장음표시 사용
181쪽
Generatio vero superparticularium ad hune modum eo*derabitur Si enim tertium ordinem coparemus ad secundu ,accidet pro- erratio continua proportionis sesquialterae. Item si quartu ordine ad tertium coferamus,prodibit proportio sesquitertia: si quintum ad quartum,sesquiquarta generabitur. Et ita per ordinem singulae superparticulariu species procreaturi superabsit in omni eius specie primus dux primu comitem per unu, secundus secundu per 2, tertius tertium per 3,& sic deinceps:queadmodu in duplis euenit. Ac cIDv N ae autem praedictae formulae proprietates admirandae quin quam prima haec est Numeri istius formulae ab unitate angulariter secundu quadrati diametru descendentes, puta I. q.y.I6,atque ita deinceps,singuli sunt quadrati: sicci; ad singulos quadratos deuenire licet,surgentes ex numeroru ductu in seipsos. Se- cunda formulae huius proprietas est: singuli cius numeri longilateri sunt,qui immediate numeros angulares circuncingunt. Sunt autem numeri longilateri,qui ex duorum numeroru ductu,unius in alteru producuntur, quorum unus alter u sola unitate superat.
Veluti circa 4 sunt 2 & 6: quoru binarius ex ductu unitatis in 2,& senarius ex ductu 2 in 3 procreatur. Similiter circa 9 sunt ό & ir:
sicque per ordinem inuenies omnes numeros longilateros, circa numeros angulares. Tertia huius formulae proprietas est, Si duo numeri alicui numero angulari circupositi coniunctim addantur ad duplu ipsius numeri angularis,surget numerus quadratus. Veluti additis 2 & 6 ad bis 4 prodeunt I6. Quarta proprietas est, Si duo quadrati angulares proximi simul addantur ad duplum nu- mcti ab ipsis circunsepti numerus nascetur quadratus . nam addi tis & 9 ad bis 6, produciatur as. Quinta proprietas est, Vbicunque in hac formula reperitur aliqua figura quadrata, idem ex ductu angulorum oppositoru in oppositos producetur: puta si 4 ins ducas, aut 6 in 6 nam ide utrobique exibit vel si 3 in is ducas, aut in y idem producetur. Multa alia admiranda atque utilia in hac tabellae formula reperiri possimi,qualia sunt ea quae de multiplicatione & diuisione per eam facienda, primo libro monstrauimus. Verum his omissis,ad propositum reuertamur. VANTITAs ad aliam superparties dicitur,quae ipsam semel intra se capit, & insuper aliquot eius partes,de quibus simul sumptis no fit maioris quatitatis pars una aliquota: quae species ta ex numero partivi superfluentili,q ex earii denominatione variatur in infinitia. Ex numero partium, Veluti si numerus maior minorem
182쪽
eontinet & eius partes duas,dicitur superbiparties: si vero eam ea. pit,& tres eius partes, supertriparties dicitur.& sic deinceps. Item
ex denominatione partium, puta si maior minorem semel cotinet R duas eius partes, quarum quaelibet tertiam facit, Vocatur superbipartiens tertias,vel magis germano Vocabulo superbitertius. &si minorem includit,& tres eius partes,quam quaelibet quarta est, dicitur supertripartiens quartas, Vel magis supertriquartus. neque in tali progressu status aliquis erit. Huiusmodi autem porportio, ubi tam numerus partium quam eatu denominatio Variatur,continue generari potest , si series una numerorum fiat a ternario incipiens, & quantunitis Vlterius secundu ordinem naturalem procedens. Deinde fiat alia series: in qua sumpto initio a quinario numero,singuli sequentes impares per ordinem subscribantur.
