장음표시 사용
351쪽
Exemplum ubi separati antecedentes factorum datis
additione inveniuntur. Quatuor mercatorum biennii socie . late inita primus 3o aureos contulit, sed octavo post exacto mense io subduxit,iterumque vicesimo mense ineunte I 2 contulit.Secundus initio 2 contulit, ac sexto post exacto mense 8 subduxit: denuoque sexti decimi initio quatuordecim retulit.Tertius initio contulit ro,& septimo post exacto mense o. mnes subduxit, sed deinde decimi octavi initio 16 retulit. Quartus septimo mense ineunte i 8 aureos contulit: sed quarto post exacto menses subduxit:iterumq; decimi septimi initio is addidit. Lucrati sunt aureos Io o. Lucrum singulorum quaeritur. Hic mensibus per cuiusq; sortes multiplicatis, factorum eiusdem summae pro secundarum ratibnum antecedentibus sumentur, S sic quaestio concludetur. Primum igitur facti a super 8, a ro per ii, & a 32 per I sunt 2 o, 22o, & isio: eorumq; summa est 6ro, pro primi sorte. Deinde facti a reper6,a I 6 per9,&a Oper λ sunt i qq, I Α,&27O,eorumq; summa est 118 pro secundi sorte. Tertio facti a ro per I & a 16 per 7 sunt i o S Hr, eorumque summa est 212 pro tertii sorte. Quarto facti ab is per Α, a ' per λ&at per sunt 72, I ,&I92, eorum S summa est sis pro quarti sorte.Jam summa e singulorum sortibus 62o 18, ast i8 estir s. Ergo quaestum singulorum lucrum silc concludimus. i7 8 lucrantur IOo,ergo
De proportionum multiplicatione. Cap. XI. 'omtiones multiplicat, quarum prima tertium terminum quarto secundae aequalem
352쪽
rs B. SALIGNACI ARITH. a. Si multiplicatae proportiones dire Eliasin erit ut fa
ctus a primis terminis adfactum a secundis ,sic tertius terminussecundae proportionis ad quartum primae.
sie 1 ad λ I 3. bi multiplicatae proportiones ni reciprocae,erit u ictus a primis terminis ad faectum a secundis sic quartus te minus primae proportionis ad tertium secundae.
Patebit hoc in iisdem proportionibus si secundam e datis primam feceris ,&in utrisque tertium terminum quarto loco posueris sic
enim datis tribus factis proportionis terminis quartus quaeri tur:sed e tribus datis unicus actu, reliqui duo potestate datur. In dupla directa bis bini primarum rationum homologi pro duobus ab iis factis, indupla reciproca bis bini rationum primarum heterologi pro factis ab homologis dantur: in dupla directa factus a duobus primis, in dupla reciproca factus ab
353쪽
homologis primo & quinto primus factae proportionis terminus est: deniq; factς proportionis termini illic alternantur,
Exempla duplae proportionis directae. I. Tres aurei mens bus duobus lucrantur s, ergo aurei mensibus quid lucrabuntur 'Hic duae primae rationes 3 ad 4-α ad 7 inter se multiplicatae faciunt rationem 3 ad 1 sic.
Tummut 3 ad 1 sic 1 ad 23 .Quare si 3 aurei mensibus
duobus lucrentur 1, 4 aurei mensibus 7 lucrabuntur 23 . Haec quaestio syllogismo evidentiore concludi potest sic. Si 3 aurei mensibus 7 lucrentur I7n, quatuor aurei mensibus 7 lucrabuntur 2 T. Sed ii 3 aurei mensibus 2 lucrentur stres aurei mensibus 7 lucrabuntur ITHErgo si tres aurei mensibus duobus lucrentur I, quatuor aurei mensibus I luctabuntur 23 I. 2. Cum modius tritici est solidorum is, panis 8 unciarii venditur L denariis: ergo cum modius erit soli orum 2o, pa-n Is Is unciarum quanti erit Z Hic rationes is ad Lo & ῖ ad is inter se multiplicatae faciunt rationem 2 ad 1, sic.
Nunc ut 2 ad 2 sc s ad s. quare cum modius erit solidorasto panis Is unciarum vendetur 1 denariis. 3. Pondo. Ioo,milliaria ro vehuntur 36 libellis ergo pondo so quotlibellis vehentur milliaria i 28Hic rationes ioo ad Io dc ao ad irinter se multiplicatae faciunt ratione io ad 3, sic.
354쪽
Nune ut et ad 6 sic Rad 3yn. Ergo o ulnae panni lati ulnam In vendentur libellis 3s . Exempla proportionis duplae reciprocae. I. Boves 2 jugera arant diebus 234, boves 7 quot diebus arabunt jugera 3ὶ Hic datae rationes 2 ad 7 & 3 ad 4 faciunt rationem 3 ad i sic. I
Jam vero di 3 ad 1 sic 1 ad 234. Ergo boves 7 arabunt jugera 3 diebus s. Eandem quaestionem syllogiuno evidentiore concludes sic.
