장음표시 사용
221쪽
dum 4τ , quae para sunt de ii. id quod scies,si ri per seces ne
prodibut in . ea pars 4 erunt de H. Nam secundum hoe thema ii immota manent. Animaduertere itaq; oportet,quid sit quod quaeratur: ne responsum aberret a quaesito. Porro si de minui deia herent ad 3 conuersa ratione supputandu esset. sicuti in proximia supradictum est. Ex v IRANTvR duo numeri, in quibus ετ & - unius sint. - & - alterius. Accipe aliquem numerum qui unam secunda 8e unam tertiam habeat, puta sq. cuius & γ sint 4s. Postea viseia, cuius numeri illa 4s sint Vna quarta & una quinta, per positioneynicam inuestigare licet hoc modo, Pone quentiis numerum,qui ρ &ὐ habeat:utpote 6o. Deinde vide qui numerus sit quarta &quinta iIlius: inuenies eum esse 27 . At tu quaerebas 4s. Sic igitur
per regulam de tribus notis ratiocinare,Si 27 sunt quarta & quinta de so quis numerus est cuius quarta & quinta sunt 4s Scrutare sequens regulam:& inuenies eu esse Ioo. sic I & Ioo numeri sunt quos quaerebas. Alia etiam Via, atque ea quidem compendiosa, id inuestigari potest ad hunc modum, Eae minutiae quae ad unum numerum utrinque spectant, simul addantur, ut sint v nae minutiae. quo fiet v x τ & π per additionem collectae, faciant θ . At π & per additionem iunctae facient . Deinde hae minutiae seorsum
coaceruatae,alterae contra alteras anno tentur. & Vterque denominator in alterarum numeratorem oblique in crucis formam ducatur. numerique producti reponantur iuxta suum uterque denominatorem a quo ductus est. Ita ex ea multiplicatione A iuxta se habebuntur,& Ioo iuxta a. qui numeri partes eo modo, quo pra, scriptum est,communicantes habebunt. Numerus autem qui ambobus ex obliqua multiplicatione productis inaequaliter communicat s est qui ex numeratorum mutuo in se ductu surgit,videli
Hoc compendium inueniendi numeros, qui partes ad hune moduinaequaliter communicantes habeant: ad multos in numeris nodos explicandos plurimum iuvabit,si in promptu habeatur.
MERCATOR argenti libram , quae de nota atque indicatura sscrupulorum erat,aureis ' emit. quaero,si secudum eam rationem Velit de nota Io scrupulorum emere libras ror quot aureis consta bunt Pone ut libet,puta costituras aureis 8o: ut singulae librae Ja:
222쪽
neant aureis 4. Vide quid secudum ea ratione una libra de nota a serupuloru costabit. id quod facies sic ratiocinata,Si argenti nota de io profert unius librae pretiu q, quod pretiu unius librae dabit
nota scrupulorum 8s Sequere regulam de tribus notis: dc inuenies ea dare 3- at.tu sci* eam dare p. Quamobre sic supputabis Si 3 vprodeut ex go quae coniectura posuit,de quo prodibunt ' Ducantur ' in go:& surget pro. quae si seces per 3V,in numero partitionis prodeut ras.tot aureis librae 2o de Io scrupulorum nota constabunt, quarum Vnaquaeque pretii erit aureorum II π . u. v I argenti libram de Io scrupulorum nota,aureis II emit, postea libras argenti as de alia nota aureis Go mercatus est: quaero cuius notae fuerunt 'Quia earu unaquaeque constitit aureis 8, sic ratiocinabere, Si H aurei reddunt notam Io r quam notam reddent aurei 3s Scrutare,& inuenies 7 Tr . ea nota & indicatura librarum
V erat. Hic propter facilitatem nulla positione fuit opus.co MPLvREs huiusinodi quaestiones, & multae etiam ex his, quas supra libro tertio explicauimus, per Viscam positionem, adiuuante regula de tribus notis solui possunt.
