장음표시 사용
101쪽
ti P .Lb.c. it equesci UE pquintam primi angulus. b. essequatis angulo.b. g.c. Si ergo neuter duorum angulorum.b. ff.e.1 rerit minor reuotae et duos angulos unius trianguli non esse minoreς duobus rectis: quod re non pot94r.xivmmi. T Quod si uter ruerit minor re uo erit anguluna g.c.maior recto per.6 primit quare gangulis. e. sib equalis est etiam resto maiori quod est contrar obe. 7 4are desini cto opposito remanet proposite. 7 Oportet a sit in anguis inreu quorum aut neutrum esse minorem recto. Z Possibilemini est in eode stitiari puto ut in triangulo.mb.c. lineam.yc.esse ualem. b. c. st ideo erit .c.aa .utra* earum una proportio per. Huinti. Nec in erunt triangulia.ῖ. c. . . b tam uiangulit uisunus angulis uni sit equali; unianisci alterius timmo idem ut anguiuna fi proportio linecia c. t. arus magni ad.a.c prout est latus parui sicut. b.c.lam magni ad. Dc. latus parrari utra i enim equalis. 7 Et hoc e py hoe angulus .n minoris est maior recto: gangulus.b maioris minor. Nam in omni triangulo duum equa
lium laterum uter angulorum qui finit ad basim est minor recto. Cassi tor. ae Quamuis ibi dicatur possibile enim est in eodon trianilo mina
rinatur primos matus triangulus duum lium laterum. b.or Dema protracto latere. b.g. quantum libuerit. ut ad a.deinde protracta linea. α.a pucto ad punctim. Imaginantur duo trianguli unus magnus. a.b. c. si alius paruu .a.g. c. qui inapositus magno imagurature ab eo abscinditurigulum illum duum diu alium lateriam. s. b. e. r. prout in illis duo
bus explicite positis apparet c. Et hec pro septima huius diri sint.
Propositio. S.,i3 ab orthogono angula recto adfusim linea perpe laicularis ducatur. fient duo triantali partiales tollit triangium et sibi miscena simiaeo. vinde etia ma liuifestum est minora triangula rectangulo stablleius angulo recto ad absim permadicularis Ducaestur erit ipsa perpendicia laris inter ouas scinones ipsius basis a portionalis. Itemq3virmiq; latus inter aetam sim atque m contemtinalem basis portionem.
α Sit trigorius.a. b. c. orthogoni ut eiurianguluna. re mira quo ducas a d. perpendiculariς ad basim dicos utriq, duorum triangulorum par tialium qui runt .a. b. d. a.d.c.similis est totali trianv lo a. b. c. gurius eo
tum altrii. TEst enim uter ip'ru equiangulus totali per.3r prini eo γ litem. Gorthogonuistin uno angulo comunicant claria totali: quar est sibi inuicem sunt equi anguli T Ita angulus b. est equalis angulo. da. c.gangulus. b. a.d. angulo.c fiduo anDIi qui iuncta.d.sibi invicessan mlo .a.totali equales quarepta . inuit latera equos eorum angulos respicientia simi proportionalia: ergo per diffinitionem sint similest q4 est propositum p Utrunt correla. ex his euidciiter apparet.
a CNota propter di m Liperius in fine expositionis octaue buluς ubi per. 4. concluduntur latera illoy triangulorum equot angulos respicientia esse propcetionalia. Et ex hoc per diffinitionem similium superficie νillos inanislos es similes fi .Distinitio illa no dicitet, latera equos an guloς respicientia sirit proportionat ista latenae quos angulos conta
nentia Dat proportionariarat ibi patet: si evidetur indebite concludi
102쪽
in erisum. TQ 'opter adirecte et, idem epintriangulit dicere latera equor arasit res entia esst portionalia: sse quos angulos colim tia esse propcutionalia i quod in istis duobus triangulis apparet uidelicet
Iulosi indelicet M.Ld est armias dereliquis O. Et ideo postea predi nitionem Propositio .9.