Si boves 2 arantjugera 3 diebus i7-, boves 7 arabunt jugera 3 diebus s. At si boves 1 jugera arant diebus 234, boves 2 arant jugera 3 diebus ITH. Ergo si boves α jugera arant diebus 234, boves 7 ar bunt jugera 3 diebus F. 2. Duo menses lucrantur 3 aureos ex 7, quot menses lucrabuntur 3 aureos ex q8 Vel sic, 7 aurei duobus mensibus
355쪽
L I B. II. C A P. XII. Nlucrantur aureos 3, aurei quot mensibus totidem lucrabunturξ Hic multiplicatae rationes 7 ad 4 3 ad 3 faciunt ratio
Nunciat I ad 4 sic su ad 2. Ergo menses 3 lucrabuntur 3
De proportione continuata. Cap. XII. r. Id Actenus de proportione composita. Continuata jam seqγitur quae datarum singularum rationum termi nos primos inter se sumit, ii ; superiore ordine locatis in
autem continue proportionales sunt i6,2 ,3o & 3s. Continuatae vero proportionis explicatio sic est,ut 2 ad 3 sic a 6 ad
tetmini non in eadem proportione sed in diversis continuantur, quod ideo moneo ne quis continuatam proportionem pro continua accipiat.
a. Minimorum continue proportionalium in datis rationibus intentiosic e L Sa minimorum datissecado tor-
356쪽
tioprooortionalium secundus primae rationis terminos,pri-minsecundum secundae multiplicet acti erui minimi quatuor datis continue proportionales. . Datae ratio des in minimis terminis sunto rationes 1 ad 9SI is ad 4, proportionales ad 9 & is minimi sunto 3 & s, tumque tacti a 2 & 9 per s sunto io & 4s,&factus a 4 per esto n. t 9 II 6
Io 4s IvDico ut 2 est ad 9 sic io esse ad 4s,&utis ad 4 sic sesse ad I 2. patet hocmam s multiplicans a &9 citio& s, ideoque per I vers. 6 cap. primi lib. ut 2 ad 9 sic io est ad 4s. Praeterea etiam per thesim & per 6 vers. 6 cap. primi lib. facti a sper F Ma 3 per is aequales sunt. Sed per thesim factus a 9pers est 4s. ergo factus a 3 per is erit etiam qs :& praeterea factus a s per A est ex thesi. ergo per F vers 6 cap. primi lib. ut is ad sic s ad it. Amplius dico Io, que, & Iz esse minimos datis proportionales. Secus Io, 4s, & I 2 alique multitudinis numerum communem mensuram habebunt,illa esto 7. hic pri mum per thesim 25 ' sunt primi inter se,&facti a 2 dc. 9 perssunt Io S cly. ergo per 6 vers. I 2 cap. primi lib. 1 erit ipsorum Io & s maxima communis mensurandeoque per 3 vers. Is cap. primi lib. 7 metitur s. Praeterea ex concluso facti a 3 per primos inter se is& sunt s & I2. ergo ut supra γ metietur 3. Quare multitudinis numerus 7 metietur 3 &s primos inter se ex thesi. At hoc est contra 6 vers. II cap.primi libri. Testator uxore praegnante ita testatus est:si mihi filius natus fuerit, ex besse haeres esto, ex reliqua parte uxor haeres esto: si filia mihi nata fuerit,ex triente haeres,ex reliqua parte uxor haeres esto.Jam filiis duobus & filia mortuo testatori natis familiae herciscudae quaestio est, nempe quata matris, quanta cujusque liberorum pars ex voluntate de iuncti futura se
357쪽
quaeritur. Hic minimi datis rationibus 2 ad 1, 5 2 adi continue proportionales per proximum versiculum sunt Α, a & i.
matrem Σ, filiam i recte accipere. si igitur haereditas aure rum lyso fuerit, haeredum partes per regulam societatis ita concludentur. 4 167 II accipiunt isso. 2 28,
Ergo i i Q3. Rur1um si minimorum tertio facio oe tertiae ratio- nis antecedenti proportionalium scundus ja a Zos,pri- mus tertiae rationis consequentem multiplicet ,facti erunt minim ex datis continue proportionales sic de pluribus in infinitum. Supra diximus ut a est ad 9 sic io esse ad 4s, S utis ad ψ .