N N v M E R AE qugst ones in numeris occurrul,quae tam
I etsi eam pars sit cognita,pars sit ignorata, per Unica coiectura explicari nequeut: at hae per duas positiones statim
expedietur. In quibus ante omnia obseruare oportet,quim propd utraque positio Vel accedit ad veru,vel a Vero recedit. Ite ipsoru erroru disseretia magnopere notanda est. Na per obseruationem approximationis utriusque positionis ad Veru,& per differentiam e roru qui ex his insequuntur, veritas in lucem veniet. quae duobus modis inueniri potest , videlicet vel per regulas pluris & minoris, vel per disserentiam obseruatione. Itaq; de plure & minore quatuor haec praecepta sunt in primis edisceda. Primu,Si utraque positio plus quam veru coijcit alterum plus subducere ab altero plureoportet. Secundu ,Si utraque positio minus quam verti assert,alterum minus ab altero minore subtrahedum est. Tertiu,Si prior positio plus,posterior minus proser tum plus & minus in unu sunt addeda. Quartum, Si prior positio minus, posterior plus coiectat, tum minus & plus in unu coniungatur. Ita cum his quatuor modis coniectura varietur,primis eoru duobus videlicet siue utraque eoniectura plus, siue utraque minus ponat,alterius ab altero sub
223쪽
iis DE PRO P ORTO ductio fieri debetiat postremis duobus, Videlicet quado prior positio plus, posterior minus cohcit, Vel e conuerso:pluris & minoris additio necessaria est. Et quo facilius has praeceptiones studiosi
memoria teneret, Morus,rogatu nostro, redegit eas in hoc carine,
Minus minori subtrahe: Pluri minus coniungito, Atque ad minus plus adisce. MARvM primae regulae in qua Utraque positio plus affert, sensus est , Si per priorem positione atque item per posteriorem plus quam veritas exit: tunc alter error plus afferens ab altero plus asserete subducedus est:& id quod restat, diuisor totius operationis erit. Postea prior error ducendus est in positione posteriore. itemque error posterior in positione priore ad forma obliquae crucis:& numerorum ex his duabus multiplicationibus productoru alte. tius ab altero fit etiam subductio . Deinde id quod reliquum est, per errorum disserenuam diuiditur,atque ita numerus partitionis veritatem profert. Exemplum praebeamus. Tres mercatores aureos centum lucrifactos sic diuiserunt, ut secundus tres aureos plures quam primus caperet, tertius quatuor plures quim secundus: Libet inuestigare , quot aureos quisque habuit. In primis magna crux obliqua,formam referes A literae Graecae, quam vulgus cruce diui Andreae vocat, in abaco depingenda est. Post id factum coniecturas aggrediamur, & ponamus primum mercatorem accepisse 33 aureos: quo fiet ut secundus 6, tertius 4o debuerit accipere. quae summae collectae faciunt ID. At tantu Ioo erant diuisi. ita in y errauimus.qui error ex illoru falsa positione, quae nimia erat, natus est. Eapropter illam positionem 33 ad verticem sinistra depictae crucis signemus: errorem Vero ex ea insecutum qui capit 9, annotemus ad pedem ipsius crucis sinistrum . Et quia plus quam verum coniectura peperit, B litera ad ipsum plus Mndicandum, inter sinistrum verticem & sinistrum pedem in intimo crucis sinu scribatur. Deinde quia priore coniectu parum profecimus,lterum tentantes, fingamus Primum mercatorem aureos 3r habuisse:ea ratione secundus M,tertius 38 accepit. quorum summa collecta prosere io3. At latum Ioo sunt diuisi .Quocirca secuta coniectura etiaipsa plus quam verum attulit,& errauit in 3.Quare positio illa secunda de 3i ad vertice crucis dextrum statuenda est , errorque ex ea insecutus ad pedem eius dextru subnotetur: & P litera ad plus
224쪽
