장음표시 사용
331쪽
1. Si duo ordine terminorum numero paresnt,6 in pri
mo ordine comparatio primi ad secundum, secundi ad te tium , tertii ad quartum S deinceps, sit insecundo ordine
comparatio primi adsecundum oecundi ad tertium, tertii ad quartum S deinceps, termini extrema directe proportionales erunt Hujusinodi proportio vulgo aequatio ordinata dicitur, quia terminorum ordo superior similiter inferiori sumitur. ut i dissert a 2 sic 6 a τ, &ut 1 ab 8 sic a 13, & ut 8 a iι sic ridisserta II. Proportio dis- I 2 8 Ia. ferentiarum. 6 7 is i Dico ut i differt a ii sic 6 differre a tr. Quoniam enim propositi termini proportionales sunt, ut dictum est, iidem quoque alteriae proportionales erunt per i7 vers scap. primi lib. u i igi tu r i differt a 6 sic a a I, & sc 8 a is, & sic ir a i7. ergo a primo ad ultimum ut 1 disserta 6 sic ria ir, & alterno ut i a in sico a tr. Eadem demonstratio in rationum quoque propo tionibus locum habet,ut in subjecto exemplo vides: Proportio Σ s i Σ rationum. 7 28 ι S
c. Reciprocapi oportio in proportio disjuncta, quando comparatio primi termini ad Rcundum in comparatio
Ut in his exemplis 1, 3,'s. I, 2,r6, 3. uti differt a 3 se I a 7:&uti ad asic 8 est ad 16. Itaque haec proportio a directamio terminorum situ differt. Alii propositos terminos sic disponunt I, 16, 2, 8. & sic comparationem primi termini ad tertium, comparationem faciunt quarti ad secundum
Ego in pari brevitate facilitatem majorem sequor.
332쪽
B. SAMGNACI ARITH. . Si duo ordines,terminorum numero pares sinto comparatio in primo ordine primi adsecundum ecundi ad te, tium, tertii ad quartum S deinceps, sit infecundo ordine 'comparatiosecundi ad primum, tertii adbecundum, quarti ad tertium S deinceps, termini extremi reciproce propor
Ordinatam aequationem suprain s vers habuimus, hic modo turbata proponitur. Ordo superior inferiori illic similiter, hic dissimilitera imitur. Ut s differt a I sc a ut 7 a 2 sc 9 a 4, & ut α ab 8 sic 3 a 9. Proportio dis- .s 7 28 ferentiarum. 649 Dico ut s differt ab s sic 3 differre a 6. Hic enim ex thesi 7-s est 6- ,&7-2est 9 q. ergo per secundam partem iovers. 3 cap. 1 lib. ut 2 a s sic I s differt a I 2, hoc est ex thesi sic 6 a 9 ,hoc est per primam partem io Vers. 3 cap. i lib. sic 6 differt a 9. Ergo a primo ad ultimum ut 2 a s sic odissert a s. Itaque jam neglectis & similiter demonstr bis ut 8 a s sic 6 differre a 3. Eadem aequatio in rationii proportionibus argumentis paulo diversis demonstratur. Ut s est
sic ai esto ad ues, Proportio 1 7 s is rationum. I 3s xi Dico ut s est ad is sic ar esse ad 63. hic enim facti a s per
63, 7 por s, a ' per 3I &a is per zi inter se a quantur per thes in & per 5 vers. 6 cap.rrimi libri. AEqualibus igitur tactis a s per 63 & a is per ar,ut s est ad is sic per 9 vers. 6 cap. primi lib. 2ierit ad is Proportionis turbatae termini vulgo sic disponuntur.
333쪽
Verum si terminorum series paulo longior sit, dissicilius
eam exerceas, quia termini superiores haud recte inferioribus respondent. Ego in pari brevitate ma)orem iacuitatcni sequor.
S. Continua ess proportio in qua idem terminus pro θ- .cundo oe tertio sumitur.
Ut in his exemplis I, 2, 3. r,s,2s. ut I differt a 2 sic Σ a 3. ut i est adsucsad 2s. Hujusmodi proportiones cotinuae sunt, quia in iis idem terminus pro secundo & tertio sumitur.
s. Si plures medii pro duobus continue sumantur progresio dicitur, in cujus doctrina terminus primus 1emper
minimus erit. Hoc enuia in doctrina progressionum ita sumimus.
