장음표시 사용
281쪽
Idem est dividere per totum &per partes. itaq; quotie irJc i6 per et, quoto ex eorum summa 3 per et aequabu latur.
ri. Si numerus plures datos metiatur , eorum quoque summam metietur. Alioqui quotus summet quotis particularium inaequalis 2Dset contra Io vers. Etia. Si numerus datum datipartem alteram meti. tur,reliquam quoque metietur. Causa proximae superiori eadem est.
u. Si numerus mensuram dati metiatur, datum quos
metietur. Metiens enim mensuram dati, iteratus quoties opus est ipsa dati mensura est. . Si numerus numerum metitur,metiens quidem maxima utris que communis mensera, dividuus autem minimus ab utroque dividuus erit.
Communis mensura est numerus qui datos metitur : eaq; maxima est,si alia communis major dari nequeat. similiter communis dividuus est numerus quem dati metiuntur:isque minimus est,si alius communis minor dari nequeat Jam ci ius 4 datum ia metiatur, dico esse maximam communem mensura ipsorum & ir. Communis mensura est: ipse enim se ipsum metitur per Σvers hujus cap.& naetitur in ex thes. Amplius,si major numerus quam metiatur &n, major numerus quam 4 metietur ipsum ς, quod erit contra scholiu2 vers himus cap. Praeterea in proposito dico etiam 1ι esse communem minimii dividuum ab ipsis & ii. esse communem dividuum patetmam ex thesi is est dividuus a , & idem a se dividuus est per avers. hujus cap. Item si minor numerus quam 12st dividuus a iaci tumia metietur numerus e ipso minorem
282쪽
minorem contra scholium a vers. hujus cap. Sed haec specialis est& dividui &mensurae duorum datorum inventio: deinde etiam generalis&mensurae plurium&dividui a quotlibet datis inventio cap. is commodius docebitur.
u. Si dati duo numeri aliquem metiantur, minimus ab iis dividuus eundem quoque metietur.
Dati duo numeri & 6 metiantur et ,& minimus ab iis dividuus esto i2: hic inquam i 2 metietur 1 : nam si iΣ as aequales sint, tum Ia metietur 2 per Σ vers. hulus capitis. Sin autem, tum 1 2 aut major aut minor erit quam et q.
Major esse nequit, quia minimus dividuus a & 6 est iΣ ex thes,consequens igitur est ut i a minor sit quam 2 . Italsi non metiatur a , sublatus e 24 quoties potest aliquid relinquet ipso minus per scholium 6 vers. hujus cap. Reliquuillud esto 1 & quod i 2 metitur c rq esto 22. luc quia qmetitur 12 ex thes, idem quoque metietur 22 per i 3 vers. hujus cap. sed idem metitur etiam 2 ex thesi: ergo per IzVers. hujus capitis 4 metietur 2, atque ob easdem causas smetietur quoque 2. Sed docui 2 esse minorem quam Ir: quare Ια non crit minimus a datis & 6 dividuus. At hoe est contra thesim.
1 c. Si duo numeri ad eundem proportionales mi , cq
lis erunt: S contra. Ut i 2 ad 6 sic factus a 3 per adeundem 6. Hicin qua 12 &factus a 3 per inter se aequabuntur,& contra si ia αfactus a 3 per inter se aequales sint, quotus facti a 3 per divisi per 6, erit quotus ia divis pcr eundem 6.
. Si quatuor numeri proportionales in iidem quo Me
283쪽
portionis reliquo hoc primo libro quotorum similitudinent tantum, atque si inititudinem tam scit quorum quam quotorum significat. Quatuor inquam proportionales sive alte
nentur, sive invertantur, proportionales erunt. Alternantur quando antecedentium alier tantum , invertuntur quando antecedentium uterque consequens fit: ut 2 ad 3 se ad K.
ergo alterne ut 2 ad 4 sic 3 ad 6, vel ut ad α sic 6 ad 3. I e, ut a ad ue sic ad 6: ergo inverse ut 3 ad 1 sc 6 ad 4,vel ut 6
Explicatae numerorum proprietates supra ad 4 cap. c sola multiplicatione, hoc capite e sola divisione sun ptae sunt: sequentes c multiplicatione de divisione simul sumentur.