Q Uabus lineis propositis tertiam littereas sub γ
portiora alitate contui coIIocare. lsi Sint due linee propostria. b. g. iici quas uolo unam illineam in proportionalitate continua collocare. Adiun iram ana rum alteri sit tota ex eis reposita. a.d. ita ua,. b d sit equale.cie super totam desalbo semicirculum a. e. d. st produco. e. b.us ad circunsumtiam perpendiariarem ad linea
a. d. dico lineam. b. e.esse quam querimus. rodum enim lineas. e a. e. d.erit petiyo tertii arigialias e totalis rectus: quare per rima partem. correLpremis* l portio in b. ad. tarisiurat. b. e.adi.d. quod est Nostum.
CSint duel in proposite a. b.f. e. quibus volo teritam in continua proportionalitate subiungeret couiungo li meam. c.angulariter ut contingit cum linea a.b simi a d. - sibi qualis: g produco lineam a. b. us ad. e. donec fiat bin.rqualis a.d.st protracta linea. b. d a puncto. e. duco lineam sibi equisti utem qua lineam .a.d.produco quous' concurrant in puncto' .f. dico igitur lineam A fesst quam querimus. T Est enim per lecundam hu tus proportio .a. b.M. b.e sicutia. d.ad. d.fled αb. . b. e. in sicut.a. b ad a. d. r.1.partem.nquinti quare.a.b.ad. a. d. sciat.a. d. ad.ssis quod est
propositum. R Quod si pro sitid tribus lineis uelimus inuenire quar rami ad quam sit proportio tertie licui prime ad secundam: prima εβcunda fiat lineatinast toti composite tertia: angulariter adiuratur a comuni termino prime e seamderducatur linea ad extremitatem tertiei g altero tremino Minde ducatur iclinee equidistans: quous cocur L mxertia in continuum rectum protractareri per i radam hui in linea qua hec equidistans abscindetque querituri queadmodum sinhac figura luerit prima. Lb.secunda b. e tertia.a.d. eriti quarta.d.L
a CCς rem n.petratione stupra inimia huius adductati bCQ uauis non dicat sub continua proportio. subiugere: in indissereriter habet iocum ad infinitas: quia inuenta quarta ad tertiam r tunc prima dimis se inuenitur quinta ad quartam stineta ad quintam D. dimittedo Icm per priorem tru sib umres retinendo.e tunc Naarido penio. seqintur,nimium: ut patet.
ropositio . II. in assignata linea quotam ii iubearis partem
103쪽
Uabus incis praepositis asterauidium amram partes diuitania diuisam quid adimodum diuilla diuidere.
quiniit quod est opositum. Oportet autem secimdam huius toti in se ere quotmmtpartes linee.a.b.minus una.At uero. 34. lnimi septi mam quinti minus duabus.
'lax, positio .I3. - due superficies equidiutantium Ialmam quara limus angulus unius saligulo alterius equalis: equales Leruit latena duos uos angulos conti netia mutelaesiacile Gi vero larer a duos equos in mianMsos conti ii mute liasuerint duas raperficies cituales meitecesseest.
distantium laterum esse equales 7 Coniungam enim eas angulariter uidelices angulum.eaimus cum angulo.c alteriuς. ita st duo latera earumque sunt.b.c. .c.g.tanclinea una eruntia, similiter duo reliqua latcta.d. cff.tae .linea una. alioquin sequeretur per premtem ypothe. que est an Iulum.cimini esse equalem angulo.calamus.lpo as.primissi parte esse aequalem toti etcomplebo ita ruperficiem equi distantium latcium o ductu lineis.a.d.fi fg.quous concurran'imb.erit δ perprimam par tem .et.quinti utrius iuperficiei.a.c.Εc.fad superficiemae m. setoporti'unate quia pri primam huius proportio stipe eLa. c. ad.
imaginaturWrani linea.d g. fient duo angui ex parte. h. minores duinta rems.ffideo per. petitionem c cuirent gin.h.