significandum inter de rum verticem & pedcm dextr1 in intimo sinu ponatur. Deinde minor error 3 a maiori 9 subduratur. & 6
quae restabunt, medio spatio inter Vtrunque errore notanda sunt. Postea prior error ' ducatur in se dam positionem 3r,& enascetur 279. Item secundus error 3 ducatur in priore positioncm 33,&producentur 99. quarum summarum productam minor 'ρ subduratur a maiore 279,8c superemi I 8o. Ea si per errorum differentia videlicet 6,secetur,numerus partitionis proseret o, quae vera summa primi erat. Primus nanque 3o, secundus 33, tertius 37 habuit. quae summae eoaceruatae faciut Ioo,sicut thema proposuit. Ita demum Veritas per duas falsas positiones inuenta medio spatio inter crucis vertices,in quibus hae signatae sunt,annotanda est. Iso
SEev NDAE regillar,in qua viraque positio minus affert, sensus pene primae similis,huiusmodi est, Si per priore positionem,atque item per posteriore minus quam Veritas habetur:alter error ab altero subduei debet.& reliquum erit diuisor. Tum prior error in posteriorem positionem , 8c error posterior in positione priorem ducatur:productorumque numeroru alterius ab altero fit subductio.& quod reliquum est per errorum disserentiam secatur. Sic innumero partitionis veritas apparebit. Exemplum in themate modo dato praebeamus, & ponamus primum mercatore habuisse 27, secundum N,tertium 34: quae summae eollectae faciunt pr. At Ioo sunt quaesita. In s igitur erratum est. Itaque positio 27 in sinistro crucis Vertice, error ' in sinistro pede statuatur. & quia error minus attulit,M litera quae minus indicet, in sinistru recessum interpositionem & errorem condatur. Iterum deinde coniectura tentemus: & fingamus primu mereatore accepisse 2', se du Π,tertiu36. quae uniuersa iaciunt 97. At scopus erat ioo. sic 3 de numerodestinato desunt.Quocirca ipsa posterior positio G in dextro crucis Vertice signetur,& error posterior 3 in pede dextro: atque M li tera,quod in minus sit erratum,in dextro recessu inter position
225쪽
ει errorem reponatur. Post id minor error 3 a maiori y subdueaturi& 6 quae restat,medio inter errores spatio statuantur.Tu prior error 9 ducendus est in posteriore positionem 29 :& nascentur Esi. Ite posterior erior 3 ducendus est in priore positionem V,& producentur St. Horu autem numerorum productora si minor a maiore subtrahatur,relinquentur ISo. quae si per errorum disserentia videlicet 6,secentur: numerus partitionis verum primi numerum
1. positio 2. positio. TERTIAE regulae, in qua prior positio plus, posterior minus assere,hic sensus est,si per priorem positionem plus, per posterio
rem aute minus quam Veritas inuenitur i alter error ad altem addi debet,ut amboru summa diuisor fiat. Praeterea postquam prior error in positionem posteriorem, & error posterior in positionem priorem ducti eruti numeri ex his multiplicationibus producti in unum ambo addendi sunt. Quo fiet,ut si eorum summa per additora erroru summam secetur,numerus partitionis veritatem in Iucem proferat. Thema datu rursus tractates exeplum asseramus:&Ponamus primu mercatore accepisse M, secudum 3I, tertiu U. quae summae collectae faciut ros:sie 6 redundat,quum Ioo sint quaesita. Positio igitur 32 ad sinistru erucis vertice notetur,atque enor 6 ad pedem eius sinistrum, & Ρ litera quae in plus erratu esse moneat, inter positione & errore in sinistro erucis sinu scribatur. Et quia coniectura nimium attulit, paulum infra tentemus : fingamusque primum mercatorem habuisse ,secundum V,tertium 36. qui numeri collecti proferunt ut atque ira 3 desunt de numero Ioo destinato. Eapropter ipsa secunda positio 29 ad dextrum crucis Verticem,mor autem 3 ad pedem eius dextru signetur: & M litera,quae in minus enatu esse moriet, in crucis dextro sinu inter positioneta errore reponatur.Deinde post amborum erroru additione quae