De numerorum proprietatibus e multiplicatione Adivisione sumptis. Cap. V I. i.S I numerus a duobis datis facius it , alter datorum eum
per reliquum divi et contra. Factus a 3 per esto ir, dico dividere ir per 3. Hla
enim perihesm&per 2 vers. 4 cap. ut ia ad sc 3 est ad s. ergo alterne, ut 3 ad i 2 sic i cst ad 4. ergo per i vers 1 cap. dividet a 2 per 3. Conversae demonstratio perinde facilis est. Datus dividat i 1 per 3,dico i 2 csse factum a 4 per 3. Haenim per thesin Sc per i vers. s cap. ut 3 ad la sic t est ad ergo inverte ut i 2 ad 3 sic ad i. ergo per a vers. cap. ii erit factus a per 3. Itaque
a. Si numerus a duobus integri a Iu it, uterque rit
grorum e m metretur contra. E demonst a totam genere species concludatur.3. Si e tribus datis numeris primus equentium alterum divi at, quotus reliquum multiplicet a ius erit tribus datis quatias proportionalis , Tres
284쪽
Tres dati numeri sunt 3 3, is M ar. tumque 3 dividat is pers,&factus a s per i 2 esto 6o, dico ut 3 ad is sic ir eine ad 6o. Hic enim ex thesi&per I veris hirius cap. quotus C so per M. est L&rursum per thesim quotus e is per 3 cst idem J. quare ut 3 ad is sic ir est ad 6o. -
. Si e tritus datis numeris sicundus reliquorum ali rum dividat, quotus reliquum multiplicet,utprimus e T
- secundum sic factus erit ad tertium.
Tres dati numeri sunto 3, &6 : tumque secundus dividat 3 per Σ, & factus a 2 per 6 esto 11. dico ut 8 est ad sic i1 esse ad 6. Hic enim quotus e rι per 6 erit a per thesim&per i vers. hu)us capitis,&rursum per thesim quotus ex s per est z. ergo ut 8 ad 4 sic ia erit ad 6. s. Si numerus numeros multipliset a ii erunt multiplicatis proportionales. . Numerus z multiplicans & 3 secerit S & 6. dico ut ad 3 sc 8 esse ad 6. Hic enim per thesin &per i vers. hujus cap. quoti ex 8 per dc c 6 per 3 sunt iidem . quare ut 8 ad sc 6 est ad 3. ergo alterne ut 3 ad 6 sic est ad 3 Hinc cst quod vulgo dicitur paries suis aeque multiplicibus esse pro
6. Si quatuor numeri sint proportionales actus ab G tremissa io a mediis aequabitur.
Haec vulgo regula aurea dicitur: & certe mathesis inde fructus plusquam aureos quotidie percipit. ut ir ad in sc 6 esto ad i. dico factos a ta per Σ & a 6 per inter se aequales esse. Etenim factus a ir per 6 esto 72. Hic per 3 veri capitis factus a 6 per i ι erit quoque 72. Jam ut 7α qui est factus a ta per 6 perfab ) ad factum a i 2 per et sic per s ver hujus capitis 6 est ad a & pcr. thesm sic i1 ad 4: rursum pur 1 vers. hujus capitis sic 7a squi est factus a 6 per is,
285쪽
ut patui' ad factum a 6 per ψ. Ergo a primo ad ultimum ut 1 ad faetiima ii per z, sic 72 ad ractum a 6 per . ergo per i6 vers 1 cap. facti a ia per α & a 6 per inter se ae
. Si e tribus numeris datis secundus tertium multiplicet, Sprimus ab se actum dividat, quotus erit tribus datis
Marius proportionalis. Patet hoc per i vers. hujus capitis. Et
S. Si termini partium sint proportionales,partes interst
aequabuntur. Patet hoc per s vers hujus cap.
s. Si factus a duobus mediis aequatur acto ab extremis,
quatuor dati erunt proportionales. Harc rcgulae aureae conversa est. Quatuor dati sunto is, ,6 & z. tumque facti a ia per 2 Ma 6 per q aequentur, lico ut ii est ad . sic si esse ad a. Etenim facti a ia per 6 &a per 6 sonio 7ι & et . Hic per s vers hujus cap. ut i α ad sic τι ad χ . At per thesm,perfab.&3 vers hujus cap. factia a per n&a 6 per ia sunt et & 72. Ergo pers vers. hujus cap. ut 7r est ad 2; sc 6 est ad a. Ergo ex praemissis, ut 11 ad . sic 6 est ad 1. Itaquero. bi numerus en actus a duobus datis, ejus diet isti quotus erunt medii datis proportionales.
