장음표시 사용
311쪽
multitudinis numerus meti clur 1 dc ir. eos metiens exempli gratia csto 2. Hie 2 metiens 18 mctietur quoque , aut 6 pers vers. i 2 cap. sed idem 2 metitur quoque I ex contradicentis proposito: ergo per. 7 vers ii cap. 1 erit compositus ad saut 6. At hoc est contra thesim. Itaque
. Si duo numeris it primi inter se, fastus ab altero per se ipsum erit primus ad reliquum.
Hu)usmodi enim factus, est factus a duobus primis ad re
s. Si bis bini numeri sigillatimsint interse primi ariti ab
iis erunt inter sie primi. Dati 3 & s, itemque 2 & sigillatim sint inter se primi:
hoc est 3 ad 2 S , &similiter 1 ad 2 de 4 primus esto. Dico factum a s per F essu primum ad factum a 2 per 4. Hiccnim , primus est ad ι & per thesim: ideoque per 3 vers. hujus cap. factus a 2 per crit etiam ad 3 primus: &ob casiadem causas factus idem ad 1 etiam primus crit. Jam curo 3 Sos sint primi ad factum a 2 per η, ergo rursum per 3 vers. hu-Jus cap. factus a 3 per F erit ad factum a 2 per in primus.
c. Si duo dati numeri sint primi inter se ariti ab iis operbe, per facitos ab iis in in nitora, erunt primi inter se.
Duo dati primi inter se sunto 2 de 3: tumque facti a 2 pera de a 3 per 3 sunto & s. item iacti a 2 per in & a 3 per 'sunto 3 & Σ . Dico in&yitemque s & 27 cse primos inter se. Primum enim Σ& 3 sunt primi inter se ex thes, ideoq; 2 ad 3 de s , iterumque 2 ad 3 dc 3 primus erit. Ergo per svers huius cap. factus a 2 per 2 nempe ad factum a ue per 3 nempe ad 9 primus crit. Nunc Aprimus ad 9 ex jam concluso erit quoque primus ad 3 per i Vers. hujus cap. ideoq; 2 primus ad ue ex ilics ad 9 quoque primus erit per i veri himus capitis: ergo per I vers brius capitis factus a 2 per nempa
312쪽
nempe s ad factum a 3 per ' nempe ad 27 primus erit. De inventione generali communis tum maximae mensurae tum minimi dividui. Cap. XV. r. F Communibus numerorum mensiuris quidem maxi-m i, lividuis autem minimus vulgo quaeritur. Huiusnodi tum mensurae tum dividui, quia communes sunt, non nisi ad numeros inter se reserri possunt: ideoque generalem horum inventionem corollarii loco huc adjeci. Huc facit quod inventio minimi dividui absque doctrina primorum inter se demonstrari non potuit.
a. .Inventis maximae communis mensurae sic m. Si e duobus datis numeris alterum ab altero quoties feri poterit to
las, similem fabricam in subduciis S reliquo quoties po
teris continues, ultimus subda ius erit maxima communis
datorum mensura. Invenienda est maxima communis mensura datorum 3 2o & 93o. hic tollo 93o c 3 eto quoties fieri potest, & manent 6so. item tollo oso e Siso quoties fieri potest, & m nent 3oo. item tollo 3oo c 63o quoties fieri potest, x manent bo. denique e 3oo tollo 3o quoties fieri potest, x nihil
313쪽
etiam per fabricam ipsius 63o majorem partem metitur. e go 3o majorem partem ipsius 63o metitur per is vers. s cap. Sed & idem 3o seipsum metitur per 2 vers. y cap. crgo per IIVers. s cap. 3o metietur 63o. Atque ob casdem causas idem 3o metietur 93o dc 3 2o. Quare so est communis mensura datorum s zo dc syo. Neque id tantum: sed& nullam mei suram datis 3 ro dc 93o communem majorem quam 3o h beti posse dico. Secus 3I maior quam 'o metiatur 3 2o & 93o. Hic datus 3 ro in duas inaequales partes diuisus cst, quarum minor est 6so, majorem autem metitur datus 93o,quem di oex contradicetis proposito si metitur. ergo per i 3 Veris Icap. 3i majorem partem dati 3 2o metietur. Deinde ex contradicentis proposito 3i metitur quoque datum 3 ro. ergo per Iavers 1 cap. ipsc 31 reliquum quoque 63o metietur. rursumque ob easdem causas idem 3I metietur reliquos ueoo dc 3o: de sc3i metietur 3o, major numerus minorem,quod est co-tra scholium et vers. s cap. Ergo 3o erit maxima communis mensura datorum o & 9;o. Itaque
I. Numerus duos datos metiens eorum quos maximam
commune mensuram metietur. Consectarium est e proxima demonstratione.
. Deinde si maximam duorum mensuram cum tertio aliquo conferas , maxima collatorum communis mensura trium datorum communis maxima mensura futura Hi
Invenienda est maxima communis mensura datoru 3 2o, 93o dc 6 8. Primum diximus maximam communem mensuram datorum 3 2o dc. 93o esse 3o. Jam per 2 vers. hujus capitis, maxima communis mensura datorum 3o dc 6 8 est 6.
