장음표시 사용
271쪽
numeros vulgo & dicimus &scribimus: sic enim brevitas de
s. mera integra sunt unitatis aut multitudinis unitas est principium multitudinis. multitudo Hi collectio unitarum. Itaque minimus verorum integrorum ci unitas, maximus dici nequit.
Vulgo unitatem numerum esse negant, suamque opini nem variis argumentis tuentur: tria ex iis praecipua hic res ram. Primum argumentum est. Numerus est multitudo, sed unitas no est multitudo, ergo,&c. Huic respondetur per propositionis distinctione nam & populariter de quodam in do philosophice numerum esse multitudinem concedo, sed philosoplaice ita concedo, si de numero multitudinis agaturiat si de numero in genere, illud nego. Generaliter enim ni merum quantitatem mathematicam discretam definivimus, quae definitio etiam unitati competit. Secundum argumentum est.Numerus dividi in partes potest, quia est quantitas: unitas non potest, quia est in numeris' quid simplicissimum: ergo.&c. Sed primum huic assumptioni contradicimus. Unitas enim dividi potest, quia est quantitas: ei nempe aequalitas & inaequalitas attribuitur. Deinde unitatem e sic quid in numeris simplicissimum ita verti in est, si de numeris integris agaturiat si de numeris in uni vcrsum,iulud nego. unitatem enim duabus tertiis, & tribus quartis majorem esse verum est. Praeterea ut magnitudines in singulis magnis, sic unitates in singulis numeratis sunt: quare si unitas
dividi nequeat, nec ma itudines quoq; dividi in parica poterunt, quod falsum est.. Tertium argumentum est. Si unitas numerus est,&pumctum quoq; mathematices magnitudo erit, quod absurdum est. Sed hoc conia cxum negabitur: neque enim unitas puncto in omnibus respondet. Unitas in se ducta unitatem,at punctum
272쪽
ctum in seductum lineam facit. unitas ad unitate addita plures unitates facit, at infinita puncta ad punctum aliquod addita unicum punctum faciunt' unitas numeri multitudinis pars est, punctum nollius magnitudinis pars est. unitas suas partes habet, punctum mathematicum nullas habet. quare etsi unicas numerus sit, non ideo tamen punctum magnitudinem es sene celsum e st.
c. Datorum integrorum unitates nou sunt in nit
Postulatum hoc postea ad 4 versu. cap. adhibebitur.
. Vcra partes ordinibus supero inferoque re L iis media scribant ut supcrior ordo inferiore minor e T.
Ut hic et, 2. Explicatio exempli primi est una secunda, secundi triginta quinque quinquagesimae sextae: denique ut
nomen verorum integrorum i intelligitur, sic verarum partium nomen semper aliquis multitudinis numerus est. At sunt qui hic ob)iciant partes veros numeros non esse: quia, inquiunt, vera numeri denominationem non habent. Sed inquam ego, cum I, 2, 3, 4, dicin xis, totidem semper unitates intelligimus: quare etsi huiusmodi numerorum denominatio non exprimitur,non sequitur tamen quin ea sit. Cur autem ea vulgo non usurpetur, supra ad vers. hujus cap.
docui. Sed hoc illos movet: putant scilicet nos in partibus sensiles aliquos numeros proponere, quod mathematica noadmittit. Atqui absurdum est partes unitatis sensile, putare, cum ipsae unitates sola mente percipi possint. Instant: nam si
partes veri numeri sint inquiunt, impar numerus erit pari cujusque enim numeri dimidium verus numerus erit. Sed hoc quoque connexum negabitur: ne Me enim parem num rum dicemus quem binarius dividit, sed quem binarius inctitur. Binarius ut dati cujusvis numeri divisor sit, non tamen statim ejusdem mensura est. Sed res ingeniis non contentiosis luce clarior est: unitatis enim partem aliqua tam parvam
dari aua minor alia dari nequeat, impossibile est: hujusmodi
273쪽
autem particulae quantitates mathematicae sunt, neque ullum unquam communem terminum habent: quare ex generali numeri definitione partes unitatis veri numeri sunt.
r. Pars minoris nominis parte nominis majoris major i. Sic major est quam , item ma Or quam . Itaques. Singularium partium maxima est ri , mi nima dici nequit.