Patet hoc per i ver hujus cap. Et
tr. Si es tribus numeris datis primus multiplicet tertium,
secundus ditida actum, ut primus e Tadsecundum e
quom, erit ad tertium. Patet etiam hoc per i vers. huius cap. Et
ia. Si partes inter se aquales int, eorum quoqγe termini
286쪽
r3. Si dati numeri minores proportionales non habeant, majores ipsis proportionales per eundem multitudinis int
grum metientur. Haec proprietas ct si e sola divisione sumitur, tamen quia absque proximo versiculo demonstrari non potuit, eam non
temere huc distuli. Dati numeri qui minores proportionales non habeant sunto 3, 7 de 9, majores autem ipsis propo tionales sunto iα, 28 & 36. Primum dico 3, 7 & 9 es emensuras ipsis proportionalium ra, 28,& 36. Secus quori ei* per 3, c 2 per T, & c 36 per A sunto 34, 3 & 3 . Hic per thesim quoli 3 ,3s & 3 aequantur: nam ex thesi, 3, 7 de si majoribus 12,r8 oc 36 proportionales sunt. Ergo etiam min 3 7, I, & 3 , integri 3, 3,& 3 aequantur: ideoque aequalium subductione ab aequalibus Q, - dc inter se etia aequantur: ideoque per i a vers hu)us cap. ut 2 ad 3 sc ad M sco ad 9. Sed in , - ,&ο, a, &6 sunt minores quam 3, I S 9 per scholium 6 vers. s cap. ergo 3, 7 M 9 minores habebutproportionales, quod eris contra thesim . quare 3, 7 majores ipsis proportionales metientur: neque id tantum, sed&per eundem integrum multitudinis eos metientur; patet hoc tum ex jam concluso, tum ex thesi.
. Si quatuor proportionales totidem proportonales multiplicent, se ii quoque interstproportionales erunt.
Pulcherrima propositio & quae postea ad proportionum multiplicationem adhibebitur: ut 3 ad 1 sic is esto ad 21, Mut 6 ad la sic esto ad i . Item facti a 3 per 6 & a s per osunto i8 & 6o: &similiter facti i is per I & a zs per i sunto ros & 3so. Dico ut i8 est ad 6o sic ios esse ad 3so. Etenim quotus C i 2 per 5 esto 2: tumque facti a et pςr 1 α per usiuato io & Io.
287쪽
ut patulo ad fact uina 6 per Ergo a primo ad ultimum ut τι ad factum a ii per 2, sic 72 ad Leium a 6 per . ergo per i6 vers. I cap. facti a ia per 2 & a 6 per inter se in
. Si e tribus numeris datis secundus tertium multiplicet, primus ab se actum dividat, quotus erit tribus datisq; artus proportionalis. Patet hoc per i vers. hujus capitis. Et
S. Si termini partium sint proportionales, partes interst
ae reabuntrer. Patet hoc per s vers. hujus cap.
s. Si facitus a duobus mediis aequatur acto ab extremis, quatuor dati erunt proportionales.
Haec regulae aureae conversa est. Quatuor dati sunto 12, , 6 & z. tumque facti a ra per et &a 6 per aequentur, lico
ut ii est ad . sc 6 esse ad a. Etenim facti a iα per 6 &a per 6 sunto 7ι & et . Hic per s vers. hujus cap. ut i 2 ad sic γι ad 2 . At per thesm,perfab.&3 vers. hujus cap. facua a per i ι&a 6 per ia sunt 2 S 72. Ergo per F vers. hujus cap. ut pa est ad as sic 6 est ad 2. Ergo ex praemissis, ut ii ad 4 sic 6 est ad 1. Itaquero. Si numerus es a Ius a duobus datis, ejus diet ser c quotus erunt medii datis proportionales.
