장음표시 사용
341쪽
3. Turris 4 in terra latet, et demergitur sub aqua, reliqua pars Iro cubitis supra aquam eminet: quot igitur cubiti in terraiquot in aqua' Primum est C . deinde sunt
L Jam vero si et: sunt no, Herit si , Rucrat sqq. quare cum . bitim terra erunt si in aqua l. 4. Interdum du primi proportionis termini unico continentur, ut in his quaestionibus, quis num crus continet in sera terct 'quot sunt duodecimae in - hic 3 4, item P ad uos primos quaestionis terminos continent ; sed pro 3 sumimus - , quibus significatur, quoties 3 in ta continentur,toties i2 in quaesito numero contineri. Quaesitus igitur numerus erit qq.
proportio sic est: 3 II a 2 qq. s. In altera autem illa quaestione quot sunt duodecimae in proportio sic est: Α,3, 12, 9. quare in erunt Superiora exempla direet e proportionis fuerunt: sequentia duo proportionis reciprocae futura sunt. 6. Quindecim boves agrum diebus 18 arant, quot igitur diebus 2o boves illum arabunt proportio reciproca sic est: s, ZO, ID 6. 7. Tria millia obses rum auxilium a nostris ante sex
menses sperare non possiimus. Si in urbe omnes retinemur, urbem hostibus necessatio tradimus: commeatus enim duorum tantum mensium suppetit. si igitur urbem servare volumus, quot in ea retinebimur ' proportio reciproca sic est: 3ooo 6 2 IOoo. Quare e looo civium Iooo tantum retineri possumus.
De multiplicis proportionis exemplis. Cap.V II. r. S Equentia exempla multiplicis proportionis sunt.
I. Putearius puteum ulnarum 3 effodiendum libellis 6o redemit: effossis io ulnis in morbum incidit, & ita mercedem sibi debitam postulat, quanta igitur ea est Z Quaestio prima fronte rectet sic concludi videtur, 3 ulnae libellis
342쪽
. 6o redimuntur, ergo zo ulnae redimuntur libellis 31d. V
tum ulna secunda duarum ulnarum, tertia trium, S deinceps sequentes sui S omnium antecedentium laborem continet.
Quare propositae quaestionis conclusionem duae progressiones arichmeticae antecedunt. Prima terminorum est,cJuς
que extremi sunt i & 34: summa autem terminorum per Tvcrc cap. cst 19J. Secunda progressio ro termin*rum est, Husque extremi sunt i & to. sta ira na a autem terminorum per 7 vers. ψ cap. est 2Io. Jam vero ut sys ulnae sunt ad 6o lib. sie 2Io ad 2i - . quare merces puteario debita erit et i lib. 3 s. 6 d.& - unius denarii. Dein proportio geometrica principem proportionem antecedet, cujus principis primus terminus
nunc additione, modo subductione invenitur: primi termini per additionem laventio praecedit. a. E cursoribus duobus primus Lutetia Lugdunum iterue diebus absolvit, alter idem iter Lugduno Lutetiam tribus diebus conficit: uterque hodie hora duodecima iter suum ingreditur: quando & ubi sibi occurrenti Hic duae proportiones primam quaestionem praecedunt. Prima sic est. Primus sdiebus iter absolvit, ergo i die itineris faciet. Secunda siccst. Secundus triduo iter absolvit, ergo 1 die H itineris faciet. Nunc - est e pro primo praecipuae proportionis termino: ea autem sic concluditur. Q itineris conficiuntur uno die, ergo integrum iter iἀ diei absolvitur. Cursores igitur perendie hora nona matutina sibi invicem occurrent. Superest ubi occurrant. Primus s diebus iter suum absolvit, ergo diei, itineris Q fecerit: quare locus occursus erit adiet itineris a primo consecti.
