De arte supputandi libri quatuor, Cutheberti Tonstalli

211쪽

li4 DE PRO Postrualla. Nec quicqua rescit qui termini medis inseratur,etiam si maiore extremo maiores sint aut minore minores, quemadmodu il- Iie latius explicauimus. Ad hunc modum diuisio fit in proportio. nibus,nec Vlla alia quam haec est, in eis repetitur. , Quomodo proportione inter quosvis numeros assignatam inuenias in minimis numeris qui eam proportione habeat. . N T E R quoslibet numeros assignatam proportionem in-x uenire potes in numeris secundu eam proportionem minimis, ad hune modum. Principio obseruandum est annumeri ipsius datae proportionis sint cotra se primi,ut nullus numerus eas numeret praeter unitatem t nam si sunt huiusmodi, illi ipsi sunt ea proportione minimi. Sin autem alius numerus praeter unitatem eos numerat, maximus ni crus Vtrunque communiter numerans est inuestigandus:& per illum inuentum uterque numerorum,tam antecedens quam consequens diuidendus. Quo fiet ut in numeris ambarum sectionum minimi eiusdem proportionis numeri appareant. Nam maximus numerus duos communiter numerans numerat eos, per minimos illius proportionis numeros. Quomodo autem maximus numerus duos comuniter numerans sit in uestigandus, supra libro secudo copiosius admonui mus,quando docuimus,Quomodo partes ad minima sui nomenclatura redigantur. Quare quae illic de numeratore & denominatore partium sunt dicta,hic de numero antecedente & numero cosequente cuiusque proportionis repetita intelligantur: nam idem utrobique modus est & partes ad minimam sui nomenclaturam,& proportiones ad minimos numeros ipsas habentes, reducendi. Exemplum demus in numeris contra se primis. Inter & 3 proportio dupla sesquitertia est: nec minores numeri haberi possunt, inter quos sit ea proportio. Exemplum demus in alios numeris comunicantibus,quos communis aliquis numerus alius quam unitas metitur, Veluti inter 3s & is , inter quos proponio dupla sesquitertia ex sectione maioris per minorem reperitur. Et quia uter. que illorum numeroru numeratur a S,qui maximus numerus est eos comuniter numerans,Vtrunque per I diuidamus:& ex sectione 3s facta per s,in numero partitionis I inueniuntur. Iterii per sdividamus is,& in numero sectionis 3 prodeunt:sic ex duabus illis sectionibus minimi numeri & 3 coperiuntur,inter quos proportio dupla sesquitertia haberi potest.

212쪽

LI BI triti Quomodo proportionum disiunctarum similitudo inueniri possit in minimis numeris secudum ipsas proportiones continud proportionalibus. ROPORTIONVM quaru libet quae separatae sunt,&dis ν iunctae, similitudo in minimis numeris cotinuatim proportionalibus secundu illas ipsas proportiones disiuctas, inueniri potest hoc modo. Notetur quae uis proportiones disiunctae, suis quaeque minimis terminis. Deinde mirum' numerus exquiratur, que primae proportionis extremu consequens, & extremum antecedens secuta numerant. nam is inuentus prima pro portione cum secuda copulabit. Extremu autem antecedes ei adjungenda,ita demum inueniemus,si primae proportionis antecedens per eum numeru multiplicamus, per que primae extremum cosequens multiplicatu, producit minimu ab eo,& antecedete s cundae numeratu. Consequens Verb secundae proportionis continuandae exquiremus, si per eum numeru multiplicemus coseques

secudae proportionis disiu hae, per que antecedens eiusde procreat minimu numeru ab ipso, & primae disiunctae cosequente numeratum. Deinde si antecedens tertiae proportionis disiunctae, per ali