Nam si primum ordinis inferioris ad primum superioris conferamus,proportio orietur superbiparties tertias, siue superbitertia: si secundum secundo, supertripartiens quartas , siue supertri quarta & sie sine fine . Quod si singulos utriusque seriei numeros duplicemus,secundi numeri prodibunt sub eisdem proportionibus constituti. sunt enim Io & 6 secundi numeri, inter quos est superbitertia proportio.Similiter si duplicemus duos seclidos, fiuis & 14 qui sunt secudi numeri,inter quos cadit supertriquarta proportio:& sie deinceps. Itidem si utriusque seriei numeros triplicemus itertis numeri nascentur proportionem eandem vendicantes
ut is ad y,rI ad ir. ia sic in infinitum progressus fieri potest per singulas species. Ex hoe Arithmetici deprehedut hie dormitasse Boetium non incelebrem authorem,qui in generatione continua huiusmodi numerorum dicit se dum ducem & secundu comitem, inter quos est proportio prima supertriquarta debere triplicari: &tertium ducem & tertium comite, inter quos est proportio supcr quadriquinta , quadruplicari, & ita deinceps: ut per hoc nascantur secundi numeri sub eisdem proportionibus constituti. Male
etiam hic admonet numeros triplicatos iterum triplicari debere, quadruplicatos iterum quadruplicari,ut caeteri numeri sub eisdem proportionibus procreentur. Praeterea Boetius in generatione superpartientium de his tantum admonuit, in quibus denominatio partium per Unitatem solam numerum earundem superat: veluti
de superbitertia, supertriquarta,superquadriquinta,& huiusmodi:
183쪽
xis Dr usto postphee docet quomodo superbi septima vel aliae huiusmodi genere
tur. Et ideo ut de euiustibet speciei generatione instruamur, capiamus numeru denominante partes proportionis propositae:qui numerus erit primus comes proportionis illius. cui deinde addamus numeratore parti si proportionis eiusde se procreabim' primu ducem. Uerbi gratia. si proportio supereriseptima generanda propo natur,capimus Z. cui si addamus 3,prodibut io. sunt itaque io & minimi numeri,inter quos*portio supertris tima reperitur. qui bus duplicatis,exeut numeri secudi eiusde proportionis: & triplicatis,fiut tertii. id quod per hac regulam fit manifestum videlicet, quia multipliciu & submultiplicium proportio semper est eadem. VANTITAS multiplex superparticularis ad aliam dicitur. quae eam pluries quam semel & aliquam partem eius aliquotam 'continet:& hoe variatur tam ex parte multiplicis, veluti dupla superparticularis et quam ex parte superparticulatis, ut dupla sesqui altera, tripla sesquitertia. Vbi autem state denominatione ex par te multiplicium species solummodo ex parte superparticularium Variantur,sicut in dupla sesquialtera,dupla sesquitertia: fiet eorum generatio per hune modum, Disponantur numeri a binario secudum ordinem naturalem: quibus singuli impares a quinario subscribantur.coparates itaque primum ad primum, habebimus pro portionem duplam sesquialteram:secundum ad secundum, dupla sesquitertiam: tertium ad tertium, duplam sesquiquartam.
Pro generatione autem triplorum superparticularium fiat priamus ordo ut prius:& in secundo ordine post initium a septenario
sumptum,numeri continue per additionem ternati, augeantur. 2, 3. q. s. s. 7.
At pro quadruplorum superparticulariu generatione,state priori ordine, numeri in secundo a st sumetes initium per additionem
quaternaris continue augeantur : & ita deinceps,quantuncunque Voluerimus procedemus. postqua vero in praedictis ordinibus numeri primi & minimi in se is proportionibus constituti sunt,si eos duplicauerimus numeri nascentur secundi:si eos triplicauerimus, tertis,eisdem proportionibus congruentes.
184쪽
et v ANT et Tas ad aliam multiplex superparties dicitur, quae
eam pluries quam semel,& eius aliquot partes continet:ex quibus non fit maioris quantitatis Una aliquota: quae species tam ex parte multiplicis, quam ex parte superpartietis in infinitum variatur. Aecidit autem huiusmodi proportionis generatio ad hunc modu. Proposita quavis tali proportione,capiatur numerus denominans partes minoris numeri in eadem, Ut ille sit primus comest deinde vel duplicetur, vel triplicetur ille numerus secundum denominatione multiplicis in illa proportione. laisque numero sic multiplieato addatur unitates seci indu numerum partiu proportionis prinpositae: & primus dux in ea proportione nascctur comparadus ad primu comite. Verbi gratia. in proportione tripla superquiniis ἡ. tima capiantur 7. quibus triplicatis, & s superadditis, siligent EsdItaque 16 & 7,sunt primi numeri sub proportione proposita constituti. Quibus duplicatis nascentur secundi :triplicatis,tertii:& ita deuenire licet ad omnes numeros sub ea proportione consistentes. Annotandum autem est singulas species haru quinque in formula quadrilatera superius scripta inueniri posse,si in immensum ulterius extendatur. Ad primum enim ordinem reliqui singuli eo parati singulas multiplicis species procreabunt. Item si tertium ordinem ad secundum & quartum ad tertium,& ita ulterius conse ramus, mille superparticularium species orientur . Quod si quintum ordinem ad tertium, & septimum ad quartum, & nonum ad 'quintum comparemus, & ita progrediamur, habebimus singulas speetes superpartietium. Item si secundu ordinem ad quintum, Se ad septimum & ad nonum, re ita deinceps, contulerimus, multiplicis superparticularis species Variae prodibunt. At multiplietum superpartietium procreabuntur species,si ad tertium ordine octaquus,& undecimus,& quartu decimus, atque secundum eam rationem alis reserantur.