3. Fons tres fistulas habet: si solae quant, prima; horae, secunda , tertia hora una subjectum lacum implet: sis mulfluant,quanto tempore illum implebunt ρ Hic duae proportiones praecedunt. Prima sic est: Si prima fistula sola fluat, horae semel lacum implet: ergo una hora quater eum impe'. bita
343쪽
bit. Altera proportio sic est: si secuda fistula sola fluat, horae semel lacum implet, ergo lina hora bis eum implebit. Deniq; si tertia fistula sola fluit, una liora lacum implere dicitur. Jam summa impletionum horae unius est 7 pro primo principis
Proportionis termino: eaque sic concluditur. Si proposita fistulae simul fitiant, lacus impletur septies hora una: ergo idem semel una septima horae implebitur. T E quatuor architectis a discium totum absolueret primus anno uno, secundus duobus, tertius tribus, quartus qua tuor. Si omnes simul adhibeantur, quato tempore a discium absolvcnis R. Secundus L annis absoluit totum opus, tertius tribus, quartus quatuor: ergo anno I secundus absolvet operis, tertius th, quartus Adde jam singulorum opus . habebis B unde concludes te operis fiunt I anno, ergo integrum opus fici unius anni, hoc est smensibus,22 diebus, ait horis unius horae. Adhuc primus principis proportionis terminus additione inventus cst, deinceps subductione
s. pons duabus sistulis lacum intermedium habet, quae fistulat si solae fluant, superior lacum horis implet, inscrior
eum undecim horis vacuat: si simul fluant, quanto tempore implebitur lacus ξHic duae proportiones praecedunt. Prima sic est: si superior fistula sola fluat, 4 horae implent lacum .ergo una hora implebit Elacus. Secunda sic est: si inferior fistula sola fluat,undecim horae vacuant lacum: ergo una hora Vacuabit lacus Jam n est . unde concludes, i lacus implentur hora una:ergo totus lacus horis 6- implebitur.In sequenti exemplo addgio subductionem praecedet. 6. E tribus architcctis aedificium primus 3o diebus absolvit, secudus c, tertius si cum reliquis duobus adhibeatur, is diebus illud absolvit: si solus operetur,quanto tempore i demessicie Hic duae proportiones praecedunt. prima sic est:
344쪽
Primus diebus 3o aedificium absolvit, ergo is dic bus absolvet et. Secunda sic est: Secundus diebus 4o aedificium absolvit, ergo is diebus absolvet q. Jam sunt ri, deinde et sunt 4 pro primo proportionis termino,quam sic concludes. Si tertius solus operetur is Q aedificii absolvit diebus is, ergo integrum aedificium diebus i 2o absolvet. Similem antec dentis vel numerationis vel proportionis usum in Regula veri quam nuper Illustrissimo Principi Gulielmo Landgravio Hassiae dicavi,non inutiliter videbis. ἡ
Do proportione disjuncta artificiali, & de propo tionum Proportionaliumque additione &subductione. Cap. VIII.
Caput hoc auro quovis pretiosius judico: hic arculae,
hicmρα iuον, hic ingens mathematicorum thesaurus latet.
t. P Roportio disjundia artificialis ea quae praetersiveris- rasingulare aluiuod artificium habet. Ea e i composita
aut continuata. Composita est proportio quae duarum numeratarum certi generis proportionum tertium inventum
continet estque primum additio authbdu lio , deinde multiplicatio.
Divisionem unius rationis in rationem aliam saepe & praeserti in in musicis videmus: verum divison m duarum rationum similium in duas alias similes, hoc est divisionem proportionis in aliam proportionem,adhuc non vidi. Neque tamen res impossibilis est : nam si proportio ζ .i74, 23 per pro portionern 2, 7, I, I faciat proportion C φ, I H, 23 ,COnsequens est proportionem 3, IO, I, 23 , divisam per proportionem 2, 7, I, II , quotum habere proportionem 3, , Iret, 23 a. verum hiriusmodi divisionis usum ignoro. 2. Ad-
345쪽
L I I. II. C A P. VIII. ta. ditio duas proportiones consequentium aequalium addit.
Nimirum hic proportionum rationes primae inter se,itemque secundae inter se adduntur. Hujus additionis axioma sic est.
