장음표시 사용
191쪽
i 4 DE PROPOR. Quae medietates quibus rerum publicarum statibus coparetur.
RITHMETIe A medietas reipublicae adsimilatur, qua A a paucis regitur , quod in minoribus eius terminis maior sit proportio. Harmonica vero medietas optimatu reipublicae comparatur, quod in maioribus eius terminis proportio sit maior . At medietas Geometrica , quod in maioribus terminis &in minoribus proportione aequalem ieruet, popularem quodamodo rempublicam refert, in qua ciues omnes, & summates,& pleribeb,ius aequale vendicant. PRAETER has tres medietates praecipuas a veteribus proditas, Iordanus octo alias,quas collaterales vocat,addidit: quas qui cognoscere volet,ab ipso petat licebit. Nos vero qui de proportionibus tantum ea quae ad supputationem in vita necessariam perdiscendam,spectant,degustare,non uniuersas Proportionum vel reis gulas, Vel proprietates attingere decrevimus:caeteras medietates aposteris ad varietatem proportionalitatum perscrutandam, riosius adiectas,tanquam ad institutum nostra non attinentes,omittendas censuimus
Quomodo propositis duobus quibusvis terminis, proportio inter eos inueniri possit. ROPos ITIs duobus terminis quibuscunque , necesse P est alterum altero vel maiorem,vel aequalem,Vel minorem
esse. Itaque si aequales sunt,aequalitatis est proportio: quae
neminem latere potest. Sin aute alter altero maior est, aut minor,
quavis inaequalitatis sit proportio quae coplures species habet,facile tamen in quam speciem habitudo ea cadat, cognosces ad huc
nodu Maior terminus per minorem continuo secadus est Eo fiet Ut quod in numero partitionis exit, proportione denominet, quae inter utrunque extremum habetur. Idque perpetuum est quando maior terminus in comparatione praecedes, maioris inaequalitatis
proportionem facit. Veluti si inter 8 & ψ proportionem quaeris: diuide 8 per ψ,& in numero partitionis 2 exeunt,quae denomin tia proportionem illam monstrant esse duplam:quam in multiplicium speciem cadere palam est . Similiter si inter 3 & 2 proportionem quVris, 3 per 2 secta, in numero lectionis im proferunt: qui numerus proportionem sesquialteram indicat,quae in superparticularium speciem cadit. ita inuenies in reliquis. Caeter u si minor terminus in comparatione praecedens,minoris inaequalitatis prM
192쪽
LI B. II i Iz Us portionem saeti tunc praepositio haec sub denominationi proportionis ex numero sectionis eruendae praeponenda est. Veluti si inter & 8 proportio quaeratur:quia post sectionem maioris factam per minorem 2 in numero partitionis inueniuntur : subdupla erit proportio, quae in submultipliciu specie continetur. Si inter 2 & 3 proportionem quaeris, quia minor numerus in coparatione praecedit, & sectio maioris per minore facta in numero partitionis I inuenit subsesquialtera proportio erit. quam de subsuperparticulariu specie prodire manifestum est. At siquis scire cupit quemnam sensum afferat haee praepositio sub minoris inaequalitatis proportionibus praeposita,illud obseruare oportet,Quemadmodsi per singulas maioris inaequalitatis species maior terminus minore plus- . quam semel cotinet,ita per singulas minoris inaequalitatis species quantum minor a maiore superatur: tantum deest ad integru maritorem componendu . Quare cum ea minoris ad maiorem copara tio pariat minutias,ad vitanda eam denominatione, Veteres prae' positione hanc suM ad singulas maioris inaequalitatis species ad diderunt: tantum deesse significantes ad integrum eomponendu, quantum maior terminus superaret minorem. Verum si exquirere Iibet quas minutias hae proportiones pariunt:continuo id cognosces,si minorem terminum qui in proportione praecedit,in minutias frangas,secans per maiorem,eo modo quo in minutiarum liqbro admonuimus. ita ante oculos apparebunt minutiae, in quavis minoris inaequalitatis specie occurretes. Exempli gratia .si proportionem inter & 8 quaeris, per a diuide, & fient O . quae minutiae significat quatuor partes de S adhuc deesse ad integru copone-du, proportionemque aequalitatis creada. Quatuor vero octauae ad minimam nomenclaturam redactae faciunt π. Ita adhue aliae Φ,
quae sunt V, desunt,ut fiat unum integrum. Quo fit manifestum υ- facere dimidium illius proportionis quae aequare deberet 8. S eut d cotrarios 3 ad 4 coparentur,dupla erit proportio quod 3 in se capiat bis . Similiter si ad 9 comparentur,3 per ' secta proserent s- , quae faciunt ἡ- . Et quae creant - , desunt: ut aequali tatis proportio ad y producatur. ita b tertiam partem faciunt illius proportionis, quae 9 aequare deberet. Ite si proportione de is ad s voles scire, sectio maioris per minorem facta deprehendit innumero partitionis 3 qui numerus cu minutiis triplam sesquiquintam indicat, quae in multiplicis superparticularis speciem cadit . Contra, si de s ad is proportionem quaeris, s per is secta.
