장음표시 사용
231쪽
2M DE PROPORT. defuit:& fiunt 3o, qui numerus verus primi mercatoris erat. A T s I scire voles quantum priori positioni redundanti detrahendum erat,vi solum excessum auferret,& iustum numerum re linqueret,proportionum ratio a sinistra con*deranda est. nam si cui amboru errorum cumulatio ad priorem errore se habet,sic positionum disserentia ad illam disserentii quae in priore positione veritate occultat,se habere debet. Et permutatim,sicut amboru e rorum cumulatio se habet ad disserentiam positionu,ex qua nascitur et sic prior error ad illa prioris positionis disserentiam veru intercludente,ex qua nascitur,se habere debet.Et ideo in operatione facienda per regulam de tribus notis,tertio loco forma quaestione de primo errore qui pIus attulit, perinde quasi verso exeplo, positio prior fuisset minor,& secuda maior,hoc modo,Si u cumulatio errorum nascitur a positionu disserentia 4 Veritalcm praeeludenter de qua prioris falsae positionis disserentia Veritatem abscondente, nascetur primus error ' 'Ducantur 4 in ',dc crescent 36: quae secta per ir in numero partitionis edunt 3: is excessus erat, qui primam positionem 33 errare secit. Quocirca dempto illo excessu,supersunt 3o: qui verus erat primi mercatoris numerus. Itaque quando altera positio plus, altera minus affert, si per regulam de tribus notis exquiris numerui qui excessum in positione fecit,is inuentus su
ducendus est. At si numerum inquitis qui positioni defuit,la copertus ad eam est addendus,ut veritas appareat.1 Qv PIAM seire cupit quado per differentiam obstas uatione res expeditur, cur siue Utraque positio, plus siue Vtrassi minus affert, alterius positionis ab altera,atque es terius erroris ab altero fit subductio: Animaduertere debet ad ea quae dicta sunt nempe quod distatia a veritate,vel appropinqua tio ab Veritatem, per disserentiam alterius positionis ab altera,at que alteriua erroris ab altero deprehenditur. ipsa autem numero
232쪽
tum disserentia per subductionem inuenitur.Ex proportione autem illarum disterentiarum,quae mediae sunt inter errores & poll. tiones, veritas inuestigata per regulam de tribus notis in luce venit, siue in dextram partem, siue in sinistram respicias. Nam si in dextram: quae proportio est inter errorum differentiam & secundum errorem qui magis ad Veritatem appropinquat, eadem interposit onum disterentiam quae disserentiam errorum peperit,& illum secundae positionis numeru qui Veritatem adhuc abscodens secundum errorem edidit,esse debet. Et permutatim,quae proportio est inter errorum disserentiam,& differentiam positionum genitricem suam ,eadem inter secundum errorem,& ignotum nume
rum matrem suam erit. At si in sinistram respicias: sicut errorum ι disserentia se habet ad priorem errorem quae longius a vero recedit, sic positionum differentia ad illam prioris positionis Iatentem disterentiam,quae priorem errorem edidit.Et permutatim, sicut errorum disserentia se habet ad disserentiam positionum, sie prior error ad illam prioris positionis latentem differentiam,quae ipsam edidit,se habere debet. Porro nisi haec proportionu ratio indifferetiis positionum atque errorum inesset, nulla unquam quaestio per regulas falsarum positionii solui quouismodo posset. Sue
cedens autem illa quatuor proportionalium regula,quae quartum numerum ignotum latere non sinit, per tres numeros notos statim eum profert,& rem totam explicat. T s i scire voles cur in regulis pluris & minoris, siue utra-A que positio plus, siue Utraque minus assere,prior error ducitur in secunda positionem,& secundus error in positionem priore,posteaque alterius producti ab altero,& alterius erroris ab altero fit subductio: Ratio hui' rei pedet partim ab his quae de differentiaru proportione dicta sunt, partim a prima & se dategula Euclidis libro secudo:quas quanquam ille de lineis posuit,