3duo trimipilichimimus angillius unitas Uliangulo alterius equalis equales luerint: latera duos aliguisse ooconnetia erui mute Resta Si vero latera uos equoGaeagulos colit ilia fuerint inuit te sta duo trianguli equalesere comprobaei
104쪽
primam huius primi eorum ad ipsem est si ut a.e ad.c e g securidi eo rum ad eundem sicutid Gad.c.b.mani est prima pars propriise conchfoliis. Secunda pars e riuer' probatur. ia e assicie.est sciat dem pes primam huius:g quia politum est ut si .e .c.disicut.SGadc.b.erit utrius dictorum trianguloriam ad triangulum. caeam portio: quare per primam partem .quinti ipsi stat equeserti' puer feci da pars. ia Propositio .rs
li, in Issierint uuatuor Iulee pom iraeeo quod sinritima rectatam contineturaequum ct reliquis . . vero quod si prima et vltima continetur equum mentes duabus rinquis contuletur remiamum:quarumlineas propinionales esse conuenit.
. Fiant enim si perficies contenta lub.αgd.esupinicies contenta subh.gc.Si ergo est proportiora.U.b.sicutic.ad. d.latria illarum 'perficierum invit mutetialia.Ied C anguli ab is contenti equalest quia utra est rectorum angulorum: are persecundam partem.G. tur inerunt equales quod ei primum Eserundum patet per inmam partem eius dem si enim iis tequales.quia omnes anguli earum sint rectit lates ra earum erunt muteliniat quare proportio.ωad.b.sicut. U.d.quodes secundum.
ispositio .in. I fuerinmesImee propculi alas quod sub pes ineres ima et tertia rectangulum mnlinetur: equum erit . ei quod a seciuida quadrata describitur. Si vero quod subprima et tertia continetur uum est ei quadrato quod a secura producitura eta est inee erunt
C sit proportio linedia.ad lineam.bIcut Enee b.ad lineam.cidico iuperficies contenta rub.aM .e. uestro quadrato.b.fisi superficies contentas .a,ss.c.est equalis quadrato.&dico ν proportio.a.M.b.es sicuth ad.c.CAM autem y euidens per precedentem posita alia linea que
sit equalis.bata st.b.suis ratione secunde strente. χα positio . T.
I silerint duo mairguli similas praeporta inmu ad asseruest tano proportio citiuslibet fui lateris adluum relata iam aeterius duplicata.am litistitimi eram G hoc quia omnium trium Iinearum continue proportionalium quanta est prima N
105쪽
primam ad seperficiena constitutam super sicciiiidam: cim silerit
ei similis inlitu mone et creati C.
e Sint duo triangulLa. b. e.fid e.ssimiles erunt perdiffinitionem evaniuit laterum proportionalium. Sit ergo anguluς. a. equalis arigulo cl.gangulus. b angulo .riss anguliis .c.angulo.f. Erili, proportio. a b. d. d e. a.c. ad . d. f.sciit b.Gad. e. f. p Dicost proportio trianguli. a. b. c. ad triangulum. d. e.f. est sicut proportio. b. c. u. e fiduplicata. 7 Subiugatur enim fm doctrinam. O .huius duabus lineis. b. c. staficitia incontinua proportionalitateque sitic. g. protracta aut remata .c.b II. c. g. Reerit ea maior aut minor. Ets inacam linea.Pa.int' persecunda par remi huius triarimi uς.aQ.cie resutriangulo. d. e. f. propter id quod proportio.a. Gad. cf. est sicuticis ad .c.Pst angulus.c. equalis angulo.fAE
te perleciandam sint .et quinti trian Pliab. c. ad in illorum eritima proponio. sed per primam huius proportio triangulua.b. ad tri angulum. a. g. c. est sicut.b. ad. g. At uero portio. b. c. d. Psicuti b. c.ad cis duplicata per M.desaiptionem quinti: ergo proportio trianditia.b.c ad triangulum .d.e.f. est sicut oportio. b. ciad. e. f. duplicata: qa est propolitum. Si aut .c.g.sit equalis. b. e. erit perlectindam partem et huius triangulus.a.b e .equalis triangulo. d. e.f. euuali autem proportio compon rex equali duplicata uel triplicata uel quotiens vi in pta. Issam eandem passionem possemus eodem modo st per eademe dia demonstrare de supreficie tequi distantium laterum similibus tum pia solum.Π.pre eritis loco.I . Non demon' at autem eam: quia prese quentem dem5'atur uniuersaliter de omnibus Maerficiet in similibuto Quarem correl. uniuersaliter proponitur de omnibuς superficiebus similibus nondum patet nisi de mangulis: sed demonstrata sequente pates erit de onmibus. Posilit autem ipsim hic e non insequente quia e cor res. huiusmon autem sequentis: modo mini demori rationis huius
uentas manifestata di non ex modo illitis.