193쪽
creant is: Quae de Iό partibus solas quinque inueniri demonstrat ita desunt πτ, ut integrum producatur, & aequalitatis proportio
fiat. Ad eundem modum inter quosvis numeros proportione nullo negotio investigare licet. Haec autem ex Euclidis Verbis eruuntur ubi in libro septimo dicit, Denominatio proportionis minoris numeri ad maiorem dicitur pars et partes ipsius minoris quae in maiore sunt. Maioris autem ad minorem, totum, vel totum &pars,Vel partes,prout maior superfluit. Quibus verbis denominationem proportionis, quae de minore numero ad maiorem habetur,dicit esse vel partem Unicam,Veluti T T. Vel partes plures, sicut ὁπτ. quas inuenies eo modo quo dictum est . Caeterum denominatione proportionis maioris numeri ad minorem,admo net esse vel totum,sicut in multiplici vel totu & parte,sicut in superparticularii vel totu & partes, sicut in multiplici superpartieti. Liquet itaque in minoris inaequalitatis specie , Vtrancunque via sequare,re ad idcm recidere: siue ad vitandas minutias hanc prae positione sub maioris inaequalitatis denominationibus praeponas, siue minutias ipsas suis nominibus singulas exprimas.
Quomodo cognoscatur una proportio alia esse maior IMILEs dicuntur proportiones, quae eandem denomis nationem recipiunt,quas etiam interdia Vnius proportionis, non unquam eiusdem Arithmetici vocant. Maior au- te proportio est,quae maiore denominatione habet: Minor vero, quae minore . Denominatio aute omnis tam grandis esse dicitur,
quam numerus est qui ea designat.Unde si de tripla & quadrupla
quaeratur utra earii sit maior: quia maior numerus est quaternarius denominas quadruplam,quam ternarius triplam denotast ideo
quadrupla maior erit quam tripla, &quintupla quam quadrupla, sextupla quam quintupla,& sic in infinitum. Caeterum sesquialtera maior est quam sesquitertia, propterea quod sesquialtera denominatur dei - , &sesquitertia de I T: & quanquam in utraque
numerus integer aequalis est,minutiae tame his adluchae,sunt inar- quales. Porro minores in sesquitertia. nam in fragmetis cuti superius libro seeudo admonuimus quato maior est denominator, tato minus est Dagmentum . Quocirca π minor est quam π : sicut V minor, quam ζ . atque ideo sesquialtera maior est quam sesquitertia i & sesquiquarta maior est sesquiquinta: sesquisextaque maior sesquiseptima: θe sic de caeteris in infinitum,ubi minutiae in
194쪽
denominatione occurrunt.Vnde apparet triplam sesquialtera,vtpote de ad 2,maiorem esse quam triplam sesquitertiam. Nihilo minus tamen tripla sesquitertia maior est quam dupla sesquitertia vel dupla sesquialtera:quod euenit non ratione minutiam adiunctarum quae maiores sunt in sesquialtera, sed ratione denominationis ex integris designatae. tripla enim a 3 denominat duplau r. Sed quaecuque minutiae per sesqui denotetur,nuqua unu integrii aequare posivi. quare maior erit proportio triplae sesquitertiae, quam duplae sesquialterae propter maiore triplae denominatione. Quomodo proportione ex pluribus copositam esse cognoscas. E coNT INVE proportionalibus prius. deinde de im- D proportionalibus dicere destinamus quomodo in his proportione ex pluribus esse copositam cognoscas.bAtque in continue quidem proportionalibus,de tribus quatitatibus admonet nos Euclides ad hunc modu, Si fuerint tres quantitates continue proportionales et proportio primae ad tertia dicetur proportio primae ad secundam duplicata.Quibus verbis docet,si fuerit proportio primi ad secundum,sicut secundi ad tertium ,tune propor tio primi ad tertium erit,sicut primi ad secundu duplicata,id est, ex duabus talibus coposita. quae copositio cognoscetur per multi plicationem denominationis ipsius proportionis in se. Verbi gra tia, Sint tres numeri continue proportionales,dupli. veluti 2. 