장음표시 사용
301쪽
Si triplatus alter tantum par fuerit, tunc siquidem primus impar fuerit, factus aquaternario perdictum quotum auctus unitate erit cogitatus numerus. Novenarius in secundi triplati dimidio esto bis. Hic igitur cogitatus numerus erit s.
Si secundus triplatus impar fuerit,factus a quaternario per dictum quotum auctus binario erit cogitatus numerus. Novenarius in secundi triplati dimidio esto ter. Hic igitur cog
dictum quotum auctus ternario erit cogitatus numerus. Novenarius in secundi triplatidimidio cito quater. Hic igitur cogitatus numerus erit I9.
Ergo in hoc ludo sive novenarius secundi triplati dimidio major sit,sive in eo aliquoties habeatur, arithmeticus divin tor diligenter meminerit, qui triplati pares, quive impares fuerint. Sic cum voluptate aliqua pueri memoria liberaliter&honeste exercebitur, ut tandem liberales artes amare incipiat.
De primis &compositis tum per se tum inter se Cap. XI. r. S Equitur altera distinctiio numerorum per se. Numerus
entprimus aut compos itus. Primus αἱ cujus maxima
302쪽
L I B. L CAP. X Lmensura alia De multitudinis numerus non e L
Sic i, 2, 3, F, 7, ii, numeri prinia sunt. Da e
a. Numerus primus mensuras duabus plures non habet.
Unitas mensuram aliam a se nullam habet. At primus multitudinis numerus praeter se ipsum unitatem quoq; sui mensuram habet. ita
3. Numerus compositus e 7 cujus maxima mensura alia af e i numerus multitudinis.
Sic ε, 6, 3, 9, is, 2I, compositi numeri sunt.
. Si numerus e i compositus, eum primus aliquis multi
tudinis metietur. Numerus compositus esto 3s,primus inquam, aliquis multitudinis numerus eum metietur. Etenim compositi 36 metire mens iram multitudinis,& deinceps quoties poteris mc- surae mensuram multitudinis per alium multitudinis num rum. Hic quia datus numerus compositus est ex thes, neque eius unitates infinitae sunt per 6 versa cap. ideo ultimus tandem multitudinis quotus primus futurus est per i vers. hujus cap. isque metiens menstiram aliquam dati 36,ipsum quoque 36 metietur per is Vers. I cap.
1. Huc u que numerosperste exposuimus: sequuntur numeri inter se, quisuntprimi intersi, aut compositi inter . Primi intersi unt, quorum maxima communis me ura e i
Sic 1 α η, io Δ 21 sunt primi inter se. Itaque
c. Ninmera primi inter se nultim multitudinis mensiuram
communem habent. Secus multitudinis numerus unitate minor es et contra
303쪽
B. fALIGNACI ARITH. . Compositi inter se sunt, quorum maxima communi
mensura e i multitudinis numerus. Sic 3 & 3, s & is, & 6, sunt compositi inter se.
. Compositi inter se primum aliquem multitudinis nu
merum communem menseram habent. Si eorum maxima communis mensura primus multitudinis sit,res per se nota est sin ea compositus numerus sit,ium cana primus aliquis multitudinis numerus metiri potest per vers. hujus cap. quare hujusmodi primus metietur compositos inter se per i3 vers s cap
De proprietatibus numerorum inter se. Cap. XII. i. SIdati numeri sint 'rimi inter se,non habebunt alios ni nores ipsis proportionales.
Sunto primi inter se , 6, & 9. dico eos non habere proportionales ipsis minores. Secus ex contradicentis proposito minimi ipsi proportionales sunto et, 3, 8. hic a , 3, dc 8 metientur 4, 6, & 9 per cundem in regrum multitudinis, ut patet per i 3 vers 6 cap. Quare 6, 9 primi inter se ex thesi, habebunt communem mensuram multitudinis per 'vers. s cap At hoc est contra 6 vers. D cap. Ita ea. Si dati alios habeant minores j sproportionales, ei ret
Nam nisi sint primi inter se,erunt compositi inter se per
3. Si dati sint compositi inter e , habebunt alnos minores ipsis proportionales.
Patet hoc per i vers. hujus cap. propria enim contrariorum consequentia contraria sunt. Itaque
304쪽
. Si dati numeri alios ipsis minores proportionales non habeant,erunt primi inter se.