quem numera numerat conseques secundae eotinuatae,per eundemultiplica cosequens tertiae disiunctae,& produces cosequens proportionis tertiae, duabus superioribus cotinuandae. Sin aute tertium antecedens disiunctae proportionis per nullum numeru numerat cosequens se dae continuatae,snquirendus est minimus numerus,que consequens secundae continuatae,& antecedens tertiae disiunetie numerant:is autem inuentus,antecedes erit tertiae proportionis continuatae. Postea si consequens tertiae disiunctae multiplicabis per eu numerum,per que antecedens eiusde multiplicatum,producit minimu ab eis numeratu,prodibit conseques tertiae continuatae proportionis. Deinde si reliquos terminos ante cotinuatos multiplicabis per eum numeru,per quem cosequens secudae cotinuatae producit minimu a se & ab antecedente proportio nis tertiae disiunctae numeratu,tres proportiones disiuctim propositae colungetur. Idque in minimis terminis. Et quanqua duae primae proportiones,ante in minoribus terminis eoiunaec erat, has tame tres uniuersas in minoribus terminis copulare no licet. Atque ad eunde modu quotlibet proportiones cotinuari pollui. Exe ptu asseramus de tribus ipportionib',ut res magis appareat: redigamus 3 ad minimos numeros continud *portionales ha) tres pror

213쪽

portiones,Videlicet prima,triplam supertriquarta: seeundam,sub quadruplam sesquialtera: tertiam,sesquialtera. Porm minima tripla supertriquarta reperitur inter Is & 4: minima subquadrupla sesquialtera inter 2 & y:& minima sesquialtera inter 3 & χ,quos numeros minimos in ordinem designemus.Deinde primas duas proportiones per terminos colinud proportionales copulaturi,minimum numeru inquiramus,que 4 consequens primae & 2, antecedens secudae numerati Sc quia hi sui numeri comunicates,idcominimi illius proportionis, cuius ipsi sunt,inquiratur. Illi aute sunt a & i,qui inueti subnotetur,2 sub 4,& i sub r. Ita siue I in Α, siue

2 in 2 ducamus, coperiemus 4 minimum numeru numeratum ab eis. nam secundil Euclidem, ilibet duo numeri minimos numeros suae proportionis maior minorem, aut minor maiore, multiplicates,minimu ab ipsis numeratum producut: quare supra verticem inter prima proportionem & secundam illum annotemus. Postea antecedens ei adiungendum inuestigemus.& quia 4 cosequens primae numerat Α,minimu numerum numeratum a consequente primae,& antecedente secudae per unitate: per eam multiplicemus antecedens primae II,& ipsa Is prodeunt,quae supra verticem signata antecedens erunt ad illa 4 supra annotata. Deinde ut cosequens secundae proportionis eotinuandae exquiramus:quia

2 antecedens secudae disiunctae per a multiplicata producunt 4,minimum videlicet numera numeratum a consequente primae disiunctae,& anteeedente se dae disiunctae: per illa 2 multiplicemus' consequens se dae disiunctae,& producemus I8:quae supra verticem signata,cosequens erunt proportionis secundae continuatae.' Sic ex duabus proportionibus disiunctis duas edidimus proportiones continuatas,quibus tertia disiuncta copulemus. Et quia teris narius antecedens tertiae disiunctae numerat consequens secundae

cotinuatae, videlicet i8 per c multiphicemus cosequens tertiae disiunctae,nempe 2,per illa ipsa 6,& prodibunt duodecim quae erunt

consequens tertiae cotinuatae. Ita quatuor hi numeri s. q. I8. 2,estinue proportionales erun secundum tres illas proportiones diniunctas,uidelicet triplam supertriquarta,subquadrupla sesquialteram, & sesquialtera. Minimi autem cotinuὰ proportionales sunt, in quibus has proportiones secundum illas disiunctas inuenire licet: quia nulli totidem his minores hoc privstare possunt. is a Ia u