Η ΑΕ quinque species quae iam sunt descriptae,alias etiam quinque,quae sibi sunt oppositae,manifestant. Etenim hoc tantum inter eas interest , ut cum per singulas has species maior numerus. sicuti diximus,ad minorem comparetur: in illis contra fiat,ut minor conferatur ad maiorem, atque ideor sub praepositio singulis earum nominibus apponatur. Caeterum illarum generatio & hantum est eadem.
185쪽
Roso RTIONALITAS est proportionum Inter se sis militudo.Ea autem bifariam secatur;altera naque proporistionalitas continua est,altera incontinua,quam eadem s paratam appellare licet. coNTIN va proportionalitas est, quotlibet quantitatum eiusdem generis, qua proportione prima antecedit secundam, eadem quaelibet aliarum proximo consequentem antecedit. Exem plum in numeris. sicut 8 se habent ad ,sie 4 ad 2,& 2 ad i. Complurium autem quantitatum continue proportionalium quaelibet & antecedens & consequens est:hoc est,ia vicem primi extremi in proportione & secundi supplet,excepta prima quae solsi antecedit,& postrema quae tantum cosequitur. Et in hac quide pro- portionalitate, propter cotinuatione proportionu, necesse est omnes quantitates esse eiusdem generis eo quod inter diuersorum ge. nerum quantitates non existat proportio. Haec Vero proportionalitas in paucioribus quatitatibus,quam in tribus, inueniri nequit. quanquam etiam in illis media quantitas,dum bis repetitur, vice subdit duarum. IN coNTIN v A autem proportionalitas est, cu quatuor qua titatum , qua proportione prima antecedit secundam, eadem tertia antecedit quartam. Exemplum in numeris .sicut 8 ie habent ad 4,sic 6 ad 3. eritque earum quantitatum quaelibet aut tantum antecedens,aut tantum consequens. Et quia prioris proportionis extremum,quod consequens est,non continuatur antecedenti,quod, est prius extremum proportionis secundae: necesse non est ut omnes quatuor sint generis eiusdem,sicut in proportionalitate continua erat. sed fieri potest ut sint eiusdem generis. εc fieri potest ut sint diuersorum. Sicut enim lineam duplam aut triplam ad linea reperiri contingit:ita superficiem ad superficie, corpus ad corpus, lepus ad tempus,numerum ad numeru . Haec Vem proportionaliqtas in paucioribus quatitatibus,quam in quatuor inueniti nequit. PORRO in proportionibus extrema ipsa siue antecedunt, siue eonsequuntur,termini ab Arithmeticis nuncupantur. VANTITATES autem, quarum proportio est similis, proqportionales Vocantur. NIS autem porportionalitas,nue continua sit,sive sepaci rata,sex modis inter argumentandum variari potest.