quia tamen in numeris etia Verae sunt, nos de numeris eas demus,
ad hune modu, Si fuerint duo numeri quorum unus in quotlibet partes diuidatur, illud quod ex ductu alterius in alteru fiet, aequuerit his quae ex ductu numeri indivisi in V naquant parte numeri particulatim diuisi producentur. Ite si fuerit numerus in partes diuisus, illud quod ex ductu totius in seipsu fit,aequu ctit his quae producetur ex ductu eiusde in omnes suas partos.Ita quado prior error in secundam positionem ducitur,perinde est quasi disserentia erroru & secudus error, qui numeri sunt partes primi erroris,
233쪽
DE PROPORTdueantur in eadem secundam positionem. Ueluti in primo exemplo de regulis pluris & minoris dato,Vbi utras positio plus assere
prior error ' in secunda positionem 3I ducitur,& procreatur,279: sie si errorum disserentia 6 seorsum in 31 ducatur, nascentur l86:&si 3 secundus error in s ducatur,fient 93: qui numeri productiamqbo simul additi faciunt 279. Similiter eum disserentia positionu 2.& secunda positio 3I partes sint primae positionis 33, ducentes secundum errorem 3 in primam positionem 33, producemus yy: qui numerus productus aequalis est numero producendo,si ipse secudus error 3 seorsum in positionu disserentiam 2,& postea in D ducatur : sie quoque surgent 99. Itaque cum inter disserentiam errorum & secundu errorem ea sit proportio, quae est inter disserentia positionum ἐκ excessum in secunda positione: quando multiplicamus disserentiam errorum 6 in secundam positionem 3I, facimus 186,& ducimus eam non solum in totum verum numerum N,sed etiam in excessum,qui Veritatem abscodit,videlicet I .Et cum multiplicamus secundum errorem 3 in secundam positionem 3I, facimus 23:quae addita ad 186,creant 272. Horum autem Vtrunque tacite fecimus ducentes primum errorem in secundam positionem.'Ita'99 supra veru addidimus: quod tantu est quantum capit multiplicatio secundi erroris 3 in primam positione 33. Nam multiplicatio disserentiae errorum 6 in secundae positionis excessum I,quae tacite facta est quando duximus 6 in 3I, aequiparatur multiplicationi secundi erroris 3 in disserentiam positionum a. Quia cu illa quatuor sint proportionalia,sicuti supradictum est quae ab extremorum multiplicatione veniunt,aequalia sunt his quae a mediorum, per regulam de tribus notis .Et multiplicatio secundi erroris 3 in secundam positionem 3i,quae tacite facta est quando duximus primum errorem in secundam positioncm,facit 93: sic yy supra veritatem sunt adiecta. Quare subductio numeri per multiplicationem secundi erroris in primam positionem producti, qui etiam
234쪽
est yri excessum omnem a Veritate aufert, & numerum verum velut in turba latitantem relinquit: sed quis sit, adhuc ignoramus.'Diuisio autem facta per errorum disserentiam 6,quisnam sit oste-dit,videlicet D. Nam quando aliquis numerus ex duorum multiplicatione producitur, eius diuisio per alterum facta profert alterum in numero sectionis. Eadem ratione subductio alterius producti ab altero,& alterius erroris ab altero fiet, quado utraque positio minus asseret. v d o si scire desyderas quando per disserentiarum obser- Q. Vationem res expeditur,cur errorum fit additio,siue prior positio plus,posterior minus asseri,siue e conuerso: Ratio illa est, quam eum exempla daremus, attigimus: Videlicet quod si contingat priori positioni aliquid superesse secundae aliques deesse , disserentia positionum non solum excessum prioris positionis aufert,sed etiam defectum in secunda inducit. Vel si eueniat priorem positionem defectum asserre,secundam excessum,tum differetia positionum non solum id quod priori positioni deest, supplet, sed plus iusto aggregans, excessum in secunda positione parit.