3. Si datarum duarum proportioram consequentes aeqzalcis Gutsumma primorum antecedentium adprimum co-
sequentem, sic summa secundorum antecedentium ad se
cundum conseqἹentem. Ut 1 est ad 6 sic 36 ad 9:&ut 1 ad 6 sic 3 est ad s. Dico ut ' test ad 6 sic 36 3 esse ad s. Hic enim per scholium 7 vers I cap. ratio 24 ad 6 addita ad rationem a. ad 6 est ra
24 2 266 6 6 similiter ratio 36 ad 9 addita ad rationem 3 ad ' est ratio
Quare per 6 vers. 3 cap. primi lib. ut 1 - 2 ad 6 sic 36 3
. Si quatuor numeri proportionales sint, ut primin secundus ad secundum sic tertius S quartus uni ad quarti
Hoc proximae additionis compendium aliquod est:nam si datae proportionis terminos secundum quartumque iteraveris,alteram proportionem consequentium datae ςqualium feceris. Ut 3 ad 4 sic 6 csto ad s. hic licet sumere ut 4 ad 4 sic 8 csse ad 8 : ideoque per 3 vers. ut 3 4 ad sic6 8 erit ad S,
In his exemplis rationum additiones sunt quae neque ani Cedentes, neq; consequentes terminos inter se multiplicant: ergo, inquam, rationum additio a rationum multiplicatione
346쪽
diversa est. Hic dicet fortasse aliquis,datis proportionibus *Α, 9, 36, & 6, δ, 9. 3, esse quoque ut 6 ad 24 2 sic' ad 36 - 3i itedatis proportionalibus ,3 3, & 9, esse quoq; ut 4 ad 3 4 sic
8 ad 9- 8,& proinde in exemplis superioribus non rationum sed terminorum additiones sui fle. Sed accidit proportionibus alternari & inverti, ut nihil necesse sit inversos carurn terminos novam terminorum additionem facere: maxime cum v cra S legitima rationum additio manifesta in terris nignon inversis appareat. Terminorum quotlibet proportionalium additio cproximis superioribus orta, sic est.
s. Si quotlibet dati numeri proportionales int,ut omnes antecedentes ad omnes consequent sic unus antecedentium erit adsuum consequentem. Ut 3 ad 6 sic ad 8, & sic 1 ad io,& sc 7 ad i . dico ut
huiusmodi additionem non rationum sed terminorum esse. Rationum enim additio partium additionem imitans solos antecedentes eorundem consequentium numerat: at hic tam antecedentes inter se quam consequentes inter se additi sunt.
ditionem subductio sequitur. Subductio datis
duabuέ proportionibus consequentium aequalium , alteram e reliqua tollit. Nimirum hic proportionis secundet ratio prima e prima ra'
347쪽
tione proportionis primat,itemque proportionis secundae ratio secunda e secunda ratione proportionis primae tollitur. Huius subductionis axioma sic est.
. Si datarum duarum proportionum termini consequentes aequalessint, erit ut disterentia primorum antecedentium ad primum consep entem ,sic isserentia secundorum antecedentium ad secundum consequentem. ut 26 ad 6 sic 39 ad 9, &ut et ad 6 sic 36 esto ad s. dico ut 26 24 est ad 6 sic 39 36 csse ad 9. Hic enim per scholium 7 vers. i cap. ratio 24 ad 6 sublata e ratione as ad crelinquit rationem 26 2 ad 6.
& similiter ratio 36 ad 9 sublata e ratione 39 ad 3 relinquit rationem 39 36 ad 9.
Quare per ' vers. 3 cap. I lib. ut 26 -r ad O se
S. Si quatuor numeri proportionales' erit ut primus secundo minutus ad secundum sic tertius quarto minutus ad
Hoc proximae subductionis compendium aIiquod est Ut 7 ad sic t ad 8. hic licet sumere ut 4 ad 4 sic 8 esse ad 8: ideoq; per 7 vers erit ut 7 - 4 ad 4 sic r4 8 ad 8. In his exemplis rationum subductiones sunt absq; ulla divisione: ergo inquam ego rationum subductio a rationum divisione diversa est. Controversam n unerationum diuersitatem obtinui primo ex rationis desinitione, secundo obtinui exabsurdo, tertio denique ex usu additionis &subductionis rationum praestantissim' ea nunc quoq; hoc capite obtineo. Erga
348쪽
veritatem quibusvis autoritatibus merito antepono. Pergo: e versu proximo terminorum proportionalium orta sit bductio sic est.
s. Si fuerit ut totus ad totum sic ablatus ad ablatum, erit ut totus ad totum sic reliquus ad re liquum.