Singulares partes dico quarum numerus est s. harum maxima ut quoque integrorum minimus dicitur: minima dici nequit, sicut nec integrorum maximus dici potest.
1ο. Hactenus deprimariis numeris. Secundari unt quorum cognitiosecundaria Hi sunt , simplices aut compo iti. Ir. Simplices duobus tantum ordinibus scribuntur, sunt integri aut partes. Integri ab rue linea scribuntur.
Sive ut integri tantum considerentur, sive ut integri de partcs, nihil interest: ut in : duabus tertiis quatuor septimarum, tribus quartis quinque octavarum septem nonarum. In primo exemplo ' integra tantum sunt; in secundo: antecedentium integra, sequentium partes sunt: utrobique autem hiasus modi integra nullam interjectam lineam habet.
D. Partes mediasvis ordinibus linea Fribuntur: earum ordo operio inferiori aequalissi partes unitati aequales imajor,partes unitate majore gnificat.
Sic in partes illic unitati aequales, hic unitate maj res sunt.
is. Compositi numeri secundam sunt qui pluribus ordianibus quam duobus sicribuntur.
Sic ad compositi secundarii numeri sunt. Hactenus denotatione. ad numerationem jam venio, Dena
274쪽
L I B. I C A P. III. y De numeratione in genere, & denumeratione aequata. Cap. III. Umeratio e i quae datis duobus numeris legitime te
tium invenit. Hinc patet, si numeri duobus plures numeradi sint,binos
numerandos esse: numeratio enim duobus tantum tertium
invenit Itaque si 3, , & 7 simul addendi sint, primo i dentur 3 '& , deinde eorum summa ad 7 addetur. Praeterea numeratio non quovis modo,sed legitimc tertium invenire dicitur: s igitur numerationis lex tertii inventionem non patiatur,ut cum 2 e 2, 3 e 3 tollendi sunt,numeratio tertium numerum nullum inveniet.
a. Dati duo numeri notis scripti duabus quidem toti,
pluribus autem per partes numerantur. Sic dicimus 3 & esse ,& ter esse Iz.Veru s ad szaddendi sint 6 , hic primum ad 2 deinde 6 ad saddimus. Si murutiplicandi sunt 7 per 36, primum 7 per 6, deinde cundem per
3multiplicamus: idc enim est numerare per totum & per partes. Verii in numeratione per partes facilitas aliqua incist major, quia facilius numeros parvos quam magnos numeramus.
3. In hujusmodi per partes numeratione duo notanda sunt primum est, numerorum notas inter numeradum q&a
Sic in additione 47 ad 32,additis et& , reliqui numeri janni non ut 3o & o sed ut 3 & considerantur: sic enim facilitas
. Alterum est, notas ripta inter numerandil delenda
deinde si eam cunotis proximis numeranda mente retineri In additione 16 ad 38 primum dicimus S & 6 esse i ,sed deinde additis 3&s scriptardelenda esseneam igitui mente re servabimus:sic enim brevitas maj ot futura est.
275쪽
io B. fALIGNACI ARITH. s. Numerationis duplicem distinctione facimus. Pri
mum numeratio aqκata aut proportionata e l. quata est
cui aeq ualitas legem praescribit: Us additio aut subdu Zio. A. Vitio a dextra incipit datos addi usummam ouae
qualem inveniat. Sic io summa 3&7,ipsis 3 &7 aequalis est: totum enim suis partibus simul omnibus ςquamus. Additionis autem propriusignum significans plus, sic est . sic dicimus 3 7 esse io.
c. Additionis proprietates duae uni primasic Ut Si nu
meris aequalibus aeqt ales addantur, summae aequales erunt.. Sic si ad & addideris I & 7, summς ii & i I aequales eruta
. Secunda proprietas sic est inumeris inaequalibus aequales addas unimae additis inaequalibus militer inaequa
similiter inaequales erunt: hoc esst quanto 1 cst minor quam o, tanto 9 minor erit quam io.