isti epone superstrii similes invidi angine sunt
diuisibiles in triangulos masses alas numeroles. m. proportio alterius earum ad alteram sicut cui ullibet sui lateris ad suum relatiuuintus Maelius proportio in cata.
lta.dico et, ipsi furit diuisibiles in tria Ios similes numero equale :Oet portio alteri eorum ad alterum ess sicutirubad fg.proportio duplicara TDucantur mina linere duein.c.st a. d.ite mi, sta Ef. . erit per e 1entem πω .st peris huius triari ius.a. b. .equiangulus triangulo LPh. 1 triangulus a cid triangulora. . 7 Similiter quo per hanc coni munem scientiam. Si abequalitraequalia demas quere. m. fanti erit
triangulis. a. c. d.equiangulium Plo.sb. Nam issipenthagoni si sint equianguli Claterum proportionalium. si Et quia trianguli in quot diuiduntur furit adinvicem equi Plii ut probatum es t emant etiag similes peti huius fidiffinitionem Iimili urn f,mficie t quare cuipsi sint numero equales patet primm . CSemmdum se protrahatur. b.
106쪽
ad ma V aciem ratione si sicut eas . M 'm-I3 quintilotuum agoniad t-21nmthagorium:jiciana b. da g. h. Orestemii to est; portio priathagorita. AElpenthagonum.f. h. ivit proportio.αb.ad fg duplicata tquod est positum.. Ex quo fas patet corret nec eritu. CAliter potest demonstrari ieci sum. CCut nolim trianguli in quos penthagoni diuiduntur sint adinvicem similestertim precinentem proportio bae MEPh. I u.b Gad g.h. plicata Ot zdada.h. si Lodad h. duplicata. CEt. a. e. d. ad.f L si adid. ra.duplicata. Quia igitur omnes hee proportione ς duplicaremi triles propter hoc quod politum est simplas ct equa les erit'.G runti totius penthagoni ad totum penthagonum licuita . terisimitu ad am relativum latus alteriusproportio duplicata.
a simia positi sinit penthagoni similes i ssideo utanguli per i ltionem similium superficierumiffsic trianguli a b.c.Εfnh sinit uianguli perio huius:quoniam angulun imius est vati angulo. Dalteri us cum sintanguli propositorum penthagonorum integromnat ut patet filateraillo; continentia sunt inin se no ortionalia i per unocte. methagonorumsimilium D. Et idco per. 6 fidus Existi enima huius notatur mirabile ui tuidelicet quocunq, quadrilatem dato protractis in eo duibus diametris resoluetur inquatuor trian os adiuui'cem portionalest ut in duobuς quadrilateris proposito penthago
Mut cimoad. m.R. econuersat fi sic quocun* uoluantur se parunt proportionalestquoniam bases semperbredem eodem modo dicetur de triangulis quadruat .Lg.h.ltis omnium aliorum D. CSed in his uocissius que nulla in equalitate di xcordant mulla omnino consonantia esse enim consonantia est dissimilium inter se vocum in unum redacta es cordia: hec Bociterito capitu. imi musicest Sti
stropositio cly. I Upra datam Iineam date superficies smilem sit/
perficiein describere. Sit data linea .a.b. supra quam uolo congituere sisper perficiem similem date superficiei quesit penitagona t fi
gulorum in quos est uteret diuisus.USed flaterum proportionali uno Pter oportionalitatem laterum tuorum triangulomni que exquar intimis identer apparentiquarem di uim sontium sim ae
107쪽
mmmthagon eonstitutis super iuuatria. b. est similis Iunctagono dato quod ep
similium 'perfici minitimissimiles adimittam: quod est propositu.