Patet hoc per i vers. hujus cap. Et
tr. Si tribus numeris datis primus multiplicet tertium,
O secundus dimida actum, ut primus e Tadsecundum sic
quom, erit ad tertium. Patet etiam hoc per i vers. huius cap. Et
ia. Si partes inter se aequales fit, eorum quoqγe termini
288쪽
Patet hoc per F vers. cap.r3. Si dati numeri minores proportionales non habeant, majores ipsisproportionales per eundem multitudinis int
Haec proprietas etsi e sola divisione sumitur, tamen quia absque proximo versiculo demonstrari non potuit, eam non temere huc di stuli. Dati numeri qui minores proportionales non habeant sunto 3, 7 dc 9, majores autem ipsis propo tionales sunto 12, 28 55 36. Primum dico 3, 7 & 9 es emensuras ipsis proportionalium ir, 28,& 36. Secus quoti ei: per 3, E as per 7, 5 c 36 per di, sunto 34, 3 & 3 . Hic perihesim quoli 3 , 3 aequantur: nam ex thes, 3, 7 My majoribus ir,rs M 36 proportionales sunt. Ergo etiam inin 3 7, 3 , & 3I, integri 3, 3,& 3 aequantur: ideoque aequa lium subductione ab aequalibus Q, & inter se etia a quan 'tur: ideoque per i2 vers. himus cap. ut 2 ad 3 sic ad 7 de sco ad 9. Sed in q, , α υ, a, & 6 sunt minores quam 3, IMI per scholium 6 vers 1 cap. ergo 3, 7 M 9 minores habebutproportionales, quod eri; contra thesim . quare 3,7 de 9 majores ipsis proportionales metientur: neque id tantum, sed Mper eundem integrum multitudinis eos metientim patet hoc tum ex jam concluso,tum ex thesi.
I . Si quatuor proportionales totidem proportonales multiplicent, facti quoque interstproportionales erunt.
Pulcherrima propositio & quae postea ad proportionum multiplicationem adhibebitur: ut 3 ad 1 sic is esto ad rs, Mut 6 ad ii sic esto ad i . Item facti a 3 per is & a s per os into is & 6o: &similiter facti a is per I & a as per i sunto ios & 3Io. Dico ut i 8 est ad 6o sic ios esse ad 3so. Etenim quotus e i 2 per 5 esto 2: tumque facti a zrςr I M per usuito io & Io.
289쪽
& alterne ut 3 ad io sic is est ad so. Secundo ut 6 ad 11 hoc est ex thesi ut 7 ad i sic perfabricam S per 3 vcrs. hujus chpitis 2s est ad so. factus autem a i per as est 3so per thesim. orgo per 6 veris hujus cap. factus a I per so erit iso. factus putem a 7 per is est ios per rhesm: quare ex jam concluso&per i vers. hu)us cap. ut is ad so sic ios ad 31o. Tertio ut 6 ad ir sic perfab.&per 3 vers. hujus capitis s est ad io. ergo per thesim factus a io per 6 erit 6o. Sed per candem factus a 3 per l, est i8. ergo per s veris hu)us cap. ut is ad 6o sic sest ad io, & ex primo concluso sc is est ad so,&ex secundo concluso sic ios est ad 31o. ergo a primo ad ultimum ut is ad
6o sic ios est ad 3so. De secunda numerationis divisione, & de verorum
integrorum additione & subductione. Cap. VII. r. Umeratio aequata proportionata adhuc dicta e as
sequitur numerationis altera di tinctio. Numeratio
Numeratio & aequata x proportionata sinplex aut mista est, contraque numeratio A simplex & mista aequata aut proportu nata est: merito igitur generalem numerationis distinctionem duplicem facimus: sic enim tota numerationis doctrina verius& clarius per icitur.
290쪽
L I B. I. C A P. VII. 13a. Simplex numeratio erit in qua dati numerandi primarii ejusdem generis numerisunt: esque verorum integrorum aut verarum partium. Vrrorum integrorum mplexnum ratio e i, quando dati numerandisunt veri integri
3. itio verorum integrorum rectam μὴ addendis ducit tumque ductae re lae additorum umma ubscribi
r Hic per ue vers. 3 cap. a dextra incipiens sad 3 addo summa est 6: quare in primo gradu subscribo 6. deinde & ssunt A quare in secundo gradu subscribo s. item i& 7 sunt , quare in tertio gradu subscribo a. totum exemplum sic est:
96 In hoc exemplo summam singulorum graduum unica n ta semper comprehendimus: si ea duabus notis comprehendatur, tum superioris gradus notam cuproximis numerandam per vers 3 cap. merereservabimus. Addendi sunt 79o, 9, 9Jῖ,&οῖ- .prismum numeros istos sic scribo: -