214쪽

L I B. I I I I. 2I siti autem tertium antecedens proportionis disiuctae, per nullum numerum munerat consequens secundae continuatae: inquiis tendus est minimus numerus, quem consequens secundae continuatae & tertium antecedcns disiunctae numerat. Veluti si quadruplam inter & 1 sesquialteram inter 3 & 2, ae triplam inter 3 & rcontinuare velimus:comperiemus eo modo quo iam diximus, primas duas proportiones quadrupla & sesquialtera his tribus minimiς terminis Ir.3 & 2,secundu datas proportiones c5tinuari. Quibus tertia disiuncta postea copulemus.& quia 3 antecedens tertiae disiunctae, per nullum numerum numerat consequens secundae eontinuatae 2, inquirendus est minimus numerus ab his numeratus.& quia 3 & 2 sunt numeri contra se primi:alter in alterum ducatur,& producentur 6. quae erunt antecedens tertiae continuadaer& supra vertice consequetis secundae continuatae reponenda sunt. Deinde quia 3 antecedens tertiae disiuctae ducta in χ, produxerat 6isimiliter per illa ipsa a multiplicemus consequens tertiae disiunctae. videlicet I,& prodeunt 2. quae erunt consequens tertiae continuatae. Iam vero quia tertia proportio continuata inter 6 8ca, maiores habet terminos , quam ut praecedentes antd continuati cum ea congruant, & consequens secundae continuatae 1 multiplieata per 3, produxerunt minimum a se numeratum: multiplicemus per illa 3 antecedens secundae continuatae, videlicet 3: & prodeunt '. quae iam erunt antecedens secundae continuatς,& supra verticem ante 6 statuentur. Rursus per illa 3 multiplicemus etia antecedes primae eontinuatae,videlicet 12:& producentur 36. quae iam erunt antecedens primae continuatae: dc supra Vertice ante ' reponi debent. Ita in his quatuor terminis, 6.9.6.χ,continuatae sunt in minimis terminis tres proportiones, Videlicet quadrupla, sesquialtera & tripla,secundum illas tres disiunctas datas. Ex hac autem postrema terminorum ante continuatorum multiplicatione per unu& eundem numeru facta,propterea ut cum tertia continuata pro 'portione conueniant, producuntur eaedem proportiones quae ante in minoribus terminis continuatae erant. Nam secundum Euclidem, Si unus numerus in plures ducatur,eadem erit numeroruinde productorum,quae multiplicatorum proporito.

atae ratione his quartam proportionem disiunctam, & quot-

215쪽

Iibet alias per terminos eontinud proportionales eonnectere licet nam deprimis quibusque proportionibus primum expedire oportet:atque his adaptatis,ad alias transire. De proportione habente medium duoque extrema

Pu D GEOMETR As species quaedam proportionis Ioli TE A ge a praedictis diuersa reperitur ,quam Euclides nuncupat proportionem habente medium duoque extrema. Ea nu- quam in paucioribus terminis quam in tribus haberi potest, cum caeterae proportiones inter duo constent. Qua in re similitudinem proportionalitatis refert, & ad quorundam corporum dimensionem,quae sine ea intelligi nequit,adinventa. Geometris ad multa confert: sicuti Euclides libro i3 multis praeceptis explicat, qui etialibro 6, propositione ay,secundum eam proportionem lineam secare docet. Versitamen quia in numeris huiuimodi proportio no habetur, nec ad supputatione facit: nos Geometris ea relinquamus. De progressione numerorum continud proportionalium.

RO PORTIONUM cotinuatarum progressio,qua Geo v metricam vocant,est plurium numerorum continuἐ pr portionalium in unam summam collectio: quae compendium affert numerandi eos numeros inter quos cotinua & aequa-

Iis est proportio: quanuis numerorum disserentiae sint inaequales. Et quia proportionum species variae sunt,ideo variae in his dantur progressionum regulae. Quare a multiplicium specie, in qua dupli

primum occurrunt,faciamus exordium.

I N compluribus numeris duplis longa serie continuatis primus numerus a postremo subduci,& quod de ipso postremo reliquum erit, ad ipsum integrum postremum addi debet. Sic summa quae

inde surget,omnes seriei continebit unitates. nec quicquam reserta quo numero series initium sumat: neque an numeri proportionales sint integri, an minutiae . Exemplum demus in his numeris,

3. 6. tr. 24. 48. A postremo 48 subtrahe primum M.& supererunt s. ea adde ad 48: & fient 93. ea summa est illius progressionis. Idem erit si ab unitate incipias,veluti I.2.4. 8.16.32.64. ab Vltimo M de me primum I. & reliqua, quae sunt Q,ad 6 adde, & crescent Irr. quae summa est uniuersorum. Regula haec & certa est,& perpetua, sicut illa de triplis. et v A N D O numeri tripli longa serie cotinuantur : primum a