Hic inqua si metietur datos 3 ro, 93o dc 6 8. Primum enim si metitur 6 8 ex thesi. Deinde idem metiens io datos quoque
314쪽
que 3 ro & 9so metietur per i3 vers. s cap. Ergo 6 erit datorum 3 ro,sso & 648 communis mensura:&quidem maxima. Secus 7 major quam 6 datos 3 2ο, 93o & 6 8 metiatur. Hic primum quia ex Contradicentis proposito 7 metitur 3 ro & 93o, idem quoque metietur so per 3 vers. hujus cap. Deinde quia I metitur 3o & 6 8 ex Jam concluso &exco- tradicentis proposito, ideo per thesin & per 3 vers hujus c. pitis , idem 7 metietur quoquc 6 major numerus minorem contra scholium 2 vers 1 cap. Maxima communis mensura quatuor, quinque, sex & denique datorum quotlibet eodem modo concludi potest. Itaque 1. Numerus plures numeros metiens eorum quoque ma ximam communem mensuram metietur. Consectarium este proxima demonstratione.
Inventio minimi commvnu dividui sic e 7. Si e duo
bus datis numeris alterum per i orum maxima communem
mensuram dividas, ct quotum per reliquum multiplices, fa-
Ius erit minimus a datis communiter dimiduus.
Dati duo numeri sunto 6 & 8, eorumque maxima commmnis mensura esto a per a vers hujus cap.quotus autem c6 pera esto 3, & factus a 3 per 8 esto et . dico 1 esse dividuum a datis 6 & 8. Etenim quotus ex s per et esto hic per 9 Vers s capitis 3 & metientur 6 & s per Σ Ω Σ, hoc est ut 6 ad 3 sic 8 erit ad 4. ideoque per 6 vcrs. 6 capitis factus a s per 8 hoc est et ex thesi erit factus a 6 per . ideoque
per a vers. 6 capitis 2 erit dividuus a datis 6 & 8. Neque id tantum: sed& nullum numerum minorem quam 2 a datis s& 8 dividuum haberi posse dico: Sectis numerus minor quam Σ a datis 6 & 8 dividuus esto 21, quocique λ22 per 6 & 8 sunto s: & 2. Hic per i vers 6 cap. sexies s Mbis 8 facient eta & 22. quare per di vers. 6 cap. ut 2 ad I sic
315쪽
6 erit ad 3. At ex supra concluso ut 6 ad 3 sic 8 ad 4: ergo alterne ut 6 ad 8 sc 3 ad 4. ergo ex praemissis ut 2 ad 1 se 3 ad .sed 3 de sunt primi inter se per thesim&per I vers.
12 cap. ergo per i Vcris Id cap. 4 erit minor quam si& 3 minor quam 2. At ex contradicentis proposito factus a 3 per 8 major est quam factus a 2 per 8. ergo per s vers. 6 cap. 3 erit major quam 2. ergo idem numerus eodem numero, nempe ternarius binario,&minor & major erit: quod absurdum est.
. Deinde si inventum minimum a datis duobus diυi
duum cum tertio aliquo conferas, minimus a cogatis dividuus erit minimus a tribum datis communiter dividuus
In veniendus est minimus communis dividuus a datis 6.3& is. Primum diximus minimum dividuum a datis 6 & 8esie 2 . Jam per 6 vers. hu)us cap. minimus dividuus a datis 1 & is esto Do. Dico iro esse dividuum a dalis 6, 8 M asPrimum enim ex thesi 12o minimus dividuus a datis a Stis, dividuus est a II. Deinde ex thesi 6 & 8 metiuntur et , Δί24 metitur Iro. quare no a tribus datis 6, 8 & is communiter dividuus est :& quidem minimus. Secus numerus minor quam iro dividuus a datis 6, 8 &is esto ii8. Hic ii 8 adatis 5 S: 8 dividuus est: ideoque per thesim & per is vers. y capitis, 24 metietur ii8. minimus autem dividuus a 24 & is est iro ex thesi. Ergo per thesim & per is vers. F cap. Iro metietur Ii8, major numerus minorem, quod est contra scholium a vers. 6 cap. Minimus dividuus aquatuor quinque, sex, imba quotlibet datis eodem modo concludi potest. Sed verarum partium numeratio jam sequitur.
De numeratione verarum partium in genere, 6c de
reductionibus ei accidentibus. Cap. X VI.
316쪽
L I B. L C A P. XVI. sLNUmeratio verarum partium e Ii quando dati nume
randisiunt verae partes tantum. a. Huic numerationi accidit reduEho terminorum pamtiumque. Reductio terminorum compositos intes per maximam eorum communem men uram dividit, quotos prodatis terminissumit.
Termini tam integris quam partibus generales simi. R ductio igitur terminorum utrisque generalis est. Quoti a tem pro datis terminis hic sumuntur: nam S eis proportionales sunt per ' vercs cap. & primi inter se per I Verc. D cap. ergo pro licebit sumere-: pro ' & ai recte sumemus 3&7.
s. Reductio partium e Ii ad integra vel adpartes. Red diis ad integra duplex e 3. Prima quotum numeri per no
men divisipro datis bolitariispartibus sumit.
