장음표시 사용
201쪽
ducentur T: quae sesquitertiam proportionem inter primum e tremum terminum primae proportionis & vltimum secudae patefaciunt quam ex duabus similibus proportionibus extremis, tertiaque media dissimili compositam esse liquet. Ad eundem modufiat,quotcunque & quae que proportiones, siue similes & eaede, siue dissimiles & quantuncunque variae inter primum terminum& postremum mediae interueniant. e v AE R E T sortasse quispiam,quorsum de proportionum co- positione prius monstratum est in cotinue proportionalibus: de inde in improportionalibus tam continue quam separatim:& demum in separatis proportionalibus, quado Vna praeceptio pro omnibus sufficere potuisset. In proptu ratio est,Euclidem secuti sumus, qui de proportionum copositione in quantitatibus cotinue proportionalib' prius docere,atque ita per faciliora discentiu animos ad magis ardua praeparare Voluit,quam regula hane enarrata tam multos recessus tamque Varios anfractus habente explicaret. Quando proportio quaevis occurrit, quomodo proportiones alias ipsam componentes inuestigabis. v I proposita proportione qualibet,putat se posse dicere quot& quales aliae proportiones eam componunt,in chaos maximum incidit imprudens. Sexcentae nanque, imo vero infinitae proportiones exquiri possunt,ex quibus quae uis conflari potest: id quod mox apparebit. Quamobrem quot proportiones quanque formare queant,enarrare nemo potest,quippe cum sint innumerae. Caeterum coplures inueniri possunt,ex quibus quaevis proportio co- stet. Nam proposita proportione qualibet, ea necesse est duos terminos habeat, inter quos, si nisi unum medium appones, hi tres termini duas proportiones capient, ex quibus ea quae inter extremos est, omnino componetur. Porro cum multis modis terminus
medius variari possit, multae & variae proportiones per id enasci poterut. Id quod hoc exeplo fiet manifestum. Inter Is & I,sedecupla proportio est : inter quae si mcdium terminu 6 interponamus,
202쪽
per hoe inter is&6 proportio dupla superbitertia habeturcat inret 6 de i,sextupla est proportio. Vnde liquet proportionem sedecuplam,quae est inter extrema, ex his duabus medijs constare. Id ita habere probabis,si duas illas medias denominationes alteram in alteram ducas. nam 6 quae sextupla denominant, ducta in Ese, quae denominant altera, I6 producunt: quae sedecupla proportionem inter extrema demonstrant. Quo fit manifestum duplam superbitertia & sextuplam coponere sedecuplam . Quod si inter eadem extrema alium terminu medium ponas,aliae proportiones orietur: utpote si 8 interseras. Eo fiet ut inter is & 8 dupla oriaturiat inter 8 & I, ochupla habebitur:quae denominationes,altera in alteram ductae,sedecuplam iterum crcabunt. qua ratione sedecupla ex dupla & ochupla coctata erit. At si inter ipsa extrema plures termini sint interpositi,plures ita proportiones enascetur: quas Vniuersas ea,quae inter primum & vltimum est,complectetur. Veluti si s. 6.8. statuamus inter i & Is, ut hic sit ordo I. s. 6.8. 16. inter quinque hos terminos,quatuor diuersae proportiones habentur:
inter s & i quintupla,inter Γ & s sesquiquinta. Igitur s quae quintuplam denominant, ducta in Iet quae denominant sesquiquinta, procreant -:quar 6 integra faciunt,& sextupla proportionem inter Γ & I ex ambabus compositam indicant. Deinde progrediens inter 8 & 6,sesquitertiam comperies . Ita I - multiplices in f, quae ex prioribus productam proportionem denominant, producesqet quae ad integra reductae taciunt 8,& octupla inter 8 & i designat. Rursus progredere, de inter is & 8 dupla tibi occurret: igitur a si in 8 quae ex priorum denominationum multiplicatione proxima
producta sunt, ducas,tandem produces Is, quae sedecuplam proportionem inter Is & I denominant. Quo fit manifestum ,sedecuplam proportione ex quintupla sesquiquinta, sesquitertia,& duis
pia compositam esse. Igitur cum terminos inter extrema interponendos innumeris modis per minutias,in quas singuli frangi possunt,variare licet,manifesto liquet,proportione proposita nequaquam explicari posse quot & quae proportiones eam possint componere, eum infinita varietas Unam atque eandem proportionem produeat: id quod per exempla iam data videre liceimam ut multae proportiones,ex quibus quaevis constat, facile inuenientur,ita omnes exquirere quae eam formare possint,infiniti operis erit.