Nam nisi dati sint compositi inter se, erunt primi inter se
1. Si duo numeri sint primi inter actus ab iis erit mi ni mus ab ipsis. dividuas
Sunto primi inter se a & s, facilisque ab iis esto is dico is es e minimum dividuum a datis 3 & s. Secus dividuus a latis 3 & s minor quam is cito i , tumque quoti e i per 3 M s suillo &α. hic per ' veri 6 cap. ut 3 ad 1 sic a est
Sed ex contradicentis proposito factus a 3 per in m nor est quam factus a 3 per s. ergo per s Vers 6 cap. 4 erit minor quam I, & ob eandem causam 2 quoque minor critquam ' ergo per 2 Vers hujus cap. 3 & s erunt compositi io-ter se. At hoc est contra thesim. 6. Si n merus datos metiatur per primos interste, erit m xima communis mensura datorum. Faciamus 6 metiri et , s d a per primos inter se
, 9 & ia. Dico 6 csse maximam communem mensuram datorum et , sin & Tr. Secus communis eorum mensura
major quam 6 esto T. tumque 7 metiatur 2 ,s , α τοῦ per 3 , s de io. Hic facti a 6 per & a 7 per 3 aequabuntur per thesim & per i vero, cap. de ob easdem causas facti a 6 pers Ma I per 3,. itemque factia 6 per i a & a 7 per iointer se etiam aequabuntur. ergo per 9 vers. 6 cap. ut 7 ad 6sic ad 3, &sic ' ad 8 , &sic ia ad io. sed ex contradicentis proposito 6 minor est quam 7. ergo 3. 8 M io minores erunt quam 4, 9 Sc n. ideoque , ' dc iverunt composti inter se per 2 vers. hujus cap. At hoc est contra thesim .
. L numerus metiens datos e i maxima ipsorum communis mensera, erunt primi inter ste.
305쪽
Dati numeri sumo Ia,28 dc η , eorumque maxima con munis mensura esto . item 4 metiatur Iz, 28 & per 3,7& ii. dico 3 &uelle primo, inter se. Secus ex contradicentis proposito &per 3 vers. hujus cap. minimi datis 3, 7 5 ii proportionales sunto et, s & so. Hic per thesin&per 9 vers. 1 cap. ut ir ad 3 sc 18 est ad 7,&sic ad ii. quaru ia,28M quoris 3, 7 & ii, hoc est ex contradicentis proposito minimis 2,s de io proportionales erunt. Item ex ipso contradiscente & per i 3 vers. 6 cap. 2. I & io metientur Iz, 28 & per eundem multitudinis numerum. Num crus porro metiens it, 28 & per 2, s 5 io, erit ipsorum fa, 28 S maxima communis mensura per 5 vers. hujus cap. At ex thosi est maxima communis mensura datorum I 2, 28 & . E go per 9 vers. y cap. idem numerus nempe q metietur ia per 3.&per 2, idem numerus nempe metietur as per γ & per 6, idem numerus in metietur per ii dc per io. At haec sunt contra 7 vers s cap.
i. Si primus multitudinis numerus non metiatur datum, erit ad eum primus. Datus esto λ &primus eum non metiens esto 3. dico 3 αs esse primos inter se. Secus per 1 & 8 ver ii cap. dati 3 dia shabebunt communem multitudinis mςnsuram, eamque diversim ab ipsis ex contradicentis proposito, & sic primus numerus 3 habebit multitudinis mensuram aliam a se,quod est contra i vcrs ii cap.
s. Si primus multitudinis numerisfactum a duobus da
tis metiatur, alterumsaltem datorum metietur Erit igitur saltem ad altem in datorum compositus per Tvcrs ii cap. Saltem inquam: interdum enim ad utrumq; compotitus est,ut patet in s facto a 6 per 9. Hic enim primus 3 meticns s , metitur quoque 6 dc 9. Sed ad propositum. Datinumeri & 6 faciant a ,rumq; primus , metiatur 2 per η, idem-
306쪽
idem p 3 non metiatur Hic inquam 3 metietur s. Primus enim 3 non metiens ex thesi erit primus ad eum per 3 vers. hujus cap. Praeterea cum 3 metiatur 2 per 8 exilies, factus a 3 per 8 erit 24 per a vers. 6 cap. Sed ex thes fael usa per 6 est etiam 2 . ergo per 8 vers. 6 cap. ut 3 ad sic 6 est ad 8. At s& primi inter se ut patuit sunt minimi per i vers hujus cap. ergo per is ver 6 cap. & 3 metientur 8 & 6 pereundem integrum multitudinis:& sic 3 metietur 6,quod erat demonstrandum. Inventio omnium mensurarum dati ni meri compositi ex hoc versiculo sequenti capite demon
De inventione omnium mensurarum dati numeri compositi. Cap. XIII. Id ventio omnium menserarum dati numeri compositi duas partes habet. Primasic e i a. Si primi multitudinis numeri a minimo continue m tiantur datum S dati quotum, O quoti deinceps quo tum quoties feri poterit, hi nodi mensores cum ultimo
quoto unitate erunt omnes primi metientes datum.