e Sint quaruor linee proportionales.αωc.d. ii proportio. a. ad b.li
cuticiad.d dico si si ficies similes constituatur suis .aM.b. utpote duo pentidiagoni similes galissimiles constituantur super.c. g.d. ut te duo trianguli similes: erit proportio penthagoninum sicut ni agulo dsi fuerint pent baronisiimilesie limiliter etiam rei vili simileςi 'erri proportio penthagoni ad peninagonumisicut trianguit ad trianvalumi
dico sterit proportio.aad. b.sicut. cad.d.TSubiungatur enim linet a.
ius.erit per itiquintiginequam proportionalitat .a. acte. sicut. M.LT ergo per cor stret huiuς proportio penes agonorum res PGt.a.ad.ea trianistarum sicuticia d. f. erit proportio penitagonorum sicuti Plommighoces primum. CSecundum sic tet. Sint ducimthagoni similenfiduo trianguli similes: si proportio penes agonoram si ut triangulorum:dicost proportio.a M.h.estscit dic ad.d. TSiteri Gad.Psicut.αad.b. cenim qualiterfiatdictum ess supra. rotatu struper.g.fiat sicut docet.M. ius. iii perficiessimilis illique est Ostitutasuper lineam cierit perpremissam timilis ei queconflammelliti perlineam AETEri etiam per imam partem huius. v. quepromotio penitamm.a.adpenthagonmm.dieadem trianguli. c.ad triangulum
partem φ,quinti triangulus.d.es sequalis triangulo.g. Et quia sint imi/.ici: erit linea.vequalislinee.d. per imam partem. litabulas cum lineas.c.1e.vsint triangulitvel persecutam patet .ssi. m therintque libet alie fime multiangule t equalitas enim non producitur ex aliqua proportione duplicarius triplicata uel quotieni bet sumpta nisi exequali .eruit .c.ad.d. t .a.ad.b.quod est propositam.
Npositio 22. Uncte seper Mim equidi tantam laterum que circa diametium constratioti parallelogramo atcnfidiimiiceni filiat similes.
Esitui inparallelogramo.b.d eum diameter. a. .consistant stiperii cie; vh.e.LB, equi distantium uinui circa ropolitum.
3suerintvni superficiei milius quaslibet stuperficies sibi inuicem sinit Ieses e neccnecit.
108쪽
diametrum dico eas es=similes toti parallelommo fis Minulae. TEg
eod.cad.b.c. dia ergo issamaalallogran asinat equiangvia constat perdiffinitionem limilium I et enim vh tale simile didos Simili quoet modo probat .f. este sinasse eidem: propterhoc . b. a. ada. E.d.Macta Lest sicuticia ad taper secundam huiuς conuinctam proe portionalitatem: givare perito.huius.f. est etiam simile. g. bsim, patre
Propositio .23.3in Bostario parallelogramum par aedillius rectum toti paralle granio simile.atm 1 ndu suuillius es emeritaeircaeiusdem diametrum costitit.
CSitvtin parallelogramo.b. d.siaedis in m parallelogramum.fnquod sit stri similest secudum Immee.i. tu --lcipam cum eo in angulo, cidico inparallelommum M. consistit circa diametrum parallela mini. b. d. st shec conuersa prece deritis. TProducam enim.a. e. e. quesi fuerit diameter parallelogramia b.d.constat proposmini Sinautems .a.h.c.diameter eius fiducat .h. R. uidi ganns cierint, per premisse parallelogramum.f. R. similem rallelogram.b.d. operconuersionem dissinitionis similitim stiperficierum In oportio. c.ad. c.est rara.d.c ad.f.c. T Sed per eandem coriuersionem dicte distinitionis proportio b cad.ve si sicut.d.c.M.f. c.ppter id quod parallelogramum.f. positum est litiasse parallelog amo. h.d.ergo per.1 r. imi proportio b c.ad.DGest sicut. b. ad.R. latra enim est cui Sciaisciquareser Iecundam pinem rime quinti. Poeequalis. c.pars uidelicet toti quodest impos bile.Erit igitur, cicidiameter parallelogranat.b.d.quod est impositum.
-nium duarum superficierum equidistantium Iateriam quarum mus aliginus unius ima gaeo alterius equalis proportiae alterius adaereram estque producitur ex duabus proportae,nibus morimi laterum duos juos MaguloB continentium.