203쪽
ios DE PRO POD ADDITIONE Quomodo euiusque proportionis vel ambo extrema vel alterum per numera ipsam denominantem inueniri possint. MNIs proportio duo extrema habet:quorum si id quodo maius est, atque una ipsam proportionis denominatione cognoscim', diuisio ipsius noti extremi per numeru eam proportione denominalcm facta, ignoratu extremu minus in numero partitionis patesaeiet. Exempli gratia. Esto,proportio dupla
Proponatur, cuius maius extremu nobis notu sit Io: si minus eius extremit eruere Volumus, Io per 2, quae dupla denominant,serantes, in numero partitionis s inueniemus:sic extremu minus in luce prodibit. At si proportionis denominatione cognita,minus extremum nobis erit notum , & maius ignoratum exquirere Velimus, ipsum minus extremum in proportionis denominationem duca mus,& numerus productus maius extremu erit. Veluti si de pro' portione tripla minus exircinu sciamus csse 6: tria, quae tripla denominant in s ducamus, & nascetur extremu maius, videlicet I8. . Caeterum si denominatione proportionis cognita, neutrum eius extremum habeamus notum,numeros quoscunque,qui eam proportionem forment,pro arbitrio apponere poterimus.1 Ac TENVS de proportionum origine, generibusque earum, R compositione. Nunc restat ut de carum Additione, Subductione,Multiplicatione,& Diuisione dicamus. Id quod huius libri initio studiosis polliciti sumus.
D D I T I o proportionu, siue cotinuae sunt,siue separatae A siue similes,siue diuersar,fieri debet ad eu modu que paulo superius explicauim',ut in longa proportionu serie,primam duarum denominatio dueatur altera in altera. Deinde proportionis per hoc productae denominatio in proxima denominatione ducatur:atque ita deinceps produ&e cuiust denominatio innis multiplicatio in quaque proxima,vsque in fine peragatur. quocum ventum erit, postremo producta denominatio,velut summa quaeda, proportione monstrabit omnes coplectente. Et quanquae empla de proportionu compositione iam ante data possunt sufficere,vnu tamen apponemus,in quo proportiones partim continuas, partim separatas partim similes, partim diuersas, connecterimus. Esto,septe hi numeri proponatur,3o. 24. I2.6.ψ.2. . inter hos
septem numeros interualla Rx sunt,& totide proportiones. Qua-
204쪽
te a sinistra incipientes,singulosqtie numeros maiores ad minores comparantes, inueniemus prima proportionem sesquiquarta, secundam & tertia duplas,quartam sesquialteram,item quintam &sextam duplas. Omnes has denominationes sic addemus. Primam denominatione sesquiquarta inter 3o & 24 in secunda duplam inter & ir ducentes,procreabimus dupla sesquialtera, quae est inter 3o & ia. Deinde producta illam duplam sesquialtera in proximam duplam inter 12 & 6 ducentes,sormabimus quintupla inter so & 6. Rursus quintupla illa producta in proxima sesquialteram inter 6 & 4 multiplicata,producet septuplam sesquialtera inter N & q. Denuo septupla sesquialtera illa producta, si in dupla