Quocirca ad inueniendum temperametum inter excessum & defectum,ptior error ex priore positione veniens & posterior exiens ςx posteriore, in unum coniungutur: quae errorum cumulatio inter duos errores media,in utranuis partem siue excessus siue defectus comparari potest. Nam si ad defectum reiicimus, Sicut errorum eumulatio a disserentia positionum defectum & excessum accumulante nascens se habet ad illum errore qui nascitur ex defectu,sie positionum disseretia,ad illam salsae positionis latentem disserentiam quae desectum edidit. Et permutatim, sicut errorum eumulatio se habet ad disseretiam positionum, sic error defectum patiens ad illam disserentiam quae desectum attulit, se habere debet . At si in alteram partem ad excessum respicimus, Sicut errorum cumulatio se habet ad errorem qui natus est ab excessit,sie differentia positionum ad illam falsae positionis latetem differentia quae peperit excessum.Et permutatim, sicut errorum cumulatio se habet ad disserentiam positionum,sie error ab excessu ad illam differentiam quae excessum protulit,se habere debet. Atque ideo regula de tribus notis facile quartam illam ignotam siue excessus siue defectus differentiam quae verum occultat,manifestabit. Ea Vero cognita si excessum assert, sub ducenda est:si defectum, addenda,Vt Verus numerus exeat.
235쪽
onsto si scire voles cur in regulis pluris & minoris , flues prior positio plus,posterior minus affert, siue e eonuerso, semper prior error ducitur in secundam positionem ,& secundus error in positionem priorem,posteaque alterius producti ad alterum fit additio, & amborum summa per summa errorum diuiditur,ut vetitas exeat: Ratio tota huius rei pendet partim ab his quae de ratione proportionu modo sunt dicta sine quibus huiusmodi quaestiones per falsarum positionu regulas explicari nequeunt, partim a praedictis Euclidis regulis prima videlicet & secunda,libro secundo. Et Vt in exemplo versantibus res magis eluceat, repetamus illud quod in tertia pluris & minoris regula supra datu est,in quo prior positio plus, posterior minus affert: ubi prior error 6 ductus in secunda positionem 29, profert I . secundus aute error 3 ductus in positione priore 32,producit 96:qui numeri producti ambo coitincti iaciut Vo, quae siccta per 2 rfetut 3o. 27o9S . positio. 2 positio
Hic multiplicatio prioris erroris c in secudam positionem 1 quae procreat I , perinde est ac si ipse prior error duceretur in veritatem 3o,& fierent Igo: praeterqua quod tot unitates multiplicationi prioris erroris in secunda positionem,desunt ad aequandam eam veritati, quot multiplicatio prioris erroris in id quod veritati in secuda positione defuit,addere potest. Quocirca quia I defuit secundae positioni,quod ductu in 6 crearet 6: ideo numerus productus ex multiplicatione prioris erroris in secunda positionem 174, per ε dissere a numero qui produceretur ex multiplicatione prioris erroris in veritatem,qui esset I8o: qui numerus per o sup rat 174. Similiter multiplicatio secudi erroris 3 in priorem positionem 3r, quae facit 's, perinde est acsi ipse secundus error 3 duceretur in veritate 3o,& procrearentur 9o:nisi quod multiplicatio secundi erroris in priorem positione,per tot Vnitates superat multiplicationem secundi erroris in veritatem,quot multiplicatio secundi erroris in id quod in priore positione Veritatem excedit,
236쪽
producere potest. Quare cum in priore positione excessus supra veritatem sit 1, qui ductus in secundit errorem 3, creat 6: ex ea multiplicatione secundi erroris in priore positione quae facit 96, 6 plu ra producuntur quam procreari deberent si ipse secudus error 3 in