4 8. in his proportio inter primu & secudum dupla est,si a maiore incipiat comparatio: alioqui si a minore,subdupla est. Denominatio autem duplae venit a 2. Igitur si 2 in se ducantur, nascentur 4,quae inter primum numerum & tertium quadrupla esse proportionem denotabui. ita demu si a maiore incipiat coparatio: alioqui si a minore,subquadrupla erit. Ipsa aute quadrupla est dupla duplae,quia constat ex duabus duplis. Rursus de 4. quantitatibus Euclides admonet,inquies. Si fuerint quatuor quantitates continue proportionales : proportio primae ad quarta dicetur proportio primae adsecudam triplicata. Quorum verborum sensus hie est, Si fuerint 4 quantitates continue proportionales : proportio primae ad qua tam erit,sicut primae ad secundam triplicata:hoe est prius in se,postea in productu multiplicata. Verbi gratia. sint quatuor numeri tripli cotinue proportionales, Veluti I. 3.y.27, proportio inter pri mum de secundum tripla est, si a maiore incipiat comparatio, quae
denominatur a 3. tria autem in se ducta producunt ': ipsa aute s
195쪽
rursus in 3 ducta procreant 27, quae Vigintiseptuplam proponione inter primu & quartu denotant, si maior in coparatione praecedit . ea autem est tripla triplae,quia constat ex tribus triplis. Perinde itaque est ac si diceretur, Proportio est duarum quantitatum simplex interuallum,& habet naturam simplicis dimesionis,ut Iineae. Proportionalitas autem in tribus,est duplex interuallum habens unum medium:& refert naturam duplicis dimesionis, ut superficiei. Proportionalitas autem in quatuor, est triplex interuaIlum,habens duo media:& refert naturam triplicis dimensionis,ut solidi. Similiter si quinque termini continue proportionales fuerint, proportio extremorum complectetur proportionem primorum quater: si sex fuerint, quinquies eam capiet: si septem , sexies:& ita deuiceps, ut semper proportio extremorum toties contineat proportionem primorum,quot sunt omnes termini dempto uno. Nam cu proportiones sint interualla quaedam, interuallum autem nisi inter duo extrema esse nequeat . necesse est terminos ipsos interualla concludentes, Vno plures esse quam sint ipsa interualla. Igitur si quatuor termini fuerint, sicut I. 2.q. 8. proportio ex. tremorii,videlicet 8 ad I erit Ochupla.& quia proportio primorum est dupla,& tria sunt interualla, Octupla illa costabit ex tribus duplis. Si quinque termini fuerint,Veluti I. 2. q. 8. Is. proportio extremorii, videlicet Iί ad I erit sedecupla: quae quia primoru proportio est dupla,& sunt interualla,constabit ex quatuor duplis.qua ratione proportio de 32 ad I composita erit ex quinque duplis . iasie in infinitum. Quo fit manifestum, in proportionalitate continua proportione extremoru produci ex omnibus proportionibus mediis. Uel si alia via scire voles, pluribus cotinue proportionalibus propositis,quae proportio sit inter extrema,proportione inter prima duo obseruabis: sicut in exemplo proxime dato , ubi dupla erat inter 2 & I. In qua denominator eius in se ducatur, & surgent 4. quae inter extremos trium terminorum, sicuti I. 2.4, quadrupla proportionem designant. Deinde si denominator ille productus, videlicet ψ,iterum ducatur in denominatorem primae proportionis videlicet 2: nascetur proportio inter extremos quatuor terminorum, Viputa l. r. q. 8. quae est Octupla. bis enim ψ sunt 8. Rursus
si octo in denominatore primae proportionis 2 ducantur,fient I6.
quae inter extremos quinque terminor u,veluti I. 2.ψ.8.16. 1edecuplam monstrant proportionem. Denuo si is in primae proportionis denominatorem,videlicet 2,ducantur:prodibunt s. quae pro
196쪽
L a B i I II. Ipstponionem inter extremos sex terminorum, Vtpote I. 2. q. 8.Iό. a.' denominabunt. & sic in infinitu postremae proportionis denominatorem productu per denominatore primae multiplicando procedere licet. Ita in longa serie continue proportionalium, omnes multiplicationes pauciores per numeru binarium euenient, quam
sunt ipsi termini propositi, sicut ex praedictis apparet.