proximam inter Α & a ducatur, enascetur quindecupla inter D dc. a. Demu quindecuplam illam in postremam dupla multiplicates, producemus trigintuplam inter ueo & Ir quae proportio inter primum & vltimu sic formata,velut summa quaedam, proportiones medias omnes intra se coplectetur. Hoc modo proportiones,quae sunt numeroru inter se habitudines, per additionem in una summam aptissime colliguntur. Nonnullis autem alia via proportiones sic addere placet i earum omnium,quas sunt addituri,terminos priores a sinistra notent alium sub alto,atque a dextra posteriores earu terminos prioribus e regione opponat. Postea priorem terminum primae proportionis in priorem secundae multiplicant: numerumque productum statuunt priorem terminum proportionis ex ambabus copositae. Deinde posteriorem terminia primae proportionis in posteriorem secundae ducunt:& productu similiter faciunt posteriorem terminii compositae. Porro si proportiones plures addendae fuerint, tertiae proportionis priorem terminum in priorem terminum ex primis duabus compositae ducunt,& productum statuunt terminum priorem ex tribus illis compo sitae: posterioremque terminum tertiae, in posteriorem ex duabus primis compositae ducentes, productum terminum apponunt posteriorem ex tribus illis compositae. Et sic ulterius,priorem termi num cuiusque proportionis copositae in terminu priorem proximae cuiusque proportionis addedae, & posteriorem cuiusque copositae in posteriore cuiusque addendae,ducunt usque in finem. Quo fit ut intcr terminos postremo productos,proportio enascatur omnes priores coplectens. Exemplum asseramus. Sint hae tres pro
portiones addendae, prima sesquitertia inter & 3, seclida sesquialtera inrer 3 & r, tertia dupla inter 2 & I. Si primae proportionis
205쪽
priorem terminum 4 duces in 3 priore secundae,ereabis itiqui te minus erit prior proportionis compositae. Et si 3 posteriorem terminum primae duces in t posteriorem seundae,produces siqui terminus posterior compositae proportionis erit. Ita producti illi termini ir & 6 duplam proportionem habentes indicat ex sesquitertia & sesquialtera simul additis,fieri duplam. Id quod etiam denominationes ipsae altera in altera ductae probant. Iam vero si priorem terminum proportionis copositae, videlicet Iz,in tertiae pro portionis priorem terminum a multiplices, prodibunt 24:qui terminus erit prior proportionis ex tribus copositae. Et si 6 posteriorem terminu compositae in posteriorem tertiae I duces nihil nisi ea
ipsa 6 habebis: qui terminus erit posterior proportionis ex tribus collectae. Ita proportio inter productos terminos 24 & 6,mostrat rex sesquitertia,sesquialtera, & dupla simul additis, nasci quadruplam. Nam ut inquit Euclides Omnium duom numerorum compositorum proportio Vnius ad alterum,est ex laterum suoru producta proportionibus. Latera autem numeroru appellantur,quorum multiplicatione numeri producuntur. Id quoque veru esse, proportionum denominationes, alia in aliam,sicuti praecepimus, ductae manifesto probant. Hic proportionum addedi modus per earum terminos multiplicatos, uti diximus, productorum termianorum mutuas habitudines obiter commonstrat. Caeterum m diis ille superior denominationes proportionum, alias in alias ducendi, multo apertius indicat collectam earum summam.
DE PROPORTIONUM SUB Duc TIONE.
