dicitur sesquitertia. si eam 8c eius quartam, erit sesquiquarta: & sie in infinitum
nomina ducere licet.In comparatione tali numeri maiores dicuntur duces,minores vero comites. Generantur autem superparticulares proportiones ad hunc modum.
Et primum quidem de sesquialterae origine dicamus. Dispositis
uno ordine singulis numeris tertiam partem habentibus, qui per continuam additionem ternarii in inlinitum procedunt , sicuti 3. 6.9. II. II. I8. Omnes duces procreabuntur proportionis sesquialterae: quibus si singuli numeri pares sua serie Iubscribantur,proue
179쪽
sta DE PRobonuhient omnes eiusdem proportionis comites,si primum primo, se eundum secundo conferamus:& sic deinceps.
x et x M dispositis singulis numeris quartam bartem habetibus, qui per quaternarii continuam additionem procreantur, veluti. q. 8. 2. I 6. prodibunt omnes duces proportionis sesquitertiae, qui omnes numeros triplos siue tertia partem habetes comites habebunt,si primus primo,secudus secundo coparetur:& sic deinceps.
SIMILITER generatur proportio sesquiquaris,si ad singulos quadruplos singuli quintupli comparentur. e
Atque ita deinceps procedetur per proportionis superpartieula,
tis singulas alias species. AccIDIT autem proportioni superparticulari admirada lixe Proprietas,ut in quibuscunque numeris huius speciei primus dux primum comitem per solam Vnitatem transcendat, secundus secundum per binarium, tertius tertium per ternarium, & ita deinceps per ordinem fit ascensus . Potest autem tabella depingi, in qua proportionum tam multiplicium quam superparticularium, quotquot voluerimus, species generentur. Cuius formam supra libro primo de numeroru multiplicatione praecipientes descripsi mus. Hic aute iterum ea oculis subiscere putamus operaepretium.
180쪽
IN HAe tabellae formula secundum Iongitudinem & latitu dinem eadem est numeroru progressio.Itaque si secundus ordo siue in Iongitudine siue in latitudine ad primum coparetur,acciditeontinua generatio primae multipliciu speciei, videlicet duplom: si enim 2 ad I,aut 4 ad 2, aut 6 ad 3, & ita ulterius comparemus. prouenit ubiq; dupla proportio:vnde & in ista proportionis spe cie primus dux primum comitem per solam unitatem superatfecundus secundum per binarium,tertius tertium per ternarium,&ita per ordinem fit ascensus. Itidem si tertius ordo ad primu conferatur,generabitur species tertia multiplicium,nempe proportio tripla: superabstque primus dux primu comitem per binarium,fecundus secundu per quaternarium,& ita per incrementum binarii continue fit progressus. Ad hare si quartum ordinem compares ad primum,quadruplorum generatio proueniet:& primus dux primum excedet comitem per ternarium,fecundus secundum per se' .narium ,& ita per additionem ternarii cotinua fit accumulatio. sic que per singulas multiplicium species procedere in infinitu licet. m.iiii.