De proportione Arithmetica. Cap. III. i. OLMplius proportio e A rithmetica aut Geometrica. ' rithmetica est proportio disserentiarum.
Ut i differt a 2 sic a s. Hujusmodi proportio arithmetica est, quia disterentiarum est.
a. Proportionis rithmeticae disjunctae proprietates duae siunt. Prima sic est. Si quatuor numerisnt arithmetiace proportionales extremi mediis aq uabuntur.
Dii furentia is a iΣ esto 4,&ut is differt at L sic io differata 6. Dico extremos I 6 & 6 mediis tr Ac io aequari. Nam hic per thesim & per scholium 8 vers. 3 cap. primi lib. & i 6,
itemque 6 4 S Io aequantur: ideoque per 6 vers. 3 cap. primi lib. ι2- . -io & 16 4 6 aequantur. ergo per 9 Veri. clusidem cap. I 2 Io SI I 6 - 6 aequabuntur.
3. Secunda proprietas sic e A. Si ec datis bis binis inaequa-
334쪽
libus numeris medis extremis aequentur,quatuor dati erunt arithmetice proportionales. E datis bis binis s. 7, s & 3 medii & s extremis 9 & 3 a quales sunto. dico ut 9 disturta 7 sic s differre a 3. Etenim summae 7 & s esto ia. hic summae 9& 3 erit quoque ια per thesim: ideoque ut 9 7 sic per io veri 3 cap. primi lib. ia Idulerta in s hoc est per fib. sic s disteri a 3. . Proportionis Arithmeticae continua proprietates
quoque duae unt. Prima sic e i. Siproportio Arithmetica
tribus tantum terminis contInuetur, terminud medius erit dimidiumsummae extremorum. Patet hoc per 2 vers. hujus cap.
s. Secunda sic e i. oi terminus medius sit dimidium
Iummae extremorum, erit medius extremis continue proportionalis. Patet hoc per 3 vers hujus cap
De progressione Arithmetica. Cap. IIII.
i. JD Octrina progressionis rithmeticae, de ipsius disti
renitiis S terminis e i: utrobique autem inventio m singularis S multitudinis e F. Sed varie: in disserentiis duplex multitudinis inventio singularem inventionem unia camin terminis intentissingularis duplex duplicem multiam finis inventionem praecedit. a. Disserentiarum inventiones priores uni. Si ά numero terminorum unitatem tollas,reliquus erit numerus disse
Hujus causa est quia hic termini medii pro duobus continue sum untur per primam partem 9 ve rc 2 cap. - Si
335쪽
L I B. II. C A P. IIII. o, Si ab ultimo termino primum tollas, reliquus erisAmma disserentiarum.
Hujus causa est quia in progressione terminus primus minimus est per a partem ' vers α cap. Ex his duabus multitudinis inventionibus singularis differentiae inventio janis qui turi
. Sisublitos rimo termino ab ultimo reliquum per numerum terminorum uno minus dividas quota, eritprogres
Numerus ciesim differentiarum per disserentiam multiplicatus summam disserentiarum faciet per 2 vers. cap. primi libri. Summa igitur differentiarum hoc est per 3 vers hujus cap. reliquus qui sublato primo ab ultimo invenitur, divisus per differentiarum numerum hoc est per a vers. hujus cap. divisus per numerum terminorum uno minus dabit disseret tiam in quoto per i vers 6 cap. primi lib. E liberis I natu mammus annos so, minimus annos 27 natus est, omne'; a primo ad ultimum annis inter se pariter disserunt: dic annorum differentiam. Hic extremi sunt ap&so, numerus terminorum est 3. ergo per proximum vers. quotus c so 27 per 3-i hoc est quotus e 23 per 7 erit quaesita differentia. criti turea 3 .
s. Terminorum inventionesquuntur. Sisublata unitate e numero terminorum, reliquum per disserentiam musriplices adium ab ultimo tollas, resequus erit primus t se
Hic primus reliquus est numerus differentiaru per 2 ver Lhu jus cap. ideoque factus ab eo pudifferentiam erit sumna differentiarum per 2 vers . cap. prirni lib.Si igitur hujusmodi factu ab ultimo tollas,reliquus erit primus progressionis terminus per 3 vers. hujus cap.