Quantitates enim inter quas similitudo est proportio-
186쪽
num, itidem similium proportionum erunt , etiam si comparatio
quae ab antecedente quantitate ad consequentem facta erat, econuerso a consequente ad antecedentem fiat. Quae proportionalitas, couersa nuncupatur,quod quantitates antecedentes in eosequeresia cosequetes In antecedentes couertantur Exemptu demus in numeris. sicut 8 se habent ad 4,sic 6 ad 3. eadem etia similitudo e co- uerso eueniet: Vt sicut 4 se habent ad 8,sic 3 ad 6 se habeant.1 s quantitatibus similium proportionum, quando earum antecedentes ad suas consequentes comparatur,proportionum omnino similitudo cadet: etiam si permutatim quantitas unius antecedens ad alterius antecedentem, & consequens unius ad alterius consequentem conferatur. Quae proportionalitas,permutata Vocatur : in qua anteceden, proportionis secundae fit consequens primae: & consequens primae fit antecedens secundae . Exemplum innumeris. sicut 8 se habent ad 4,sic 6 ad 3. Quare etia permutatim. sicut 8 se habent ad 6, sic ad 3. Ex quo videre licet in permutata
proportionalitate id euenire,Vt ambo extrema primae proportionis fiant antecedentia,& ambo extrema secundae consequentia. CONIvNCTA vero proportionalitas dicitur, quoties sicut senius proportionis quantitas antecedens cum sua consequente co- iuncta se habet ad suam consequentem: sic etiam alterius proportionis quantitas antecedens cum sua consequete coniuncta se ad suam consequentem habet. Quae coniuncta proportionalitas ex similitudine proportionum infertur. Exemplum in numeris. sicut Sse habet ad 4,sic 6 ad 3. Quocirca sicut 8 & 4 coniuncta,se habent ad 4:sie 6 & 3 coniuncta,se habent ad 3.DIs IvNCTA proportionalitas est,in qua de quantitatibus coiunctis ad cosequetes suas collatis, comparationis illatio si etiam
ad diuisas. Exeptu in numeris . sic ut 8 & 4 se habet ad 4isie 6 & 3 se habet ad 3. Quamobrem etiam sicut 8 se habent ad 4,sic 6 ad 3.
EvERs A proportionalitas est,quando sicut unius proportionis quantitas antecedens cum sua consequente coniuncta se habet id suam antecedentem , sic etiam alterius proportionis quantitas antedecens cum sua consequente coniuncta se ad suam antecede tem habet. Quae proportionalitas euersa ex proportionum simili tudine,& aptissime ex proportionalitate eoniuncta inferri potest.
Exemplum in numeris . sicut 8 & 4 se habent ad 4: sic 6 & 3 ad 3. Quo fiet ut sicut 8 ia 4 se habent ad 8,sie 6 & 3 ad 6 se habeant.
AE v A proportionalitas est, quado plures quatitates in una
187쪽
x o DE:HEDIET ATI Bus proportionem ex parte Vna sumuntur:atque aliae totidem vel eiusdem generis,uel alterius ex parte altera se dum eandem proportionem applicantur: & mediorum aequali numero remoto similiis tudo proportionum in extremis insertur. Exemplum in numeris
sicut 8 ad 4 ,& 4 ad 1 se habent dic Ir ad 6,dc 6 ad 3. Quamobre sicut 8 ad 2 se habent, sic Ir ad 3 . Idem erit etiam si comparationssordo conuersus atque intermixtus fuerit. Veluti si dicatur, sicut aad 4, sie Ir ad 6:8c sicut 4 ad 2,sic 6 ad 3. Quocirca sicut 8 ad 2, siert ad 3. Proportionalitatum alia etiam diuisio est, quae ex medietatibus mox enarrandis apparebit. DE MEDIETATI Bus EDIETAs cst connexio quaedam extremorum per habiri tudinem utriusque ad medium. Sic enim a plerisque vel ribus appellatur, quae alio nomine proportionalitas vocatur ab Euclide. Medietatum autem tria genera riethagoras,Plato, Aristoteles,& plerique omnes Veteres posuerunt: alias enim medietates Arithmeticas esse Voluerunt,alias Geometricas, alias har monicas: de quibus singulatim ordine dicemus. ARIτH METIc A medietas est, quando maximi medii & minimi disserentiae sunt aequales. id est, ubi proportionis aequalitate neglecta ,aequalis inter terminos disserentia custoditur:siue in numeroru ordine naturali, utpote I. 2.3. 4:siue aequales numeri cottis nue sint omissi,sicuti. 4. . Io. Si cnim Vnu omittas,differentia erit
2: si et, disserentia erit 3: si 3 disserentia erit Α,& sic deinceps. Disse-
retia Vero appellatur excessus ille numeri,quo maior numerus mi norem superat.