Sint due superficies uidi latium lateruma.tage.d.siti angulas Hunitis equalit angulo b.alinitur dico proportio unius ad alteram producta est propcoione. b.ad.b.d. .c. b. ad.b.e. TDisponam enim b has duos perficiet penitus Mut disposui eas i n. iuua diu ad utra
Her d.a Etae .erimi linea una pro πypothe. in angulta' camin. n. superiam dum m.1 primi.eisia 'cit ad et duodecimi Nota qualiter .lci talis apis cetur icii Nam ibi dicitur in si tribus lineis positit uelimus quartam inueniread quam tertia se habeat scissima adserumdam D.Et ideo in i adupositione habest Iine primam Lad
109쪽
π T REte superficiei finiisse malim proposite equalem
Sint positetae iupficiesrectilinere. Α.penthamna.B. exagona.uolo fictae a m superficiem similem a fi equalem.b. Utrani propositam superficieture1bluo in mari
dem linit equalia inter seiunt equalia.7 No est meces fit ut si perfi
indistat iu latem ginterlinea se digantes fi equalisaltitudinis. Ce
iis per dimidisibateIinee talallogramu desis lassi maius εω ello amo dat elinee applica to est adco ectione linee miseet super diame trunicosistens super dimidium collycati
110쪽
a unc reteconuer' quia ralelloml .a.flineria. b. applicato deest ad plectionem totius linere paralello amum Lb.quod quide ema:iuncid rum dimidium collocatote sint milia π.D.buuiς q4.f.b non .coris supcidiametia collocui si per dimidini uidelicet e d. im ipsui .consistit iuper diam illius Lb.quod ad coplemeritia linee deestitu tet.Et ideo coctusto is a.16.rudet sub distuctione intelligi. s. ori date linee applicato ad complectionem litare deest simile paralel gratam consistens Uer diametrum 'per dimidium collocati uel super cuiuς diametrii costitit illud iust dimidiu collocaturiat in illa scda figura taeter
Propolitio .2T- atera superficieproposita equum ei superqtrali fetassignataIuam paralellogrania deflorare citi
Sit assignata linea a.&ss proposims trianguluς c propositum I para is gramum d.uolo super linea a.b designare paralellogramuine a te triangus ema destiad complendam lime .a.b. Mellogiamum sinaile.d g sit ita conditionatum. triangulus.e non iit mai paraleslogramo simili.d.collocato firmi dimidium linee.a.b.alioquina ad imυ possibile laboraretur per premissam.c Diuido i turlineam .a. b. per equalia in puncto.e .gstri doctrinam. is huius ι er eius medietatem e. .constituo paralellomnium.e.ssimile.d.e complebo super totam lineamia Nparalellogramum.b.I. Eiai mr.c. non est maior para tellogramo cis. ita equalis ei aut minor sicut positum est. CSi fuerit ei equalis erit paralellogramum.e g. quale intendimr per.36. primi coasinuarite prima pie.'.quintill perdisfinitione similium superfici infixo.huius C si autem minor: sit minor in stiperficie aliqua cui equaliue similis.d fiat doctrinam.i huiusque iital, erimi. h. similis.e sper O.huius.quare per conuersionem diffinitionis equi angulasibi fi proportionalium laterum. Protraham igitur in paraleli amo.e.f. Aametrum.b Res resecabo latera. .fg.GR. superficies.α fad menturam .lateris iuperficiei.h pr trassis lineis a .m.L n o. equidistinctuς lateribus sepancies e flecantibusse in me ut 'per es R. p. sit equalis es milis supreficiei.h.m G, huius punctum p. in diametro κ. b.
proponi LC Deest enim sbi ag complemennina Israecia.b paralellogranau.p.b.qa periri. .io. huius est simile paralellogramo. d. Sed imetiam paralellogramum a p est equale triangulo. e. Est enim per prima
sequalibus eqvilia addas eciparalel aramur a.p.est equale momo hquod est equale paralel gramin patet propos m. MaarQuia premis offidit omne patellogramum collocatum luper di midium date linctes le maius eo citi date linee applicato deesset ad com