Quomodo in terminis improportionalibus Ioga serie co-tinuatis unam proportionem ex pluribus compositam esse cognoscas Ie Pu TAMus operaepretis pauca quaeda obiter prae- A sari, qui termini sunt improportionales. Sunt autem illi improportionales, inter quos proportionum dissimilitudo eadit. nam sicut proportionum similitudo proportionalitas,sic dissimilitudo improportionalitas Vocatur.quae etiam ipsa, 3c continua,& separata esse potest . Improportionalitas autem continua est,aut quia maior est proportio primi ad secundum quam secundi ad tertium,& sic deinceps aut quia minor velut inter I. 2. 6. 24, ubi tres sunt proportiones dissimiles,quarum prima dupla est,inter a & r,secuda tripla inter Γ & r, quae maior est,quam dupla: tertia quadrupla est inter 24 & 6, quae maior est quam tripla.Improportionalitas veru separata siue incontinua est aut quia maior est proportio primi ad secundum,quam tertis ad quartum,Vtpote inter Io & 2 ac 6 & 4 aut quia minor. Huius autem inter proportiones dissimilitudinis siue continua sit,sive separata,duae species habentur. Altera est, quando maior est proportio primi ad secundu, quam secundi ad tertium in continuis: vel quam tertii ad quartuin separatis. quae, maior improportionalitas nuncupatur , utputa
inter 8 & r,ac 6 & 3. Altera est,quando minor est proportio primi ad secundum,quam secundi ad tertium in continuis, vel quam tertii ad quartum in separatis. sicuti inter 6 8c 3 ae 8 & r,quae, minor improportionalitas appellatur. Ad hunc modum plerique omnes improportionalitatem & diffiniunt,& diuidunt. c AE T E R v M quomodocunque termini complures siue proportionales siue improportionales toga serie sint cotinuati,& qua- lacuque inter improportionales dissimilitudo interueniat,proportione semper inter primu & vltimu ex omnibus esse collecta,Euclides nos admonet, inquiens, Cum continuatae fuerint plures pro
portiones, siue eaedem, siue diuersae: proportio primi ad ultimum
197쪽
dicetur ex omnibus eomposita. Quocirca si plures proportiones,' siue similes, siue dissimiles inter primum terminum & vltimu mediae intersteniunt, proportio inter ipses extremos terminos medias illas proportiones omnes,quotquot fuerint,complectetur. De- nominationem autem habebit a numero producto ex multiplica.tione denominationum omnium proportionum mediarum, nempe primarum duarum alterius in alteram, deinde producti cuiusque numeri continuo in quanque proximam,donec per omnes sit discursum. Nam proportio coponi ex duabus proportionibus dicitur,quando denominatio illius producitur ex ductu denominationum illarum proportionu alterius in alteram. Similiter ex pluribus proportionibus eomponi dicetur, quando denominatio il- .lius producitur ex duarum primarii denominationum alterius in ealteram,deinde producti in quinque proximam ductu sque ad finem. Nec refert ab utra manu denominationes ipsas multiplicare incipias,sive a dexta, siue a sinistra,dummodo coeptusequens ordinem,per omnes discurras. Idque tam in proportionalitate continua, quam in omni improportionalitate perpetuum est.
DE PROPORTIONALITATE autem continua, quaquam
ex praedictis licet id videre,vnum tamen exemplum dare non grauabimur. Esto, proponantur hi quinque numeri dupli I.2.4. 8. Is.