veritate 3o fuisset ductus,& crearetur 9o. Illa aute 6 quae hic veritatem excedui, in priore multiplicatione prioris erroris in seciada positionem,ueritati defuerui. Et ita defectus ab excessia suppletur. Nam quae proportio est inter excessum prioris positionis a,ia priorem errore ex eo natu 6,eadem inter defectu secundae positionis tia secundum errorem ex eo natum 3,omnino erit. Et permutatim,
quae proportio est inter excessum prioris positionis 2,& defectum secudae positionis I, eadem erit inter priorem errore 6,& secunduerrorem 3. Quare cu sint A numeri proportionales, quae ab extremoru multiplicatione producutur,aequalia iunt his quae a mediorum: tantu enim faciunt bis tria, quantu semel sex. Quamobre si ambo numeri ex obliqua errorum in positiones multiplicatione producti colungatur,alter alterius Vitiu semper corriget. Atque is cui deest,alterius exhauriet excessum:& is cui superest, alteri' supplebit defectu. Qua ratione res ad aequalitate reducetur: Sc fiet 27o.1dem aute numerus similiter etia producetur,si uteri erroru suorsum in veritate D ducatur. Nam 6 in So ducta creant i8o:& 3 in soducta coponunt so: quae simul addita faciunt etia aro. Quamobrecum summa productoru ex obliqua erroru in positiones multiplicatione, sit aequalis summae productoria ex Vtriusque seorsum erroris in veritate ductu, que multiplicatio Vtriusque seorsum erroris in veritate,aequalis sit amboru errorum simul additorti summae in veritate ductae, per praedicta Euclidis prima regula secussi: Necesse est, si ipsa erroru summa cumulata quae est y, summa productoru ex obliqua erroru in positiones multiplicatione videlicet 1 o diuidat, ipsa veritas N in numero sectionis in luce prodeat. Na quado numer' aliquis ex duoru multiplicatione rducit,idem que per eoru alteru diuidis,in numero partitionis alter apparebit. XPEDITIs salsarum positionum regulis,quo magis stun diosi in eis exerceantur , quaestiones aliquot,quae per eas solui possunt,hic subiiciemus.
ocii tres habuerunt communes aureos 44, quoru se. . a cundus bis tantu quantum primus,atque eo amplius aureos 4 cotulit: tertius quantu ambo reliqui,atque eo amplius aureos 6:quaero,quantu ab Vnoquoque collatu est: ' Experire
237쪽
per datas iregulas:& comperies primum contulisse aureos r.seeundum M, tertium 2s. Rus panni telae aureis aso sunt emplar: quarum secundar bis tanti,quanti prima constitit,atque eo pluris aureis Ior' tertia bis tanti, quanti aliae duae,atque eo pluris aureo v-no;quaero,quanti tela quaeque constitiis Tenta per datas regula,& inuenies primam aureis 2 - emptam esse,secunda aureis s8 ,
B so NATOR quispiam emit in coenam domini gallinaso 3 perdices 4,phasianos S, nummis 86: perdix quisque nummis 3 pluris quam gallina constitit: phasianus quisque nummis pluris quam perdix:quaero, quanti quaeque auis empta
est Tentans per datas regulas comperies gallinam quanque nummis a , perdicum quenque nummis S, Phasianum quenque num
v n i T r 6 panni rubri, & 4 panni Viridis Valet aureos 36.c Eodem pretio cubiti si panni rubri,& 7 panni viridis valent aureos Sy quaero, quanti cubitus quisque utriusque panni constitiis Pone quo pretio libet 6 cubitos panni rubri & patini viridis fuisse emptos, dummodo de ambobus coloribus omnium cubitorum pretium 36 efficiat. Deinde vide si ' cubiti panni rubri & panni Viridis eodem pretio emantur, quantu vel deerit,uel supererit de sy:& errore notato,iterum ad eundem moduponens perge. Ita deprehendes per datas regulas panni rubri cubitum aureos 4 Valere,cubitum autem Viridis aureos 3.