336쪽
Tabellarius Corbachia Argentoratum octavo die pervenit: quo in itinere sequenti die tria stadia supra proximum antecedentem semper confecit, dic quot stadia primo die c5- fecerit Z Hic numerus terminorum cst 8, eorum disserentia est 3, ultimus terminus est 27. Jam 8 I hoc est 7 est numerus disterentiarum per a vercthujus cap. Itaque per thesim factus a 3 pcr7 nempe ri erit summa disicrentiarum: ergo per proximum vers. 27 21 hoc est 6 erit primus progressionis terminus. Quare tabellarius primo die 6 stadia confecerit. Itaque
c. Si ubi ta unitate enumero terminorum reliquzmper disserentiam multiplices, facilus auritu primo termino erit
Ultimus terminus minutus facto fuit primus per s vers. hu- , jus cap. ergo per scholium 8 vers. 3 cap. primi lib. factus auctus primo termino crit ultimus.
. Si sublato primo termino ab ultimo reliquum per dif
ferentiam dividas, quotus auctus unitate erit numerus te minorum. 'Reliqui divisi per terminorum numerum uno minus quotus suit disserentia per vers. hujus cap. ergo per 8 vers. J capitis primi libri reliqui divisi per differentiam quotus erit numerus terminorum uno minus: ideoque auctus unitate erit ipse terminorum numerus.
Vicinus prolem numerosim habet, ejus liberi omnes a primo ad ultimum biennio disserunt, natu minimus annos i 6 maximus annos q8 natus est: liberorum numerus quaeritur. Hic extremi sunt i 6 dc 48, disserentia est 2, quotus autem e 8 a 6 hoc est quotus rit per a est 16: ergo per proximum versiculum i , si hoc est i 7 crit quaesitus liberorum numerus. Inventio summae terminorum sequituri
337쪽
r. Si dimidium numeri terminorum per summam extremorum multiplices, factus erit summa terminorum progressionis.
Progrestio arithmetica terminorum quinque esto 6, 9, t II, 18. Deinde a dimidium numeri terminorum per a. summam cxtremorum multiplicetur, factusque esto 6o. dico cocste liminam terminorum 6, 9,ia, is de is. Hic enim ut 6 a 'sic per thesin is differt ab i8. ergo per et vers. 3 cap. 6--i8 M' is aequabuntur. Itaque bis 6 i8 erit summa e 6, 9, is S I8. Praeterea per thesim ut ' .a in sic in differt a is. ergo per s vers. 3 cap. dimidium ei=- is hoc est ex concluso dimidit' c6- is crit n. quare ex praemissis funus a per g i 8 crit summa terminorum 6, 9,ra, II&i8. Eandem summam reperias s numerum terminorum per summae extremorti dimidium multiplices : quia ut numerus terminorum est ad summam extremorum: sic per F vers. 6 cap. primi lib. dimidium numeri terminorum est ad dimidium summae extremorum. Ergo per svers ejusdem cap. factus a dimidio summae extremorum per numerum terminorum facto a dimidio numeti terminorum per summam extremorum aequabitur. Filius xeniorum nomine prinio anni die a patre nummos o accipit: eique nummorum numerus sequentibus die
bus toto mense Januario denariis 6 augetur: dic xeniorum summam. Primum mensis Januarius dies habet si pro numero terminorum, eorum differentia ex thesi est 6: primus autem terminus est Ir. Deinde factus a 3i 1 hoc est factus a 3o per 6 est i8o. itaque Iro is hoc est 191 est ultimus terminus per 6 vers hu)us cap. Dimidium autem numeri terna, norum est is e summaque cxtremorum i 2 & I92 est 2o . quare per proximum versiculum factus a is per αo4 hoc est 3i62 erit quaesita xeniorum summa.
338쪽
et B. fALIGNACI ARITH. De proportione Geometrica & quidem de disiun- .
cta. CV. V. . r. ARithmeticam 'proportionem Geometrica sequitur, quae Hi proportio rationum , S generali nomine pro portio vulgo appellatur.
Proportionem Arithmeticam Geometricae non ut antita em discretam continuae opponimus. nihil enim in Aritn- 'metica e volumus, sed proportionem illic differentiarum,hic rationum instituimus: sic enim proportionem e subjectis distinguimus. Proportio autem Geometrica ab excellentia gli supra arithmeticam generale proportionis nomen meruit. Ergo proportionis nomine, Geometrica posthac in-, telligatur, idque in terminis aequalibus: aequalium enim minorum proportio ipsa per se cuivis notissima est.
a. Si proportio disjuncta est, tuto datis tribus terminis quartus quaeritur: e tribus autem datis duo inter se homo
Ad inventionis quarti proportionalis usum praecepta denumeris non abstractis hic quaedam sunt: neq; enim termini homogenei abstracti humeri sunt. Sed hujusmodi inventionis usus commode absq; homogeneis explicari nequit. Velsemus igitur quod queamus.