facit 9,prior error 6 in posteriore positione 29 ducatur,& enascentur 1 . Ite posterior error 3 in positione priorem D ductus, edu cet D. Qui numeri producti ambo in unum additi coponui Vor
226쪽
L I BI i a t Musta si per amborti errorum eollecta summa, videllaeis secentur,numerus partitionis P procreabit, quae Vera primi summa erat. v A R T A E regula: ,in qua prior positio minus,posterior plus eoiectat, idem per omnia sensus qui tertiae est misi quod prior positio quae minus affert,atque error ex ea insequutus, sinistra erucis partem tenere debent: posterior Vero positio cum suo errore dextram. Caetera omnia eodem modo quo in tertia regula factum est, expediantur. Exemplum in themate iam dato spectandum ante oculos subiecimus, quod quiuis facile sine praeeunte explicabita
L v R I s & minoris regulis expeditis, disserentiarum ob-ν seruatione ab eisdem praeceptionibus pendetem, quae etiaipsa per duas falsas positiones expeditur,tas adiungamus. Et quo magis manifestum sit quatulum hic explicandi modus ab ilIo iam dato disseri,ide thema seruemus. Et fingamus primu mercatore accepisse ues,secundum 38,tertium 2,quorum summa collecta facit Iis. sic coniectura Is plura quam opus erat peperit. Quare positio 3s ad sinistru crucis vertice,& error ex ea natus II ad pedem eius sinistru statuatur, & P litera ad plus denotandum in sinistro sinu codatur. Et quia coiectura plus iusto protulit,iteru te-temus. & ponamus primu mercatore habuisse 3l,secundu 34, tertiu 3;qua ratione Omnes acceperunt Io Gu tamen tantum Ico sint di
227쪽
uisi. Ita secunda positio in 3 quae redundat, errauit. Quocirca ipsa
positio 3r,ad verticem crucis dextrii error 3 ad pedem eius dextrui' P litera,ad plus significandu,in dextro sinu reponatur. Postea positionu ipsarum disseretia, per minoris a maiore subductione deprehensa paulo supra mediu inter Vtranque spatiu notetur: ea est
4. Atque itidem erroru differetia,per alterius ab altero subductio nem inuenta, medio inter eos spatio reponatur: ea est v. Deinde con*deremus priorem positionem poccultu in se excessiim & adhue ignotu habente, procreasse errorem excedentem in Is,& securidam positione 3i excessum etia ignotu habente, edidisse errore excedent in 3 .Ex quo videre licet positionu differentia 4,quae in. ter eam utranque media est, peperisse disteretiam errorum v, quae media est inter utruque errore. Et quonia prior positio superat secundam in ,eo magis abducit a Veritate per it quam secunda. At secunda positio quia minor est priore pur Α, eo magis appropinquat ad veritate. Nihilominus tamen Veritate ςxcedit in 3. Quare si magis fuisset imminuta, propius ad Veritate accessisset, & minorem aliquanto genuisset errorem. Eapropter inuestigare oportet ad quem numerum secunda positio 3i sit minuenda,ut nihil erroris pariat. Hoc autem manisinu fiet, si con*deremus tres numeros proportionales nobis esse notos . Primus est positionum errantiu disseretia quae est 4. Secudus,qui ex ea nascitur,est erroru differen tia tr. Tertius numerus est secundus error 3 ex secuda positione et rante exiens:qui magis ad Veru appropinquat per ir , quam prior error: eo quod secunda positio minor est priore per Α . Quocirca quae proportio est inter erroru disserentia Ia longius a veritate distante,& errorem secundu 3 propius ad Veru accedente,hoc est inter utraque sobolem: eadem esse debet inter utraque genitrice, vi delicet inter positionii disserentia 4,quae Veritate Intercludes peperit differentia errorui& illa