216쪽

postremo subducito: & reliqui dimidium, quod de postremo superest, integro postremo adde . Ita numerus Vniuersorum prodiis hit, a quocunque numero series incipiat:ctiam si minutiae interue niat. Exemplo sint hi numeri,I. .'. 27.8I. tolle primu I a postremo Si,& restant So .cuius numeri dimidiu est 4olea adde ad 8i, & fiet Iri,quae summa est omnium. Similiter eueniet si a 2 incipias,2.6. igs . deme 2 a S , & remanent set; cuius numeri dimidium est 26. ea adde ad sq:& surgent So,quae summa est uniuersorum. s res quadrupli numeri continue proportionales occurrent,de- me primum de postremo: & tertiam partem eius reliqui, quod de postremo superest,ad ipsum integrum postremu adiunge:& sum ma uniuersorum habebitur. Ueluti in his numeris, I. q. I6. . subtrahe primu a M :& 63 relicta sunt, quocii pars tertia est ri .ea adde ad ultimu 6 i& exeunt 8s, summa omnium. Itidem erit in2.832. I28. tolle a ab i28:& relinquuntur 126. quorum tertia est 42: quae addita ad I28, procreant i Zo,summam uniuersorum.

AT vBI numeri quintupli longa serie conectuntur: si primus a postremo dematur, & reliqui de postremo relicti pars quarta actintegrum postremum addaturiomnium nascetur summa . Utpote I. .2S.I2S. subtrahe I ab Ias,& restant i . quorum quarta est 3r.

quae addita ad Ias,faciunt II6 quae summa capit omnes. Sic in infinitum procedit ordo in multiplicibus i ut si progresso sit in sextuplis: post subductione primi ab ultimo facta pars reliqui quin ta iungatur vItimo. si in sextuplisi post factam primi a postremo subtractionem,addatur vltimo pars sexta. si in octuplis, post eiusmodi subductionem pars septima ad iugatur. si in nonuptis, pars octaua. si in decuplis, pars nona. & sic in infinitu post subductionem primi ab ultimo factam ea pars reliqui, quae denominatur a numero unitate minore quam proportionis denominatio sit,ad datur ad ipsum Vltimum: & omnium summa prodibit. DE progressione autem numerorum superparticularium unius proportionis , dantur etiam regulae. & in primis haec de numeris sesquialteris. In numeris continue sesquialteris si primus duplicatus subducatur ab ultimo triplicato i id, quod reliquum est summam omniu numeroru monstrabit. Exemplo sint, . ετ, sa'. du

he 4,& restant Icτ summa Vniuersorum. A T I N sesquitertiis primus numerus triplicatus ab ultimo quasdruplicato demendus est,& reliquum indicabit omnium summa.

217쪽

x es sesquiquartis primus quadruplicatus a postremo quintupliceato subducatur,& reliquum monstrabit summam. x es sesquiquintis primus quintuplicatus ab Vltimo sextuplicato dematur,& reliquum summam proferet. x s sesquisextis primus sextuplicatus a postremo septuplicato demptus omnium summam relinquet.Et sic in infinitum, numerus ex multiplicatione primi in proportiois denominatione proqductus subduci debet a numero producto ex multiplicatione postremi in numerum uno maiorem quam sit ipsa denominatio. ita reliquum monstrabit Vniuersorum summam :nec resert a quo numero progressio sumat initium. sIMILITER ad alias proportionum species regulae dari pos sunt,si cui obseruare libet. Veruntamen nisi faciles sint,multo sa lius erit per additionem , ipsorum numerorum summam collige're,quim per flexuosas ambages compendium sectari. nam quorsum progressiori compendium non asserti'

DE FALsARUM POSITIONUM REGULIS. v P E R E S τ nunc Vt Viam aperiamus, per quam ex sors tuitis coniecturis,atque ipsis quidem falsis,& ad quas errores insequuntur , propositae quaestionis veritas explice tue. Arabes & Phoenices mercatura celebres,& a quibus Arithmetica profecta primum putatur,arte illam veritatis inueniendae barbaro vocabulo Cathum appellat, Latini siue falsarum positionis, siue falsarum coniecturam regulas Vocant: per quas pene uniuersa quae ad negociationem attinet, atque alia pleraque possunt expediri, modo aliqua rei propositae pars sit certa & cognita. Per ea nanque miro compedio reliqua omnia ignorata , quarumcunque aenigma prae se ferant,continuo investigata in notitiam proferuntur. Qua in re dici non potest, quam diuinis ingeniis praediti fuerunt primi huius scientiar inuentores: quorum solertia factum est, ut quae plerisque imperscrutabilia videntur, nullo negotio in lucem veniant. Porro numerorum quaestiones multae saepe occurrunt,in quibus rei propositae pars aliqua nobis cognita est, sed alia eius pars qua maxime scire cupimus, a sensu comuni longe summouetur. Quam vicum parte nota congruere faciamus, pro arbitrio nostro fingere poterimus eam esse quae magis apta videtur: Mcu obseruauerimus , vel quam prope coniectura nostra rem atti-