Huius autem medietatis proprium illud est, Maximi ad mediunon est eadem proportio quae medii ad minimu, sed medii ad minimu proportio semper maior est quam maximi ad medium .Quo fit ut in minoribus numeris pportio semper maior sit, & in maioribus minor. Verbi gratia. inter 8 & secundu ista medietate medius est senarius. differetia utrobii numerus binarius facit. At maior est proportio medii ad minimia,videlicet 6 ad 4,quae est sesquialtera,quam maximi ad mediu,Videlicet 8 ad 6,quae est sesquitertia Alia eius proprietas est,Si huiusmodi proportiones in tribus te minis disponantur, extrema simul addita tantum facient, quantumedium duplicatum. sicut 6.4.2:d quibus bis 4, iaciut 8. itemque 6 & 2,faciunt 8. Quod si in quatuor terminis ponantur,tunc duo media per additionem coniuncta tantum esticient, quantum duo
188쪽
extrema sic iuncta. ut si ponantur 8. 6. . t. tantum enim ereant claddita ad 4,quantum g ad 2 addita. Ex hac proprietate sumi potest ratio generalis progressionis supra in integris positae.
Rursus alia eius proprietas est,Si hac medietate constituta in tri. bus terminis prius multiplicentur extrema,deinde medium per se
apsum, id quod proueniet ex medii ductu in seipsum: tantum superabit id quod ex multiplicatione extremorum prodibit,quatum producetur ex alterius disseretiae in alteram ductu . Exemplum in his terminis 2. q. 6. Sicut a se habet ad 4,ita 4 ad 5. bis 6 faciut tr. quater 4 creant Is,quae per A excedunt i 2. Qui excessus etiam prouenit ex ductu disserentiaru in se. differetia enim utraque est 2. bis autem 2 faciunt 4. Eodem modo si termini ponantur,& multi- . plicatis extremis alterum mediu in alterum ducatur,id quod proueniet ex alterius medii in altem dumi:tantum superabit id quod ex multiplicatione extremorum prodibit, quatum producetur ex multiplicatis disserentiis duabus,quae sunt inter alterutrum illorum mediorum & extrema. Veluti si essent a. q. 6.8. bis 8 ereant i 6.' quater 6 faciut 24: quae per 3 excedunt I 6. Idem autem excessus ex multiplicatione differentiatu. quae sunt inter alterutru illoru mediorum & extrema, producetur. nam si de duobus medus id quod prius est capias, videlicet :disseretia inter prius extremu & ipsum mediu est Et & differentia inter ipsum de posterius extremu est 4 itaque disserentiae ipsae a & in se ductae, procreant 8. Similiter si de duobus mediis id quod posterius est,sumas,videlicet 6:disser
tia inter ipsum M primum extremu est 4 r & disseretia inter ipsum& secundum extremu est 2. quae differentiae in se ductae creant 8. GEOMETRICA medietas est, quando maximi ad mediu eadem est proportio quae medii ad minim5. In qua medietate disserentiarii aequalitate neglecta, proportionu aequalitas obseruatur, sicut cernere licet in his numeris q. 6. y. Vbi medius numerus est 6. Secudu hac medietatem multo aptius proportionalitas appellatur, quam secudum Arithmeticam. Etenim in illa proportionalitas secundum excessum intelligitur per aequales disseretias:at non
per similitudinem proportionum, quemadmodum in hac euenit. Huius medietatis propriu est illud In maioribus terminis & in minoribus proportio semper aequalis est. Veluti inter 3o & Io, ea . dem est proportio quae inter 6 & a. Alia eius proprietas est,In proportionalitate continua disserentiae terminorum eade inter se sunt proportione, qua sunt termini,
189쪽
quorum sunt disserentiae. Exemplum. sicut 8 ad 4 duplasunt,sie ad i. Similiter disserentia inter 8 & 4,quae est 4, dupla est ad disserentiam inter Α & 2,quae est 2. Rursus alia proprietas geometricae medietatis in proportiona. litate continua multipliciu haec est,In numeris duplis minor ter
minus per seipsum exceditur a maiori: Veluti I. . q. 8. In numeris