3. Si secundus homogenen major terminum majorem,aut minor minorem requirit Oroporriq directa est: θ tertius terminus quaesionem ingreditur
Cum a vicino is aurei exiguntur, ego tres numero, quid numerabo cum ab illo as exigenturillic homogenei termini sunt vicini aurei Is&2s: &cu a vicino plus exigitur, ego quo
que plus exigor: haec igitur proportio directa est, & terminorum di spositio sic est: is 3 I s. Item
339쪽
Iteir c im ego as numero,Vicii us numerat is, ergo cum ego F numero quid numerabit vicinusZHic homogenei sunt . a s s. d. inde secundus homogeneus minor minorem terminum requirit: haec igitur proportio directa est,ci terminorum dispositio sic est: as is y 3In hujusmodi autem quaestionibus quartus proportionalis per 3 vota vers. 6 cap. primi lib. invenitur.
. Si secundus homogeneus major terminum minorem, aut minor majorem requirit, proportio reciproca e i: is cundus terminus quaestionem ingreditur.
Cum panis est unciarum 6 modius tritici venditur aureis 3, cum igitur modius venditur aureis s, quot unciarum panis futurus esti Hic homogenei termini sunt modiorum pretia 3& s,& modii pretium majus, panem pauciorum ui clarum requirit quam modii pretium minus. Haec igitur pro portio reciproca est, & terminorum dispositio sic est: F, I, Item cum panis est unciarum 4, modius tritici venditur aureis s, si igitur modius vendatur aurei .3, quot unciarum panis futurus est ' Hic homogenei termini sunt modiorum pretia 1 & 3: de modii pretium minus, panem plurium unci rum reriuirit quam modii pretium maius. Hςc igitur propor tio reciproca est,& terminorum dispositio sic est:
In hujusmodi autem quaestionibus quartus reciproce proportionalis per vel H vers. 6 cap. primi lib. invenitur.
s. Si datis homogeneis aequales numerisimiliser ad n gantur, neglecitis aequalibus proportis et.
Si boves 2 arant augera diebus 23 , boves etiam 2 quot
die b. ara but jugera 38Hic augera & 3iugera tormini homogenei sunt quibus aequales numeri a & a similiter adjungi 'u
340쪽
praeterea hic minor terminus minorem requirit, ergo neglectis aequalibus proportio directa sic erit: ue , i ta . si boves et arant jugera 3 dici, is i7- ,boves 7 quot diebus arabunt jugera 3. hic boves a S boves 7 homogenei termini sunt, & secundus homogeneus in Mor minorem terminum requirit : ergo neglcctis aequalibus proportio reciproca sic erit: λ, 7, IJ , D
De proportione disjuncta vulgari deque ejus simplicis exemplis. Cap. VI. i. P Roportio disjunecta e i vulgaris aut artificialis. I
risii superiora teneas, singulare artificium nullam habet. In ea exempla punt proportionis modo simplicis modo multiplicis. Sequentia exempla simplicis proportionis sunt.
I. Mercator Argentoratensis Francofurti aromata ioo aureis emit : saureus 21 batZiorum estὶ aromatum pondus est 8oo libellae. Vectigal mercium fuit 6 aurei, vectura 9 aureis constitit: Institoris umptus in hoc itinere 7 aurei fuerunt. Mercator o aureos lucraturus quanti aromatis libella vendet 8 Hic sumptuum omnium cum lucro summa est i 62 aurei. Jam libellae 8oo sunt aureorum i 62, ergo i lib. - unius
aurei, hoc est 1 bat Zii& 7 nummi In hoc exemplo additio
proportionem antecessit,insequenti subductionem proportio sequetur. 2. Mercator pannum aureis io emit, vendidit ir: si i aureis emptum vendidisset, dic lucrum. R. Primo ut lucrum a sorte distinguam tollo io e ir, manent 2 pro lucro ero. Deinde quaestionem concludo sic: io lucrantur 2, ergo I lucrabuntur an . In sequenti cxemplo additio de subdi