V B D UCTI o proportionu monstrat,quado aliae propias tiones ab alias subtrahutur,quae proportiones restabul. Ea aute tum demu fieri potest, si minores sunt quae subducu-tur,quam a quibus fit subductio,vel si sunt eis aequales. Neque e nim per rem natura,quod maius est,ex minore demi potest. Qua-obre plurimu iuvabit meminisse,proportiones eas aliis maiores esse,quae maiores alijs denominationes habet: minores aute,quae minores: id quod superius admonuimus. Porro modus subducendi proportiones longe facillimus hic est. Denominatio proportionaeam quae subducedae sunt,& earu a quibus fiet subductio,per numeros ipsas designates, scorsum annotetur. Deinde numerus d nominans proportione u qua fit subductio, dundatur per numerum qui denominat proportionem subducendam:& numerus f
206쪽
ctionis proponionem Ex ea subductione relicta designabit. Et ut exempla rem magis aperiat: Esto, proportio sesquialtera subduei a dupla debeata quae dupla denominant diuisa per I qui sesquialterae dant nome, in numero sectionis proserunt π- ' quae ad integra reductae faciut I T: atque ita mostrant sesquitertia ex ea sub ductione relictam. Certu specimen est recte subducta esse,si proportio relicta ad subductam addita proportione instaurat a qua subducta fuit:sicut fit in numeris. Sesquitertia naque ad sesquialteram addita per alterius in alteram ductu,duplam iteria in numero sectionis format. Aliud exemplum demus : sesquiquartamque subducamus a dupla sesquialteraa, quae denominant dupla senquialteram, secta per Iz, quae designant sesquiquarta, in numero sectionis mostrant quae sunt duo integra, & duplam proportionem ex ea subductione superesse monstrat. Rursus si libet eape specimen, relictamque dupla ad sesquiquarta adde, ducens altera in altera,& in numero sectionis dupla sesquialtera iteru redibit. A LI v s etiam modus proportiones per earum terminos sub- dueendi traditur a quibusda. Porro proportione utranque,& quae subduci, & a qua subductio fieri debet, minimis notant numeris qui eas proportiones habeant,quo facilius reddatur opustproportionem aute a qua fit subtractio, supra scribunt zquae vero subducenda est,infra,vi termini terminis respondeant, priori prior,po steribrque posteriori. Deinde priorem terminu proportionis eius aqua fit subductio,in posteriore auferendae, posterioremque eius terminu in auseredae priorem,oblique in forma crucis ducunt, &terminos ex his duabus multiplicationibus productos statu ut esse relictae proportionis terminos. Exepli gratia. a proportione tripla inter 6 & 2 subducatur sesquitertia inter &4 In hac subductione 6 in 3 ducta errant I8. & a ducta in 4 proserut 8: inter quos terminos productos,videlicet 18 & 8 proportio dupla sesquiquarta reperit,quae ex sesquitertiae subductione de tripla relinquitur. tripla dupla sesquiquarta
sesquitertia su BDuc TIONEM hane recte iacta esse probabis, si proposi
207쪽
itionis relictae denominatione addes ad subductar,sicuti modo di ximus. Vel si mauis, proportionem relictam ad proportione subducta adde, per alterius terminos in alterius ducendos sicuti proriximo eapite docuimus et quadoquidem illa etiam Via redibit proportio a qua subductio facta est. na si i8 priorem terminum relictae ducas in priore subductar,fient 72: & si 8 posteriorem terminum relictae duces in 3 posteriore subductae,surgent 24:quae pro portionem illa fuisse triplam, a qua subductio facta est designant. Qv o D si plures proportiones ab una subduci debent, prius in
unam proportionem,Velut in summam quadam,omnes lunt addendaeμ tum demum ad eius subductionem procedendum,modo non sit facta maior quam ea a qua subductio fiet. Porro sunt
nonnulli qui singulas seorsum subducunt: Caeterum maiorem ea res Iaborem pariet,quam siquis omnes subducendas prius in summam colligens unicam subductionem faciat. PROPORTIONves itaque subtractione duob' his modis heiari vides c altero per denominationum sectionem: altero per earum terminos oblique,Vti diximus,multiplicados. Tertius quoque modus ex his duobus mixtus inuentus est,qui & proportione relicta,& subductam, necnon illam etiam a qua fit subtractio,vna opera ante oculos ponit. Is aute est huiusmodi, Proportio illa a qua fit subductio, suis numeris in primis notetur. Deinde inter maiorem illius terminu & minorem tertius numerus medius apponatur,ad quem ea proportione maior terminus se habeat qua sit ipsa proportio quae subduci debet. Ita inter numera medium & terminuminorem inuenietur ea proportio quae ex subductione restabit.