a dextra incipientes inter duos primos is & 8 duplam proportionem inuenimus. iterum progredientes inter 8 & 4,aliam duplam deprehendimus. Duae igitur illae denominationes altera in altera ductae quadruplam ostendent proportionem inter Io & 4. Rursus procedentes inter & 2 aliam duplam cernimus: quam in denominationem prius ex alus productam videlicet quadruplam duce-tes,octupla formabimus. sic inter is & 2 octupla coperimus. De nuo progredientes inter 2 & I,duplam etiamnum habemus ea auistem in octu plani priores complectentem ducentes,sedecuplam tadem producimus. quae proportio inter is & 1 inuenitur medias omnes complectens. Itidem in omni alia proportionalitate cotinua eueniet, quotcunque proportiones in ea connectantur. N v N e exepla de improportionalitate demus,quado proportiones dissimiles inter primum & postremum interueniunt. Et exempli causa sumamus hos quatuor numeros I. 2. 6.Zq. Inter quatuor hos numeros tres sunt proportiones. quarum prima inter 2 & I est
dupla:secunda, inter 6 & r est tripla stertia, inter 24 dc 6 est quadrupla Igitur si scire voles quae proportio sit inter extrema,vider
198쪽
licet 24 & i,inuestiga primum proportionem inter duo prima Γλidelicet 2 & I,& duplam habebis: iterum inuestiga inter 68er, de
tripla tibi occurret: quae denominationes altera in alteram ductae procreant sextuplam .ea erit proportio inter 6 R I. Deinde si progrediens quaeris proportionem inter 24 & 6,quadrupla inuenies: ea autem si in denominationem ex prioribus collectam videlicet sextuplam ducatur,viginti quadrupla nascetur: quam proportionem ex dupla tripla & quadrupla compositam videre licet. In hoe exeplo minor improportionalitas continua est,si a sinistra in dextram tendas,& a maioribus terminis ad minores comparationem in singulis proportionibus facias,uti nos iam fecimus.s I Μ I L I s copositio proportionis inter extrema erit, etiam si proportiones omnes ex integris & minutiis vel minutijs solis sint denominatae. Quod Vt magis appareat, exempli gratia sumamus
hos quatuor numeros A. 6.8. Io. Inter quos, tres proportiones disesimiles habentutividelicet inter 6 & 4 sesquialtera, inter 8 & 6 sesquitertia, inter Io & 8 sesquiquarta. quaru proportionum denominatores capiam',videlicet pro sesquialtera IV:pro sesquitertia I et pro sesquiquarta Ia: ipsorumque priores duos alterum in alteruducamus,eo modo quo in minutiaru libro edocuimus: ita producetur denominator proportionis ex ambabus compositae. Deinde productum ex illa multiplicatione denominatorem iteru in tertiae proportionis denominatore ducentes,procreabimus denomi- natorem illius proportionis,quae ex tribus illis coponitur. Igitur si a prioribus duobus incipientes DF in I rducamus,enascentur 2, quae de sesquialtera & sesquitertia duplam proportione componi demonstrant. Deinde χ in Ia ducamus,& producetur 2π: qui numerus proportione de tribus illis Varus copositam dupla sesquialteram denominabit: quae proportio erit inter extremos omniu il- Iaru proportionu terminos,Videlicet Io & 4. In hoc exeplo maior improportionalitas cotinua est, si a sinistra incipias,& maiores terminos ad minores coparans in dextra tendas ti nos ia fecimus. IAM vem exemptu demus,quando improportionalitas separa . ta siue incontinua occurrit: nam Euclidis regula,quae instar oraculi,nemine fallit,de ea etiam idem praecipit. Itaque coseramus hos quatuor terminos 3 ad 2 pro priore proportione,& 6 ad 3 pro posteriore inter priores duos,est quadrupla, quae maior est quam ea quae inter posteriores dupla est: atque eapropter maior improportionalitas in his reperitur:& tamen proportio Inter primum ter
199쪽
minuri prioris proportionis & vltimum posterioris ex omnibus
proportionibus medi s coposita comperietur, atque etiam ex illa quae duas utrinque positas media disiungit. ea est inter 2,quae sunt