sit, vel quam longe a scopo errauit,item coniicere licet ut si prio

218쪽

re coniectu parum prosecerimus, saltem secundo propius accedamus. Quaecunque autem per Unicam positionem inueniuntur, ea etiam per duas expediri possunt. Caeterii d conuerso non idem eueniet. neque enim quicquid duae positiones explicat, id unica praestabit. Et quod maxime in his admirandum videtur , nihil refert quam longe coiectura nos fallat: nam per illos ipsos errores ,regulae mox dandae nos ad veritatem perducent. De quibus dicere aggrediemur, & quidem prius de ea quae per Unicam positionem,id quod quaesitum est,eruit. .

N NvMEROR v Μ quaestionibus in quibus pars est eo- I gnita pars est ignorata, frequenter euenit ut Unica coniectura fortuita, tametsi aberret a vero , id quod inuestigatur manifestet. Nam cum obseruamus quid ipsa coniectura parit, proportionemque annotamus quae est inter id quod coniicimus, R id quod ex eo consequituriad exemplum illius,inter partem cognitam & partem ignoratam, proportionem alteram procreare Iicet,dummodo nos adiuuet quatuor proportionalium regula quae de tribus notis quartum ignotu proserentibus supra data est. quippe cum tria sint cognita: primum id, quod coniicimus: secundum id quod ex eo consequitur,inter quae cadit proportio: tertiu,quod de quaestione proposita est cognitum :cerid quartum, quod ignoratum est,& tertio respondere debet,nequaquam latere potest. Ita unica positio primam proportionem sibi fingit. Ad cuius exemplum regula illa quatuor proportionaliu succedens, aliamque similem proportionem Armans, id quod quaesitum est,continuo in lucem profert. Exempla rem magis aperient. v IATOR tot aureos in itinere reperit, ut eorum pars secunda tertiaque & quarta simul additae facerent so. Haesitatur, quaenam summa reperta erat. Pone quanuis summam quae partes eas habeat.& vide an illius summae partes denominatae simul additae faciant so .Si faciunt,ea summa est quam quaeris. Si non faciunt,Vlterius inuestigabis hoc modo,Finge summam repertam, quae par tes eas habeat,esse Ia, cuius dimidium est 6, tertia pars 4,quarta 3, quae omnes simul additae faciunt i3. at tu quaeris so. Igitur coniectura te longe fefellit. Veruntamen ille ipse error in viam te redueet , si rem bene con*deres . Nam sicut partes summae per conie

cturam positae,quae simul additae fiunt i ,se habent ad ipsam sum

219쪽

mam totam . quae est v, sic partes summae repertae simili additae; 'quae sunt so, ad ipsam summam repertam quae ignoratur,se habe. re debent. Atque ideo ad regulam de tribus notis negotiu sie ap- .plicabis Si r3,quae partes simul additas notant, veniunt ex ir maldu te positis: ius summae partes illae erui, quae collectae coplet sol Seques regula multiplica so per Iz,& surgent ι . ea per i3 diuideria prodibunt 46 v. quae summa aureorum reperta erat . cuius dimidis est urii, pars tertia Is H, pars quarta ii ret quae partes siqmul additae faciunt so. Similiter eueniet, quaecunque alia summa quam 12 per coniecturam ponatummodo partes eas habeat. Vides itaque per adiumetum regulae de tribus notis unica coiectura sortuita rem expediri: nee duabus positionibus esse opus. PER hane regulam exempla quae sequuntur possunt explicari. quae subiicienda duximus,ut ad ea iuuenes exerceantur. INVESTIGETun numerus in quo s sint τ . Pone numeruquem Voles, qui partes eas habeat, veluti ε: δc vide quantum care Piant T : & inuenies 4 at tu quaeris s. Scrutare igitur si faciunt τ de 6:de quo s complebunt stenta,& inuenies γ π .