triplis minor terminus superatur per seipsum dupIicatum: sicut r3.2.27. in quadruplis per seipsum triplicatum: sicuti t. .is. 64. 6cita deinceps minor terminus exceditur a maiore. Alia praeterea proprietas est,Si haec medietas constituatur in tribus terminis, quicquid ex ductu alterius extremi in alterum producetur, aequale erit ei quod ex medii in seipsum ductu natu erit Veluti si sumas 8.4.2. bis 8,sunt i6:quater Α, tantundem. Similiter . in quatuor terminis,quicquid ex alterius extremi in alterum mul. plicatione natum erit,aequale erit ei quod ex alterius medis in alterum ductu producetur. sicuti si capias I6.8.4.2. bis Is,creat 32:quater 8,tantundem. Ex hac proprietate dependet celebris illa quatuor proportionalium regula,quae de tribus notis quartum ignota proserentibus supra data est: per quam in negotiationibus, innu
mera in lucem Veniunt.1 ARMONI e A medietas est, ubi positis tribus terminis, sicut maximus eoru se habet ad minimu,ita disseretia inter maximsi &mediu se habet ad disserentiam inter medium & minimu . Haec autem medietas eum communiter & digeretias & proportiones admittat tamen neque aequalibus disserentiis,neque aequalibus proportionibus constituitur. Veluti si inter 6 &2 media ponantur 3: ibi tripla proportio est maximi ad minimum, videlicet 6 ad a. Eademque est proportio disseretiae maximi ad mediu,quae est 3 ad disserentia medii ad minimu,quae est unitas. nam 3 ad I triplam itide
proportionem faciut quae cum extremorum proportione consentit. Ex hac medietate eliciuntur omnes musicae concentus.
Illud huius medietatis est proprium, In maioribus terminis maior semper est proportio :atque in minoribus minor .quod contra est in medietate Arithmetica . Verbi gratia. eape 6. 3. t. de quibus 6 ad 3 comparata duplam proportionem habent: tria vero ad 2 sesquialteram,quae minor est quam dupla. Alia huius proprietas,Quota parte minimi termini,minimus ipse exceditur i medio:totidem partibus maximi, medius superatur ab ipso maximo. verbi gratia,sume 6. 3. 2. Duo exceduntur a per
190쪽
dimidium ipsius binarii quod est unitas. Similiter c excedut 3 per dimidium ipsius senarsi,quod est 3. Rursus huius proprium est, Si
extremi termini proportionu simul iungantur,& totum illud additum multiplicetur per medium, id quod inde proueniet, in dupla proportione se habebit ad illud quod ex multiplicatione extremi per extremum producetur. Verbi gratia, sume 6 3. r. adde 6 ad
2,fient 8: multiplicetur 8 per 3,quae medium tenent,& surgent M. Item si multiplices extremum per extremu, Videlicet 6 per 2, prodibunt ia. quae faciunt dimidium de Illud annotandum est , has tres medietates inter duos terminos inueniri posse. utpote inter Io & 4o,quippe si in medio statuas is, Arithmetica medietas prodibit: si ponas ro, medietas Geometrica erit:si I6, harmonica medietas nascetur. Quomodo propositis duobus terminis medium proportionale sit inuestigandum. Ropos ITIs duobus terminis medium Arithmeticumo sie exquires. De maiori numero subtrahe minorem,& reliqui dimidium adde minori: ita quod inde exibit, mediuproportionale erit. Exempli causa,inter Io & o subductio deprehendit reliquum esse 3o. horum dimidium is adde minori numero Io,& prodeunt 2s. quod medium est quaesitum. Vel si libet facilius, Coniunge utrunque extremum , & totius coniuncti dimidiuproportionale Arithmeticum erit. Nam si sumas Io 8c 4o, adde ea simul,fiunt so: ea si dimidi ,habebis as. id medium est Arithme
Q vOD s I inter eosdem terminos Io &4o , medium proportionale Geometricum eruere Voles. alterum in alterum multiplica, videlicet Io in Ao,& procreabis 4oo. cuius numeri producti radice quadratam extrahere Oportet,quae medium proportionale Geometricum erit. radicem autem eam 2o inuenies.
A T s I medium proportionale harmonicum inuenire Iibet,primum iunge extrema ipia,videlicet Io & 4o: sie surgent so . Deinde subtrahe minorem de maiore,& reliquum erit 3o, disserentia Viriusque numeri. quam si in minus extremum,videlicet Io,ducas, stentur 3oo. Eum numerum productum diuide per summam vitiusque extremi coniunctam,videlicet so:& 6 exibui. quae adde minori termino Io: & prodeunt Io. Hoc est proportionale medium harmonicum inter io & 4o.