Exempli gratia, A proportione tripla inter 6 ia 2 subduramus seia
quitertiam. Postqua notata sunt 6 & 2,numerus e cquiredus est adque maior terminus,videlicet 6,proportione sesquitertia quae subducenda est,se habeat. Eum aute numerum facile inuenies, si me moria tenes regulam quam supra enarrauimus,quae est huiusmodi,Quando maior terminus proportionis cuiusuis unacu eius de nominatione notus est, si ipsum terminu per proportionis illius denominationem diuidas, minor terminus ignoratus ex numero sectionis inuenietur . Igitur 6 illa quae sesquitertiae proportionis, quam inuestigamus,maiore terminum praestant, per eius denomi. nationcm I- diuidenda sunt:& numerus partitionis proferet quae faciunt σύ.Is terminus minor erit proportionis sesquitertiae
inter o di qm Deinde postqua per comparatione maioris extremi
208쪽
ad medium numeru intersertum,proportionem,utaenda depre.
hendisti, rursus copara medium numeru ad extremum minus: Rptoportione eam quae ex subductione relinquetur,inter eos reperies quae est dupla sesquiquarta. Id ita esse probabis, si relict e duaplar sesquiquartae denominatione ad subductae sesquitertiae sieuti monstrauimus addes: rursus naque nascetur proportio tripla. Per hane subductdi via tres proportiones simul ante oculos licet ere-nere:vna,a qua subducim':altera,qua subducimus. tertia,qua relinquimus. Itide etiam apparet singulam termini. Ad haee proportionu differetue,quae ex subductione oriutur,patefiut per huc modo,'
sesqui- dupla seia tertia quiquarta PROPORTIO NUM igitur additio multiplicationi numeroris ilis esse videtur. At earsi subductio magnopere diuisionis,pta sertim eius quae fit in minutiis, similitudinem refert. Id quod ea quae hoc capite,& proximo sunt dicta,manifestum faciunt.
DE PROPORTIONvH M VLTIPL IcATIO NEPVLTIPL I CATIo proportionum longe diuersa est ab M ea quae fit in numeris . Numerus nanque est unitatu col Iectio. At proportio numerus no est, sed ipsorsi numero tum inter se respectus & habitudo,quae nisi inter duos minimum numeros esse nequit. Igitur proportione per proportionem, Velut per quenda numera multiplicari,sensus comunis no admittit. Caeremm quado proportio proportioni est addeda, numeri ipsas donominantes,aut ipsam termini per aliarum denominationes, aut
terminos multiplicari possunt,sicuti supra de eatu additione facienda dictu est. quae denominationu aut terminora multiplicatio est additio ipsem habitudinum. Ita proportionu diuersarum collectionem in una summa,vulgus multiplicatione putat,quod perea fiat,m tame sit additio. Quare proportionu aliam per alias multiplicatio,eo modo quo fit in numeris,nulla proprie esse potest. V E R V M si per proportionis multiplicatione intelligis similem& cotinum generatione plurium numerorum proportionalium ex Vna stirpe nascentium, & seeundu datam proportionem minimorum, ea fiet ad hune modu, Proportio quaevis, cui complurς ocis.