sic s esse ad ia. Datae rationes fueram ratio 2 ad 9 & ratio ad 4: nunc faciamus eas esse 1 ad 9,is ad A.& i8 ad 20. Deinde minimi datis ia & i 8 proportionales sunto 2 & 3. Item facti a 3 per ir, I,&io sunto 36, i 3I &so. factus autem a 2 per
se ad 36,&ut i 8 ad 29 sic 36 esse ad 78. harum proportionudemonstrationes proximis superioribus caedem sunt. Amplius dico 3o,i3s,36 & 18 esse minimos. Secus habebunt communem multitudinis mensuram quae metietur primos inter se Σ & 3. Nam primum et metitur 36 & 18 per primos inter se 98M 2'. ideoque multitudinis mensura metietur 2 per ο
358쪽
vers. I 2 cap. primi lib. S per 3 vers. Is cap. eiusdem. Deinde 3 metitur 3o, 36 per Io, s,& 12 etiam primos inter se. crgo per 6 verssia cap. primi lib. &pers vers. Is Eap. eiusdem lib. praedicta multitudinis mensura metietur quoque 3. Legatariis 4 aurei Ioo ita legati sunt,ut cum primus 2 ceperit secundus capiat , cum secundus 6 tertius 8, cum tertius Io quartus I 2 capiat. Dic singulorum partes. R. hic per iver hujus cap. pro z-q,6 & 8, Io & I 2, sumo I & 2, 3 & s & 6.Jam per proximum versiculum minimi datis continue proportionales sunt IJ, 3o, o, 8. quibus significatur cu priamus is ceperit, tum secundum 3o, tertium o & quartum S recte accipere. Harum autem partium summa est is3. quare per primam regulam societatis, legatariorum partes sic concludo.
q8De proportione continua in tribus terminis tantum. Cap. XIII. i. C Ontinuae proportionis do trina modo in tribus tam
tum terminis , modo in pluribus consideratur. In tribus tantum terminis primo inventio continue proportiona'
hum medii tertiique, deinde integrorum multitudinis proprietas quaedam e La. Inventio medii proportionans sic e i. factum a Juobus tertias per se diviserit, diviser erit medius ipsis duobus proportionalis.
Factus a 4 per 9 esto 36, quem 6 diuidat per 6. hic per Iovers. 6 cap. primi lib. ut 4 ad 6 sic 6 est ad ii
359쪽
L I B. II. C A P. VII. D3. Inventio tertii proportionalis duplex eni. Prima sit factum a fecundo quotus erit iis tertius& D &facti a ro divisi per quotus esto Iss . hic per vers 1 cap. primi lib. ut 6 ad Io sic Io ad 112.
. Secunda: si secundi quotum divisi per primum I
cundus multiplicet jactus erit datis tertius proportionalis.
Dati sunto . &I, tumque secundi δ divisi per primum . quotus esto a , & secundus quotum multiplicans faciat 1 hic per 3 vers o cap. primi lib. ut . ad I sic Serit ad si
s. Proprietas integrorum multitudinis sic est: si tres in
tegri multitudinis sint continue proportionales,primus oemedius,itemque medius oe tertius erunt compositi inter se.
Sunto continue proportionales , , s. dico &si, itemssio esse compositos inter se. Nam si j & si essent primi inter se,factus a si per se esset primus ad per M vers. I cap. primi lib. Sed hoc esset contra a vers hujus cap. factus enim a si per se est factus a per se pera vers. limus cap. Idem dicendum de & y.Quare si duo numeri sint primi inter se, non habebunt tertium proportionalem.
De ratione duorum primorum ad rationem extremorum & de inventione continue proportionalium. Cap. XIII. r.I quotlibet continue proportionalibus cosideratur primum ratio duorum primorum ad rationem extremorum, deinde inventio continue proportionalium S summae
a. Rationum comparatio praecedit. Si e numero tem, O 2
360쪽
norum unitatem tollas,ratio primi ad secundum multiplica- ta cognominis reliquo erit ratio primi ad ultimum.
Progressio terminorum s estoa, , Isi,sa. 1 I esto. .
hic per scholium I vers. I cap. huJus lib.&pero vers II cap.r lib. ratio a ad ψ quadruplicata est ratio a ad 32. Rationem duplicare, triplicare, quadruplicare non est rationem eandem bis,ter, aut quater positam addere ut vulgus existimat, sed eam continue in sese bis,ter, quater posita multiplicare: sive iidem, sive diverssint ejus de rationis termini,
nihil interest. Ratio 3 ad I bis, ter, quater posita, sibi ipsi addita
est o , p, ra. At eadem ratio bis,te quater posita,continue in sese multiplicata est se, ariSi. Quid ita 'via, inqua ego, in additione, summa additis ut totum suis partibus aequatur:at in multiplicatione ut unitas ad alterum multiplicantium sic re-
liquus est ad factum 3 Inventio continue proportionaliumprogressione aut datam considerat, aut quaesita invenit illic uutcus terminus in dataprogressione,hic multi in data ratione inveniuntur. . Inventio cotinue roportionalis in data progressio
nesis est. Si vimus infinitae progressionis terminus sequentium aliquem divi erit actus a quoto per quemlibet dato
rum erit datae progressionis terminus.
Progressio infinita esto I, si , Ir, a , y. tumo quotus C Iapers esto inqui per quem libuerit c datis multiplicetur. dico factum e sse datae progressionis terminum. Hic enim quotuso aut per ipsum ra, aut per alium edatis multiplicatus fuerit. si per ipsum tunc per vers II cap.&pera vers hujus cap. ratio ia ad factum erit ratio 3 ad 6 duplicata,& sic factus te tius a Ia in data progressione futurus est. Rursum si quotum M per alium quam per Ia puta per a multiplicaueris, tunc uia ad ra sic per 3 vers. O cap. primi lib. a ad factum a M per a . ergo per.