Inveniendi sunt omnes primi metientes compositu Io o. Primum igitur ex omnibus primis multitudinis metientibus datum minimus est & quotus e so o per 2 cst zizo, quem 2 metitur per i 26o, quem 2 metitur per 63o, quem vinetitur per 3is. Item ex omnibus primis metientibus 3 ii minimus est 3,& quotus c sis per 3 est ros, quem 3 metitur pers . Denique ex omnibus primis metientibus 3s minimus caI, α quotus e 3 pcr s est 7 hii quotus quia anullo alio multitudinis numero dividuus
307쪽
mum enim i metietur datum so o per 2 dc 8 vers. 3 cap. Deinde a metitur so o per thesiim. item 3, I & 7 eum quoque metiuntur per fabricam &per IJ Vers. I cap. quare , α, 3, & 7 metiuntur datum so o. Praeterea dico etiam non posse dati primos qui datum so o metiantur praeter 1, 2, 3, 1 & 7. Secus primus aliquis ab iis diversus, puta ii meti tur datum so o. Hic ii metietur 2 aut ryro per fab. 5 per' vers. 12 cap. Sed ii non potest: metiri α per thesim & peri Vers. II cap. ergo metietur a to. Similiter ob easdem causas ii metietur quoque W6o, 63o, 3is,ios, is,&7: M scri qui multitudinis numerus a 7 diversus est ex contradicentis pro- post tometietur 7 primum ex thesi. At hoc est contra i vers.
3. Secunda pars c e l. Si primi inventi multitudinis numeri a penultimo, sequentes primos ribit actos omnesse et multiplicent , fac si erunt omnes compo siti metientes
datum. Inveniendi sunt omnes compositi metientes datum so o. Primi igitur in veti multitudinis numeri omnes a penultimo,
M sequentes primos, & ab iis factos semel multiplicent, factique sunto, ut sequitur: Primi
308쪽
metientur sis. Similibus argumentis idem concludes in 63o, Iaso,ryro de so o. Quare inventi, it dictu e st, cor positi oesmetientur datu so o. Sed nec ullus compositus alius ab istis ipsum so o metiri poterit. Nam si contra existinacs,Crgo aliquis compositus alius ab inventis puta q6 metiatur datum so o per 3 i. Hic ex contradicentis proposito 46 compositus est, x quidem ab inventis jam compositis omnibus diu cisuo:
309쪽
emo 6 ab omnibus inventis dati so o mensuris tam primis quam compositis diversus est. quotus igitur 3 per 7 vers. scap. alius etiam ab omnibus jam inventis mensuris numerus multitudinis estJam vero ut 2 ad 46 sic per thesim & per svers. 6 cap. 34 est ad asto. dcinde per 9 vers. I 2 cap. 2 mctitur 34 aut q6: metiatur q6 per z3. ergo metietur quoque 2Iroper 23. proportionalia enim sunt 2, 46, 3 & 2Ito, ut patuit.
Sed ex supra concluso 3 alius ab omnibus inventis men Rris multitudinis numerus est. orgopcr 7 Vers.s cap. 23 alius etiam ab inventis Ja in mensuris numerus multitudinis erit. Item ut 1 ad 3 sic per thesimae pcr 9 Vers. 6 cap. 23 ad I 26 o. Praeterea ut supra et metitur 3 aut a .ergo aut aut a uenaetietur i26o. Denique si in quotis per primas mensuras inventis proportioncs similiter persequaris, duos tandem novos multitudinis numeros inter & 7 proportionale, invenies, quorum alterum primus s metietur peribes m&per 9 vers. Ir cap. quare reliquus metietur primum 7. quod fuerit contra i vers II cap. Duci igitur militum so o quaerenti quot modis eos recte ordinare possit, haec inventio quaesitorum ordinum modos 3o suppeditabit: nempe dimidius hujusmodi mensur xii numerus erit quaesitus numerus. Ordines militum sic sunt:
310쪽
His signiscatur si ordo sit militum so o, tunc in eXercitu unicum ordinem fore: si ordo sit militum a oos, tuc s ordines fore: si ordo sit militum 72o,tunc I ordines fore,& sic de coteris. Supersunt adhuc nonnullae proprietates primorum inter se quibus pos hac carere no possumus. Eas igitur seqvcnti capite breviter cΣplico.
De proprietatibus primorum inter se. Cap. XIIII. r. SI duo dati numeri sint primi inter se, alterius mensurae
ad reliqui me ut asprimae erunt.
Dati 8 & 7 sunto primi inter se, tumq; omnes metientes 8 sunto i, 2, & 8,&similiter omnes metientes 27 sunto I,3,9 & 27. dico monsuras omnes unius datorum ad reliqui mensuras primas esse. Secus faciamus mensuras i&3 inter se co- positas esse,& maxima earum communis mensura esto r. Hic Σ est numerus multitudinis per I vers. Is cap. qu i numcrus ex contradicentis proposito metitur a de 3, qui ex thesi metiuntur 8 5 27 primos intcr se. ergo per i 3 vers. s cap. numerus multitudinis a metietur primos inter se S & 27,quod erit co-tra 6 ver ii cap. Itaque
a. Si duo numeri sintprimi inter fle, metiens alterum erit primus ad reliquum.
Nam is reliquus metitur se ipsum per unitatem, ut patet per 2 vers. F cap.
3. Si duo numeri sint primi ad tertium d a Ius ab iis erit
quoque ad eum primin. Sunto 3 & 6 primi ad s.factusq; a 3 per 6 esto is: dico is esse primum ad 1. Secus per 1 & 3 vers is cap aliquis primus G Σ