secuta positionis disseretia a vero nos excludentem, & adhuc ignotam, quae excessum in secundo errore sedidit. Et permutatim,quae proportio est inter errorum disserentiam Ir,& differentiam positionum 4,quae eam peperit: eadem inter secundum errorem 3, & a Vero nos excludente iccudae positionis disseretia, quae eu aedidit, & adhuc ignota est,csse debet. Qua-Obrem regula de tribus notis quartu ignotum proferentibus, rem totam patefaciet, nobis sic cons yderantibus, Si errorum disterentia II venit ex falsarum positionum disserentia Veritatem intercludente,quae est ψ:de qua falsae positionis differentia veritatem abG
228쪽
condente veniet secundus error 3s Ducantur 3 in η i& surgent ire
quae secta per ir: in numero sectionis edunt I. tantu minui debet secunda positio 3i, ut veritas in luce Veniat. Illa enim unitas erat, quae excessum in secunda positione faciens secundit errore in 3 peperit. qua subducta, tollitur omnis error, & o restat. qui numerus veritate exprimens medio inter utraque positione spatio notetur. v o D sicut scire libet quis erat ille numerus qui in priore positione excessii fecit, co*deret quae proportio est inter erroru di ferentia l2,& priore errore I ,eadem esse debere inter positionu differetia 4 , & illa prioris positionis disseretia quae a Vero nos excluditn adhuc ignota est. Et permutatim,quae proportio est inter errorsi disseretia ir, dc positionu disseretiam 4, eadem esse debere in ter priore errore is, & illa prioris positionis disserentia a vero nos excludente & ignota. quare tractas regula de tribus notis,tertio loco statuat primu errore Is,hoc modO,Si disserentia erroru,quae estra, venit ex falsaru positionu disseretia ,quae est 4: de qua saliae positionis disserentia veritate in priore positione occultante nascetur error primus is Ducantur 4 in Is.& producetur O:quae secta per Ia,educent s. Is excessus in priore positione peperit errorem in II. quare si subducatur,restat verus numerus N. Sic sublata redundate disseretia, quae facit excessum:veritas sola relicta sese offert:siue excessum in secunda positione,siue in priore inuestigare,atque auferre libet. Atque ita per duas falias positiones,quaruVtraque plus
iusto conijcit,veritas eruitur, per obseruatione proportionu quae sunt inter disserentias erroru & differentias politionum: adiuuante regula quatuor proportionalium, quorum tria sunt nota.
D , v N D E M modum per disseretiarum obseruationem A res expediatur: etiam si utraque positio minus quam veruasserat. Ueluti si ponamus primum mercatorem habuit lear, secunm 3o tertium 34:quae summae collectae faciunt 'I ἔ cum Ioo sint quaesita. Quare positio 27 ad sinistrum crucis verticem,
error ' ad sinistra pedem, M litera in medio sinu reponatur . Ite
229쪽
tR DE PROPORT.ium tentantes,fingamus primum accepisse , secundum 3r, tertiu36, quae simul addita faciunt 27.sic 3 de I desunt. Quare ea omnia a dextra,suo quaeque loco statuantur,videlicet positio ad verticem error ad pedem, M litera sinu medio. Deinde quia utraque coniectura minus attulit, disserentias errorum & positionum per subductionem eapiemus. Postea conlyderare oportet priorem positionem 27,desectum adhuc ignotum in se habente, procreasse errorem,cui ' desunt: de secunda positionem V defectum etia ignotum habentem, edidisse errorem, cui desunt 3. Quo fit manifestupositionum disserentiam 2 ,quae inter earum V tranque media est, peperisse errorum disserentiam 5,quae media est inter utrunque errorem. Atque ideo,Vt Veritatem exquiramus,sie ratiocinemur, Si 6 disserentia errorum nascitur ex positionum disserentia a veritate intercludente,de qua secundae positionis disserentia veritatem Occultante nascetur secundus error 3s Operare secundia regula qua tuor proportionalium,& inuenies eum nasci ex I.quod quia secudae positioni defuit,etiam ipsa secunda coiectura minus iusto protulit. Quapropter unitas addita veritatem exprimit. AT s I scire voles quantum priori positioni defuit, in regula de tribus notis tertio loco quaestionem de primo orore statue hoc