r. Subductio a sinistra incipis, S datorum alterum ex alterosubduci ut reliquus cum ubducto ei a quo ubductio
Sic subductis 7 e io reliquiis 3 cum 7,ipssio, aequalis erit: partes enim simul omnes suo toti aequamus. Subductionis autem proprium signum significas minus, sic est Sic dicimus Io 7 esse ', vel io 3 esse r. Additio ex data subductione Mcontra subductio ex data additione recte cocluditur.Si dederis io 7 esse 3,vel io ue esse 7,concluda 3 7 esse Io: & e contra si dederis 3 7 esse io, concludato Iesse3,vel io 3 ecter. Neq; tamen vulgo arithmeticorum assentior existimantium, factam additione subductione probanda esse, & contra. Naad factae additionis probatione subductio non datur sed quaeritur, in cujus inventione non minus gin facta jam additionu
276쪽
peccari potest. Dices, Quomodo igitur in additione sumna additis, in subductione reliquii cu subducto alteri dato ςqualem probabimus 'Respondeo, satis esse si additionum &subductionum regulas inter numerandum sequutus sis: si dubites utrum sequutus sis, iterum datos similiter numerabis.
s. Subductionisproprietates duae sunt 'rimasic est sis
numeris aequalibus actuales tollas , reliqui aequales erunt. sic subductis 3 &s es se A reliqui 6 dc 6 aequales erunt. io. Secunda sic est si uumeris inaequalibin aequales,vel ex aequalibus inaequales togas, reliqui datis inaequalibus directo vel contra similiter inaequales erunt. Sic subductis dc e 7 & 6, reliqui 3 & α datis I S 6 similiter inaequale, sunt: vel si mavis quanto 7 exced ut 6, tanto 3 excedunt r. Item subductis & s e 9 & 9 , reliqui si & datis 1 & 3 similiter inaequales sunt, vel si mavis quato minor est quams,tanto 6 major est qV am .
De numeratione proportionata de presertim de multiplicatione. Cap. IIII. Roportionata numeratio e 3 cui proportio legem prascribit: estq; multiplicatio aut divisio.
Proportionis, sicut antea qualitatis, non elogicum est: Mut antea aequalitatis in additione & subductione, sic modo proportionis in multiplicatione &divisione leges clarisimae& facillimae futurae sunt.
a. Multiplicatio a dextra incipit, ct datos inter e mul tiplicat, ut numerum faciat qui sit ad alterum multiplic
torum,ut reliquus e i ad unitatem. Siccum 3 multiplicamus per η,numerum qu rimus qui sit ad 3 ut 4 est ad unitatem,vel qui sit ad 4 ut 3 est ad i. Hic in veritus numerus proprio nomiae factus dicitur. Multiplicationis proprietates scutiuntur. T C Σ
277쪽
B. SALIGNACI ARITH. s. Si duo numeri quovis modo interse multiplicentur, li ab iis aequales erunt.
Si ver per sive pe multiplices,aequales numeros facies.Vla Athenis Thebas est via Thebis Athenas. . Si nlimerus plures numeros eorum 7 siummam multia
s licet a Ius a punim a Zo a caeteris aequabitur.
Idem enim est multiplicare per totum & per partes. Ita facti a per 3, 7 facto a 4 per eorum summa is aequabutur.
1. Partes inter se aequales erat, quando faciti ab earum
numeris per alternum nomen inter se aquabantur. AEqualitatis partium definitio quaedam est ex alterna te minorum multiplicatione. Itaque in & si fata usa per 3 fa - cto a s per 2 aequalis sit, &d inter se aequales erunt.