in fine prioris proportionis , & 6 quae sunt in initio posteriorisIId autem per regulam modo datam fiet manifestum. Nam siquisa sinistra ab octo faciens initium in dextram tendat, inter g & 2, quae prima occurrunt, quadruplam habebit. Deinde progrediens inter 2 & 6, quia minor terminus in comparatione praecedit, subtriplam comperiet,quae minoris inaequalitatis est proportio:atque . ideo sicut superius mostrauimus, per minutias suas denominada, videlicet u Quae sunt γ : ita si γ quae hanc proportione denominat, ducatur in ψ quae denominat priorem, nascentur m quae Vnu integrum & Vnam tertiam facientes,sesquitertiam proportionem e inter 8 & 6 ex duabus prioribus coponi demostrant. Rursus prongredienti inter Γ & 3 proportio dupla occurrit: quae quia a 2 denominatur,2 in productum ex priore multiplicatione denomina. tionem,uidelicet I V ducantur:& in numero producto p comperientur:quae si ad integra reducas,inuenientur Ni quae dupla su Perbitertiam proportionem inter 8 & 3 manifestant:qua ex tribus illis mediis copositam esse, per regulam Euclidis explicauimus. Id quod paulo apertius de ndustria fecimus , ut nihil interesse mo-straremus,qui termini medis inter extremos interueniant,etiam si maiore extremo sint maiores ,aut minores minore. Quanqua sunt
qui putant,si id fiat,maiores in medio proportiones nonunquam occursuras,quam quae est inter primum & vltimum, & fieri posse negant,Vt pars suo toto sit maior. Veruntamen id nihil obsta bit quo minus proportio inter primu & vltimu ex omnibus mediis colligatur. Nam nuquam accidet ut maior in medio proportio ,quam quae inter primu & vltimum est,intercedat, quin simul alia minoris inaequalitatis proportio media etiam repertatur, quae cum maiore copulata tantum auferet,quantu illa nimium redundat, Vt procreatio proportionis inter primum & vltimum ex meis
diis omnibus ad aequalitate perducatur. Et si pergis quaerere quo. modo fieri possit ut proportioni adiuncta proportio quicquam ab ea detrahat, facile est explicatu, siquis proportionum natura per-
nouit. Omnis nanque proportio maioris inaequalitatis alteri ma toris inaequalitatis addita,proportionem creat alterutra maiorem At omnis proportio minoris inaequalitatis alteri minoris inaequalitatis adiuncta,minore,quam alterutra sit,profert. Caeteru quan-
200쪽
minoris copulantur , proportio quae procreatur, minor est quam quae maioris est inaequalitatis,& maior quam quae minoris. Quo fit ut no omnis proportionu collectio semper augeat. Itaque qua-do proportione,quae est inter primum & Vltimum, ex medijs co stare Mathematici tradunt,hoc exprimul ex omnibus mediss proportionibus eam colligi quavis non tota unaquaeque media semper sit pars illius , quod interdit illa proportionum copulatio detrahat:quod cu acciderit,quicquid de singulis non detractu restabit, partis Vicem praestabit in ea proportione quae est inter primu& vltimum. Rem illustremus exemplo: in quo & maiore extremo termino maiore,& minore minorem interponamus:capiamusque hos quatuor terminos 2. I. 2o. I6. inter quos,si 2 ad I,& 2o ad i6 co.
paremus,maior improportionalitas separata habebitur. NihiI refert ab utra manu multiplicatio initium sumat,dumodo coeptum ordine progrediedo seruet. Igitur a sinistra si libet,ordiamur:vbi inter a & i dupla proportio inuenitur: at inter i & ro subvigintupla,quae proeOrtio progredienti proxima occurrit,& his minutiis exprimitur M. Ideo numeros has duas proportiones denominantes,alterum in altem ducamus, videlicet 2 in : ia producentura .quae faciunt τε',& subdecuplam proportionem inter 2 & 2o ex prioribus illis duabus coposita indicat. Rursus inter ro & I6 seia
quiquarta occurrit:quocirca numeru eum denominantem Videlicet I π ducamus in denominatione illam ex prioribus producta, videlicet producentur W,quae faciuntu:& subo hupla proin portionem, inter 2 & I6 ex omnibus mediis proportionibus compositam esse manifestat. Vides igitur nihil referre qui termini inter primu δc Vltimum medii interueniant, dummodo multiplic tio ab altero extremo ad alterii progrediens, coeptumque seruans ordine,nihil erret, neque minoris inaequalitatis proportio pro maioris sumatur: id quod multos saepe fallit. Regula naque ab Euclide data generalis est, siue proportiones eaede siue diuersae suerintrid est siue pportionales, siue improportionales termini occurrat. UAMOBREM quod de improportionalitate separata dicim', proportionem inter primum & vltimia ex med ijs omnibus costare,multo magis in separata proportionalitate veru erit, in qua proportiones inter primu & vltimum partim similes, partim sunt dissimiles. Veluti si eopares 4 ad a & 6 ad 3, in his terminis tres proportiones habentur: quarum duas similes tertia media dissimilis