Ut S 7 ad 6. . io in I sic sc sto ad 6. dico ut 3 - 1 7 ad 6 8 io rq sic s 7 csse ad 8 io i . Hic enim ilicsim alternando ut 3 F ad ue sic 6 8 io i ad 6: ergo per 3 vers. hujus ca p. ut I ad 3 sic8 io i ad 6,&alterne ut Α - s 7 ad 8 io i sic 'ad 6, hoc est ex thesii sic 3 s 7 ad 6 8 io Iq. Hic ctiam notabis ut supra rit)usmodi subductionem no rationum sed terminorum subductio em esse, quia rationum subductio partium subductionem imitans consequcntes non numerat, haec autem subductio tam antecedentes inter se quam consequentes in ter se numerat. P. Ramus Alligationem ad subductionem terminorum referre Videtur cap. H. lib. 2. suae Arithmeticae:
sed alligationis subductio proportionalium terminorum non es neque enim differentiae cxtremorum a medio, propo tionalium differentiae sunt. Vulgus quoque Arithmeticorum Alligationem in Arithmetica exponit. Sed hoc no recte: praecepta enim Arithmeticae de numeris abstractis csse debent, civi his generis Alligationis praecepta non sunt, ut ex ejus definitione patet. Quamobrem Alligationis peculiarem tractatum una cum partium tractatu Illustrissimo piae memoriς Fri-derico Sac. Imp. Electori & Comiti Palatino abhinc quatuor annos seorsim dicavi. Quid in eo effecerim, Lectoris judicium fuerit.
De regula societatis & quidem de prima ejus specie:
r.ADditio terminoram propter singularem ejus in decidendis
349쪽
Hic summa e consequentibus secundarum rationum Mad ipsos consequentes seorsim inveniendos datur,& pro consequente primae rationis sumitur: pro eiusde m antccedente summam e secundarum rationum antecedetibus sumimus.
a. Regulabocietatis duplex est:prima est in qua siepa
rati secundarum rationum antecedentes dantur. Lmorum sociorum primus aureos 8, secundus 6 contulit: lucrati sunt aureos 7, quantum singulis accedit Z Hic dati antecedentes secundarum rationum sunt 8 & si quorum summa est i . quaestio igitur sic concluditur: Tres partiuntur aureos Ioo, ea lege ut cum primus ceperit q& aureorum Ioo,secundus &- , tertius d&α capiat. Hqc species prima fronte absurda videri possit: nam si primus pro &dsumat aureos 33 5 a. I, secundus totum quod sibi debetur habere non poterit, tertius nihil habiturus est: sed tamen regula societatis absq; absurdo quaestionem solvet. Hic enim separatorum antecedentium 2. & a summa est Quare reductis partibus ad integra per scholium I vers. 18 cap. I. lib.
quaestionem sic concludimus. ar pro ηI Quatuor sic parti utur aureos 6oo, ut cum primus ceperit aureos, secundus &8, tertius 7, quartus n&6 accipiat. Hic quoq; duae primae partes totum superant, ut proposita species nihilo superiore absurdior videatur: sed regula societatis hanc contro versiam sic dirimet. Primum summa e9. 8,7,& 6 est 3o.deinde 6oo 3o est yyo pro primae rationis consequente. ite partes et,& ad integra 3o,72,ioo & IoI re-I lucrantur 7, ergo
350쪽
ducuntur per scholium s vericis cap .lib. primi. Reductorum itaq; summa pro antecede te primae rationis ci 31I, & quaestio sic concluditur. i so pro Iις --3s7 sumuntur pro spo. 72 pro I22 ExgQ ioo pro I 66 --
item 3 sunt iso: quare secundi pars erit I3Ο --. itemr66 sunt i 73: quare tertii pars erit i73 --. deniq; I73 ssunt : quare quarti pars erit IT, i.
De secunda regula societatis. Cap. X. a.S Ecunda regula soriciatis e i quaeseparatos pecundarum
rationum antecedentes invenit idq; datorum multiplicatione , aut faciorum a datis additione . illiu acti sunt ad consequentes ut summa facioru e i adsummam consequentitim: hic summae facioxum Iunt ad consequentes ut earum Jumma e i adlummam consecissentium.
Exemplum ubi separati antecedentes datorum multipliacatione inveniuntur. Legio habet pedites 6ioo, equites 72Gpeditis stipendium est 4 aurei equitis'. Praeda aureorumetooo eis dividenda, quantum peditibus, quantum equitibus dabituriHic factus a stipendio peditum per illorum numerucst 14 oo,&factus a stipendio equitum per illorum numerum est 61 . qui facti secundarurationu anteccdentes fiant,& horum summa est 3o93 . quaestionem igitur sic concludo. . 2ψ Oo JIIT E