modo, Si errorum disserentia 6 venit a 2 disserentia positionum, de qua salsae positionis disserentia veritate in priore positione arcente,nascetur primus error 'sRegulam ducem sequens deprehedes illam fuisse 3. Ipsa igitur disserentia addita ad primam positionem,defectum eius replet. s Ie quando per differentiarum obseruationem Veritas inquiri tur,si utraque positio minus assert: id quod vel primae coniecturae vel secundae deesse per regulam de tribus notis depreheditur,suppletur. sicut quando utraque positio plus profert, id quod siue in priore coniectura, siue in posteriore redundantem excessum facere per regulam de tribus notis inuenitur, auferendum est, Vt veritas exprimatur. sicuti in proximo superiori exemplo videre licuit.
230쪽
v N e videamus quomodo per disserentiarum obseruatio. N nem res expedietur, quando prior positio plus , posterior
minus assert,vel e conuerso. Et in themate iam dato fingamus primu mercatorem accepisse 33, secundu 36,tertium 4o. Ea in unam summa collecta faciunt Io' et ex quoὲiquet y redundare. Quare a sinistra crucis, positio verticem,error pede, Ρ litera quae plus coniectum esse demonstret,sinu occupet. Iterumque tentantes,ponamus primu mercatorem habuisse 22, secudum 3r,tertium 36.qhiae per additione coaceruata faciunt 97: atque ira 3 de iis desunt,ea dextra teneant; M litera,ad minus indicandu ,in sinu dextro reposita. Deinde consederare oportet prioris positionis excensum edidisse excessum prioris erroris,secudae autem positionis de sectum peperisse defectu erroris secundi. Quocirca hi duo errores, quia alter in plus,alter in minus peccat, in unum sunt addendi,&surgent α:quae erroru cumulatio venit ex disserentia positionum,
videlicet 4. Nam quia prior positio ' plura quam oportuit attulit, secunda autem positio per A tantu ab ea differens non solum excessum illu prioris abstulit,sed etiam plus quam iustum erat auferens, defectum superinduxit. ideo tam ad auferendu prioris positionis excessum,quam ad supplendu defectum posterioris, fit ista
errorum additio: ut per eam temperametum inter excessum & defectum inueniatur. Nam ita proportionu ratio in utranuis parte,
siue excessus, siue defectus vim sua porrigere potest. Etenim si in
dextram ad defectu respicimus,quae proportio est inter amborum errorum cumulationem & secundu errorem,eadem inter positi num disserentiam excessum & defectu cumulantem, & illam disserentiam quae in secuda positione Veritatem occultat,esse debet. Et permutatim,quae proportio est inter amborum errorii cumulationem,& positionum differentia excessum & defectum cumulante, ex qua nascitur, eadem inter secundum errorem & illam secunda positionis disserentiam verum abscondentem,ex qua nascitur, esse debet. Atque eapropter si scire Voles quis sit numerus qui in secunda positione defuit,ut iustum suppleret,cons, derare oportet, ad hune modum, Si cumulatio errorum quae est uinascitur a ponsitionum disserentia veritatem occulente, quae est Α, de qua secundae falsae positionis disserentia verum abscondente nascetur secundus error 3 Multiplica 3 in q,& producentur Ia:quae per it secta mostrant I,in numero partitionis. Hoe autem additum ad se
cundam positione 2',qui numerus uno deficitur,supplet id quod