Hujusmodi quotus pro datis solitariis partibus sumitur,
quia est totum ex iis constans. Sic totum c d est I, totum ea est 2. Ergo pro e dc - sumimus I & 2.
. Secunda numeros datarum partium ejusdem inter se nominivro ipsis partibvssumit.
Hu)usmodi enim numeri datis partibus proportionales sunt: quae proportio facile demonstrari potest. Sunto enim ejusdem nominis partes a& . Dico ut ad Vsic 3 esse ad
s. Reductio adpartes, datis diversi nominis partibus quales ejusdem nominis partevro ipsis datis flumit.
Haec reductio multis modis fieri potest : sed brevissime
317쪽
minimum adatis nominibus dividuum pro communiquaesitarum partium nomine, pro earum autem numero quartum nomini datarum partium, invento minimo dividuo dc dat rum partium numero proportionalem sumimus. Sic pro et,
Hic minimus dividuus a datis nominibus 6, 9, 36, 2 M fuit 36. quartus autem proportionalis 6, 36 & s suit so per 3 vers. 6 cap. Quare & α aequales sunt per 3 vers. 6 cap. Eodem modo a S interie i quabis De aequata verarum partium numeratione
Cap. XVII. EN Umeratio aequata verarum partium solos partium
ejusdem nominis numeros numerat: denique datarum partium nomen invento numero β icit. Si igitur numerandae partes diverti nominis sint, eas ad
partes eiusdem nominis reducemus. Hic enim partes tantum ejusdem nominis numeramuS.
a. ditio verarum partium earum numeros addit , ut sequitur. Ad adde & summa earum erit G hoc est per in vers.
Ad adde . Hic si terminos ante additionem reducas, addi.
318쪽
Si terminorum reductionem in finem additionis differas,
At hoc secundum brevius est. NAd adde τ, α & d . Hic per 1 vers is cap pro datis pasetibus sumes Ξ &a. Quare summa datarum partium erit hoς est per vers.
3. Subductio verarum partium , earum numerum ab ramex altero tollit,usequitur.
Tolle n e d manent a. E ae tolle 3, reliquus est vel per reductionem
319쪽
Tolle a e -- α -τr . Hic primum per F vers 16 ea pro datis partibus sumes , - , 5 -. Deinde partium & 'ξ- summa est-, quae sublata e-nihil relinquit: quare sublatis --c nihil remanet. De numeratione verarum partium proportionata.
I.I V numeratione verarum partium proportionata immentus alteri datorumsemper inaequalis e F.
In multiplicatione verarum partium multiplicans unitate minor est: ideoque hic per 2 vers. cap. factus multiplicato nor erit. In divisione unitas divisore nanor est, ideoque hie per I vers. y cap. quotus diViso major erit.
a. Multiplicatio verarum partium homogeneos term nos interse multiplicat.
Homogeneos partium terminos earum numerum & numerum , itemque nomen & nomen: Heterogeneos contra
earum numerum & nomen intellige. Itaque per proximum versiculum famis a d per gerit a. 3. Saheterogenei termini tam carundem quam diter
rum partium primi interjessint acti ab homogeneis interst
primi erunt. Patet hoc per s vers 14 cap. Brevissimc igitur hie ante multiplicationcm heterogenei termini ad primos reducuntur per 2 vers 16 cap. Itaque in multiplicatione - per Ἱ r ductis terminis ad n & facies o. Itaque
. Si multiplicandarum partium heterogenei termini partim aequalespartim inaequalessint, multiplDatio ne,
Heterogenei enim aequales ad unitates reducuntur: uni-
320쪽
ras porro multiplicando non auget. quare factus a Ner - erit q. factus a Per , - erit Ptolemaeus in suo almagesto lib. primi cap. duodecimo compendium hoc sumenda foris
1. Divisio verarum partium pro datis partitus integrai uproportionalia dividit.
Divide E per e, hujus divisionis quotus erit quotus e 7 per 3 id est α . Numeri enim partium ejusdem nominis ipsis partibus proportionales sunt, ut patet per scholium vers. Is cap. Si dividendae partes diversi nominis sint, axioma ad inveniendos partium ejusdem nominis numeros primosinter se sic est.
s. Si termini tum homogenei tum earundem potium heterogeneis nurimi inter se acti a numeris datarumpam lium per alternum nomen inter se primi erunt.
Patet hoc per F vers. I cap. Brevissime igitur hic ante divisionem compositi termini ad primos inter se per 2 vers 16 cap. reducuntur. Itaque in divisione - per E-, reductis terminis inventos numeros 2a & 2o pro datis partibus divid mus , quotumque im pro quoto datarum partium sumse
. Si dividendarum partium numeris numero dimiden tium aequasissit, neglectis numeris dividetur nomen diu dentiumpartium per nomen dividendarum.
Numeri enim aequales ad unitates reducuntur: unitas autem multiplicando non auget. Si igitur dividenda: snt per I quotus erit