6. Si tres numeri interse inaequales ni rectus alumnia
di ferentiarum medij ab extremis per medium actis a disse
Lentris per alternos extremos aequabitur Superiorum proprietatum veritas per se manifesta fuit,liu jus non item: eam igitur breviter demonstro.Tres numeri inter se inaequales sunto 16, u&si, tum m differetiae medii ii ab extremis io & di sunto s& 2:dc suma disterentiarii 1 & 2 esto is ' a
Dico factum a per ii factis a et peris My per ' aequari.hoc sc doceo. primum enim per ver buJus cap. factus a 7 per irsectis az per ii x asper u aequatur: nam per thesim 1 2 sunt deinde facti a 1 per ii & s petat factis at per II, spera,&sper 9 aequantur: nam ex thesi ii - 2 est '. quare per sch olium 8 vers. 3 cap. 2 'estii ideoq; per vers. hujus cap. facti asper' v&1per 9 facto a I pzr ii aequantur. ideoq; per 6 vers 3 cap. fa-
278쪽
ctia aperu&sperii factis at perii, Ipera,&spers, hoc est per ue vers hujus capitis factis a 2 perii, 2 per F,& s per 9 aequatur . Denique ob eas de causas i a v per Π,a: per s, & a s per 'factis az per i6&asper 'aequantur. Ergo a primo ad ultima factus a 7pem factis a 2 per r6 per ' aequabuntur. Haec propositio summum vel potius unicum Archimedeae allia gationis, si mathesin spectes, sundamentum est. Arithmeticus discipulus notarum singularum multiplica tionem addiscat ut sequitur.
279쪽
Hic singulae inferiores notae per primam sui ordinis multiplicantur. Sic in primo ordine unitas primum seipsam multiplicat: deinde per eam multiplicantur 2,3, ,s. Sic in secundo ordine a primum seipsum multiplicat, deinde etia per et multiplicantur 3, , sic de caeteris. facti autem semper suis multiplicatis superscribuntur.
De divisione. Cap. V. i. ID Risis a sinistra incipit, alterum datorum per rei quum dividit, ut quotus habeatur qui sit ad lividem
dum ut unitas e T ad diviserem.
Sic cum ir per η dividimus, quotum quaerimus qui sit adii ut i est ad 4. Divisionis proprietates aliae unicam divisione, adiae multas comprehendunt: pr'prietatis unius divisionis priore loco explico.
a. Si diviser diet iduo aequalis sis, dividuum metietur
Sic metitur per I, 6 metitur 6 per i. Generaliter autem numerus is metiri datum numerum dicitur, qui subductus edato quoties potest,nihil relinquit. Hqc mensurae numeri definitio est: unde efficitur ut & major numerus minorem me' tiri nequeat,neque enim majorem e minore subduxeris:& quotus inventus aliquis integrorum sit, hic enim qui e dato sub ducitur quoties potest, nihil relinquit. Deniq; in arithmeticis metiri dividere est,non contra: dati ςnim numeri mensura jus divisor est, non contra.
3. Si divi or dividuo major fit, quotus veras partes dabit , quarum numerus quidem ipse dividuus, nomen autem
. Si diviser dividuo minor sit, is dividui pars aut
280쪽
Hic parφem partibus, ut unum multis, Oppono.
Si diosor dilidui pars sis, hujusmodi partis num
rus quidem unitas nomen autem eriti e quotus. Divisor dividui pars est qui dividuum ipso minorem per
integrum multitudinis metitur. quoniam enim divisor metiens, dividuo minor est, ideo per integrum multitudinis eumetitur. Ergo minor quam zo metiatur ipsum ro per 1,hic per proximum versiculum erit Cro.
c. Si diviser dividui partes constitua hujusmodi partium numerus quide diviser, nome aute erit ipse dividuus.
Divisor dividui partes constituit qui dividuum ipso majorem non metitur, sede dividendo subductus quoties potest, aliquid relinquit ipso minus 7 subductus Ero quoties potest. relinquit qui reliquus divisore 7 minor est:ergo divisor 7crit - ί2o. Hactenus de proprietatibus unius divisionis, sequentes proprietates multas divisiones comprehendunt.
. Si plures numeri eundem numerum dividant oe imiseres aequales velinaequales int, quoti quos aequales vel
inaequales erunt si ia per et & t, vel per a &3 dividas, quotos illic aequales hic inaequales invenies.
s. Dividuus a dato per tertium, dividitur a tertio per
Si ia dividatura; per Α,idem a sper 3 dividetur. Itaques. Si verus integer metitur datum, quotus inventus eundem quoque metietur.
Sic ex causa effectum concludo.
Io. Si numerus idem plures numeros eorum' ummam dividat, quotussumma caeterorum quotis aequabisur.