A L L I N A E 3, pcrdices Α, phasiani s valent nummis 72 o Eode pretio gallinae 3, perdices s, & phasiani 7 valent numis 24 H . quaero, quati constitit Unaquaeque auis Regulas duces sequens comperies gallina emptam esse nummo II perdicem nummis s F,phasianum nummis 9 p. 1 N i s T E R cui tradita a domino nummoru summa,manM datum erat ut quendam tritici modiorum numeru emeret: in mercatu profectus singulos tritici modios denis numis licetur:qua ratione de summa accepta nummos o sibi superfuturos deprehedit . at tritici Venditor duodenis numis singulos modios indicat:quod pretiu minister soluere recusat,quod ea ratione coperiet sibi defuturos numos 4o:quaeritur,quis erat modiorum numerus, que emi dominus iussit ' & quis num orii numerus ad id traditus erat Si modioru numerus esset cognitus, simul etia
238쪽
24 inummorum numerus sciretur. Ideo ut exquiras quot modii tritici fuerunt,inuestigandus est numerus qui in io ductus additis 4o tantum producat, quantu in I 2 multiplicatus,subductis o. Is in
uentus modiorum numerum monstrabit. quem Vt exquiras,pone
fuisse modios 36:quoru si singuli constarent nummis denis, fieret 36o: his adde nummos 4o qui superessent,& surgent goo pro summa ministro data. Postea videamus an Venditoris indicatura cum his quadret. Is in singulos modios nummos reposcit:qua ratione modii 36 constarent nummis 432: a quibus si 4o subducantur qui ad pretium illud explendum dcfuerunt restabunt 392: sie 8 desunt, ut fiant 4oo pro summa ministro data. Atque ita positio modiorum 36 defectum in 8 profert. Quare iterum ponamus fuisse modios 38 εἶ quorum si singuli denis constarent nummis, fierent 3 o, quibus addamus 4o quae superessent, & fient 4ro pro summa ministro data. Deinde videamus an venditoris indicatura de Ir nummis in singulos modios quadret: nam sic fierent nummi 4s6. a quibus si o pro his qui ad explendum pretium defuerunt, sub ducas,relinquentur 4I6. Ita ddunt 4,ut fiant 42o pro summa ministro data. Sie utraque positio & de 36 & de 38 salia est. Ex quibus si veritatem per regulas supra datas inuestigare libet,inuenies modiorum numerum,quem dominus emi voluit,esse qo,ia nummorum numerum ministro datum 4 or in quibus numeris empto ris licitatio cum venditoris ind catura quadrabit. ALIO modo per compendium quaestio haec,atque aliae huiusmodi solui possimi, ut numeru qui superfuisset, & numerum qui defuisset,in unam summam addas. Deinde pretium licitantis ministri quod minus est, a pretio maiore venditoris indicantis subducito : & per pretiorum disserentiam quae restat, illam summam nummorum qui superfuissent,& qui defuissent,divide: sic in numero sectionis exibit modiorum numerus,qui caetera omnia aperietrid quod in sequenti quaestione licebit etiam videre. P E R A R II u patrefamilias ad putandam vineam in unuo diem conducti mercedem operatu petunt,singuli numos quinos: ille causatus ante vesperam ab opere eos cessasse, solum ternos offert, quibus si contenti essent,excussis loculis, deprehendit sibi superfuturos nummos . At si quini soluendi ensent,defuturos I . Libet inuestigare quot operarios habuit,& quot nummos . Ut nodum hunc atque huiusnodi per compendiu sol uas,addere oportet numos 7 qui superfuissent,ia nummos I qui
239쪽
desuissent:& surgent 2o:qui numerus secandus est. Deinde subducere oportet mercede minorem oblatam a maiore flagitata, videlicet 3 a restabunt a. qui numerus diuisor erit. Ita ro per 2 se cta in numero partitionis dece proferent. Tot operari, vineam putarunt. Num morti enim numerus qui superfuisset, ad numerum
additus qui defuisset, diuidedus est per mercedis petitae & oblatae
disserentiam,vi numerus sectionis monstret quot mercede petiit.