EXQ VIRATVR numerus ex quo,postquam pars tertia, pars

quarta,& pars quinta subductae sunt,adhuc supererut 24. Pone numerum aliquem qui partes eas habeat,Vςluti M. Postea deme par res illas,& vide quid restabit: & inuenies i3.Ecce quantum erram quaesiuisti ,at inuenisti nisi i3 Quamobrem sie tecum ratiocinari

're,si i3 post partes subductas supetiui de co, de quo numero post

subductas partcs,relicta erunt 24yTenta per regulam de tribus notis, & inuenies IIo ri numerum illum esse, euius pars tertia estauquarta 2ITI,quinta rare . quae omnes simul additae faciut Et si subducantur a iio ετ, restabunt 2 . . 1 I et v I S numerum exquiri iubet, a quo parte secunda, tertia,& quarta subductis restent 14, Continuo responde,id fieri nequa quam posse. Nam quicunque numerus sumatur qui partes eas ha beat, semper minor erit quam partium ipsius summa coaceruata quo fiet,ut ne illa quidem subduci possit, nedum quicquam restare. Quippe ut obiter admoneamus tres sunt numerorum species. Vna est eorum qui partium suarum summam maiorem habent, quam sint illi ipsi . hi abundantes voeantur. cuiusmodi numerus est it. na huius dimidium est 6, pars tertia 4,quarta 3,sexta 2, duo decima I. quae partes simul additae redundant in is,& corporis sui numerum Vincunt. Item 24 numerus est abundans: nam eius dii

220쪽

LI B. , I i t. ibidiu est ir,pars tertia s,quarta 6,sexta 4,octava ,duodecima a vicesima quarta I. quarum summa redudat ira 36. Altera eorum lae-cies est qui diminuti vocantur,in quibus summa partiu simul posita minor est, quam sint ipsa. cuiusmodi numerus est 3. nam eius dimidium est 4, pars quarta 2,octava I: quarum partium collecta

summa I,minor est quam totum corpus. Item I numerus est diminutus: na dimidium eius in 7,pars septima 2, quartadecima I. summa omnium Io,toto corpore minor est. Tertia species eorum est, in quibus partes in summam collectae suo eorpori sunt aequales. Hi, quia nec excessum nec desectum habent,persecti vocantur: cuiuimodi numerus est 6. nam eius dimidium est 3, pars tertiar. sexta l. quae partes copositae reddunt etiam s. Item 28 numerus est

pcifectus ina dimidita habet I ,quarta partem I, septima Α, quartamdecimam 2, vicesimamoctava I:quae partes coaceruatae suo to

to numeru aequalem faciunt 28. Hi numeri persecti,quod rari sint 'viris bonis assimilantur. Itaque ut ad rem redeamus minimus numerus, qui in T; habeat,est Iaz huius dimidium 6,tertia 4 quarta 3. partes hae collectae proferunt I3:quae a Ia subduci nequeunt. Quod si numerus maior partes easdem habens sumatur , partium summa maior redundabit. Ita nunquam fiet earum subductio nedum quicquam restabit. Quare propositis huiusinodi quaestionibus, continuo priusquam ad illas respondemus, nobiscum meditemur an possibilia suggerant, ne Iabor irritus frustra suscipiatur s x 4 essent 6,quis numerui esset Ios Priusquarespondes, quaere

ab interrogante,quid intelligat sermone tam ambiguo utrum velit 4 crescere ad 6,an 6 minui ad 4. Etenim si 4 erescunt ad 6 eaderatione io ad Is crescent.Nam si 6 in Io ducas ,crescent so. quae si seces per 4,prodeunt II. At si s ad 4 minuere voles,sie ratione facito,Si 6 fient 4, quid fient Io. Ducatur 4 in Io,& surgent 4o quae

diuide per exeunt 6 in . eousque minuenda essent io.

Itidem siquis sie roget,si b de s essent 3, ipsa s cuius numeri essent -s Quaerendum ante omnia est quid sibi velit. Nam si dimidium des,quod est 2 π , crescere debet ad 3, eade ratione s per regulam de tribus notis crescent ad 6,8c erunt ψde M. At si 3 minuint ad 2 , ,eadem ratione S per regulam de tribus notis minui debent ad 4 . & erunt- de Is -

fit essent ψ deI quae pars 4 essent de iusi 3 erescere debent ad

3 1 : lcrutare quid secundum eam rationem 4 esse debent. &per regulam de tribus notis inuenies ea crescere ad 4ἰ. Iam Viden