209쪽
similes eontinuare cupis, minimis numeris qui eam proportione habeant,velut stirps quaedam ex qua caeterae proditurae sunt, notetur. Deinde prior eius terminus in se multiplicetur,productusque numerus signetumitem idem terminus ducatur in rosteriore, productusque secundus apponatur numerus. Tertio posterior terminus ducatur in seipsum, numerusque productus tertius tertio Ioco statuaturi atque ita inter tres illos productos terminos duo interualla habetur,& duae proportiones stirpis ex qua ductae sunt,
similes nascuntur: lique proportio quae inter eorum extremos est, duas alias medias complectitur. Exempli gratia . proportione sesequialtera signemus his numeris 3 & χ: ducamusque 3 in se, & 9 surgent. Iterumque 3 in a ducamus, de fient 6. Deinde E in se multiplicemus,& prodibunt inter quos tres numeros productos P. 6 4. duae proportiones sesquialterae cotinuantur. & inter primum '& vltimum 4 dupla sesquiquarta ex illis duabus sesquialteris eo- posita inuenitur. Et quin y & 4 illorum trium terminorum conti- nud proportionalium extremi,c5tra se sunt primi,ideo tres illi se. cundum datam proportione sunt tres minimi. Nam secundu Euclidem, Si numerorum quotlibet continue proportionalium duo
extremi fuerint contra se primi, eos omnes, secundum suam pro portionem in totidem numeris sumpta, minimos esse necesse est. Quod si quatuor numeros eade proportione procreare Volumus, primum terminum stirpis in omnes tres numeros productos singulatim ducamus , numerosque ex his denuo productos seorsum notemus. Deinde secundu terminum stirpis multiplicem' in terqtium productu solum: & numerus ex hoc productus quarto loco signetur. Igitur in exemplo priore quatuor numeros & tres sesquialteras procreaturi, primu numerum productu,videlicet ' in 3 ducamus,& surgent 27. Iterum 6 secundum productum, in 3 ducentes,i8 formabimus. Rursus 4 tertium productu,in 3 multiplicantes,producemus ia. Dcmumque secundum terminum stirpis, videlicet 2,in solum tertium numerum ante productum,videlicet 4 ducentes,iniciemus 8.qui quartus erit numerus:inter quos quatuor numeros proportiones sesquialterae tres habentur: & proportio inter primum 27,& vltimum 8,ex tribus illis coaceruata comperietur, tripla supertripartiens octauas. Et quoniam et & 8 qui
quatuor illorum continue proportionalium extremum locum tenent, sunt contra se primi, ideo quatuor illi secundum datam proportionem sunt quatuor minimi. Eodem modo priorem termi-
210쪽
LIB. II 1 1. Mirium stirpis duceres in omnes quatuor illos numeros .ltimo proaductos,notantesque numeros rursus producendos,& deinde posteriorem stirpis terminum in solum quartum postremo productum multiplicantes, sormabimus quinque numeros, & quatuoreontinuas proportiones sesquialteras. Sicque etiam ulterius quot-ribet numeros eadem proportione cotinue formare licet: uti subiectae notae monstrant. 8I. M. 24. IO. 27. IS. H. 8.
o. v o D si cui proportionem per numerum aliquem multipliore Iibet,tunc proportionis denominatio velut aliqua alia res numerata accipietur: & ideo quot Vnitates in numero producto reperientur,totidem proportiones illius denominationis per numerum illum productu designabuntur.Veluti si una triplam per numerum ternariu multiplicare Velimus,surgent 3 triplae:si duas triplas in ternaria ducamus,fient ό triplae. Similiter si una quadrupla per ternariu multiplicemus, prodibut 3 quadruplaedi r quadruplas in ternarium ducamus,orientur 3 quadruplae:& sic de aliis fiat.
x v I s I o proportionis fit,quando inter eius extrema vel D unus termin' medius, Vel plures interponuitici quo fit ut diuideda proportio in totide alias proportiones secetur, quot interualla inter eius extrema ex illa interpositione oriuntur.
qua de re superius abude diximus,quado docuim' quomodo proportione quavis occurrente,proportiones alias ipsam coponentes inuestigares. Exempla illic explicata hic tantu attingemus. Si pro portione diuidendam partiri in duas proportiones cupis, Unicus terminus interseredus est. Veluti si in sedecupla proportione interio & I interponas 8, in duas proportiones eam secabis: quarti una inter i6 & 8 dupla erit, altera inter 8 & i octupla. At si in eade se- decupla inter eius extrema,tres terminos interpones,Vtpote 8. 6. Vt quinque terminoru hic sit ordo,I6.8.6.s. I. in quatuor proportiones sectio per hoc fiet:quam prima erit dupla,secuda sesquitertia,tertia sesquiquinta, quarta quintupla. Similiter etia fiet,si quotlibet terminos medios appones:nam in totidem proportiones facta erit sectio, quot inter primum & vltimu comperientur inter O. iis.