Postea facile scitu est quot numos paterfamilias habuit. Nam mercedis oblatae numerus in numerum operarioru ductus id aperiet Itaque 3 in Io ducta procreabunt 3o: quibus si r addas, prodibunt 3 :is nummoru numerus patrifamilias in loculis erat. Praeterea si operarius quiique s in mercede exegisset, operaria dece necesse est habuissent so: a quibus si is qui defuerunt,subducas,supercrui I POTES etiam rem explicare, si per falsas positiones numerum exquiras,qui in 3 multiplicatus, additis I tantum Producat, qua tum si in s ducatur, subductis I . Is inuentus operariorum n medrum indicabit,qui caetera omnia aperiet. vo AvREOS habctes,aequalem quisque numerum, ad D emendu pannu in mercatum vadunt. Alter 13 panni eu bitos emit,cui superfuerut aurei Is. Alter eode pretio pa
ni eubitos emit χo: cui defuerunt aurei 18, in quibus remansit de bitor. quaero,quanti constitit panni cubitus quisque, & quantum coru uterque in crumena habuit Potes per coniecturas falsas rem explicare, si numeru per cas inuestiges, qui in I ductus additis istantum producat,quantu in zo multiplicatus, subductis 18. Vel si mauis, percompcdium supra datum rem aggredi licet: de utroque modo deprehendes unius cubiti pretium fuisse 63: Vtrunque autem seorsum in crumena habuisse aureos 24-r. E R C A T o R panni linei telam empturus,ratione facta,co
M perit, si singulos cubitos nummis S emat, sibi superfuturos nummos so. At si io nummis cubiti singuli constenti delaturos nummos So:quaero,quot cubitos tela capiebat quantum illi in loculis erat Si per falsas positiones rem tentas, pereas inuestigandus est numerus, qui in octo ductus, additis quinquaginta tantum producat,quantum in dccem multiplicatus,subduictis octoginta. Qua ratione inuenies tela cubitos sexaginta quinque longam fuisse,nummosque in loculis eum habuisse syo. Potes etiam per compendium datum continuo rem explicare,
240쪽
L I B. r Ix irvo MERCATOR Es naue Ianis Onerandam coducunt.'o alter in eam saccos lanae septe, alter Ianae saccos undecim imposuit: eoru uterque seorsum pro se saccum vnu magi stro nauis traditum Vedi,deque pretio naulum solui, & siquid sua peresset, reddi mandauit. Quod cum expleta nauigatione facta esset,magister nauis ei qui septe saccos imposuerat,aureos quinqua. ginta reddidit: ei vero qui Undecim saccos, aureos 2o. quaeritur, quantu cuiusque sacci nauiu erat, & quati magister nauis traditu saccum vendidit Per positiones inuestigandus est numerus,qui in multiplicatus,additis quinquaginta tantum producat,quantum in ii ductus, additis ror qui cum inuentus fuerit, monstrabit sacrii ei cuiusque naulum fuisse aureos Ia- : saccum autem illum magi stro nauis traditum,aureis Iorivenditum fuisse. v I s AccARI libras sex emerat, intetrogatus de unius Q librae pretio,respodit, Quanti librae sex pluris derem nit-mis constiterunt,tanti librae Io pluris 2o nummis sunt emptae Quaeritur, quodnam pretium est unius librat Ad hane quaestionem explicandam, per positiones inquiredus est numerus, qui in sex multiplicatus tantum supra decem producat,quantu in decem ductus supra ro proserret. Is autem inuetus unius librae pretium indicabit χτ. Vel si mauis ad huius generis amigmata solue-da, compendium sequi licet ad hunc modum, Minimum numerum a medio subducere oportet,& quatuor restabunt: qui nume
ius diuisor erit. Deinde medium numerum a maximo subtrahere est opus:& decem remanebunt. Ea per diuisorem secta libram una nummis 2 esse vendita,in numero partitionis monstrabunt. In
tribus nanque his numeris 6,Io,ro,duae sunt differentiar, siue duo excessus, quorum minor in hoc quaesito maiorem secare debet. Postquam autem habes Vnius librae pretium ,responsi aenigma in Iucem venit.Nam si librae sex in Unius librae pretium ducas, procreantur nummi Is . Atque iterum si libras decem per unius librarpretium multiplices,surgent nummi 2I. Ita numerus hic I aequaliter superat & Io nummos & 2o. RcHITECTVS qui intra ν dies aedes reficiendas susce-' A pit,cum earum domino Vehementer urgente,vi optri instaret,pepigit ut in singulos dies quibus operaretur,mercedem acciperet numos I8: at siquos dies cessaret,pro singulis redderet domino nummos Io. Is tot diebus aedibus reficiendis ope